階層線性模式

第三節 第三節

第三節 階層線性模式 階層線性模式 階層線性模式 階層線性模式之理論基礎 之理論基礎 之理論基礎 之理論基礎

教育研究資料常具有階層性，如本研究之例，依變項為屬於學生階層 (student-leave)的學生數學素養，而自變項卻包含了學校階層(school-leave)的 學校資源、平均班級人數、學校類型等變項。這種巢狀結構(nested structure) 的資料，是下層單位隸屬於上層單位(Raudenbush & Bryk, 2002)。傳統的迴 歸分析常使用最基層的單位，而忽略了隸屬於同一階層之同性質的關係，導 致標準誤的誤估，而變得過小，造成迴歸係數易達顯著；或者採較高階為單 位，將較低階的變項合併，成為較高階的變項之一，但卻忽略了較低階單位 的異質性(林原宏，1997)。對於此兩難情境，近年來所發展的階層線性模式 適合用來分析具此特性的資料，便能化解前述傳統迴歸分析所會遭遇到的困 境，進而能避免產生標準誤的誤估、忽略迴歸的異質性、以及加總誤差等問

題(Raudenbush & Bryk, 2002)。

圖 2-2 二階層結構關係之舉例

具有階層結構之資料，理論上可具有無限多階層，實用上仍以二階層至 三階層的資料為主。本研究利用二階層線性模式進行 PISA2006 資料庫分 析，以了解學生背景變項與學校背景變項對學生數學成就之影響，以數學方 程式描述完整階層線性模式，其公式如下：

階層一

Y

_ij =

β

_0j +

β

_1j

X

_ij +

r

_ij,

^r

ij ^~

^N (

^0,

^σ

²

)

(2-1) 階層二

β

_0j=

γ

₀₀+

γ

₀₁

W

_j+

µ

_0j,

µ

0_j ~

N (

0,

σ

²

)

(2-2)

β

_1j =

γ

₁₀ +

γ

₁₁

W

_j +

µ

_1j,

µ

1_j ~

N (

0,

σ

²

)

(2-3)

其中，

Y

ij為階層一的依變項，

X

ij為階層一的預測變項，

β

0j和

β

1j分別 為階層一的截距項和斜率項，

r

ij為階層一的隨機誤差項，且

r

ij服從常態分 配，

W

j為階層二的預測變項，

γ

00、

γ

01、

γ

10和

γ

₁₁為階層二的係數，

µ

0j和

µ

1j

為階層二的隨機誤差項。將公式 2-1 至公式 2-3 合併後，可得出混和模式如 下：

Y

_ij =

γ

₀₀+

γ

₁₀

X

_ij +

γ

₀₁

W

_j+

γ

₁₁

X

_ij

W

_j+

µ

_0j+

µ

_1j

X

_ij +

r

_ij ( 2 - 4 ) 學校

學生

學校資源

家庭資源 數學成就

在公式 2-4 中，

Y

_ij為階層一的依變項，

X

_ij為階層一的預測變項，

W

_j為 階層二的預測變項，在等號右邊之前四項稱為固定效果，後三項稱為隨機效 果。此二階層完整模式之基本假設為(邱浩政，2006；Raudenbush & Bryk, 2002)： 階層二方程式的結果變項模式(intercepts- and slopes-as-outcomes)，若將此公 式某些參數限制為 0，此時就會形成許多不同的次模式。根據研究目的，在 本研究中除完整模式外，還利用 HLM 進行五個次模式的相關分析，各模式 分述如下：

一、隨機效果單因子變異數分析模式(one-way ANOVA with random effects) 此模式又稱零模式(null model)，階層一、階層二方程式皆沒有預測變 項，本研究中主要在於分析各校學生數學素養是否有差異存在。

階層一方程式：

Y

_ij =

β

_0j +

r

_ij,

^r

ij ^~

^N (

^0,

^σ

²

)

階層二方程式：

β

_0j =

γ

₀₀+

µ

_0j,

µ

0_j ~

N (

0,

σ

²

)

二、隨機效果單因子共變數分析模式(one-way ANCOVA with random effects) 將家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及參加數學課後補習時 間等學生數學背景變項分別加入模式中進行分析，在此模式下，本研究主要 想了解這些學生數學背景變項是否足以解釋各校學生之間數學素養的差異

情形。

階層一方程式：

Y

_ij =

β

_0j +

β

_1j

X

_ij+

r

_ij,

^r

ij ^~

^N (

^0,

^σ

²

)

階層二方程式：

β

_0j =

γ

₀₀+

µ

_0j,

µ

0_j ~

N (

0,

σ

²

)

β

_1j =

γ

₁₀

三、隨機係數迴歸模式(random-coefficients regression model)

在此模式下，本研究欲探討家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間 以及參加數學課後補習時間等學生數學背景變項是否能夠解釋各校學生之 間數學素養的差異情形，以及各校的學生數學背景變項對該校學生數學素養 的影響在各校之間是否有差異存在。

階層一方程式：

Y

_ij =

β

_0j +

β

_1j

X

_ij+

r

_ij,

^r

ij ^~

^N (

^0,

^σ

²

)

階層二方程式：

β

_0j =

γ

₀₀+

µ

_0j,

µ

0_j ~

N (

0,

σ

²

)

β

_1j =

γ

₁₀ +

µ

_1j,

µ

1_j ~

N (

0,

σ

²

)

四、以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式 (means-as-outcomes regression)

本模式所要探討的是利用階層一方程式的各組平均數作為階層二方程 式之結果變項的迴歸模式，分析 PISA2006 資料庫中，學校資源、班級人數 與學校類型等學校背景變項，是否能夠解釋各校學生數學素養之差異情形。

其階層線性模式如下。

階層一方程式：

Y

_ij =

β

_0j +

r

_ij,

^r

ij ^~

^N (

^0,

^σ

²

)

階層二方程式：

β

_0j =

γ

₀₀+

γ

₀₁

W

_j +

µ

_0j,

µ

0_j ~

N (

0,

σ

²

)

五、斜率非隨機變化模式(a model with non-randomly varying slopes)

此模式在本研究中主要在探討「各校學生數學背景變項影響該校學生數 學素養」之差異情形，是否能夠以學校資源、平均班級人數、學校類型等學 校變項加以解釋。其模式特點為階層一和階層二皆有預測變項，且令階層二 的斜率係數方程式沒有誤差項，以減少變異來源，使分析結果在解釋上較為 單純，故形成以下的階層線性模式。

階層一方程式：

Y

_ij =

β

_0j +

β

_1j

X

_ij +

r

_ij,

^r

ij ^~

^N (

^0,

^σ

²

)

階層二方程式：

β

_0j =

γ

₀₀+

γ

₀₁

W

_j +

µ

_0j,

µ

0_j ~

N (

0,

σ

²

)

β

_1j =

γ

₁₀+

γ

₁₁

W

_j

六、完整模式(full model)

此模式主要在探討「各校學生數學背景變項影響該校學生數學素養」之 差異情形，是否能夠以學校資源、平均班級人數、學校類型等學校變項加以 解釋，以及是否有其他學校變項會造成影響，故形成以下的階層線性模式。

階層一方程式：

Y

_ij =

β

_0j +

β

_1j

X

_ij +

r

_ij,

^r

ij ^~

^N (

^0,

^σ

²

)

階層二方程式：

β

_0j =

γ

₀₀+

γ

₀₁

W

_j +

µ

_0j,

µ

0_j ~

N (

0,

σ

²

)

β

_1j =

γ

₁₀+

γ

₁₁

W

_j+

µ

_1j,

µ

1_j ~

N (

0,

σ

²

)

應用 HLM 之研究非常廣泛，Beese & Liang(2010)分析 PISA2006 美國、

加拿大及芬蘭的資料，結果顯示學校經費的運用、教師素質、學校類型、家 庭 社 經 地 位 會 影 響 學 生 的 科 學 素 養 。 Chudgar & Luschei(2009) 則 針 對 TIMSS2003 作跨國比較，發現家庭變項影響學生學習表現更甚於學校變項，

但對較貧窮的國家而言，學校畢竟是一個重要的變異來源，且學校有機會縮 小高、低家庭社經地位學生之間的學習差異。葉韋伶(2010)分析 PIRLS2006 臺灣學生之閱讀表現，發現臺灣城市地區學校之學生其各項閱讀能力表現均

優於鄉村地區學校學生，且家庭社經地位因素，如：雙親最高學歷、雙親職 業類別、雙親就業情況、家庭經濟狀況，均對學生閱讀能力有正向影響。林 俊瑩(2007)針對國內資料作分析，提出家庭社經地位高的學生在教育取得的 過程中佔有優勢，高社經地位學校的學生其學業成就佔有優勢，但兩相比 較，學生層次因素對學生學業成就變異的影響約占八成，學校層次的影響則 占兩成，再進一步分析，發現屬於「學校資源」變項的影響約只占 4%。陳 玉樹、周志偉(2009)利用 HLM 分析目標導向對創造力訓練效果之影響，發 現語文與圖形創造力在個人層次截距項隨機效果檢定呈現顯著的狀況，表示 不同個體間確實存在不同的截距，顯示除該研究之相關訓練外，尚有其他因 素影響訓練保留效果未被考量到。

除教育方面，在管理方面，賴富山(2003)應用 HLM 分析遊客對南投縣 某些景點之旅遊滿意度，對各遊憩時間階層而言，遊憩主體以及人員服務為 有效預測遊客遊憩滿意度的預測因子；對各省道動線階層而言，遊憩主體、

以及人員服務為有效預測遊客遊憩滿意度的預測因子；對各遊憩動線階層而 言，遊憩主體、公共設施、以及人員服務為有效預測遊客遊憩滿意度的預測 因子；對各遊憩資源階層而言，遊憩主體、公共設施、食宿設施、人員服務、

以及經營管理為有效預測遊客遊憩滿意度的預測因子。

此外，在經濟方面，童作君(2008)應用 HLM 探討區域特徵及建物特徵 對住宅價格之影響，結果顯示住宅建物特徵與價格的關係，會隨著縣(市)地 區不同而有所差異，且區域特徵不僅對住宅價格有直接效果，亦會在住宅建 物特徵與住宅價格間產生調節效果。由此可見，HLM 可應用之範圍相當廣 泛。

上述研究多只針對一個階層或各階層預測變項對依變項之影響，並未對 各階層變項交互影響作深入分析，如林俊瑩僅分析家庭與個人差異，校際差 異。本論文除分析各預測變項對依變項與影響外，並針對兩個階層的預測變 項交互影響作更深入的分析，期能找出影響「學生階層變項對數學素養之影

響」的學校階層原因。

第四節 第四節 第四節

第四節 影響數學素養之學生 影響數學素養之學生 影響數學素養之學生變項與學校變 影響數學素養之學生 變項與學校變 變項與學校變 變項與學校變 項

項 項 項

本節就本研究所欲探討影響學生數學素養之各學生變項與學校變項加 以說明。

一、學生背景變項 (一) 家庭資源

黃朗文(2000)指出個人獲取教育機會與教育成就的重要前置因素之一，

即為家庭資源。周新富(2008)則將家庭資源分為家庭經濟資本、家庭文化資 本、家庭社會資本三部分，發現臺灣地區國中生的學業成就受到家庭經濟資 本相關變項的影響較大。家庭資源可粗略的畫分成無形的與有形的兩種，父 母的社經地位較偏向無形的家庭資源，其會造成父母對子女學習的影響(陳 麗如，2003)；有形的家庭資源包含家庭的實質設備與教育的物質設備部分，

如洗碗機、彩色電視、書桌、電腦、字典…等，本研究中所指的家庭資源是 屬於有形的部分。蔡毓智(2007)利用臺灣教育長期追蹤資料庫分析發現家庭 經濟資源，不管是顯性或隱性資源，與學生學業表現有明顯關連性存在，家 庭經濟情況較佳者，家庭投入較多的資源提供子女學習各種課外活動者對學 業表現有較為正向的影響。因此，本研究利用此變項，探究其對學生數學素 養之影響。

(二) 家中藏書量

張殷榮(2001)針對 TIMSS-R 資料庫分析發現臺灣學生家中藏書量越豐 富，則學生科學學習成就較高，林秀玉(2006)等人之研究亦有相同結論。此 外，Greve (1974)針對圖書館圖書取用的方便性，對於學生學業成就之影響，

進行研究，發現圖書取得越方便，課外讀物閱讀的越多，則學生學業成績越

好。顯示學生有便利且豐富的閱讀環境，對其學習成就有幫助，故本研究挑 選家中藏書量變項探究其對數學素養之影響。

(三) 每週學習數學時間

對多數學生而言，數學是較複雜難學的科目，因此除學校數學正規課程 外，課後須花時間加以精熟才能有學習成效，因此，劉正(2006)根據臺灣教 育資料庫研究發現，參加補習對學生學習成效確有助益。相關文獻亦提出課 後補習、家教或是安親班對數學成就有顯著影響(張芳全，2006；Hsieh, 2001)。學生作數學功課一直被認為是學好數學的關鍵因素，對國小四年級 的學生沒有顯著差異，但對八年級的學生確有顯著正向影響(林碧珍、蔡文

對多數學生而言，數學是較複雜難學的科目，因此除學校數學正規課程 外，課後須花時間加以精熟才能有學習成效，因此，劉正(2006)根據臺灣教 育資料庫研究發現，參加補習對學生學習成效確有助益。相關文獻亦提出課 後補習、家教或是安親班對數學成就有顯著影響(張芳全，2006；Hsieh, 2001)。學生作數學功課一直被認為是學好數學的關鍵因素，對國小四年級 的學生沒有顯著差異，但對八年級的學生確有顯著正向影響(林碧珍、蔡文

在文檔中 PISA2006數學評量之學生與學校關係的階層線性模式探討─以臺灣為例 (頁 22-0)