本章旨在利用從 PISA2006 資料庫所獲得的資料，依據研究目的進行階 層線性模式分析，並說明分析結果。本研究資料共分為兩階層，以臺灣參與 PISA2006 測驗的學生為階層一單位，而階層二單位則為參與學生之所屬學 校。本章共分四節，第一節為臺灣參與 PISA2006 測驗學生的數學素養與數 學背景變項之敘述分析，第二節為學生數學素養分析，第三節為學生背景變 項影響學生數學素養之階層線性模式分析，第四節為學校背景變項影響學生 數學素養之階層線性模式分析，第五節則為學校背景變項解釋「學生數學背 景變項影響數學素養」之階層線性分析。
第一節 第一節 第一節
第一節 臺 臺 臺灣 臺 灣 灣 灣學生 學生 學生 學生數學素養 數學素養 數學素養與數學背景變項敘 數學素養 與數學背景變項敘 與數學背景變項敘 與數學背景變項敘 述分析
述分析 述分析 述分析
本研究階層一的依變項為學生數學素養，預測變項為家庭資源、家中藏 書量、每週學習數學時間、參加數學課後補習時間等可能影響學生數學素養 之因素。階層二的預測變項為學校資源、平均班級人數與學校類型。首先針 對臺灣參與 PISA2006 測驗之學生與學校各預測變項進行敘述統計分析。
根據臺灣參加 PISA2006 成果報告(林煥祥、劉聖忠、林素微、李暉，
2008)，2006 main study 臺灣地區的抽樣結果，以學制區分共抽出 8815 位學 生，其中包括：高中 3642 名、高職 2069 名、國中 2353 名、五專 149 名、
建教合作班 71 名、實用技能班 191 名、進修學校 340 名。依性別為女生 4193 名，男生 4622 名。
階層一之預測變項為家庭資源、家中藏書量、每週學習時間、參加數學 課後補習時間，其敘述統計分析如表 4-1 所列：
由表 4-1 可知臺灣學生家庭資源變項最低值為 0，最高值為 15，平均值 為 11.27，顯示多數學生應來自小康家庭。家中藏書量變項最低值為 1(0-10
本)，最高值為 6(超過 500 本)，平均值為 3.20(約 100 本)，與家庭資源變項 相比，顯示父母經濟能力許可下仍較不重視豐富家庭藏書量。每週在學校學 習數學課時間變項最低值為 1(沒有)，最高值為 5(6 小時以上)，平均值為 3.76(約 5 小時)，目前國中數學正規課程節數為每週 4 節另外可能安排 1 節 彈性課程及第八節課後輔導，顯示除特殊教育及技職教育外，多數學生符合 現狀。每週自己學習數學或作數學功課時間變項最低值為 1(沒有)，最高值 為 5(6 小時以上)，平均值為 2.42(約 2.5 小時)。每週參加數學課後補習時間 變項最低值為 1(沒有)，最高值為 5(6 小時以上)，平均值為 2.08(約 2 小時)。
綜合學習時間變項，顯示除學校數學正規課程外，臺灣學生平均每週多花 4-5 小時在學習數學。
表 4-1 PISA2006 臺灣學生在學生數學背景變項之統計表
階層二之預測變項為學校資源、平均班級人數與學校類型，其敘述統計 分析如表 4-2 所列：
表 4-2 PISA2006 臺灣學校在學校背景變項之統計表
由表 4-2 可知，學校類型變項最低值為 1(少於 3,000 人的鄉村)，最高值 為 5(超過 1,000,000 人的大型城市)，與學校資源變項作進一步分析發現，7
學生數學背景變項 有效樣本數 最低值 最高值 平均值 標準差
家庭資源 8815 0 15 11.27 2.63
家中藏書量 8793 1 6 3.20 1.40
每週學校正規數學
課程時間 8605 1 5 3.76 1.05
每週自己學習數學
或作數學功課時間 8717 1 5 2.42 .99
每週參加數學課後
補習時間 8727 1 5 2.08 1.09
學校背景變項 有效樣本數 最低值 最高值 平均值 標準差
學校電腦總數 236 46 2353 372.92 295.07 教學用電腦總數 236 29 1362 270.63 221.21 可上網電腦總數 235 35 2353 355.57 282.18
平均班級人數 235 2 9 6.64 1.23
學校類型 236 1 5 3.81 .90
所教學電腦總數 40 部以下的學校，有 3 所學生人數超過 1000 人的大型學 校，顯示仍有學校未落實資訊教育。平均班級人數變項最低值為 2(16-20 個 學生)，最高值為 9(超過 50 個學生，有 10 所學校)，平均值為 6.64(約 40 個 學生)，顯示臺灣少子化的衝擊在 2006 年尚未影響到國、高中。
第二節 第二節 第二節
第二節 學生 學生 學生 學生數學素養 數學素養 數學素養分析 數學素養 分析 分析 分析
利用隨機效果單因子變異數分析模式(one-way ANOVA with random effects)對學生數學素養進行分析，此模式又稱零模式(null model)，階層一、
階層二方程式皆沒有預測變項，主要在於分析各校學生數學素養是否有差異 存在。
階層一方程式：
Y
ij =β
0j +r
ij,r
ij ~N (
0,σ
2)
階層二方程式：
β
0j =γ
00+µ
0j,µ
0j ~N (
0,σ
2)
Y
ij代表第j
校第i
位學生的數學素養，β
0j代表第j
校的平均數學素養，r
ij 代表學生之間的隨機誤差項，即第j
校第i
位學生的誤差分數，且r
ij服從常 態分配，γ
00代表各校學生平均數學素養的平均數，即全體總平均數學素養，j
µ
0 代表學校之間的隨機誤差項，即第j
校的誤差分數。其分析結果如表 4-3 所列：表 4-3 隨機效果單因子變異數分析模式之結果摘要表
固定效果 係數 估計標準誤 p 值
各校學生平均數學
能力之平均數(
γ
00) 555.05 5.82 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值 階層二之隨機效果(
µ
0j) 70.89 5025.89 234 9320.13 <.001 階層一之隨機效果(
r
ij) 69.20 4788.06由表 4-3 可知，
γ
00之檢定結果達顯著(p<.001)，表示全體總平均數學素養 不為零，其值為 555.05。µ
0j之檢定結果亦達顯著(p<.001)，顯示各校學生平均數 學素養有所差異。其數學素養的總變異量為 5025.89+4788.06=9813.95，內在組別 相關係數 ρ(interclass correlation coefficient)為 5025.89/9813.95=0.51211，表示 數學素養的總變異量中，學校所造成的變異占 51.21%。由於學校階層變項 會對學生的數學素養造成影響，則可於階層二的方程式中加入預測變項，加 以解釋各校之間的差異。第三節 第三節 第三節
第三節 學生背景變項影響學生 學生背景變項影響學生 學生背景變項影響學生 學生背景變項影響學生數學素養 數學素養 數學素養之 數學素養 之 之 之分析 分析 分析 分析
根據零模式分析結果，發現臺灣參與 PISA2006 測驗之各校之間的平均 數學素養是有差異存在的，其中，學校背景變項所占變異為 51.21%，接著 在學生階層加入一個預測變項，形成隨機效果單因子共變數分析模式以及隨 機係數迴歸分析模式加以探討。
一、隨機效果單因子共變數分析模式
首先就學生階層加入一個預測變項於模式中進行分析，本研究所挑選的 學生數學背景變項有家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、參加數學 課後補習時間，主要想了解這些學生數學背景變項是否足以解釋各校學生之 間數學素養的差異情形，為了便於解釋與比較，階層二中
β
1j先不加入誤差 項，故形成以下的階層線性模式。階層一方程式：
Y
ij =β
0j +β
1jX
ij +r
ij,r
ij ~N (
0,σ
2)
階層二方程式：
β
0j =γ
00+µ
0j,µ
0j ~N (
0,σ
2)
β
1j =γ
10其中，
Y
ij代表第j
校第i
個學生的數學素養，X
ij代表第j
校第i
個學生數學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、參加數學課 後補習時間)，
β
0j是第j
校的平均數學素養，β
1j是第j
校學生的數學背景變 項對數學素養影響的平均數，r
ij為階層一的隨機誤差項(學生階層)，且r
ij服 從常態分配，γ
00為各校學生平均學能力之平均數，γ
10為各校學生數學背景 變項對數學素養影響之平均數，µ
0j為階層二的隨機誤差，代表第j
校之數 學素養平均與整體數學素養之間的差異。(一)家庭資源對學生數學素養之影響
表 4-4 家庭資源隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤 p 值 各校學生平均數學
素養之平均數(
γ
00) 528.06 6.91 <.001 家庭資源之影響(
γ
10) 2.97 .40 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值j
µ
0 68.42 4681.06 235 8818.86 <.001r
ij 68.88 4744.90由表 4-4 可知，
γ
10達顯著水準(p<.001)，表示家庭資源變項對學生數學 素養具有影響力，即在各校學生的家庭資源變項對該校學生數學素養影響程 度固定之下，各校學生家庭資源變項能有效解釋該校學生之間數學素養的差 異情形。由於γ
10=2.97，其估計係數值大於零，表示家中擁有越多的家庭資 源，其數學素養越好。在隨機效果方面，µ
0j檢定結果達顯著水準(p<.001)，表示家庭資源對數學素養影響程度固定之下，各校學生在數學素養上仍是有 所差異。
(二)家中藏書量對學生數學素養之影響
由表 4-5 可知，
γ
10達顯著水準(p<.001)，表示家中藏書量變項對學生數 學素養具有影響力，即在各校學生的家中藏書量變項對該校學生數學素養影響程度固定之下，各校學生家中藏書量變項能有效解釋該校學生之間數學素 養的差異情形。由於
γ
10=8.87，其估計值為正，表示家中藏書量越豐富，其 數學素養越好。在隨機效果方面，µ
0j檢定結果達顯著水準(p<.001)，表示家 中藏書量對數學素養影響程度固定之下，各校學生在數學素養上仍是有所差 異的。表 4-5 家中藏書量隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤 p 值 各校學生平均數學
素養之平均數(
γ
00) 533.01 5.54 <.001 家中藏書量之影響(
γ
10) 8.87 .78 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值j
µ
0 66.69 4447.09 235 8512.18 <.001r
ij 68.31 4666.31(三)每週學習數學時間
1.學校數學正規課程時間對學生數學素養之影響
表 4-6 每週學校數學正規課程時間隨機效果單因子共變數分析模式之結果 摘要表
由表 4-6 可知，
γ
10達顯著水準(p<.001)，表示每週接受學校數學正規課 程時間對學生數學素養具有影響力，即各校學生每週接受學校數學正規課程 時間變項對該校學生數學素養影響程度固定之下，各校學生每週接受學校數 學正規課程時間能有效解釋該校學生之間數學素養的差異情形。γ
10=7.07 ，固定效果 係數 估計標準誤 p 值 各校學生平均數學
素養之平均數(
γ
00) 534.17 5.52 <.001 學校數學正規課程時間之影響(
γ
10) 7.07 1.13 <.001 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值j
µ
0 68.68 4717.38 235 8883.00 <.001r
ij 68.79 4732.14其估計值為正，表示每週接受學校數學正規課程時間越多，其數學素養越 好。在隨機效果方面，
µ
0j檢定結果達顯著水準(p<.001)，表示每週接受學校 數學正規課程時間對數學素養影響程度固定之下，各校學生在數學素養上仍 是有所差異的。2.自己學習數學或作數學功課對學生數學素養之影
表 4-7 每週自己學習數學時間隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表
由表 4-7 可知，
γ
10達顯著水準(p<.001)，表示每週自己學習數學或作數 學功課的時間變項對學生數學素養具有影響力，即各校學生每週自己學習數 學或作數學功課的時間變項對該校學生數學素養影響程度固定之下，各校學 生每週自己學習數學或作數學功課的時間能有效解釋該校學生之間數學素 養的差異情形。γ
10=10.11 ，其估計值為正，表示每週自己學習數學或作數 學功課的時間越多，其數學素養越好。在隨機效果方面，µ
0j檢定結果達顯 著水準(p<.001)，表示每週自己學習數學或作數學功課的時間對數學素養影由表 4-7 可知，