體積、容積與容量教材分析

壹、教材意義

「量與實測」一直是數學學習領域中重要的核心概念之一，其中「量」包含 了長度、高度、金額、時間的「數與量」與角度、面積、體積、容積的「幾何量」。

在教育部國民中小學九年一貫課程綱要中，更包含了四大主題中的其中兩大主 題，而在本研究中所使用五年級「體積、容積與容量」單元課程，需要「數與量」

及「幾何」兩大主題的連結。在數學教學上應注重數、量、形（幾何）的聯繫，

讓學生在實際的作圖與測量中，獲得數、量、形及其相互關係的概念，再經由反 覆不斷的思考、練習與解決相關的應用問題，讓學生逐步穩定掌握其概念，作為 進一步學習的基礎（教育部，2009）。所以學生若缺乏體積、容積與容量的概念，

在學習及解題的過程將遭遇到困難，本研究分別針對體積、容積與容量的基本概 念加以敘述：

一、體積概念

在譚寧君（1997）提到體積為一物體在空間中所佔的大小，學童從二維的面 積概念轉成三維的體積概念，概念較容易混淆，兩者差別在於體積可以透過排 列、堆疊形成更大的體積，其空間是密不可分的。另外，譚寧君（1997）更進一 步將體積分成外體積、內體積與排他性體積，其中外體積為視覺可觀察所占空間 大小，內體積為在一個內部空間中，透過堆疊、排列可以填滿的最大容量，而排 他性體積就是能透過排出液體的量來測量規則或不規則物體的體積。

二、容積、容量概念

一個內部為空的容器或空箱可裝載的最大容量，其空間稱為容積，而所裝載

的內容物，通常會以「液量」來表示，也就是液體裝滿的量，容積的單位，可用 立方公分、立方公尺等為單位表示；容量的單位則會用公升、毫公升等表示。

貳、教材指標整理

教育部在數學學習領域國民中小學九年一貫課程綱要中，將數學分成四個階 段，第一階段為一、二年級，第二階段為三、四年級，第三階段為五、六年級，

第四階段為七到九年級。前三階段為國小階段的學習範圍，教育部更將數學分成 五大主題，而體積、容積與容量概念主要由「數與量」與「幾何」兩大主題的相 互連結。在能力指標中分別由 N 與 S 代表。

本研究根據教育部於 2009 年公布的「97 年數學領域課程綱要」數學領域部 分，國小學童在五、六年級正式進入體積、容積與容量的計算，從二維平面圖形 轉換到三維的立體形體。本研究的對象為五年級的學童，在此單元中對於計算容 積、體積有了基本的認識，但是僅限於正方體與長方體亦或是複合圖形的計算，

底面為多邊形的柱體和圓柱體的體積則安排在六年級習得，不在本研究討論範圍 內。以下將國小五年級學習體積、容積與容量對應之課程綱要整理於表 2-7，與 體積、容積與容量相關的各年級分年細目、對應的能力指標整理如表 2-8。

表 2-7

五年級體積、容積與容量相關能力指標

代碼 指標內容

N-3-19 能認識量的常用單位及其換算，並用複名數處理相關的計算問題。

N-3-20 能理解正方體和長方體的體積公式。（S-3-05）

N-3-21 能理解容量、容積和體積間的關係。（N-2-18）

表 2-8

表 2-8

量的部分分開，學習完體積的概念後，於下一個單元再引入容積及容量的學習。

級下學期時再加入多角柱體體積的計算，容積與容量的部分僅在本單元有詳細的 教學，在之前的先備知識中僅於三年級時討論公升與毫公升的轉換，本研究中所 要學習的知識，參考教材做為編製電腦化診斷測驗及製作補救教學媒體的依據。

肆、概念及迷思概念

為了讓學生可以更有效的學習，教育部除了定期會根據教材內容做檢討修正 之外，亦有許多相關的研究，如設計相關輔助的教學及評量工具、教學內容的分 析及建議、學生的迷思概念研究等，本研究實驗為此根據研究目的，參考許多相 關的文獻，設計出適合學生的診斷工具及適性補救教材，以下分別找出體積、容 積與容量單元概念及迷思概念的相關研究並進行探討。

一、概念

使用概念教學是目前在教學上最為直接、普遍的方式，教師根據自身的經驗 採用有效的教學方式，讓學習者能透過學習過程，精熟其內容，黃志雄（2002）

中提到 Markle 和 Tiemann（1970）認為當學習者在完全精熟其概念或技能的同時，

應擁有類化新的例子及區別反例兩種能力。Westling 和 Fox（2000）的文獻中說 明了類化（generalization）是指學習者能將所學的知識與經驗相結合，並在不同 的情境、時間能夠適時的適應環境及解決問題。在教育部訂立的數學領域課程綱 要中的教育目標也希望學生能夠在習得數學的知識之後，能夠應用在生活中，解 決周遭的問題。本研究中是以能力指標為基礎，依據教材的編排並參考相關的文 獻，探究學生學習本實驗單元時，所需要的概念。

本實驗單元的部分相關研究整理於表 2-10。表中可知有的研究分析體積、容 積與容量相關的概念，了解概念形成的歷程，亦有搭配適性測驗的診斷工具及輔 助教學的方法，研究者除了參照現行教材設計規畫外，從相關研究中也整理出單 元的教學重點，不同於劉清源（2010）以貝氏網路為基礎設計的適性診斷測驗，

本研究以認知診斷模式為基礎並結合適性補救教學，訂立概念的 Q 矩陣，希望建 立不同的診斷方式並用於適性補救教學，能提供教師更多的選擇。

表 2-10

體積、容積與容量的相關研究

作者 時間 研究主題

譚寧君 1997 面積與體積的教材分析。

張淑怡 2004 國小五年級學童容量概念之研究。

葉麗鳳 2008 國小五年級學童體積概念之研究。

劉清源 2010

電腦適性測驗結合數學教學之研究-以國小五年級

「體積與容積」為例。

楊凱翔、葉淑

珍、譚寧君 2014

建立立體心像教學活動之國小體積課程設計本位 研究。

二、迷思概念

概念學習的過程，常會遇到許多困難。Piaget 的認知發展論提到，在兒童的 認知過程中，面對新的事物會根據自身的生活經驗、學習過程會產生同化及調 適，若概念的建立不同於專家知識及科學自然的現象，就稱為學生的「迷思概念」

（misconceptions）（陳淑筠，2002）或是「錯誤概念（error）」，在研究中統一 稱為迷思概念。產生的原因常常來自於學習過程中，不當的解讀教科書或上課的 內容，亦有來自於教學者在教學時未釐清概念與概念之間的連結及差異，或是無 意間的習慣造成的疏忽，使學生產生迷思（甯平獻，2010）。另外，面對較為抽 象的概念時，由於學生常只會公式的背誦，而缺乏理解導致於應用的推理能力不 足也容易產生迷思（葉懷祖，2013）。因此，在教材設計時，應了解學生的先備 知識並掌握學生的學習困難，適時的給予幫助，引導具有迷思概念的學生，利用 適當的方式去澄清、修正錯誤的想法，重新建立正確的概念。

在體積、容積與容量單元中，除了在單元中多是較為抽象的幾何圖形，且在

表 2-11

表 2-11 所整理的文獻中顯示，在國小體積、容積與容量學習課程中，在量與 實測與保留概念上會出現較多的迷思概念，研究者初步整理在國小五年級學童常 出現的迷思概念有「對於體積、容積與容量的定義尚不完全清楚」、「容易與重量 混淆」、「缺乏單位換算的能力」、「缺乏對於形體改變的保留概念」、「估測能力不 足」與「只會利用公式計算，不了解概念」等，其中有部分迷思在進行本單元的 課程之前就已經存在。保留概念的不足，容易在複合圖形體積計算時，較容易產 生錯誤；缺乏單位換算的能力，在各研究中也幾乎都會提到，尤其部分的學生只 會使用公式計算卻不了解其意義，再加上單位換算的步驟，自然對於題目及概念 的理解，就會感到十分的吃力，因此，研究者參考相關文獻的研究，訂出迷思概 念的 Q 矩陣，並依據迷思概念設計適性補救教學教材，希望能透破除學生學習的 迷思。

第三節 電腦輔助補救教學

面對近年臺灣數學在大型測驗中雙峰現象的表現，呼應國內的學習現況，在 教育部「帶好每位學生」的理念下，投入了相當多的資源，針對學習落後的學生，

提供了許多政策與方案，讓學生可以利用許多課餘的時間，得到額外補救的機 會。補救教學是一種診療教學模式，診斷出學生的學習困難，再依學生的困難提 供適性的課程來達到補救教學的效果（黃士騰，2006）。所以對於學生的補救教 學，不只是提供額外的教學時間，還必須有一套有策略的教學方法，近年來由於 電腦的普及，許多學校也開始利用電腦輔以補救教學，增強補救的效果。

由於本研究採用電腦輔助學習進行補救教學，以下便針對電腦輔助學習進行 更詳細的探討。近年來科技的進步，各種學習理論的興起，電腦輔助教學的設計 也各具特色。一般而言，電腦輔助教學(computer assisted instruction, 簡稱 CAI)，

大約有下列六種的表達型態（洪榮昭、劉明洲，1996；尤怡雯，2011），在編寫 CAI 軟體時，可依實際需要，採單一種或多種混合，讓此軟體更豐富。以下分別

簡述這六種表達型態。

一、教導式（tutorials）CAI

系統扮演教師的角色，將教材內容呈現於畫面中，學生可以進行個別化的學 習，通常教材會分成數個章節或小節，看完一個小節之後可以再選擇要看的範 圍，進度可以隨個人的需求自行調整，達到個別化學習的目標。

二、模擬式（simulation）CAI

模擬式的 CAI 提供了一個擬真的學習情境，日常不易接觸的、較不易呈現的

模擬式的 CAI 提供了一個擬真的學習情境，日常不易接觸的、較不易呈現的