透過列聯表探討國小學童資料解讀的能力與認知

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所博士論文. 指導教授：楊志堅. 博士. 透過列聯表探討國小學童資料解讀的能力與認知. 中. 華. 民. 研究生：施懿珊. 撰. ○ 三. 年. 國. 一. 一. 月.

(2) 謝辭好不容易終於取得了學位，完成了家人及自己長久以來的期待。這一路走來無論是在生活態度、專業成長、待人接物都經歷了許多的歷程、學習與成長，而這一切真的要感謝的人實在是太多了，希望藉此機會能表達我心中的感恩與謝意。感謝楊志堅老師在我最需要幫助的時候伸出溫暖的雙手，不斷給我信心、加油與鼓勵，使我能更正向、積極地面對人生的挑戰；更感謝老師孜孜不倦地教導，讓我在學業上、人生態度上都更清楚的了解自己未來應該走的方向；同時也要感謝王脩斐老師，在求學過程中不斷地給我加油、打氣。很感謝有您們這樣替學生著想、體貼他人的好老師，讓我能在挫敗中不斷地堅持到最後。此外，我也要感謝辛苦的口試委員們，為了我的口試南北奔波。感謝林原宏老師提供我寶貴的資料，並提供了我許多數學教育方面的專業指導；感謝鄭中平老師與陳承德老師提供我研究方法上扼要、寶貴的建議；也謝謝細心的曾建銘老師過程中不斷的鼓勵與支持，在研究上給我許多理論與實務上的解說與建議，讓我獲益良多。此外，我也要謝謝學長蔡良庭，感謝長久以來不斷在各方面默默地幫助、照顧我，使我能順利地完成預定的目標。求學過程中，也感謝一起互相扶持的研究夥伴們，還有在各方面讓我有所成長的貴人。也謝謝任職學校同事的協助與幫忙，讓我能順利完成施測工作。最後我要感謝瑤池金母的庇祐，還有康老師的關心與協助。也要謝謝我的先生與弟弟，感謝這一路上的支持與鞭策，在我失意的時候不斷鼓勵我，在我想要放棄時不斷的激勵我，陪我度過這充滿酸甜苦辣的學生生涯。. I.

(3) 摘要本研究的主要目的是透過列聯表來探討國小二到六年級學童資料解讀的能力與認知。並將成功解讀列聯表所需的數學概念分為比率推理與機率兩個概念。主要透過統計分析來整體了解學童在概念上的認知，並利用個案晤談方式進行學童解題策略上的暸解。研究對象包含北市某公立國小 277 位國小二至六年級的學童，其中男生有 127 位，女生有 150 位；之後輔以其中 5 位學童的個案晤談。研究工具包含比率推理、機率與列聯表三個分測驗，試題共計 20 題。研究結果顯示：四年級以上的學童約有一半以上的人有比率推理的概念；約有近六成的學生有機率概念或列聯表解讀的能力。五年級男生在列聯表的解題表現顯著高於五年級女生；二年級學童在三個分測驗中的解題表現都顯著低於中、高年級，而三、四年級學童在機率上的解題表現也顯著低於六年級學童。. 關鍵字：列聯表、比率推理、機率、資料解讀. II.

(4) Abstract The purpose of this study is to explore the performance in interpreting data through contingency table in second grade to sixth grade students. Proportional reasoning and probability is the main concept in interpreting contingency table successfully. The cognitive of concept are evaluated by analyzing data. Furthermore, problem-solving strategies is analyzed by interview. 127 boys and 150 girls in second grade to sixth grade are recruited at an elementary school in Taipei, in which 5 students are interviewed. The test are composed of three sub-tests, proportional reasoning, probability and contingency table. It totally has 20 items. The results indicated that ： More than half of fourth grade students have proportional reasoning concept. There are about 60% students have. probability. concept or the performance in interpreting contingency table. Fifth-grade boys in interpreting contingency table is significantly higher than fifth-grade girls. Second grade students problem solving in three subtests are significantly lower than in other students. Third and fourth grade students on the probability of solving performance significantly lower than sixth grade students.. Keyword：contingency table, proportional reasoning, probability, data interpreting. III.

(5) 目錄第一章緒論……………………………………………………………………… 第一節研究動機…………………………………………………………… 第二節研究目的與待答問題……………………………………………… 第三節研究貢獻……………………………………………………………. 1 1 4 6. 第二章文獻探討…………………………………………………………………. 7 第一節「列聯表」概念上的研究…………………………………………… 7 第二節「比率推理」概念上的研究………………………………………… 8 第三節「機率」概念上的研究……………………………………………… 10 第三章研究方法………………………………………………………………… 第一節研究架構…………………………………………………………… 第二節研究對象…………………………………………………………… 第三節研究工具…………………………………………………………… 第四節研究流程…………………………………………………………… 第五節資料分析……………………………………………………………. 13 13 13 15 24 25. 第四章分析與討論……………………………………………………………… 第一節正式試題分析……………………………………………………… 第二節不同年級學童解題之整體表現…………………………………… 第三節學童在各分測驗解題表現之相關性……………………………… 第四節「性別」對學童在各分測驗解題表現之影響……………………… 第五節「年級」對學童在各分測驗解題表現之影響………………………. 27 27 28 40 45 47. 第五章結論與建議……………………………………………………………… 第一節研究結論…………………………………………………………… 第二節研究限制…………………………………………………………… 第三節研究建議……………………………………………………………. 53 53 56 57. 參考文獻……………………………………………………………………………. 59. IV.

(6) 表目錄表 3-1. 預試施測人數一覽表……………………………………………………. 14. 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 3-5. 正式施測人數一覽表……………………………………………………. 15 試題編製雙向細目表……………………………………………………. 16 「國民小學列聯表覺知測驗」預試之試題分析………………………. 22 專家檢核意見表…………………………………………………………. 23. 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7 表 4-8 表 4-9 表 4-10 表 4-11 表 4-12 表 4-13 表 4-14 表 4-15 表 4-16 表 4-17 表 4-18 表 4-19 表 4-20 表 4-21. 「國民小學列聯表覺知測驗」正式施測之試題分析…………………. 各年級學童在「比率推理」分測驗試題答對率………………………. 各年級學童在「機率」分測驗試題答對率……………………………. 各年級學童在「列聯表」分測驗試題答對率…………………………. 所有學童測驗總分分佈情形統計表……………………………………. 國小二至六年級學童「比率推理」與「列聯表」的解題表現之相關……. 國小二至六年級學童「機率」與「列聯表」解題表現之相關……………. 華德法分群結果「人數」統計…………………………………………… 華德法分群結果「比率推理」分數平均………………………………… 華德法分群結果「機率」分數平均……………………………………… 華德法分群結果「列聯表」分數平均…………………………………… 國小二至六年級不同性別學童在「比率推理」上的得分差異………… 國小二至六年級不同性別學童在「機率」上的得分差異……………… 國小二至六年級不同性別學童在「列聯表」解題上的得分差異……… 不同年級的國小學童在「比率推理」上得分情形的變異數分析表…… 不同年級的國小學童在「比率推理」上得分情形的事後比較表……… 不同年級的國小學童在「機率」上得分情形的變異數分析表………… 不同年級的國小學童在「機率」上得分情形的事後比較表…………… 不同年級的國小學童在「列聯表」解題上得分情形的變異數分析表… 不同年級的國小學童在「列聯表」解題上得分情形的事後比較表…… 各年級學童在比率推理、機率與列聯表上的平均得分情形…………. V. 28 29 31 36 39 40 42 43 44 44 45 45 46 46 47 47 48 48 49 49 50.

(7) 圖目錄圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 3-4 圖 3-5. 研究架構圖………………………………………………………………. 「比率推理」分測驗之範例試題………………………………………. 「機率」分測驗之範例試題……………………………………………. 「列聯表」分測驗之範例試題…………………………………………. 研究流程………………………………………………………………….. 13 18 19 20 24. 圖圖圖圖. 學童在「國小列聯表覺知測驗」上得分分佈情形……………………. 學童在「比率推理」與「列聯表」解題表現之散佈圖………………. 學童在「機率」與「列聯表」解題表現之散佈圖……………………. 各年級學童在比率推理、機率與列聯表上的平均得分情形………….. 40 41 42 51. 4-1 4-2 4-3 4-4. VI.

(8) 第一章第一節. 緒論研究動機. 「列聯表（contingency table）」主要用來呈現類別資料，將觀察對象或事件發生的兩種因果表現，以數字單位表示發生的次數，分別將之排放成雙向交叉的一種統計表，其中最簡單的形式就是 2×2 的二維交叉表。解讀列聯表的過程就像是處於問題解決的情境般（Godino ＆ Batanero,1998），需要兼具多重的數學能力才有辦法去完成。而解決問題的能力也是各國教育中期待學生在經過學校數學教育後能習得的關鍵能力之一。我國九年一貫數學領域課程綱要（教育部，2007）中就曾具體指出，希望學生在學習數學後能解決日常生活中的問題，更進一步能在不熟悉的情境下，能懂得如何去尋求問題解決的途徑，達到解決問題的最終目的。德國就將列聯表列入國民小學的數學教育課程中，Reiss, Barchfeld, Lindmeier, Sodian 和 Ufer（2011）的研究更指出列聯表的解讀雖然對國小學童而言是困難的，但是仍有許多國小學童是有能力成功解讀列聯表的。成功解讀列聯表所需要的數學能力，許多學者抱持著不同的見解。Batanero, Godino, Vallecillos, Green 和 Holms (1994) 指出比率（ proportionality ）與機率（probability）的數學概念會影響列聯表的解讀；Batanero, Estepa, Godino 和Green (1996)的研究說明了列聯表內含了機率和比率推理（proportional reasoning）的數學概念；Godino 和Batanero（1998）提出次數（frequencies）、比例（ratios）與總數（totals）是成功解讀列聯表重要的數學概念；Reiss, Barchfeld, Lindmeier, Sodian 和Ufer（2011）更針對國小二、四、六年級的學童，利用個別晤談的方式來進一步理解學童對於列聯表的認知，並指出成功解讀列聯表需要的數學概念之一就是抽樣（sampling）。從上述學者們的研究中可以得知，成功解讀列聯表的數學概念除了要具備基礎的數學運算能力及比率推理的概念外，更與統計學中的. 1.

(9) 機率概念有著密不可分的關係。然而學童們解讀資料的能力、比率推理與機率等數學概念究竟是從何時開始發展的呢？根據國際學者們的相關研究顯示低年級學童（甚至是學齡前的兒童），早就已經具備了基本解讀資料的能力了，學（兒）童能根據資料形成基本的假設，並根據假設預測未來事件可能的發生結果（Koerber, Sodian, Thoermer & Nett, 2005；Ruffman, Perner, Olson & Doherty, 1993)。Tourniaire (1986) 就曾針對國小三、四、五年級的學生進行比率推理的研究，發現三年級的學童已經能解決簡單的比率推理問題，更建議可以朝更低年級的學童去進行研究與了解。Bar（1987）在研究國小學童在比率推理能力的發展時，也發現學齡前的兒童是有辦法去解決某些簡單的比率問題的。而在機率概念上的發展，Yost、Siegel 和 Andrews（1962）的研究結果就指出在適當的條件下， 4、5 歲的孩子是具有機率概念的。Falk、 Falk 與 Levin. (1980) 的研究結果也建議可以在學校教育中讓國小一年級學童. 開始進行機率概念的學習。Andrew (2009)更提出在小學機率教學時，可以透過與日常生活相關的實驗操作，將使得學童能立即的了解機率概念。HodnikČadež 與 Škrbec(2011)的研究結果也顯示，學齡前的學童已具備有初步的機率概念。美國數學教師學會（national council of teachers of mathematics, 以下簡稱 NCTM）所發表的「學校數學教學的原則與標準」（principle and standards for school mathematics）中，「資料分析與機率」（data analysis & probability）就已針對學齡前兒童（幼稚園兒童）開始到十二年級學生，設計了一連串與生活相關的統計相關課程，其中期待學齡前到二年級的學童在能發展及評估推理，並針對資料來進行預測的目的中，能針對學生經驗中，有可能或不可能發生的事件來進行討論；且在「數與操作」（number and operations）的課程設計上，也期待六到八年級的學童能了解並使用比例與比率來表示數量關係。紐西蘭教育部所公布的數學與統計學習領域（the mathematics and statistics learning area of The New Zealand Curriculum）中也將統計課程（statistics）的學習從小學一年級就開始扎根，機率 2.

(10) 的概念也從二年級開始進行課程的學習；而在數與代數（number and algebra）中，也期待學童在八年級後（by the end of year eight），能靈活將乘法策略應用在整數、比例與等值分數上。我國九年一貫課程現階段數學領域的課程設計中，也有「統計與機率」課程的設計，在小學階段的相關學習主要著重在物體的計數與劃記，即數與量的計算，與統計圖表上的認識；真正與機率相關的課程學習主要是安排在九年級（國中三年級），一開始就從各種統計量的認識進入課程，較是以理論的觀點來認識統計與機率。此外，我國也將比率上的教學安排在國小的高年級（N-3-14 能認識比率及其在生活中的應用）。因此，可以發現世界各國為配合學童的認知發展，紛紛都將機率與比率推理課程的相關概念逐步地列入正規化的課程教學中。相較於國際上，已有部分學者將列聯表視為是數學教育研究的一個議題，持續關注學童在列聯表上的認知與發展。而國內學術研究則似乎多將與列聯表有關的研究集中在統計分析的功能上，將列聯表視為是統計分析的工具，例如交叉列聯表分析、卡方考驗的列聯表分析等，將列聯表視為主題來進行研究的議題在國內仍處於起步的階段。而機率與比率推理概念上的相關研究則發展的較早。在九年一貫課程改革之前，蘇國樑（1995）就曾針對國小一、二年級學童，利用晤談的方式來了解學童們對於機率與比例概念，結果發現一年級學童幾乎毫無機率概念，甚至是二年級學童也無比例概念，更別說有比率的概念了，此結果與國際相關議題上的研究結論有著明顯的落差。而九年一貫課程實施後，學童在相關概念的認知現況也有待進一步的探討。此外，回顧屢次在 TIMSS 和 PISA 等國際性的數學評比中，我國學生雖然有不錯的成績表現，但依據周玉秀（2006）的研究結果顯示，我國學童在 2003 年國際學生評鑑計畫（PISA）的數學評比中，發現學生在機率主題上的得分最為低落。教育的目的無非是希望在已知學童既有的基礎下，經過有系統的課程設計，而達到有效率的學習。因此在探討學童認知發展的過程中，學童尚未接受過相關正規教育前的認知發展，是許多研究者矚目的研究 3.

(11) 議題之一。透過這些研究結果，也可以用來評量學童在經過學校正規教育後的認知發展，進一步檢視教育的成效。故基於上述各種因素，加上目前國內在列聯表相關研究上仍處於成長階段，尚無一標準化的試題可以參考，因此本研究擬綜合國際相關研究文獻的建議與結果，以自編的方式來進行相關評量工具的研發。將影響列聯表解題的數學概念分為比率推理與機率，並依比率推理、機率與列聯表三個概念分別研發個別的分測驗。在研究變項的選擇上，HodnikČadež 與 Škrbec(2011)曾針對 4、5 歲與國小一至三年級的學童，進行學童機率概念的瞭解，並以性別與年齡去進行分析，結果指出學童對於機率概念的認知是會隨著年齡的增加而有所提升，而性別並沒有顯著影響學童機率上的發展。但在 Bart, Kamal 和 Lane(1987)的研究中卻發現學童比率推理的概念會顯著的受到年級和性別的影響。在許多研究中常指出當男女生的性別出現差異時，男生往往在較高層次的數學認知上有優於女生的表現，因此在本研究仍將針對性別視為是考量的重點變項之一。由於本研究嘗試以學童較少接觸的題型作為施測的試題，需要有適度的文字說明來加強學童對試題的了解，因此本研究將研究對象設定在已有基礎閱讀能力的二年級學童，再向上延伸至六年級學童，希望能全面性的了解學童在解讀列聯上資料上相關概念認知上的發展，並透過個案晤談進一步了解學童的解題策略。. 第二節研究目的與待答問題綜合上述所言，本研究主要的研究目的如下：壹、分別探討國小二至六年級學童在列聯表上的解題表現情形與解題策略。貳、探討不同性別的國小二至六年級學童在列聯表解題表現上之差異情形。. 4.

(12) 參、探討不同年級的國小二至六年級學童在列聯表解題表現上之差異情形。. 根據上述之研究目的，提出以下數點待答問題：壹、國小二至六年級學童在「國小列聯表覺知測驗」上的三個分測驗的答對率為何？各年級學童的解題策略為何？貳、國小二至六年級學童在「國小列聯表覺知測驗」上得分的表現情形為何？參、國小二至六年級學童在比率推理與列聯表的解題表現是否有顯著相關？肆、國小二至六年級學童在機率與列聯表的解題表現是否有顯著相關？伍、不同性別的國小二至六年級學童在比率推理上的得分是否有顯著差異？陸、不同性別的國小二至六年級學童在機率上的得分是否有顯著差異？柒、不同性別的國小二至六年級學童在列聯表解題上的表現是否有顯著差異？捌、不同年級的國小二至六年級學童在比率推理上的得分是否有顯著差異？玖、不同年級的國小二至六年級學童在機率上的得分是否有顯著差異？拾、不同年級的國小二至六年級學童在列聯表解題上的表現是否有顯著差異？. 5.

(13) 第三節研究貢獻在重視問題解決的時代，各國教育的目的無不希望能透過教育使得學童能從中習得問題解決的方法，進而應用在日常生活中。本研究嘗試以數學的角度，透過列聯表問題來了解學童如何進行資料解讀，並進而探討影響學童列聯表解題的比率推理與機率上的認知發展。因此透過本研究可以了解二至六年級學童對於列聯表、比率推理與機概念上認知的變化。機率概念主要是在我國九年一貫課程的九年級才開始進行教學，透過本研究之研究結果將可以一窺國小二至六年級對於機率的質樸概念，並將研究結果與國外課程、研究做比較，將可以做為我國九年一貫數學領域機率課程教學設計與安排上的一個依據與建議；透過比率推理分測驗的結果，也可以用來檢視學童的認知發展是否符合課程上安排。最後，將可以透過列聯表來得知我國學童在資料解讀上的能力。. 6.

(14) 第二章文獻探討本研究主要是想透過列聯表來探討國小二至六年級學童資料解讀的能力與認知，並從中探討影響學童列聯表解題的兩個數學概念，比率推理與機率的發展。因此，以下將分別說明國內外學者在學童列聯表、比率推理與機率上的研究現況。. 第一節「列聯表」概念上的研究在我國，「列聯表」常出現在高等教育的統計或是數學課程的學習上，因為它能將繁複的文字敘述加以簡化，以簡潔、清晰的方式來呈現題目的涵義。隨著科技的發展，衍生出許多的問題，如何有效的呈現問題並解決在在考驗著人們的能力，在學習上亦是如此，Godino 和 Batanero(1998) 就曾將列聯表視為是問題解決的一個範例。 Batanero, Godino, Vallecillos, Green 和 Holms (1994) 曾透過文獻調查國小學童除了機率概念外，容易產生錯誤、困難的統計概念。其中提到學生在解決列聯表的問題時，可能產生的三個問題：首先是列聯表中的資料解讀問題；其次是針對兩變數間的關係提出判斷的問題；最後是能計算並提出一個係數來衡量此關係強度的問題。因此可以得知資料的解讀能力是解讀列聯表時首先會面臨到的問題，此步驟的認知與能力將是影響後續問題解決的關鍵。Batanero, Estepa, Godino 和 Green (1996)透過問卷探討大學預備生（preuniversity students）在列聯表（2×2、2×3、 3×3）中與統計相關的先前概念（preconception），發現大學預備生在 2×2 列聯表中有很好的直觀判斷能力；並從數學的觀點提出了學生原始的解題策略；最後針對 51 個學生進行質性的晤談，歸納出了學生 3 個在列聯表中與統計有關的迷思概念。而上述兩研究同時都提出成功解決列聯表的數學概念是需要有比率推理與. 7.

(15) 機率的概念。Godino 和 Batanero(1998) 的論文中也提出了在列聯表中與數學相關的概念有次數、比例、總和等。Reiss, Barchfeld, Lindmeier, Sodian 和 Ufer (2011) 更針對國小二、四、六年級的學童，利用個別晤談的方式來進一步理解學童對於列聯表的認知，並認為成功解讀列聯表需要的數學概念之一就是抽樣；結果指出國小學童在經過適度的提示下，是有能力去解讀列聯表的，並根據解讀結果進行結果判斷。綜合上述的文獻探討可以得知：除了基礎的數學運算能力外，列聯表中還隱含著「比率推理」與「機率」的數學概念。然而目前國際上仍無一個經過標準化的測驗工具來檢視國小學童在列聯表上的數學概念。加上在國內相關研究仍處於起步階段，學生們在列聯表上的認知情形仍處於未知階段。而無論在國際上或是在國內，都可以發現有關學童在比率推理與機率概念上的研究，發展地已十分成熟、多元。以下將就國小學童在此二概念上的發展進行文獻的回顧與說明。. 第二節. 「比率推理」概念上的研究. 在國內，比例（ratio）與比率（proportion）常容易令人混淆，然而在數學上，比例通常指的是數量間所存在單純對等的關係（A：B）；而比率則除了數量間對等的關係外，還涵蓋了運算、比較的成分，如：A：B＝C：D。此二概念在學生學習上存在著非常大的關連，也因此有研究者常將兩者合稱為比例；或將比率稱之為比例關係（沈明勳 & 劉祥通, 2002）。然在學童學習此概念時，仍是有階段性的不同，一開始會先建構學童比例的認知，然後導入比率概念以進行問題的解決。因此，在強調問題解決能力的九年一貫課程中，比率的概念與問題解決的關聯性最大。比率推理能力的發展在國小數學課程中也是相當關鍵的，比率概念的有無常決定了學童能否學習較高層次的數學，比率概念的建立也可以說是國小基礎數學與學習國、高中及大學等高等數學的橋樑 (Lamon ,1993；沈明勳 & 劉祥. 8.

(16) 通, 2002)。而在比例推理概念的學習中，究竟什麼因素會影響到此一概念的學習與發展呢？其中Sophian 和 Wood（1997）就曾指出學童分數的概念會影響學童早期比例推理的發展，尤其是部分-全部（part-whole）的概念；其研究主要是針對5-7歲的學齡前兒童進行與比率推理上有關分數概念上的研究，發現7歲兒童已具備有部分-全部的分數概念關係了。分數概念的學習在小學階段是十分重要的，此一概念的理解與否甚至會影響到後續數學學習上的發展，許多研究就指出就曾指出學童若對分數概念的了解不夠完全的話，未來將會影響到代數上的學習進展（Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983；Behr & Post, 1992）。分數概念本身其實是一個相當複雜的概念，兼具多重的意義。早在1976，Kiere就曾把分數定義為部分－全部（part-whole）、比例（ratio）、商（quotient）與乘法運算（multiplicative operator）等關係（引述自Hiebert & Tonnessen, 1978）。從直觀上來看，國民小學的分數單元也包含有除法、小數、百分比、比例的概念牽涉在其中。由於學童的數學學習是有其發展階段的，從整數的學習到分數概念建立的過程中，主要是利用除法來發展分數概念，從中可以發現分數學習的重要關鍵是「等分」意義的學習，等分概念可以說是學童學習分數概念的第一個重要階段，此一概念的建立深深影響到之後分數概念的學習。我國九年一貫數學領域國小三年級數與量的學習中（3-n-11 說明）也明白揭示：分數教學應儘量利用學童對平分與公平的直覺，在學習上應從最容易的「對分」(一半)、「對分再對分」(四分之一)開始，在這種情況，學童也比較可以操作。在NTCM所提出的「學校數學教學的原則與標準」（principle and standards for school mathematics）中，也可以發現在「數字與操作」（number and operations）的課程設計上，也期待學齡前到二年級的學童能理解並將常用的1/2、 1/3和1/4表示出來。而在探討分數的概念中，整體（分母）的單位就是一個需要明確認定的問題，因為單位的不同將會產生結果的差異，Lamon（1999）（引述自洪繼賢劉祥通，2004）提出所謂的單位就是一個物件，可分為「單項單位」 9.

(17) （singleton unit）與「集聚單位」（composite unit）。因此，在進行等分概念的學習中，就不得不同時考量到學童對於此兩單位的學習狀況。而目前我國在相關議題的研究現況也指出90%的國小二年級學童已初步具備有分數概念，能將連續數與離散數分別進行二等份、三等份及四等份（林福來、黃敏晃＆呂玉琴, 1996）。而在經過九年一貫課程改革後的現在，學童概念的發展情形仍有待進一步探索。除了分數概念可能是影響學童比例推理的發展之外，「numerical comparison problems」（數字比較問題）也是在探索比例推理概念中常用的試題類型之一（Cramer & Post, 1993）。數字比較問題事實上就是人們一般所已知的簡單比例式問題，主要在探討數字間的相對關係。從國內外課程的設計中，看出比率概念上的學習大多在國小階段就已經開始學習了，且在探討比率推理認知的問題中，橘子汁與水混合的濃度問題最早被Noelting(1980)所提出，之後陸續有許多研究者使用類似的問題來探討學童在比率推理上的認知，例如：Tourniaire (1986) 就曾透過類似問題，晤談了國小三、四、五年級的學生，提出學生解題的四個策略，並指出甚至是三年級的學童就已經能解決簡單的比率推理問題了，進一步建議可從更年輕的學童上去進行研究與了解。Bart, Kamal和Lane(1987)也利用橘子水問題來了解學童的比率推理概念，研究中發現學童比率推理的概念會顯著的受到年級和性別的影響。Fujimura(2001)也曾利用相似的問題，進行國小四年級學童對於比率推理能力的了解，提出學生在進行比率推理所採用的策略。比率課程在國小學童學習數學上是十分重要的階段，無論是在教育改革的前後都可以看到此概念的存在，特別是在高年級的課程設計中佔有舉足輕重的地位。. 第三節「機率」概念上的研究在許多國家的正規教育中可以發現，機率課程的設計已是國民教育中不可或缺的重要一環。NCTM 公布的「學校數學教學的原則與標準」中指出，期待學齡. 10.

(18) 前兒童（幼稚園兒童）到二年級學童在學習「資料分析與機率」上的其中一個目標是希望學童能發展及評估推理狀況，並針對資料來進行預測，具體要求的學習重點是希望學童能討論在學生經驗中，判斷有可能或不可能發生的事件。國內外學術領域以「機率」為主題的研究也出現相當地早，研究發現也相當多元。早在 Yost、Siegel 和 Andrews（1962）的研究結果中就說明在適當的條件下，學齡前（4、5 歲）的孩子已有機率概念。Falk、Falk 與 Levin. (1980) 針對 4 到 11 歲. 的學童也進行了有關研究，結果指出在小學教育中機率的教學甚至可以自國小一年級開始，最好能從不確定性概念(concepts of uncertainty) 的問題下開始學習。生活中存在有許多不確定性的事件，無法明確知道每個結果的發生機率，而究竟學童是如何去判斷這些不確定事情發生的可能性呢？ Shtulman 和 Carey (2007)就曾針對 4 到 8 歲的孩子，探索孩子們對於日常生活中較為異常事件發生的機率，並與成人作為比較，發現孩子與成人在判斷異常事件發生的可能性時，可能是會有相反的結果的。HodnikČadež 與 Škrbec(2011)也曾以 4、5 歲的學齡前兒童與國小一、二、三年級的學童進行有關事件可不可能發生等機率判斷的研究，結果顯示學童們都能去判斷事件可不可能發生，但是 8 歲以前的兒童是無法比較事件發生機率的大小。Polaki (2002) 也曾提出學童機率學習的數個階段，會從一開始利用直觀的方式預測最可能與最不可能發生的事件，之後會利用數字去做定量的判斷，更進一步是會利用數字去做發生機率大小的比較。紐西蘭教育部所公布的數學課程標準（the mathematics and statistics learning area of The New Zealand Curriculum）中，除了將統計課程（Staistics）的學習從小學一年級就開始扎根外；事件發生機率大小的比較也設計在國小二年級的課程學習中，顯示紐西蘭二年級的學童應該已具備了該項認知與能力。我國在相關領域的研究也十分的早，回顧我國九年一貫課程改革之前，蘇國樑（1995）就曾針對國小一、二年級學童，利用晤談的方式來了解學童們對於機率概念，結果發現一年級學童幾乎毫無機率概念。陳欣民與劉祥通(2001) 採用文獻探討的方式，整理出學童在機率 11.

(19) 學習上的數種迷思概念，其中之一就是學童會使用錯誤的想來判斷事件發生的可能性，此外也會存在機率比較上的迷思。然而我國九年一貫課程自 2001 陸續從小學一年級開始推展至今，由於正式的機率課程教學是編訂在九年級 (國中三年級)，有關現今學童在此有關事件發生機率的可能性及比較事件發生機會大小概念上的認知發展更值得加以發掘。. 12.

(20) 第三章研究方法基於上述的研究動機與文獻探討，本章乃針對研究架構、研究對象、研究工具、研究程序等來分別加以說明。. 第一節研究架構本研究主要是透過列聯表探討國小學童資料解讀的能力與認知，因此測驗工具編製的主要基礎係以「列聯表」為設計的主軸。研究過程中依據文獻探討的結果，綜合發現可能影響學生作答列聯表對錯的數學概念，主要有「比率推理」與「機率」兩個概念，有關本研究的相關架構如圖 3-1 所示：. 比率推理列聯表機率. 圖 3-1 研究架構圖. 第二節研究對象本研究為顧及研究倫理，已申請「中區區域性研究倫理中心」倫理審查的認證。研究對象設定台北市某公立小學 102 學年度就讀二至六年級的學童。招募方式首先排除了研究者所授課的班級，在經過導師同意的情形下，逐班進行招募說明並同步回答學童的提問，希望透過面對面的方式，能使學童充分了解研究的整個流程，進而提高受測的意願。在全校二至六年級共 55 個班級中，研究者分別對其中 30 個班級進行了研究對象的招募，其中二到六年級的班數分別有 6、5、6、. 13.

(21) 8、5 個班級，共 795 人；並於說明之後讓初步有意願的學童帶回經審查認證的「參與研究同意書」（家長版、學童版），提供學童與其監護人深度考慮參與研究的可能與意願，並進行資料的簽署。本研究之研究對象係指已同時在家長版與學童版「參與研究同意書」上填寫完整個人資料及簽名的學童。若有其中任一份同意書填寫不完整者，則發回給學童帶回，方便學童與家長進行資料的填補，最後若還是有資料不全者則排除成為本研究之研究對象。招募過程中共發下 660 人（1320 份）的同意書；經過回收統計，成功成為本研究之受試者計有 353 人（為正式與預試的總人數），其中二至六年級分別有 88、62、49、83、71 人，參與率約達 44.40%（353/795）。. 壹、預試樣本本研究已於 102 學年度第 1 學期初完成了預試工作。施測的班級數包含了 11 個班級中的 76 人，二至六年級男女生及施測人數如表 3-1 所示：. 表 3-1 預試施測人數一覽表年級性別男女總數. 二. 三. 四. 五. 六. 總數. 7 10 17. 7 8 15. 6 3 9. 8 7 15. 10 10 20. 38 38 76. 實施預試時，不克參加的學童則之後列入正式施測的對象。. 貳、正式施測正式施測已於 102 學年度第 1 學期中完成。施測的班級數包含了 24 個班級中的 277 人，二至六年級男女生及施測人數如表 3-2 所示：. 14.

(22) 表 3-2 正試施測人數一覽表年級性別男女總數. 二. 三. 四. 五. 六. 總數. 33 38 71. 25 22 47. 14 26 40. 30 38 68. 25 26 51. 127 150 227. 第三節研究工具本研究所使用的工具為研究者彙整相關文獻資料後，自編之「國民小學列聯表覺知測驗」，分別說明如下：. 壹、測驗目的本測驗的主要目的是透過列聯表探討國小二到六年級學童資料解讀的能力與認知，並試圖透過影響「列聯表」解題的「比率推理」與「機率」等兩個數學概念來做進一步的解釋，也希望能了解各分測驗與列聯表認知間的相關情形。. 貳、綜合說明本研究之測驗工具屬自編測驗，編製的精神與架構主要是來自於文獻的探討。除了關鍵的「列聯表」測驗外，也將其影響列聯表解題可能的數學概念區分為「比率推理」與「機率」概念，測驗的編製主要是以此三概念為主軸來加以發展的。其中，「比率推理」與「機率」的分測驗是代表在本實驗中認為可能是影響列聯表作答的主要數學概念，若學生答錯列聯表的試題，就可以根據前兩個分測驗答題的情形，來預測可能影響的數學概念為何。有關試題編製的雙向細目表說明如下：. 15.

(23) 表 3-3 試題編製雙向細目表概念. 比率推理. 題數. 年級. 分數（部分-全部 part-whole）. 6. 二. N-1-05. 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。. 五. N-3-14. 能認識比率及其在生活中的應用。. N-4-03. 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的問題。. N-4-04. 能熟練比例式的基本運算。. 簡單比例式. 事件發生可能性的判斷機率. 九年一貫數學學習領域課程的對照能力指標指標內容. 試題測驗的概念. 事件發生機率大小的判斷. 列聯表. 3. 七. 無. 4 四. N-2-10. 五. N-3-07. 3. 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。. 無. 4. 此外，在進行試題編製之初，除了希望有文獻作為理論基礎外，更希望所設計的試題能適應臺灣本土學生的作答，因此曾請教過數位目前均已在國小任教多年的在職教師及相關領域的師長，初步的建議有以下數點：一、學童專注力及一堂課的時間都十分有限，加上試題幾乎都不是學童所熟悉的題型，需要有相當的解說時間，建議題數不宜過多。二、題目的排版要便利學童的閱讀，字體要放大至少要到 16 號字，並且二、三年級的試題需加上注音方便學童的理解。三、由於施測對象包含低年級學童，因此在測驗內容上，應盡量避免過多的文字而造成學童試題理解上的困難，建議以彩色圖片呈現。此外，由於部分題型非學童一般常見的題型，因此也應在每一種題型前有範例說明來幫助學童的理解。根據 Reiss, Barchfeld, Lindmeier, Sodian 和 Ufer（2011）的研究發現，題材取自日常生活或是教室教學的教具並不影響學童對於列聯表的作答與了解，因此為了更貼近學童的學習，因此所有試題的圖片盡可能貼近學童學校課程所學與認知。. 16.

(24) 四、建議試題採用統一版本的測驗內容，如此不僅可以作跨年級的比較，也可以從中理解學童概念學習前後的差異。以下分別針對測驗內容做進一步的說明：. 參、測驗內容與其編製依據一、比率推理「比率推理」試題的設計內含 2 個題型，分別用來了解學童等分概念及比率概念的有無。試題研發依據的相關說明與其範例試題如下所示。 Sophian 和 Wood(1997)提出分數概念會影響學童早期比例推理的發展。而「等分」的意義是學童學習分數概念的基礎，我國九年一貫數學領域課程綱要（教育部，2007）中就曾提出學童在學習分數概念的初期最好從 1/2、1/4 與 1/8 著手，從中可以看出「部分－全部」的概念是等分概念的具體實現； Hunting 和 Sharple(1988)曾說明想要知道學童初步分數的概念，最好是從 1/2、1/3 與 1/4 著手。因此，在此部分試題的設計主要依據上述相關學者們的建議，且考量到研究對象包含低年級的學童，因此試題設計將以 1/2、1/3 與 1/4 為主。此外，在試題的設計上，考量到「部分－全部」概念中還包含著兩個重要內涵，即「全部」可以代表是完整的一個物件，即所謂的「單項單位」；也可以將數個獨立物件所形成的一個單位視為是全部，例如：一箱、一盒等，即所謂的「集聚單位」。因此，試題將同時包含這兩種「全部」意涵的設計，設計的題數分別是各 3 題。而在另一題型試題設計來源主要是依據 Langrall 和 Swafford (2000) 、Fujimura (2001) 的研究來做為試題編製的依據。相關範例試題如圖 3-2 所示：. 17.

(25) 圖 3-2. 「比例推理」分測驗之範例試題. 二、機率「機率」試題的設計同時也內含 2 個題型，分別在了解學童是否能判斷事件發生的可能性；其次在了解學童是否能判斷事件發生機率大小。試題研發依據的相關說明與其範例試題如下所示。此部分試題主要是依據 HodnikČadež 與 Škrbec (2011) 所提供的試題作為編製的方向。與其最大的不同處是本研究將試題的內容調整為形狀相同、顏色不同的 2 種花片來呈現，免除了不同形狀的物件，由於觸感不同，物品被抽取的機率會因為抽樣對象不同，使得抽取結果受到質疑。相關範例試題如圖 3-3 所示：. 18.

(26) 圖 3-3. 「機率」分測驗之範例試題. 三、列聯表「列聯表」試題的設計主要內含 2 種題型，主要在探討學童是否有解讀 1×2 列聯表（但在此部分試題的仍是以 2×2 的列聯表來呈現）與 2×2 列聯表的能力。列聯表測驗題數共有 4 題。試題研發依據的相關說明與其範例試題如下所示。兩種題型的編製方向都是依據 Reiss, Barchfeld, Lindmeier, Sodian 和 Ufer（2011）所提供的試題範例。由於此部分試題也非學生一般在學校教育所會面臨到的，因此此部分的試題題型也都僅設計 2 題。為了方便比較，每種題型題幹的設計都是相同的。在第一種題型中，將兩種觀察對象表現的總人數都固定在 10 人，簡化因數字太大可能帶來影響學生答題正確的影響。相關範例試題如下圖 3-4 所示：. 19.

(27) 圖 3-4. 「列聯表」分測驗之範例試題. 肆、試題評分標準所有試題中均為單選題，皆採用二元計分，亦即答對給1分，答錯為0分。在比例推理、機率與列聯表的分測驗中，滿分分別是9分、7分與4分。. 伍、預試一、樣本說明預試樣本選定台北市某公立國小二至六年級的學童為施測對象，包含了11個班級中的76人，男、女生的施測人數均為38人，二至六年級的施測人數分別是17、 15、9、15與20人。. 二、預試過程已於102學年度第1學期初完成了預試工作。預試過程中，由於題型非學童常見的試題，因此研究者會先進行題型說明，並進行指導語的提示後，由學童統一作答。依據預試的經驗二年級學童所需時間較長，六年級學生施測時間最短，施. 20.

(28) 測時間約是15至30分鐘。. 三、試題分析本研究先以預試資料進行「國民小學列聯表覺知測驗」的分析，並據以進行試題修改，預試資料分析如下：（一）信度分析以SPSS中的信度分析功能分析預試資料，得到Cronbach's α係數為 0.602，顯示測驗的內部一致性偏低。由於信度會受到題數多少的影響，在此導致測驗偏低的原因之一應是為了顧及學童解題時間與專注力有限，所安排的試題量較少的因素使然。（二）效度分析在測驗效度的分析上，本測驗採用專家效度。由於施測對象自國小二年級學童開始，為使試題內容的設計與說明能適應國小低年級學童的認知；加上測驗內容較屬於數學、自然領域的範疇，因此本測驗在初步編製完稿後，即聘請有低年級教學經驗或自然領域背景的教師，來擔任審核試題適切與否的專家，最後由目前任教於台北市中兩個國小之4位現職教師，共同檢視試題內容，經檢核討論後修訂，以確定本研究之專家效度。專家教學資歷背景說明如下：國小教師一：年資23年。其中自然科任教學年資7年（其中2年擔任國中理化教師）。國小教師二：年資23年，其中低年級教學年資14年。國小教師三：年資17年，其中低年級教學年資13年。國小教師四：年資27年，其中低年級教學年資9年，國中教學年資12年。（三）難度與鑑別度分析針對國民小學列聯表覺知測驗的各試題計算試題難度及鑑別度如表3-2，其中難度即為通過率，鑑別度則是試題分數與測驗總分的點二系列相關。本測驗的平均難度為0.80，最低及最高難度分別為0.22與1.00。最困難的題型發生在「比率 21.

(29) 推理」的「題型二」中，最簡單的試題則是「比率推理」的「題型一」，最低難度為0.97，且6題中有3題是1.00，亦即所有預試的學生均答對，而此三題也因為全對而無法計算點二系列相關。由於試題有全對情形，因此事後研究者針對試題進行一些調整，修正過程中有尋求一位測驗統計專家及數位上述專家的建議，因此修正後的試題計有六種題型，共20題的試題。表3-4. 「國民小學列聯表覺知測驗」預試之試題分析概念. 題型試題. 一比率推理. 二. 三. 機率. 四. 五. 六列聯表解題七. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 2. 題號. 難度. 鑑別度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17(1) 17(2) 18(1) 18(2) 19 20 21 22. 0.99 1.00 0.99 1.00 1.00 0.97 0.83 0.22 0.22 0.83 0.97 0.91 0.99 0.99 0.28 0.89 0.87 0.62 0.64 0.59 0.95 0.92 0.79 0.63. 0.44 a 0.00 a a 0.45 0.40 0.39 0.50 0.53 0.38 0.41 0.44 0.00 0.36 0.37 0.44 0.49 0.34 0.33 0.25 0.50 0.11 0.25. 註a：所有受試者均是正確的作答反應以致無法計算點二系列相關 22.

(30) （四）試題檢討預試結果經專家們檢核討論，以決定是否需要進行題意的調整、保留或刪除，最後並據以完成正式施測題目的編製。而專家們對於試題的討論意見如表3-5所示：表3-5 專家檢核意見表題號 1-20 1-6 （題型一） 4-6 （題型一）. 7-9 （題型二）. 專家討論. 專家建議. 題目的注音要注意破音字，會影響低年級學童對於題意的理解題目不要問怎麼分比較好？對於學童來說當然是越多越好。在選項中，框設花片的框框不要有顏色的區別，以免誤導學生，分散了學童答題的焦點。二年級學童恐怕不會知道什麼叫做柳橙汁加水「濃一點、淡一點」，對於濃度的概念恐尚未建立。 A、B 杯中的水量並未標示，易使學童答題時有過多的聯想。這種題型對二年級學童太難了，試題的呈現最好能由淺到深的排列。. 分別修正以下破音字的注音：一、什、得、和、中、呢、麼、不。把「怎麼分比較好」改成「怎麼分才公平」。全部改成同一個顏色的框框。. 主要題幹中的文字敘述不明確，… 「如果想從一個看不見裡面的箱子 10-16 裡抽出一個花片」…，從學童的角（題型三、四）度明明就已經看見了，所以會讓學童產生答題上的爭議。此類題目似乎與機率概念較為無 17、18 關，且文字說明太常易分散學童答（題型五）題的注意力。題目若是開放性問題，會造成低年級學童無法作答。 19-22 （題型六、七）. 23. 建議將柳橙汁改成糖，學童懂得什麼叫甜淡。把 A、B 杯中的水標示出份量的虛線。建議第一題是溶劑（水量）相同；第二題溶質（柳橙汁）相同；第三題才使用溶劑與溶質同時不同的題型。建議改成「如果閉著眼睛從箱子裡抽出一個花片」。. 建議刪除此類試題. 建議將所有學童可能會產生的反應列在題目中，變成選擇題方便學生勾選；且有必要降低題目的難度，畢竟是學生從未經驗過的題型。.

(31) 第四節研究流程本研究在擬定計劃、提出研究問題、進行預試後，開始進行正式施測，相關程序如圖3-5所示：收集並閱讀相關文獻. 確定研究主題與架構. 進行測驗工具的編製. 審查並修正測驗工具. 進行預試施測. 試題分析確定正式試題. 進行正式施測. 資料處理與分析. 提出結論與建議. 撰寫研究報告. 圖3-5 研究流程. 24. 持續閱讀文獻.

(32) 第五節資料分析本研究中資料的分析分為兩個部分：首先正式施測結束後，將有效樣本彙整，經過批改、整理、編碼，並輸入電腦建檔，以進行計分和統計分析。本研究使用 Excel及SPSS統計套裝軟體，進行測驗資料的分析；最後再根據紙筆測驗的結果，每年級選出1位學童進行晤談，以深入去了解學童的解題策略。以下將針對資料分析的相關程序進行說明：壹、計算「國民小學列聯表覺知測驗」之Cronbach's α係數。貳、計算「國民小學列聯表覺知測驗」試題之難度和鑑別度。參、計算國小二至六年級學童在「國民小學列聯表覺知測驗」上的三個分測驗的答對率，並針對晤談結果了解學童可能的解題策略。肆、以敘述性統計呈現國小二至六年級學童在「國小列聯表覺知測驗」上得分分佈情形。伍、以積差相關計算國小二至六年級學童在「比率推理」與「列聯表」的解題表現、「機率」與「列聯表」的解題表現是否有顯著相關。陸、以獨立樣本 t 檢定進行不同性別的國小二至六年級學童在「比率推理」、「機率」、以及「列聯表」解題上的得分是否有差異顯著性檢定。柒、以變異數分析進行不同年級學童在「比率推理」、「機率」、以及「列聯表」解題上的得分是否有顯著差異。. 25.

(33) 26.

(34) 第四章. 分析與討論. 本研究係透過研究者自編之「國民小學列聯表覺知測驗」探討國小二到六年級學童資料解讀的能力，並試圖透過影響列聯表作答的比率推理與機率概念，進一步的解釋列聯表解讀能力不佳的學童在比率推理以及機率概念上的認知情形，也希望能了解各分測驗與列聯表認知間的相關情形。. 第一節正式試題分析根據正式施測資料，計算「國民小學列聯表覺知測驗」的 Cronbach's α 係數為 0.563，顯示測驗的內部一致性偏低。然而，導致信度偏低的可能原因有二：（1）納入分析的題數較少，雖然整份測驗題數有 20 題，但進行信度分析時有 4 個試題因為被所有受試者答對、作答情況沒有變異，而被排除在分析範圍之外，因此，最終僅使用 16 個試題的資料；（2）部分試題的通過率偏高，除了前述有 4 個試題通過率為 1.0 之外，尚有其他 7 題的通過率高於 0.9，受試者在這些試題上的作答變異較低，為另一個導致信度偏低的可能原因。試題的難度與鑑別度詳見表 4-1。整份測驗的平均難度為 0.823，最低難度為 0.27，最高難度則為 1.00。整份測驗仍以「比率推理」中的第 1-6 題最為容易，試題通過率介於 0.996 至 1.00 之間。原預試時以第 8 題與第 9 題之試題難度為最低，皆為 0.22，經試題調整後，略微上升至 0.32 及 0.34。「機率」中的第 14-16 題的難度亦偏高，均在.90 以上。鑑別度部分，所有試題的鑑別度介於 0.11 至 0.56 之間，導致第 1 題與第 13 題鑑別度偏低之可能原因為：該兩題通過率過高，分別為 0.996 與 0.97，過高的通過率代表將近所有受試者皆答對該題、作答變異程度不足。第 2、3、4、6 等題由於受試者全部答對，因此無法計算點二系列相關。. 27.

(35) 表4-1. 「國民小學列聯表覺知測驗」正式施測之試題分析概念. 題型. 題號. 難度. 鑑別度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19. 0.996. 0.11 a a a 0.15 a 0.45 0.46 0.56 0.39 0.31 0.38 0.12 0.31 0.51 0.37 0.51. 20 21 22. 0.93. 一比率推理. 二. 三機率四. 六列聯表解題七. 1.00 1.00 1.00 0.99 1.00 0.84 0.32 0.34 0.91 0.95 0.90 0.97 0.95 0.27 0.89 0.87 0.71 0.62. 0.34 0.27 0.34. 註a：所有受試者均是正確的作答反應以致無法計算點二系列相關. 第二節不同年級學童解題之整體表現以下就國小二至六年級學童在「國小列聯表覺知測驗」各分測驗上的解題表現來進行說明：壹、比率推理除了二年級學童在「比率推理」的「分數」概念有 3 人答錯之外，其他年級學童的答題正確率皆達 100%。其中在二年級學童有 1 人答錯「單項單位」的試題，2 人答錯「集聚單位」的試題。而在此一分測驗中的「簡單比例式」（題型. 28.

(36) 二）的試題中，從表 4-2 可以看出各年級基本上都是隨著年級的增加而有較高的答對比例。但三年級學童在第 8 題答對率比二年級學童稍低（25.53%＜26.76%）；而相同概念的第 9 題，三年級學童答對率則是比四年級學童高（31.91%＞27.50%）（見表 4-2）。整體看來，第 8 和第 9 題的答對率幾乎都在五成以下。. 表 4-2 各年級學童在「比率推理」分測驗試題答對率（單位：%）題型(號) 年級. 二三四五六. 1 98.59. 題型一（1-3、4-6） 2-4 5 6 100.00 97.18 100.00. 100.00. 平均 99.30. 100.00. 7 61.97 85.11 92.50 94.12 92.16. 題型二（7-9） 8 9 26.76 11.27 25.53 31.91 30.00 27.50 33.82 45.59 45.10 56.86. 平均 33.33 47.52 50.00 57.84 64.71. 根據學童的解題結果，排除高答對率的題型一，進一步透過晤談去了解學童可能的解題策略，各年級學童在題型二（試題 7-9）的解題策略如下所示：. 二年級學童：試題 7：（相同的水量）因為 B 加的水比較少，所以比較甜。試題 8：（不同水量與方糖量）不知道。試題 9：（不同水量與方糖量）因為 2 份水加 4 顆方糖會跟 3 分水加 5 顆方糖一樣甜，A 裡面卻加了 6 顆方糖，所以 A 比較甜。. 三年級學童：試題 7：（相同的水量）我會選擇 B 杯比較甜。因為就像自然課自然老師教的一樣，2 份水加 3 平匙的果凍粉，和 3 份水加 3 平匙的果凍粉比較，2 份水加 3 平匙的果凍粉會比較甜。師：這一題會不會跟數學有所聯想呢？ 29.

(37) 生：不會。試題 8：（不同水量與方糖量）我會選兩杯一樣甜。因為 3 份水可以拿掉 1 份水，同時也可以拿掉 1 顆方糖，就會和 2 份水加 4 顆方糖一樣甜了。試題 9：（不同水量與方糖量）我會選兩杯一樣甜。因為每份水放 2 顆方糖的話，把這邊的 1 份水拿掉也是加 4 顆方糖。師：你怎麼知道 1 份水要 2 顆方糖？生：因為把這兩個用除法平分。. 四年級學童：試題 7：（相同的水量）B 比較甜。我就把 3（顆方糖）除以 3（份水）就變成 1；3 除以 2 就是 1.5，所以就是 B 比較甜。試題 8：（不同水量與方糖量）A 就是 4 除以 2 就是 2，B 是 5 除以 2 不到 2，所以 A 比較甜。試題 9：（不同水量與方糖量）6 除以 3 是 2，4 除以 2 也是 2，所以一樣甜。. 五年級學童：試題 7：（相同的水量）我會選 B。因為不同水量加入同樣甜度的東西，水量會稀釋它，所以水量比較少的話本身的甜度就會比較高。試題 8：（不同水量與方糖量）（沒有直接講答案）這要看看，2 份水量加 4 顆方糖等於 1 份水量加 2 顆方糖，3 份水量加 5 顆方糖應該會比較不甜，因為 2 份水量加 4 顆方糖，最後那 1 份水量只有加 1 顆方糖，所以我會覺得 A 比較甜。試題 9：（不同水量與方糖量）這樣我會覺得一樣甜。因為不同水量 30.

(38) 加不同數量的方糖，就要看水有幾份，3 份水加 6 顆方糖就等於 1 份水加 2 顆方糖，2 份水加 4 顆方糖也等於是 1 份水加 2 顆方糖，所以兩杯一樣甜。. 六年級學童：試題 7：（相同的水量）B 會比較甜。因為同樣都是加 3 顆方糖，A 加的水比較多，B 加的水比較少，所以 B 會比較甜。試題 8：（不同水量與方糖量）這題應該是 A 比較甜。因為平均來看，在 B 裡面每 1 份水有 2 顆方糖，但到了第 3 份只有 1 顆方糖， A 中剛好每 1 份水裡面都有 2 顆方糖，所以應該會比較甜。試題 9：（不同水量與方糖量）這一題兩杯一樣甜。因為平均每 1 份水裡面都會有 2 顆方糖。. 貳、機率概念從表 4-3 中可以看出三年級以上的學童在題型三平均約有九成以上的答對率，而二年級的平均答對率約達八成七五。在題型四中，受試者在第 15 題表現的最不盡理想，五年級（含）以下學童的答對率皆不到一半，其中二年級學童的答對率只有 7.04%。. 表 4-3 各年級學童在「機率」分測驗試題答對率（單位：%）題型(號) 年級. 10 二三四五六. 84.51 89.36 92.50 92.65 96.08. 題型三（10-13） 11 12 13 91.55 91.49 100.00 97.06 94.12. 77.46 93.62 87.50 94.12 98.04. 97.18 100.00 97.50 98.53 94.12. 平均. 14. 87.68 93.62 94.38 95.59 95.59. 90.14 93.62 95.00 100.00 98.04. 題型四（14-16）平均 15 16 7.04 14.89 15.00 36.76 62.75. 77.46 93.62 90.00 92.65 96.08. 進一步透過晤談去了解各年級學童可能的解題策略，相關內容如下所示：. 31. 58.22 67.38 66.67 76.47 85.62.

(39) 二年級學童：試題 10：（6 片花片中有 1 片黃色花片）有可能，因為有 1 片黃色花片，所以有可能被抽到。試題 11：（有 6 片黃色花片）一定能，因為全部都是黃色的花片。試題 12：（6 片花片中有 3 片黃色花片）有可能，因為裡面有 3 片黃色花片。師：那與試題 10 比較，哪一個箱子比較有可能抽到黃色花片？生：（指著試題 12 的箱子）。試題 13：（6 片全是綠色花片）不可能，因為箱子裡沒有黃色的花片。試題 14：（兩箱子裡都有 6 片花片）從 B 箱中抽，因為裡面黃色比較多。試題 15：（一箱有 3 片花片，另一箱有 6 片花片，但兩箱中的黃色花片比例相同）從 B 箱中抽，因為裡面黃色花片有 2 個，A 箱中只有 1 個。試題 16：（兩箱子裡都有 6 片花片）從 A 箱中抽，因為裡面黃色比較多。師：所以你判斷的方法是什麼？生：看箱子裡哪一個黃色花片比較多，就選那一個。. 三年級學童：試題 10：（6 片花片中有 1 片黃色花片）有可能。因為這邊並不是全部都是綠色的。試題 11：（有 6 片黃色花片）這裡一定可能。因為這裡沒有綠色的花片，只有黃色的花片。試題 12：（6 片花片中有 3 片黃色花片）這個也是有可能。. 32.

(40) 師：那與試題 10 比較，哪一個箱子比較有可能抽到黃色花片？生：（指著試題 12 的箱子）這個，因為這裡的黃色花片比較多。試題 13：（6 片全是綠色花片）這個不可能。因為裡面沒有黃色的花片。試題 14：（兩箱子裡都有 6 片花片）從 B 箱子裡抽。因為 B 箱子裡的黃色花片比較多。試題 15：（一箱有 3 片花片，另一箱有 6 片花片，但兩箱中的黃色花片比例相同）兩個箱子都可以。因為如果把這個遮住（指遮住跟另一個箱子一樣花色的花片及數量）。師：為什麼一定要遮住跟另一個箱子一樣花色與數量的花片呢？可以任意遮嗎？生：不能。因為要留下跟另外一個箱子裡一樣數量及花色的花片，這樣才可以比較。試題 16：（兩箱子裡都有 6 片花片）從 A 箱子裡抽。因為 A 箱子裡的黃色花片比 B 箱子裡的黃色花片多。. 四年級學童：試題 10：（6 片花片中有 1 片黃色花片）有可能。因為裡面就有一個是黃色的。試題 11：（有 6 片黃色花片）一定可以。因為全部都是黃色的。試題 12：（6 片花片中有 3 片黃色花片）有一半的可能，因為都各一半。試題 13：（6 片全是綠色花片）這個是不可能，因為沒有黃色的花片。試題 14：（兩箱子裡都有 6 片花片）從 B 裡抽。因為 B 裡面黃色花. 33.

(41) 片數量比較多。試題 15：（一箱有 3 片花片，另一箱有 6 片花片，但兩箱中的黃色花片比例相同）兩邊都可以。因為只要把一半都銷掉一個的話，綠色只剩下兩個，黃色也只剩下 1 個，所以兩邊都可以。試題 16：（兩箱子裡都有 6 片花片）我會從 A 抽。因為 A 裡面的黃色花片數量比較多。. 五年級學童：試題 10：（6 片花片中有 1 片黃色花片）有可能，只是機率比較小，因為裡面也有黃色花片。試題 11：（有 6 片黃色花片）裡面全部都是黃色花片，所以一定能，因為沒有抽到綠色花片的機率。試題 12：（6 片花片中有 3 片黃色花片）也有可能抽到黃色花片。試題 13：（6 片全是綠色花片）全部都是綠色花片，所以不可能抽到黃色花片。試題 14：（兩箱子裡都有 6 片花片）我會抽 B 箱的。因為 B 箱的黃色花片比較多，機率比較大。試題 15：（一箱有 3 片花片，另一箱有 6 片花片，但兩箱中的黃色花片比例相同）兩個箱子都可以。因為從 A 箱抽出黃色花片的機率是 1/3，B 箱裡抽出黃色花片的機率是 2/6，所以抽到的機率是一樣的。試題 16：（兩箱子裡都有 6 片花片）我會從 A 箱抽，因為 A 箱的黃色花片比較多。. 六年級學童：試題 10：（6 片花片中有 1 片黃色花片）有可能抽到黃色花片。因為它在比較靠近洞口的地方。 34.

(42) 師：若是這些花片都是平放的呢？沒有誰比較靠近洞口的問題。生：那還是有可能，因為可能就那麼幸運剛好抽到那一片黃色花片。試題 11：（有 6 片黃色花片）一定可以。因為每一片都是黃色。試題 12：（6 片花片中有 3 片黃色花片）也是有可能。試題 13：（6 片全是綠色花片）這是不可能。因為沒有任何黃色的。試題 14：（兩箱子裡都有 6 片花片）B 箱裡面。因為 B 箱裡的黃色花片比較多。試題 15：（一箱有 3 片花片，另一箱有 6 片花片，但兩箱中的黃色花片比例相同）兩個都會。因為他們平均都是 3 個花片裡面就有 1 個黃色花片。試題 16：（兩箱子裡都有 6 片花片）A。因為黃色的比較多。. 叁、列聯表透過表 4-4 可以發現：在題型六中，各年級學童的答對率約都有七成五以上，答題表現最好的是五年級的學童（分別是 94.12%、98.53%），而三年級學童在題型六上的答對率也都比四年級來的佳（平均答對率分別是 92.55%＞86.50%）。相較於題型六的答對機率，各個年級在題型七的表現都呈現明顯的下降，但幾乎都有五成以上的答對率。其中在第 21 題中，答對率最高的是三年級的學童（78.72%），答對率甚至高於六年級學童；但到了第 22 題卻呈現相反的結果，反而成為是各年級中答對率最低的年級（48.94%）。. 35.

(43) 表 4-4 各年級學童在「列聯表」分測驗試題答對率（單位：%）題型(號) 年級. 二三四五六. 題型六（19、20）平均 19 20. 題型七（21、22）平均 21 22. 74.65. 88.73. 81.69. 59.15. 59.16. 59.15. 89.36. 95.75. 92.55. 78.72. 48.94. 63.83. 87.50. 85.00. 86.50. 75.00. 65.00. 70.00. 94.12. 98.53. 96.32. 72.06. 66.18. 69.12. 94.12. 96.08. 95.10. 78.43. 68.63. 73.53. 進一步透過晤談去了解各年級學童可能的解題策略，相關內容如下所示：二年級學童：試題 19：我不會想要使用。因為有試用卻沒有蛀牙的人數比較少，但有蛀牙的人卻比較多。試題 20：我會使用看看。因為有試用沒有蛀牙的人比較多，沒有蛀牙的人比較少。試題 21：我會選擇使用綠色。因為它沒有蛀牙的人比較多。試題 22：不知道。. 三年級學童：試題 19：我會選擇不用。因為有試用有蛀牙的人數比沒蛀牙的人數多。師：那你只會看有試用的人的結果嗎？生：不是。我四個格子裡的數量都會看。師：那你可以在說得更清楚一點嗎？生：因為沒有試用蛀牙的機率比較低，試用了之後蛀牙的機率比較高，所以我會選擇不使用。試題 20：我會選擇要用。因為有試用之後有 8 個人沒有蛀牙，只有 2 個人蛀牙；沒有試用沒有蛀牙的人有 3 個，有蛀牙的有 7 個。. 36.

(44) 有試用沒有蛀牙的機率比較高，沒有試用沒有蛀牙的機率比較低。試題 21：我會用綠色牙膏。因為用綠色牙膏不會蛀牙的機率比較高。師：為什麼你會用機率這兩個字呢？你怎麼知道？生：因為如果把 100%平分給 8 個人，（嗯…）不知道要怎麼說。（回到原來問題）因為用藍色牙膏沒有蛀牙的只有 3 個人，用綠色牙膏沒有蛀牙的人有 8 個，用綠色牙膏比較不會蛀牙。師：那你會不會看其他格子裡的數字？生：如果人數比較多的話。我會先看人數比較多的格子。試題 22：我會選（遲疑一段時間）綠色牙膏。因為 5 個人（用綠色牙膏沒有蛀牙）比 4 個人（用藍色牙膏沒有蛀牙）多。. 四年級學童：試題 19：我會不使用。因為裡面有 8 個人（有試用有蛀牙）都蛀牙了。師：你是如何判斷的？生：我會直接看有蛀牙的地方，若是人數比較多的，我就不會選它。試題 20：我會選擇使用看看。因為總共只有 2 個人（有試用有蛀牙）蛀牙而已。試題 21：我會選擇綠色牙膏。因為綠色牙膏沒有蛀牙的人比較多。師：但是使用綠色牙膏有蛀牙的人也比較多呀？生：我會把使用綠色牙膏沒有蛀牙和有蛀牙的人減半，這樣使用藍色與綠色牙膏有蛀牙的人都是 2 人，再去比較沒有蛀牙的人數。. 37.

(45) 試題 22：我會用綠色牙膏。因為綠色牙膏沒有蛀牙的人還是比較多。師：為什麼不會想用剛剛的方法呢？生：因為這次不能被整除。. 五年級學童：試題 19：我會選擇不使用。因為沒有使用蛀牙的人比較少。師：你是如何去判斷的？生：我會從沒有蛀牙的人去判斷，因為沒有蛀牙是好的；我也會看有蛀牙的人裡面，沒有蛀牙的人比較少。試題 20：我會選擇使用看看。因為如果使用的話比較可能沒有蛀牙的話，那我就會用看看，因為有試用蛀牙的人比較少。試題 21：我會使用綠色的。因為綠色牙膏有蛀牙是藍色牙膏有蛀牙的 2 倍，使用綠色牙膏沒有蛀牙比蘭色牙膏沒有蛀牙的人多太多。師：究竟什麼叫做多？生：超過 2 倍以上。試題 22：我會選擇藍色牙膏。因為綠色牙膏在有或沒有蛀牙的人數都比藍色牙膏多 1 個人，所以使用綠色牙膏的人比藍色牙膏多 2 個人，如果這 2 個人都沒有蛀牙的話，我就會選擇使用綠色牙膏，但卻是 1 個有蛀牙，另 1 個沒有蛀牙。師：你可以再說清楚一點嗎？生：使用藍色牙膏沒有蛀牙的人是有蛀牙的人的 2 倍，但是使用綠色牙膏沒有蛀牙的人是有蛀牙的人不到 2 倍，所以我會選擇使用藍色牙膏。六年級學童：試題 19：我會選擇不要用。因為有試用沒有蛀牙只有 2 個人，蛀牙卻. 38.

(46) 有 8 個人；沒有試用沒有蛀牙的有 7 個，有蛀牙的有 3 個。代表用了之後一定會蛀牙。試題 20：我會使用看看。因為有試用沒有蛀牙的人比較多。師：你主要是會看哪個情況來決定？生：就是看有試用和沒有試用的人平均有蛀牙的人哪一個比較多，那我就不去選它。試題 21：我會選擇綠色牙膏。因為平均起來每 8 個人就有 4 人蛀牙（綠色牙膏），剛好在一半；每 3 人就有 2 人蛀牙（藍色牙膏），這個超過一半，所以我會選擇使用綠色牙膏。試題 22：我會選擇使用藍色牙膏。就跟剛剛一樣，每 8 人就有 3 人蛀牙（綠色牙膏）；每 6 人就有 2 人蛀牙（藍色牙膏）。就把它換成分數（比值），比較 2/6 與 2/8，我要算算看（解題方式如下所示）。結果是 8：9，我會選藍色牙膏，因為蛀牙的人比較少。. 叁、國小二至六年級學童在「國小列聯表覺知測驗」上得分分佈情形由表 4-5 可發現，學童的分數範圍在 7 分至 20 分之間，平均為 16.46 分（標準差 1.93 分）。沒有任何學童之測驗總分為 8 或 10 分；各有 1 位學童得 7、9 與 11 分，多數學生（將近 95%）的分數集中在 14 至 20 分之間，可知學童在此份測驗的得分偏高，亦即此份測驗的難度偏易。而所有的學童得分情形的長條圖，如圖 4-1 所示。表 4-5. 所有學童測驗總分分佈情形統計表. 得分. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 人數. 1. 0. 1. 0. 1. 4. 8. 20. 39. 68. 58. 37. 24. 16. 百分比. 0%. 1% 3% 7% 14% 25% 21% 13% 9% 6%. 39.

(47) 70 60 人數. 50 40 30 20 10 0 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13 14 15 測驗總分. 16. 17. 18. 19. 20. 圖 4-1 學童在「國小列聯表覺知測驗」上得分分佈情形. 第三節. 學童在各分測驗解題表現之相關性. 壹、學童在「比率推理」與「列聯表」的解題表現之相關情形研究者欲探究學童在「比率推理」與「列聯表」的解題表現之間是否具有相關，因此針對國小二至六年級等 5 個年級的學童，分別計算「比率推理」與「列聯表」解題表現間的積差相關係數如表 4-6 所示。. 表 4-6 國小二至六年級學童「比率推理」與「列聯表」的解題表現之相關二年級. 三年級. 四年級. 五年級. 六年級. 人數 Pearson 相關. 71 -.087. 47 .082. 40 .092. 68 .096. 51 .304*. 顯著性 (雙尾). .472. .585. .572. .437. .030. 註：* 表示p<0.05。. 對二至六年級的國小學童而言，「比率推理」與「列聯表」的解題表現之間的相關係數分別為-.087、.082、.092、.096 以及.304，其中僅 0.304 達到顯著（p<0.05），亦即只有對六年級學童，「比率推理」與「列聯表」的解題表現之間才存在顯著. 40.