PISA2006數學評量之學生與學校關係的階層線性模式探討─以臺灣為例

(1)

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：林原宏教授

PISA2006 數學評量之學生與學校關係的

階層線性模式探討-以臺灣為例

研究生：賴佳瑩撰

中華民國一 ○ ○ 年五月

(2)

摘要

近年來世界各國對於大型教育評量結果逐漸重視，因其為衡量各國教育成果的重要方式之一。臺灣於 2006 年首次參與由經濟合作發展組織(OECD) 所舉辦之國際學生評量方案(PISA)。由於 PISA 資料庫包含學校和學生二階層結構，適合以階層線性模式(hierarchical linear model, HLM)探討學生變項和學校變項的結構關係。本研究以家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及參加數學課後補習時間為學生數學背景變項，學校資源、班級人數與學校類型為學校背景變項，依序進行由簡至繁的次模式及完整模式分析。研究結果發現，各校學生的數學素養有顯著差異，所有學生背景變項均對數學素養有正向顯著影響；各校教學電腦總數、平均班級人數及學校類型對學生數學素養有正向顯著影響，而電腦總數與可上網電腦總數則無影響。另一方面，除參加課後補習時間外，其餘四個學生背景變項影響數學素養之程度均會隨學校背景變項之不同而有所差異。關鍵字關鍵字關鍵字關鍵字：階層線性模式、PISA2006、數學素養

(3)

Abstract

In recent years, more and more counties of the world paid attention to the outcomes of the large-scale database. The outcomes could be used to estimate the education achievement of a country. PISA was held by OECD and Taiwan was first time to attend PISA in 2006. The PISA database had the characteristics of multilevel, one was the student level and the other was the school level. It is feasible to analyze PISA2006 database by hierarchical linear model.

The unit in level-1 is students. The variables belonging to the level-1 are the home resources, the amount of books at home, time of learning mathematics per week and out-of-school-time lessons in mathematics. As to the level-2, the unit is schools and the variables are school resources, average size of class and school type.

The results of the study showed that all level-1 variables were positively related to mathematical literacy and the total number of teaching computer, average size of class and school type have the same effect. On the other hand, in addition to out-of-school-time lessons in mathematics, the influence of student variables on mathematical literacy is determined by school variables.

(4)

第一節 PISA2006 臺灣學生數學素養與數學背景變項敘述分析…...25 第二節學生數學素養分析………27 第三節學生背景變項影響學生數學素養之分析………28 第四節學校背景變項影響學生數學素養之分析………37 第五節學校背景變項解釋「學生數學背景變項影響數學素養」之分析………41

(5)

第五章結論與建議……….………92

第一節結論………92 第二節建議………95

參考文獻……….97

中文部分………97 英文部分………..100

附錄………...103

附錄一 PISA2006 學生問卷 Q13……….103 附錄二 PISA2006 學生問卷 Q15……….104 附錄三 PISA2006 學生問卷 Q31……….105 附錄四 PISA2006 學校問卷 Q13……….106 附錄五 PISA2006 學校問卷 Q6………...107 附錄六 PISA2006 學校問卷 Q7………...108

(6)

表目錄

表 3-1 PISA2006 臺灣實測概況(資料來源：臺灣參加 PISA2006 成果報告)……22 表 4-1 PISA2006 臺灣學生在學生數學背景變項之統計表……….26 表 4-2 PISA2006 臺灣學校在學校背景變項之統計表……….26 表 4-3 隨機效果單因子變異數分析模式之結果摘要表……….………..27 表 4-4 家庭資源隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表………...29 表 4-5 家中藏書量隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表………...30 表 4-6 每週學校數學正規課程時間隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表..………...30 表 4-7 每週自己學習數學時間隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表...31 表 4-8 參加數學課後補習時間隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表...32 表4-9 家庭資源隨機係數迴歸模式之結果摘要表………33 表 4-10 家中藏書量隨機係數迴歸模式之結果摘要表……….34 表4-11 每週學校正數學規課程時間隨機係數迴歸模式之結果摘要表…………..35 表4-12 每週自己學習數學時間隨機係數迴歸模式之結果摘要表………..36 表 4-13 參加數學課後補習時間隨機係數迴歸模式之結果摘要表……….36 表 4-14 以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式之結果摘要表(學校電腦總數)………...38 表 4-15 以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式之結果摘要表(教學電腦總數)………...38 表4-16 以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式之結果摘要表(可上網電腦總數)………...39 表 4-17 以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式之結果摘要表(平均班級人數)………...40 表 4-18 以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式之結果摘要表(學校類型)………...40 表 4-19 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(電腦總數對家庭資源)………...42 表 4-20 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(教學電腦總數對家庭資源)………...43

(7)

表4-21 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(可上網電腦總數對家庭資源)……...44 表 4-22 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(平均班級人數對家庭資源)………..45 表 4-23 斜率非隨機變化模式之結果摘要表(學校類型對家庭資源)………..46 表 4-24 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(電腦總數對家中藏書量)………..47 表 4-25 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(教學電腦總數對家中藏書量)…..48 表 4-26 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(可上網電腦總數對家中藏書量)..48 表 4-27 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表 (平均班級人數對家中藏書量)…49 表 4-28 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(學校類型對家中藏書量)………..50 表 4-29 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(電腦總數對學校數學正規課程時間)………51 表4-30 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(教學電腦總數對每週學校正規數學課程時間)………52 表4-31 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(可上網電腦總數對每週學校正規數學課程時間)………53 表4-32 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(平均班級人數對每週學校正規數學課程時間)………54 表 4-33 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(學校類型對每週學校正規數學課程時間)………55 表 4-34 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(電腦總數對每週自己學習時間)..56 表4-35 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(教學電腦總數對每週自己學習時間)………57 表4-36 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(可上網電腦總數對每週自己學習時間)………58 表4-37 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(平均班級人數對每週自己學習時間)………59 表 4-38 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(學校類型對每週自己學習時間)..60 表4-39 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(電腦總數對數學課後補習時間)...61 表 4-40 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(教學電腦總數對課後補習數學時間)………62

(8)

表 4-41 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(可上網電腦總數對課後補習數學時間)………63 表4-42 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(平均班級人數對數學課後補習時間)………64 表4-43 斜率非隨機變化的模式之結果摘要表(學校類型對數學課後補習時間)...65 表4-44 完整模式之結果摘要表(電腦總數對家庭資源)………...66 表 4-45 完整模式之結果摘要表(教學電腦總數對家庭資源)………..67 表4-46 完整模式之結果摘要表(可上網電腦總數對家庭資源)………...68 表 4-47 完整模式之結果摘要表(平均班級人數對家庭資源)………..69 表4-48 完整模式之結果摘要表(學校類型對家庭資源)………...70 表4-49 完整模式之結果摘要表(電腦總數對家中藏書量)………...71 表4-50 完整模式之結果摘要表(教學電腦總數對家中藏書量)………...72 表 4-51 完整模式之結果摘要表(可上網電腦總數對家中藏書量)………..73 表4-52 完整模式之結果摘要表(平均班級人數對家中藏書量)………...74 表4-53 完整模式之結果摘要表(學校類型對家中藏書量)………...75 表 4-54 完整模式之結果摘要表(電腦總數對每週學校數學正規課程時間)………76 表4-55 完整模式之結果摘要表(教學電腦總數對每週學校數學正規課程時間)………....77 表 4-56 完整模式之結果摘要表(可上網電腦總數對每週學校數學正規課程時間)...78 表 4-57 完整模式之結果摘要表(平均班級人數對每週學校數學正規課程時間)………79 表 4-58 完整模式之結果摘要表 ( 學校類型對每週學校數學正規課程時間)……….……..80 表4-59 完整模式之結果摘要表(電腦總數對每週自己學習時間)………...81 表 4-60 完整模式之結果摘要表(教學電腦總數對每週自己學習時間)…………..82 表 4-61 完整模式之結果摘要表(可上網電腦總數對每週自己學習時間)………..83 表 4-62 完整模式之結果摘要表(平均班級人數對每週自己學習時間)…………..84

(9)

表 4-63 完整模式之結果摘要表(學校類型對每週自己學習時間)………..85 表 4-64 完整模式之結果摘要表(電腦總數對數學課後補習時間)………..86 表 4-65 完整模式之結果摘要表(教學電腦總數對數學課後補習時間)…………..87 表4-66 完整模式之結果摘要表(可上網電腦總數對數學課後補習時間)………...88 表4-67 完整模式之結果摘要表(平均班級人數對數學課後補習時間)…………...89 表4-68 完整模式之結果摘要表(學校類型對數學課後補習時間)………...90

(10)

圖目錄

圖 2-1 數學化的循環………..11 圖 2-2 二階層結構關係之舉例………..13 圖 3-1 研究架構………..21 圖 3-2 HLM 五個次模式及完整模式關係圖………23 圖 3-3 研究流程………..24

(11)

第一章

第一章緒論

緒論

本研究旨在分析 2006 年經濟合作發展組織(Organisation for Economic Co-operation and Development, OECD)主辦之國際學生評量計畫(Programme for International Student Assessment, PISA)所建立之 PISA2006 資料庫，其內容為檢測各國 15 歲青少年是否學習到掌握明日世界的能力(learning for tomorrow’s world)(OECD, 2004)。針對 PISA2006 資料庫之相關測驗與問卷資料，進行二階層之線性模式分析(hierarchical linear model, HLM)，以了解有關學生和學校的背景變項對學生數學素養之影響。以下茲就本研究之動機與目的，以及相關名詞作說明。

第一節

第一節研究動機

研究動機

21 世紀是知識經濟的時代，是人才的世紀。在全球化的今天，國際間的競爭更趨激烈，國家競爭力決定於教育，換言之，就是人才的競爭。聯合國教科文組織(United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization, UNESCO)提出教育的四大支柱：學會求知(learning to know)、學會做事 (learning to do)、學會共同生活(learning to live together)、學會發展(learning to be)(UNESCO, 1996)，揭示了教育應被視為成為世界公民的社會過程(Hallak, 1999;UNESCO Institute for Education, 2003)。而隨著科技的進步，資訊的普及，國際性評量的發展更加興盛且多元，如：TIMSS、PISA、PIRLS…等。於是各國希望透過國際性評量的結果，除可檢視國內教育方針是否跟得上時代的變化，人才培育是否符合未來的需求；「他山之石，可以為錯」，更可向表現優異的國家學習，擬定教育改革的方針及目標，進而提升國內人才的競爭力。 PISA 為一種國際標準化評量工具，由 OECD 主導。主要目的為評量即將完成義務教育的十五歲學生，是否具備面對社會挑戰所需的知能水準，學

(12)

生是否能夠應用學校所學的能力以解決生活環境所面對的問題，以及評估學生選擇及作決定的能力(OECD, 2003, 2006)。從 2000 年起，PISA 每三年舉辦一次。評量主要包含三個領域：閱讀、數學及科學，由此三項組成評核圈 (assessment cycle)，而在評核圈裡，有 2/3 的測驗時間會對主要領域進行深入評估，其它兩項則提供素養的摘要概況(OECD, 2000)。意即以一個領域為施測主軸，其它兩個領域為輔。PISA 於 2000 年首次舉辦，便以 PISA2000 命名之，以閱讀素養為評量主軸，PISA2003 是數學素養，PISA2006 是科學素養，依序輪流。參與施測的國家以 OECD 會員國為主，其它國家得以 OECD 的夥伴國參與，參與評量的國家有逐漸增多的趨勢，顯示各國對於國際性評量逐漸重視。 OECD(2004)預設學生數學學習成就高低應能夠與國內生產毛額(gross domestic product, GDP)多寡成正比，然而幾個主要經濟國家學生之表現並不符合預期。如：美國、德國，顯然，應有其它實質因素影響學生的數學學習成就，對此，該國國內無不出現檢討聲浪，並立刻著手制訂教育改革政策。如全美數學教師學會(National council of Teachers of Mathematics, NCTM)檢討美國學生達不到 PISA 數學素養中要求的高層次能力，主要原因應在於各州、各學區乃至於各學校未能確實落實課程理念與標準(周玉秀，2006)。德國政府於 2003 年通過「投資計畫：未來教育與看顧 2003-2007 」 (Investitionsprogramm “Zukunft Bildung und Betreuung”2003-2007)，期能提升學生素質與學習成就(朱啟華，2003)。日本政府也因 PISA2006 的成績大幅倒退，而開始著手教育改革，於 2008 年公布新的課程標準(歐用生，2010)。而表現驚豔的國家，如芬蘭，則成為各國爭相學習的對象。我國亦有多位學者出版專書討論芬蘭教育，如陳之華著作《沒有資優班，珍視每個孩子的芬蘭教育》、蕭富元著作《芬蘭教育，世界第一的秘密》、吳祥輝著作《芬蘭驚艷：全球成長競爭力第一名的故事》等。各國政府及教育學者專家無不重視 PISA 測驗成果，其影響力可見一斑。

(13)

臺灣於 2006 年首次參與 PISA，數學表現相當亮眼，數學素養平均得分最高，但進一步分析發現，相較於其它名列前茅的國家(芬蘭、香港、韓國)，臺灣學生的個別差異最大。在追求整體高數學素養表現的同時，應力求縮小個別差異的幅度，相信這將是臺灣教育迫切的重要議題(林煥祥、劉聖忠、林素微、李暉，2008)。劉正(2006)根據臺灣教育資料庫研究發現，參加補習對學生學習成效確有助益。相關文獻亦提出課後補習、家教或是安親班對數學成就有顯著影響(張芳全，2006；Hsieh, 2001)。學生作數學功課一直被認為是學好數學的關鍵因素，對國小四年級的學生沒有顯著差異，但對八年級的學生確有顯著正向影響(林碧珍、蔡文煥，2005；邱美虹，2005；張芳全， 2006)。家中有豐富的藏書量與提供有關學習的家庭資源亦對提升學生數學成就有顯著幫助(李雯雅，2009；林碧珍、蔡文煥，2005；盧雪梅，2009)。故挑選家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及參加數學課後補習作為學生數學背景變項。我國教育資源分配存在城鄉差距問題，導致城市學校學生在智育表現方面明顯優於鄉村學校學生，因此有 3.06%的臺北市人口有機會成為臺大學生，而臺東縣比例僅 0.19%(駱明慶，2002)。教育部有鑑於學校中有部分的學生學習困境無法有效協助，其問題可能是來自家庭或社區文化刺激不足，因此推動「教育優先區計畫」，指標的設計大部分是以偏遠地區學校或原住民地區學校為主，藉由專款補助，充實學校基本教學設備及辦理學習弱勢學生之學習輔導等，冀以解決城鄉失衡之國教特殊問題，提昇處境不利學生之教育成就等目標(教育部，2010a)。但弱勢學生學習問題、城鄉教育素質落差、原住民族學生學習成就低落等教育機會不均等的議題，在國民中小學校教育現場仍然不時發生，引來各界質疑政府執行教育機會均等政策的決心與能力，陳麗珠(2007)建議教育現場第一線的教師與學校行政人員，只要確實執行現行的各種特定補助計畫 (例如學生課後輔導)，對於學生教育品質的補強還是有一定的效果。此外，由於科技的發展，電腦輔助教學已是時代趨勢，

(14)

我國政府也越來越強調資訊科技融入教學環境的理念(教育部，2010b)，研究亦顯示透過電腦與網路科技對提升學生數學學習興趣與成效是有助益的(李進寶，1999；馬秀蘭，2001；Kathleen & Robert, 2003)。近年來，受到少子化的影響，平均班級人數已逐漸下降，事實上，對教學品質而言，小班小校已成為當今世界各國教育改革的重要趨勢(方永泉，2001)。美國全國教育協會(National Education Association, NEA)在田納西州(Tennessee)的大型研究 Project STAR 則顯示班級規模(Class Size)較小的班級學生，學習成就優於班級規模較大的學生(Boyd-Zaharias, 1999)，也有研究指出小班教學能夠提升學生學習成就(Krueger & Whitmore, 2001)。因此，本研究挑選學校資源、班級人數與學校類型作為學校背景變項。研究者所欲分析之 PISA2006 資料具階層特性，包含學生和學校兩個階層結構，學生數學背景變項巢套於學校背景變項。此類資料較適合以階層線性模式進行分析，便能將不同階層的特性，利用數值形式清楚地描述出來，呈現出更深一層的意義與訊息(高新建，1997；高新建、吳幼吾，1997)。更可以避免傳統的迴歸分析，或一般的統計分析方法，忽略了同一階層的同質性，而導致迴歸係數易達顯著，使得型Ⅰ誤差容易過度膨脹，及造成結果解釋的偏誤(林原宏，1997；邱皓政，2006；溫福星，2006；陳正昌、程炳林、陳新豐、劉子鍵，2003；劉子鍵、林原宏，1997)。雖然 Kotte, Lietz, and Lopez(2005)使用 PLSPATH 和 HLM 分析 PISA2000 資料庫比較德國和西班牙兩國學生的閱讀能力和自我概念、班級大小等變項間的關係，但非針對單一國家探討可能影響閱讀能力之原因。國內學者亦多著重於國與國之間的比較，如張貴琳、黃秀霜和鄒慧英(2009)指出臺灣閱讀素養表現落後學生在「找出一個或多個符合單一標準的獨立明確訊息」和「辨認熟悉的文本主題和作者寫作的目的」的閱讀素養表現尚不及鄰近的香港。目前國內仍較少針對影響本國學生 PISA 測驗科學、數學、閱讀素養各階層變項之研究，因此分析學校變項對學生數學素養之影響應有其必要性。

(15)

研究者利用二階層的階層線性模式針對 PISA2006 的資料庫，探討學生數學背景變項和學校背景變項之間的關係。以學生的數學素養做為階層一的依變項，家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及是否參加課後補習等學生數學背景變項作為階層一的預測變項；學校資源、班級人數與學校類型等學校背景變項作為階層二的預測變項，進行二階層由簡至繁的次模式分析以及完整模式分析，以數值明確地描述不同階層的特性，以及對學生數學素養之影響情況，並逐層顯示學校變項與學生變項的結構關係。

第二節

第二節研究目的

研究目的

本研究旨在探討臺灣參與 PISA2006 的學生數學素養之差異，以學生數學背景變項與學校背景變項加以解釋，利用階層線性模式進行由簡至繁的次模式以及完整模式分析，探究兩個階層之間的關係，分析各個變項對 PISA2006 學生數學素養的影響程度。本研究的主要目的如下所列：一、針對 PISA2006 資料庫臺灣學生數學素養與學生背景變項進行基本描述性統計分析。二、利用階層線性模式分析 PISA 2006 資料庫，以瞭解各校學生數學素養之差異情形。三、利用階層線性模式分析 PISA 2006 資料庫，以瞭解各校學生數學背景變項影響該校學生數學素養之差異情形。四、利用階層線性模式分析 PISA 2006 資料庫，以瞭解各校之學校背景變項影響該校學生數學素養之差異情形。五、利用階層線性模式分析 PISA 2006 資料庫，以瞭解學校背景變項解釋「學生數學背景變項影響其數學素養」之差異情形。

(16)

第三節

第三節名詞解釋

名詞解釋

本研究採用二階層 HLM 模式進行 PISA2006 資料庫分析，階層一變項包含依變項和預測變項，分別為學生數學素養與學生數學背景變項。其中，學生數學背景變項包含家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及參加數學課後補習時間，以下就階層一變項之定義進行個別解釋。 (一)數學素養 PISA 主要在測量學生閱讀、數學和科學三科的素養(literacy)，以學生的測驗情形代表其數學素養。PISA2006 資料庫提供各個學生在各科的似真值 (plausible value, PV)，本研究以 PV1 值作為學生的數學素養， PV1 值越高，代表數學素養越好。 (二) 家庭資源「家庭資源」變項是轉換自 PISA 2006 學生問卷第十三題，如附錄一所示，Q13：「在你家中有下列哪些東西？」，其中(m)選項「洗碗機」，(q)選項「按摩浴缸」與學習並無直接關係，不予採用，其餘共計十五個選項，本研究將回答「是」選項者，轉換成 1 分，反之，轉換成 0 分，將轉換後的十五個選項加總，加總後形成一個新變項，以家庭資源稱之，當總分越高，表示家中擁有越多的家庭資源。 (三) 家中藏書量「家中藏書量」變項是來自 PISA 2006 學生問卷第十五題，如附錄二所示，Q15：「你家有多少本書籍？」，作答選項以數字 1 至 6 表示，當數字越大，表示家中藏書量越多。 (四) 每週學習數學時間「每週學習數學時間」變項是來自 PISA 2006 學生問卷第三十一題的第四和六小題，如附錄三所示，Q31：「一星期之中，你通常花多少時間學習下列學科？」，第四和六小題分別為：Q31(d)：「我的學校的數學正規課程」， Q31(f)：「我自己自修數學或完成數學作業」，一個小題視為一個變項，作答

(17)

選項以數字 1 至 5 表示，1 代表沒有，數字越大，表示所花費在學習數學相關內容及活動的時間越多。 (五)參加數學課後補習時間「參加數學課後補習時間」變項是來自 PISA2006 學生問卷第三十一題的第五小題，如附錄三所示，Q31：「一星期之中，你通常花多少時間學習下列學科？」，Q31(e)：「數學的課後補習」，作答選項以數字 1 至 5 表示，1 代表沒有，數字越大，表示所花費在數學課後補習的時間越多。階層二的預測變項為學校背景變項，包含學校資源、班級人數與學校類型。分別敘述其定義如下。 (一)學校資源「學校資源」變項是來自於 PISA2006 學校問卷第十三題，共有三個小題，如附錄四所示，Q13(a)：「貴校共有多少部電腦？」，Q13(b)：「貴校作為教學使用的電腦共有多少部？」，Q13(c)：「貴校有多少部電腦連結到網際網路？」每一小題視為一個變項，數字越大代表數量越多，藉此衡量學校資源多寡。 (二)平均班級人數「平均班級人數」變項是來自於 PISA2006 學校問卷第六題，如附錄五所示，Q6：「貴校高中一年級國文課的每班平均人數為何？」作答選項以數字 1 至 9 表示，數字越大表示平均班級人數越多。 (三)學校類型「學校類型」變項是來自於 PISA2006 學校問卷第七題，如附錄六所示， Q7：「下列何者敘述，最符合貴校目前的所在位置？」作答選項以數字 1 至 5 表示，數字越大，代表學校所在城鎮人口數越多，即該校越傾向城市學校。

(18)

第二章

第二章文獻探討

文獻探討

本研究旨在探討 PISA2006 測驗中，臺灣學生的數學背景變項和學校背景變項對學生數學素養的影響，並分析其階層關係，以瞭解各變項對學生數學素養的影響程度。本章分為四節，第一節探討國際性評量之內涵，第二節對 PISA2006 內涵作說明，第三節為 HLM 理論基礎，第四節探討影響數學素養之學生變項與學校變項。

第一節

第一節國際性評量

國際性評量

教育是培育英才的搖籃，各國紛紛注意到人才的培育影響國家的競爭力，因此一些國際性評量因應而生，於是越來越多國家利用國際性評量結果與相關研究，檢視其教育的成果，並作為調整教育政策與培養未來人才的重要指標。茲介紹幾個近年常見的大型國際性評量。一、TIMSS

聯合國教科文組織(UNESCO)國際教育研究小組 (UNESCO Institute for Education, Hamburg 1952) 的成員於1967年成立「國際教育成就調查學會」 (International Association for the Evaluation of Educational Achievement,

IEA )，成為獨立的國際學術研究組織，陸續進行了多項國際學生學科能力(包括數學、自然科學、閱讀、寫作、電腦使用等)、課程和教學環境等比較研究的計畫，目的是瞭解各國教育政策及措施對教育系統的影響，其所建立的豐富資料庫可作為研究人員及教育相關決策者寶貴的參考資料來源。

IEA自1990年開始推動「國際數學與科學教育成就研究」(The Trends in International Mathematics and Science Study, TIMSS)，重點在比較各國學生的數學和科學成就及其影響因素(Robitaille et al., 1993)。TIMSS之研究遵循「三段式」研究架構，包含：一、發展對世界各國都有效的研究工具，以測量各國學生在主要學科領域之能力，二、測量各國教育體系之輸入(inputs)，包括

(19)

經費、教師、教材、教法等，三、測量各國教育體系之輸出(outputs)，主要為學生之學習成就及態度，並進行輸入變項與輸出變項之相關研究(Husèn, 1979)。因此，IEA各項研究所採取的是量化研究典範，以科學方法來保證研究結果的有效性(張謝玲，2003)。自1995年開始，TIMSS每四年施測一次。我國在1999年首次參與施測，以八年級學生為主要施測對象，2003年以四年級和八年級為施測對象，2007 年則以四年級為施測對象，三次施測我國學生不論在數學或科學方面表現均相當亮眼。TIMSS 2007國際數學與科學教育成就趨勢調查探討之主題如下 (臺灣師大科教中心，2008)：一、幫助了解我國學生數學及科學學習成就，做為規劃我國中小學的數學及科學課程提供參考，二、幫助了解我國學生家庭背景、學習環境、教師因素等影響因子與數學及科學學習成就的關係，並與其他各國做進一步比較分析，三、與TIMSS-R及TIMSS 2003之結果作比較，了解我國學生在數學及科學學習成就之趨勢，四、了解國際上評量學生學習成就的趨勢與新的評量方法，提供我國教師參考，五、提昇國內研究人員資料分析研究能力。我國參與計畫的目的在於調查我國四年級與八年級學生之數學與科學學科學習成就，評估學生是否能掌握日常生活所需的知識技能，與各參與地區或國家的教育成效做比較，調查的結果可作為我國數學與科學教育研究與實施之參考。二、PIRLS

由國際教育成就評鑑協會（International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA）主導的「促進國際閱讀素養研究（Progress in International Reading Literacy Study, PIRLS）」。PIRLS每五年一次針對國小四年級學生的閱讀進行國際性評量，希望藉此瞭解各國國小四年級學生的閱讀能力，以及不同國家間，其閱讀態度和習慣是否有所不同。

根據 PIRLS 2006 的定義(Mullis, Martin, Kennedy, & Pierre, 2007)，閱讀的目在產生文學經驗(literary experience)以及掌握和使用信息(acquire and use

(20)

information)。學生能夠閱讀各式各樣的文章，從中建構出意義，從中學習，參與學校及生活中閱讀社群的活動，並由閱讀中獲得樂趣。而閱讀素養的四個能力為：一、能明確作出信息檢索(focus on and retrieve explicitly stated information)，二、能作簡單推理(make straightforword inferences)，三、能作解釋、想法和信息整合(interpret and integrate ideas and information)，四、能對語言和文字作審查與評論(examine and evaluate content, language, and textual elements)。我國於2006首次參與PIRLS測驗，學生閱讀成績整體平均535 分，表現在國際平均值500以上，在參與的45個國家/地區中，排名22。整體而言，我國國小四年級學生閱讀素養在國際間表現算是中等，與TIMSS測驗比較起來，仍有相當大的進步空間。有鑑於此，近年來教育部積極推動閱讀活動，希望藉此提升學生閱讀興趣與閱讀素養，進而提升國民素質與國家競爭力。

第二節

第二節 PISA2006 內涵

內涵

PISA 是由 OECD 所主辦的一項國際性學生評量與比較。主要是針對即將完成義務教育的 15 歲在學學生，以情境化、生活化的試題，評量這些學生在「閱讀素養」(reading literacy)、「數學素養」(mathematical literacy)、「科學素養」(scientific literacy)的表現，以便了解他們是否對進入社會成為公民做好準備。PISA 並有相關問卷題目給予相關單位填寫，以利進行所需的研究分析。其評量結果與相關資訊被建置成 PISA 資料庫，於隔年公布，並陸續釋出初步的分析結果及相關的技術報告。 PISA 每三年評量一次，施測科目共三科：閱讀、數學及科學。每次評量會以其中一科為評量主軸，另兩科為輔，從 2000 年開始，測驗主題依序為閱讀、數學、科學，依序輪流。參與施測的國家以 OECD 會員國為主，其它國家得以 OECD 的夥伴國參與，參與評量的國家有逐漸增多的趨勢，

(21)

1,2,3 4 5 5 顯示各國對於國際性評量逐漸重視。 PISA 定義「數學素養」為有能力去辨識、理解、探索數學在這個世界上的意義，解決私人生活、學校生活、工作與休閒、社區與社會中各種不同情境的問題，能解釋自己作出來的數學判斷，能夠進行邏輯思考，進而探索數學(OECD, 2002)。PISA 將運用數學方法解決真實生活問題的程序稱為「數學化」(mathematisation)。如圖 2-1(林煥祥、劉聖忠、林素微、李暉，2008)，圖 2-1 數學化的循環 PISA 指出數學化的五個步驟：(1)開始於一個真實情境中的問題。(2)依據重要的數學概念找出相關的數學，並重新組織問題。(3)透過假設，一般以及型式化，逐漸調整現實，透過這樣的方式來浮現情境的數學特性，將現實世界的問題轉化成可以忠實呈現情境的數學問題。(4)解決數學問題。(5)根據真實情境來對數學解法產生意義化，包含找出解法的限制。針對數學化， PISA 提出學生在此歷程中需要用到數種不同能力(competencies)：思考及推

真實世界(real world) 數學世界(mathematical world)

真實解法 real solutions 數學解法 mathematical solutions 真實世界問題 real-world problem 數學問題 mathematical problem

(22)

理(thinking and reasoning)、論證(argumentation)、溝通(communication)、建模 (modelling)、擬題及解題(problem posing and solving)，表徵(representation)、以及應用符號、形式化及科技的語言及運算 (using symbolic,formal and technical language and operations)、使用輔助工具(use of aids and tools)。

PISA2006 是以科學素養為主軸，但測驗中仍涵蓋數學及閱讀領域的題目。PISA2006 以紙筆測驗方式進行，此次評量採用十三個題本進行施測，題目類型有：單選題(multiple choice)、複選題(complex multiple choice)、封閉式建構反應題 (closed constructed response) 、開放式建構反應題 (open constructed response) 、簡答題 (short response) 及開放式反應題 (open response)。在數學素養方面：測量的知識領域和概念範圍是(1)數量、(2)空間和形體、(3)改變及關聯、(4)不確定性。PISA2006 並且透過問卷調查，蒐集到「學生的背景及態度」、「學生的 ICT 素養及態度」、「父母的背景及態度」和「學校的情形、背景及態度」等資料，有助於解釋學生表現的差異(OECD, 2007)。

第三節

第三節階層線性模式

階層線性模式

階層線性模式之理論基礎

之理論基礎

教育研究資料常具有階層性，如本研究之例，依變項為屬於學生階層 (student-leave)的學生數學素養，而自變項卻包含了學校階層(school-leave)的學校資源、平均班級人數、學校類型等變項。這種巢狀結構(nested structure) 的資料，是下層單位隸屬於上層單位(Raudenbush & Bryk, 2002)。傳統的迴歸分析常使用最基層的單位，而忽略了隸屬於同一階層之同性質的關係，導致標準誤的誤估，而變得過小，造成迴歸係數易達顯著；或者採較高階為單位，將較低階的變項合併，成為較高階的變項之一，但卻忽略了較低階單位的異質性(林原宏，1997)。對於此兩難情境，近年來所發展的階層線性模式適合用來分析具此特性的資料，便能化解前述傳統迴歸分析所會遭遇到的困境，進而能避免產生標準誤的誤估、忽略迴歸的異質性、以及加總誤差等問

(23)

題(Raudenbush & Bryk, 2002)。圖 2-2 二階層結構關係之舉例具有階層結構之資料，理論上可具有無限多階層，實用上仍以二階層至三階層的資料為主。本研究利用二階層線性模式進行 PISA2006 資料庫分析，以了解學生背景變項與學校背景變項對學生數學成就之影響，以數學方程式描述完整階層線性模式，其公式如下：階層一 Yij =β0j +β1jXij +rij,

(

)

2 , 0 ~N σ r_ij (2-1) 階層二 β0j=γ00+γ01Wj+µ0j,

(

)

2 0 ~ 0,σ µ _j N (2-2) β1j =γ10 +γ11Wj +µ1j,

(

)

2 1 ~ 0,σ µ _j N (2-3) 其中，Yij為階層一的依變項，Xij為階層一的預測變項，β0j和β1j分別為階層一的截距項和斜率項，rij為階層一的隨機誤差項，且rij服從常態分配，Wj為階層二的預測變項，γ00、γ01、γ10和γ11為階層二的係數，µ0j和µ1j 為階層二的隨機誤差項。將公式 2-1 至公式 2-3 合併後，可得出混和模式如下： Yij =γ00+γ10Xij +γ01Wj+γ11XijWj+µ0j+µ1jXij +rij ( 2 - 4 ) 學校學生學校資源家庭資源數學成就

(24)

在公式 2-4 中，Yij為階層一的依變項，Xij為階層一的預測變項，Wj為

階層二的預測變項，在等號右邊之前四項稱為固定效果，後三項稱為隨機效果。此二階層完整模式之基本假設為(邱浩政，2006；Raudenbush & Bryk, 2002)： 0 ) (r_ij = E , 2 ) (r_ij =σ Var       =       0 0 1 0 j j E µ µ ,       =       11 10 01 00 1 0 τ τ τ τ µ µ j j Var 0 ) , ( ) , ( ₀_j r_ij =Cov ₁_j r_ij = Cov µ µ 其中，_σ2_{為階層一誤差項的變異數，} 00 τ 及τ₁₁為階層二誤差項的變異數， 01 τ 、τ₁₀為階層二誤差項的共變數，且兩階層誤差項之間的共變數為零。公式 2-4 稱為完整模式(full model)，又稱為以階層一的截距和斜率作為階層二方程式的結果變項模式(intercepts- and slopes-as-outcomes)，若將此公式某些參數限制為 0，此時就會形成許多不同的次模式。根據研究目的，在本研究中除完整模式外，還利用 HLM 進行五個次模式的相關分析，各模式分述如下：

一、隨機效果單因子變異數分析模式(one-way ANOVA with random effects) 此模式又稱零模式(null model)，階層一、階層二方程式皆沒有預測變項，本研究中主要在於分析各校學生數學素養是否有差異存在。階層一方程式：Y_ij =β₀_j +r_ij,

(

2

)

, 0 ~ N σ r_ij 階層二方程式：β₀_j =γ₀₀+µ₀_j,

(

2

)

0 ~ 0,σ µ _j N

二、隨機效果單因子共變數分析模式(one-way ANCOVA with random effects) 將家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及參加數學課後補習時間等學生數學背景變項分別加入模式中進行分析，在此模式下，本研究主要想了解這些學生數學背景變項是否足以解釋各校學生之間數學素養的差異

(25)

)

2 , 0 ~N σ r_ij 階層二方程式：β₀_j =γ₀₀+µ₀_j,

(

2

)

0 ~ 0,σ µ _j N β1j =γ10 +µ1j,

(

2 1 ~ 0,σ µ _j N

應用 HLM 之研究非常廣泛，Beese & Liang(2010)分析 PISA2006 美國、加拿大及芬蘭的資料，結果顯示學校經費的運用、教師素質、學校類型、家庭社經地位會影響學生的科學素養。 Chudgar & Luschei(2009) 則針對 TIMSS2003 作跨國比較，發現家庭變項影響學生學習表現更甚於學校變項，但對較貧窮的國家而言，學校畢竟是一個重要的變異來源，且學校有機會縮小高、低家庭社經地位學生之間的學習差異。葉韋伶(2010)分析 PIRLS2006 臺灣學生之閱讀表現，發現臺灣城市地區學校之學生其各項閱讀能力表現均

(27)

優於鄉村地區學校學生，且家庭社經地位因素，如：雙親最高學歷、雙親職業類別、雙親就業情況、家庭經濟狀況，均對學生閱讀能力有正向影響。林俊瑩(2007)針對國內資料作分析，提出家庭社經地位高的學生在教育取得的過程中佔有優勢，高社經地位學校的學生其學業成就佔有優勢，但兩相比較，學生層次因素對學生學業成就變異的影響約占八成，學校層次的影響則占兩成，再進一步分析，發現屬於「學校資源」變項的影響約只占 4%。陳玉樹、周志偉(2009)利用 HLM 分析目標導向對創造力訓練效果之影響，發現語文與圖形創造力在個人層次截距項隨機效果檢定呈現顯著的狀況，表示不同個體間確實存在不同的截距，顯示除該研究之相關訓練外，尚有其他因素影響訓練保留效果未被考量到。除教育方面，在管理方面，賴富山(2003)應用 HLM 分析遊客對南投縣某些景點之旅遊滿意度，對各遊憩時間階層而言，遊憩主體以及人員服務為有效預測遊客遊憩滿意度的預測因子；對各省道動線階層而言，遊憩主體、以及人員服務為有效預測遊客遊憩滿意度的預測因子；對各遊憩動線階層而言，遊憩主體、公共設施、以及人員服務為有效預測遊客遊憩滿意度的預測因子；對各遊憩資源階層而言，遊憩主體、公共設施、食宿設施、人員服務、以及經營管理為有效預測遊客遊憩滿意度的預測因子。此外，在經濟方面，童作君(2008)應用 HLM 探討區域特徵及建物特徵對住宅價格之影響，結果顯示住宅建物特徵與價格的關係，會隨著縣(市)地區不同而有所差異，且區域特徵不僅對住宅價格有直接效果，亦會在住宅建物特徵與住宅價格間產生調節效果。由此可見，HLM 可應用之範圍相當廣泛。上述研究多只針對一個階層或各階層預測變項對依變項之影響，並未對各階層變項交互影響作深入分析，如林俊瑩僅分析家庭與個人差異，校際差異。本論文除分析各預測變項對依變項與影響外，並針對兩個階層的預測變項交互影響作更深入的分析，期能找出影響「學生階層變項對數學素養之影

(28)

響」的學校階層原因。

第四節

第四節影響數學素養之學生

影響數學素養之學生

影響數學素養之學生變項與學校變

影響數學素養之學生

變項與學校變

項

本節就本研究所欲探討影響學生數學素養之各學生變項與學校變項加以說明。一、學生背景變項 (一) 家庭資源黃朗文(2000)指出個人獲取教育機會與教育成就的重要前置因素之一，即為家庭資源。周新富(2008)則將家庭資源分為家庭經濟資本、家庭文化資本、家庭社會資本三部分，發現臺灣地區國中生的學業成就受到家庭經濟資本相關變項的影響較大。家庭資源可粗略的畫分成無形的與有形的兩種，父母的社經地位較偏向無形的家庭資源，其會造成父母對子女學習的影響(陳麗如，2003)；有形的家庭資源包含家庭的實質設備與教育的物質設備部分，如洗碗機、彩色電視、書桌、電腦、字典…等，本研究中所指的家庭資源是屬於有形的部分。蔡毓智(2007)利用臺灣教育長期追蹤資料庫分析發現家庭經濟資源，不管是顯性或隱性資源，與學生學業表現有明顯關連性存在，家庭經濟情況較佳者，家庭投入較多的資源提供子女學習各種課外活動者對學業表現有較為正向的影響。因此，本研究利用此變項，探究其對學生數學素養之影響。 (二) 家中藏書量張殷榮(2001)針對 TIMSS-R 資料庫分析發現臺灣學生家中藏書量越豐富，則學生科學學習成就較高，林秀玉(2006)等人之研究亦有相同結論。此外，Greve (1974)針對圖書館圖書取用的方便性，對於學生學業成就之影響，進行研究，發現圖書取得越方便，課外讀物閱讀的越多，則學生學業成績越

(29)

好。顯示學生有便利且豐富的閱讀環境，對其學習成就有幫助，故本研究挑選家中藏書量變項探究其對數學素養之影響。 (三) 每週學習數學時間對多數學生而言，數學是較複雜難學的科目，因此除學校數學正規課程外，課後須花時間加以精熟才能有學習成效，因此，劉正(2006)根據臺灣教育資料庫研究發現，參加補習對學生學習成效確有助益。相關文獻亦提出課後補習、家教或是安親班對數學成就有顯著影響(張芳全，2006；Hsieh, 2001)。學生作數學功課一直被認為是學好數學的關鍵因素，對國小四年級的學生沒有顯著差異，但對八年級的學生確有顯著正向影響(林碧珍、蔡文煥，2005；邱美虹，2005；張芳全，2006)。二、學校背景變項 (一) 學校資源教育部藉由各項專款補助，提供學校適當的教學資源，期望提升教師教學專業知能以及學生學習成效，但學校資源是否會對學生學習有所影響卻未有定論，故本研究探討學校資源對學生數學素養是否有影響力。 (二) 班級人數對教學品質而言，小班小校已成為當今世界各國教育改革的重要趨勢 (方永泉，2001)。美國全國教育協會(National Education Association, NEA)在田納西州(Tennessee)的大型研究 Project STAR 則顯示班級規模(class size)較小的班級其學生學習成就優於班級規模較大的學生(Boyd-Zaharias, 1999)，也有研究指出小班教學能夠提升學生學習成就(Krueger & Whitmore, 2001)。但亦有研究指出教師與學生比例不當將會導致教學資源浪費甚至降低學生學習成效(Dahar & Faize, 2011)。因此，班級規模對於學生數學素養之影響值得進一步探究。

(三) 學校類型

(30)

但此趨勢是否衝擊到教育並未有學者深入研究。本研究以學校所在城鎮人口數為分類依據，學校所在城鎮人口數越多代表越傾向城市學校，欲了解學校類型對該校學生數學素養是否有影響力。

(31)

第三章

第三章研究方法

研究方法

本章主要在說明研究方法，共分為四節，第一節說明研究架構，第二節說明研究樣本來源，第三節說明研究工具，第四節說明研究流程。

第一節

第一節研究架構

研究架構

本研究以 PISA2006 建置之資料庫，從中取得臺灣學生測驗資料，包含學生問卷與學校問卷，進行階層線性模式分析。其分析過程中共有三大類變項，第一個是階層一的依變項，即「學生數學素養」；其次是階層一的預測變項，即「學生數學背景變項」，包含家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、參加數學課後補習時間；最後是階層二的預測變項，即「學校背景變項」，包含學校資源、平均班級人數、學校類型。由此三大變項組成本研究之架構，如圖 3-1 所示：圖 3-1 研究架構階層二學校背景變項階層一學生背景變項階層一學生數學素養

(32)

第二節

第二節研究樣本

研究樣本

臺灣參與 PISA2006 的實測對象為滿十五歲的在學學生，經由 PISA 的 ACER 與 Westat 二個組織確認，審查無誤後，臺灣評量中心即將相關資料匯入 keyquest 資料管理系統進行取樣。實測概況如表 3-1 所示：表 3-1 PISA2006 臺灣實測概況(資料來源：臺灣參加 PISA2006 成果報告) 高中高職五專國中進修學校臺北市 612 316 40 265 40 高雄市 290 176 195 37 北區 1024 698 36 724 151 中區 904 592 497 76 南區 673 424 73 533 36 東區 139 125 139

第三節

第三節研究工具

研究工具

本研究使用 HLM6.03 軟體，將 PISA 2006 資料庫進行二階層的階層線性模式分析，根據研究目的，依序進行由簡至繁的次模式分析，將分析的結果歸納與整理，最後提出此研究之結論與建議。本研究所使用 HLM 之五個次模式與完整模式之關係如圖 3-2 所示。

(33)

階層一加入 ij X 階層二加入 j W 階層二加入 j W 階層二加入 j 1 µ 階層二加入W _j 階層一加入 ij X 階層二加入 j 1 µ 圖 3-2 HLM 五個次模式及完整模式關係圖隨機效果單因子變異數分析模式階層一：Y_ij =β₀_j+r_ij 階層二：β₀_j =γ₀₀+µ₀_j 隨機效果單因子共變數分析模式階層一：Y_ij =β₀_j+β₁_jX_ij +r_ij 階層二：β₀_j =γ₀₀+µ₀_j β₁_j =γ₁₀ 以階層一方程式各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式階層一：Y_ij =β₀_j+r_ij 階層二：β₀_j =γ₀₀+γ₀₁W_j+µ₀_j 斜率非隨機變化模式階層一：Y_ij =β₀_j+β₁_jX_ij +r_ij 階層二：β₀_j=γ₀₀+γ₀₁W_j +µ₀_j β₁_j =γ₁₀+γ₁₁W_j 隨機係數迴歸模式階層一：Y_ij =β₀_j+β₁_jX_ij +r_ij 階層二：β₀_j =γ₀₀+µ₀_j β₁_j =γ₁₀+µ₁_j 完整模式階層一：Y_ij =β₀_j+β₁_jX_ij+r_ij 階層二：β₀_j =γ₀₀+γ₀₁W_j+µ₀_j β₁_j =γ₁₀+γ₁₁W_j+µ₁_j

(34)

第四節

第四節研究流程

研究流程

研究者首先擬定研究主題，之後收集相關文獻、參考資料，瞭解 PISA 資料特性後，確定研究目的與選擇資料分析方法，針對 PISA 內涵、HLM 理論及影響學生數學素養相關變項作深入探討，決定挑選 5 個學生變項與 5 個學校變項，以此進行影響學生數學素養的二階層線性模式分析。經由分析結果瞭解各個變項影響學生數學素養的差異情形以及學校階層變項解釋「學生階層變項影響數學素養」之差異情形，最後提出結論與建議。本研究之流程如圖 3-3。國際性評量內涵 PISA2006 內涵 HLM 理論基礎及相關應用研究文獻探討影響數學素養之學生變項與學校變項之探討圖 3-3 研究流程擬定研究主題確定研究目的決定分析方法蒐集研究資料進行 HLM 分析結果之解釋結論與建議

(35)

第四章

第四章結果與討論

結果與討論

本章旨在利用從 PISA2006 資料庫所獲得的資料，依據研究目的進行階層線性模式分析，並說明分析結果。本研究資料共分為兩階層，以臺灣參與 PISA2006 測驗的學生為階層一單位，而階層二單位則為參與學生之所屬學校。本章共分四節，第一節為臺灣參與 PISA2006 測驗學生的數學素養與數學背景變項之敘述分析，第二節為學生數學素養分析，第三節為學生背景變項影響學生數學素養之階層線性模式分析，第四節為學校背景變項影響學生數學素養之階層線性模式分析，第五節則為學校背景變項解釋「學生數學背景變項影響數學素養」之階層線性分析。

第一節

第一節臺

臺

臺灣

臺

灣

灣學生

學生

學生數學素養

數學素養

數學素養與數學背景變項敘

數學素養

與數學背景變項敘

述分析

本研究階層一的依變項為學生數學素養，預測變項為家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、參加數學課後補習時間等可能影響學生數學素養之因素。階層二的預測變項為學校資源、平均班級人數與學校類型。首先針對臺灣參與 PISA2006 測驗之學生與學校各預測變項進行敘述統計分析。根據臺灣參加 PISA2006 成果報告(林煥祥、劉聖忠、林素微、李暉， 2008)，2006 main study 臺灣地區的抽樣結果，以學制區分共抽出 8815 位學生，其中包括：高中 3642 名、高職 2069 名、國中 2353 名、五專 149 名、建教合作班 71 名、實用技能班 191 名、進修學校 340 名。依性別為女生 4193 名，男生 4622 名。階層一之預測變項為家庭資源、家中藏書量、每週學習時間、參加數學課後補習時間，其敘述統計分析如表 4-1 所列：由表 4-1 可知臺灣學生家庭資源變項最低值為 0，最高值為 15，平均值為 11.27，顯示多數學生應來自小康家庭。家中藏書量變項最低值為 1(0-10

(36)

本)，最高值為 6(超過 500 本)，平均值為 3.20(約 100 本)，與家庭資源變項相比，顯示父母經濟能力許可下仍較不重視豐富家庭藏書量。每週在學校學習數學課時間變項最低值為 1(沒有)，最高值為 5(6 小時以上)，平均值為 3.76(約 5 小時)，目前國中數學正規課程節數為每週 4 節另外可能安排 1 節彈性課程及第八節課後輔導，顯示除特殊教育及技職教育外，多數學生符合現狀。每週自己學習數學或作數學功課時間變項最低值為 1(沒有)，最高值為 5(6 小時以上)，平均值為 2.42(約 2.5 小時)。每週參加數學課後補習時間變項最低值為 1(沒有)，最高值為 5(6 小時以上)，平均值為 2.08(約 2 小時)。綜合學習時間變項，顯示除學校數學正規課程外，臺灣學生平均每週多花 4-5 小時在學習數學。表 4-1 PISA2006 臺灣學生在學生數學背景變項之統計表階層二之預測變項為學校資源、平均班級人數與學校類型，其敘述統計分析如表 4-2 所列：表 4-2 PISA2006 臺灣學校在學校背景變項之統計表由表 4-2 可知，學校類型變項最低值為 1(少於 3,000 人的鄉村)，最高值為 5(超過 1,000,000 人的大型城市)，與學校資源變項作進一步分析發現，7 學生數學背景變項有效樣本數最低值最高值平均值標準差家庭資源 8815 0 15 11.27 2.63 家中藏書量 8793 1 6 3.20 1.40 每週學校正規數學課程時間 8605 1 5 3.76 1.05 每週自己學習數學或作數學功課時間 8717 1 5 2.42 .99 每週參加數學課後補習時間 8727 1 5 2.08 1.09 學校背景變項有效樣本數最低值最高值平均值標準差學校電腦總數 236 46 2353 372.92 295.07 教學用電腦總數 236 29 1362 270.63 221.21 可上網電腦總數 235 35 2353 355.57 282.18 平均班級人數 235 2 9 6.64 1.23 學校類型 236 1 5 3.81 .90

(37)

所教學電腦總數 40 部以下的學校，有 3 所學生人數超過 1000 人的大型學校，顯示仍有學校未落實資訊教育。平均班級人數變項最低值為 2(16-20 個學生)，最高值為 9(超過 50 個學生，有 10 所學校)，平均值為 6.64(約 40 個學生)，顯示臺灣少子化的衝擊在 2006 年尚未影響到國、高中。

第二節

第二節學生

學生

學生數學素養

數學素養

數學素養分析

數學素養

分析

利用隨機效果單因子變異數分析模式(one-way ANOVA with random effects)對學生數學素養進行分析，此模式又稱零模式(null model)，階層一、階層二方程式皆沒有預測變項，主要在於分析各校學生數學素養是否有差異存在。階層一方程式：Y_ij =β₀_j +r_ij,_r _~ _N

(

₀_,_σ2

)

ij 階層二方程式：β₀_j =γ₀₀+µ₀_j,

(

2

)

0 ~ 0,σ µ _j N ij Y 代表第j校第i位學生的數學素養，β₀_j代表第 j校的平均數學素養，r_ij 代表學生之間的隨機誤差項，即第 j校第i位學生的誤差分數，且r_ij服從常態分配，γ₀₀代表各校學生平均數學素養的平均數，即全體總平均數學素養， j 0 µ 代表學校之間的隨機誤差項，即第j校的誤差分數。其分析結果如表 4-3 所列：表 4-3 隨機效果單因子變異數分析模式之結果摘要表固定效果係數估計標準誤 p 值各校學生平均數學能力之平均數(γ₀₀) 555.05 5.82 <.001 隨機效果標準差變異數自由度 Chi-square p 值階層二之隨機效果(µ₀_j) 70.89 5025.89 234 9320.13 <.001 階層一之隨機效果(r_ij) 69.20 4788.06

(38)

由表 4-3 可知，γ00之檢定結果達顯著(p<.001)，表示全體總平均數學素養

不為零，其值為 555.05。µ₀_j之檢定結果亦達顯著(p<.001)，顯示各校學生平均數學素養有所差異。其數學素養的總變異量為 5025.89+4788.06=9813.95，內在組別相關係數 ρ(interclass correlation coefficient)為 5025.89/9813.95=0.51211，表示數學素養的總變異量中，學校所造成的變異占 51.21%。由於學校階層變項會對學生的數學素養造成影響，則可於階層二的方程式中加入預測變項，加以解釋各校之間的差異。

第三節

第三節學生背景變項影響學生

學生背景變項影響學生

學生背景變項影響學生數學素養

數學素養

數學素養之

數學素養

之

之分析

分析

根據零模式分析結果，發現臺灣參與 PISA2006 測驗之各校之間的平均數學素養是有差異存在的，其中，學校背景變項所占變異為 51.21%，接著在學生階層加入一個預測變項，形成隨機效果單因子共變數分析模式以及隨機係數迴歸分析模式加以探討。一、隨機效果單因子共變數分析模式首先就學生階層加入一個預測變項於模式中進行分析，本研究所挑選的學生數學背景變項有家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、參加數學課後補習時間，主要想了解這些學生數學背景變項是否足以解釋各校學生之間數學素養的差異情形，為了便於解釋與比較，階層二中β₁_j先不加入誤差項，故形成以下的階層線性模式。階層一方程式：Y_ij =β₀_j +β₁_jX_ij +r_ij,

(

2

)

, 0 ~ N σ r_ij 階層二方程式：β₀_j =γ₀₀+µ₀_j,

(

2

)

0 ~ 0,σ µ _j N β1j =γ10 其中，Y_ij代表第 j校第i個學生的數學素養，X_ij代表第j校第i個學生數

(39)

學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、參加數學課後補習時間)，β0j是第 j校的平均數學素養，β1j是第j校學生的數學背景變項對數學素養影響的平均數，r_ij為階層一的隨機誤差項(學生階層)，且r_ij服從常態分配，γ₀₀為各校學生平均學能力之平均數，γ₁₀為各校學生數學背景變項對數學素養影響之平均數，µ₀_j為階層二的隨機誤差，代表第 j校之數學素養平均與整體數學素養之間的差異。 (一)家庭資源對學生數學素養之影響表 4-4 家庭資源隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表固定效果係數估計標準誤 p 值各校學生平均數學素養之平均數(γ₀₀) 528.06 6.91 <.001 家庭資源之影響 (γ₁₀) 2.97 .40 <.001 隨機效果標準差變異數自由度 Chi-square p 值 j 0 µ 68.42 4681.06 235 8818.86 <.001 ij r 68.88 4744.90 由表 4-4 可知，γ10達顯著水準(p<.001)，表示家庭資源變項對學生數學素養具有影響力，即在各校學生的家庭資源變項對該校學生數學素養影響程度固定之下，各校學生家庭資源變項能有效解釋該校學生之間數學素養的差異情形。由於γ₁₀=2.97，其估計係數值大於零，表示家中擁有越多的家庭資源，其數學素養越好。在隨機效果方面，µ₀_j檢定結果達顯著水準(p<.001)，表示家庭資源對數學素養影響程度固定之下，各校學生在數學素養上仍是有所差異。 (二)家中藏書量對學生數學素養之影響由表 4-5 可知，γ10達顯著水準(p<.001)，表示家中藏書量變項對學生數學素養具有影響力，即在各校學生的家中藏書量變項對該校學生數學素養影

(40)

響程度固定之下，各校學生家中藏書量變項能有效解釋該校學生之間數學素養的差異情形。由於γ₁₀=8.87，其估計值為正，表示家中藏書量越豐富，其數學素養越好。在隨機效果方面，µ₀_j檢定結果達顯著水準(p<.001)，表示家中藏書量對數學素養影響程度固定之下，各校學生在數學素養上仍是有所差異的。表 4-5 家中藏書量隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表固定效果係數估計標準誤 p 值各校學生平均數學素養之平均數(γ₀₀) 533.01 5.54 <.001 家中藏書量之影響 (γ₁₀) 8.87 .78 <.001 隨機效果標準差變異數自由度 Chi-square p 值 j 0 µ 66.69 4447.09 235 8512.18 <.001 ij r 68.31 4666.31 (三)每週學習數學時間 1.學校數學正規課程時間對學生數學素養之影響表 4-6 每週學校數學正規課程時間隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表由表 4-6 可知，γ10達顯著水準(p<.001)，表示每週接受學校數學正規課程時間對學生數學素養具有影響力，即各校學生每週接受學校數學正規課程時間變項對該校學生數學素養影響程度固定之下，各校學生每週接受學校數學正規課程時間能有效解釋該校學生之間數學素養的差異情形。γ₁₀=7.07 ，固定效果係數估計標準誤 p 值各校學生平均數學素養之平均數(γ00) 534.17 5.52 <.001 學校數學正規課程時間之影響(γ₁₀) 7.07 1.13 <.001 隨機效果標準差變異數自由度 Chi-square p 值 j 0 µ 68.68 4717.38 235 8883.00 <.001 ij r 68.79 4732.14

(41)

其估計值為正，表示每週接受學校數學正規課程時間越多，其數學素養越好。在隨機效果方面，µ₀_j檢定結果達顯著水準(p<.001)，表示每週接受學校數學正規課程時間對數學素養影響程度固定之下，各校學生在數學素養上仍是有所差異的。 2.自己學習數學或作數學功課對學生數學素養之影表 4-7 每週自己學習數學時間隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表由表 4-7 可知，γ₁₀達顯著水準(p<.001)，表示每週自己學習數學或作數學功課的時間變項對學生數學素養具有影響力，即各校學生每週自己學習數學或作數學功課的時間變項對該校學生數學素養影響程度固定之下，各校學生每週自己學習數學或作數學功課的時間能有效解釋該校學生之間數學素養的差異情形。γ₁₀=10.11 ，其估計值為正，表示每週自己學習數學或作數學功課的時間越多，其數學素養越好。在隨機效果方面，µ₀_j檢定結果達顯著水準(p<.001)，表示每週自己學習數學或作數學功課的時間對數學素養影響程度固定之下，各校學生在數學素養上仍是有所差異的。 (四)參加數學課後補習時間由表 4-8 可知，γ₁₀達顯著水準(p=.001<.01)，表示學生參加數學課後補習時間變項對學生數學素養具有影響力，即各校學生每週參加數學課後補習的時間變項對該校學生數學素養影響程度固定之下，各校學生每週在參加數學課後補習的時間能有效解釋該校學生數學素養的差異情形。γ₁₀=2.92，其各校學生平均數學素養之平均數(γ₀₀) 536.34 5.21 <.001 自己學習數學時間之影響(γ₁₀) 10.11 .94 <.001 隨機效果標準差變異數自由度 Chi-square p 值 j 0 µ 67.29 4527.70 235 8636.32 <.001 ij r 68.40 4678.32

PISA2006數學評量之學生與學校關係的階層線性模式探討─以臺灣為例

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指 導 教 授：林原宏 教授