五年級體積、容積與容量單元認知診斷測驗及電腦化適性補救教學媒體編製之研究

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(1)國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：施淑娟. 博士. 五年級體積、容積與容量單元認知診斷測驗及電腦化適性補救教學媒體編製之研究. 研究生：閻承楙. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 四. 撰. 年. 六. 月.

(2) 謝辭歷時三年半的研究所生活要結束了，至今仍不敢相信已經完成了這份碩士論文。從剛進研究所時的迷惘，認為自己的基礎沒有打好，什麼都不會。一直到開始接觸論文時，才知道什麼是術業有專攻。很多東西除了上課要認真的去學習外，自己也要讀許多的資料。從這份研究開始邊做邊學，把之前不熟的東西再次拿出來複習套用在所研究的領域及映證，加上在研究過程中許多人的陪伴與幫助，能讓我最後能夠完成學業，真的讓我很感動。在臺中教育大學的八年學習生涯，到現在要告一段落了。首先要感謝的是我的指導教授，施淑娟教授。從大學開始就上過老師的許多課，知道老師是一位很有耐心的老師，來到研究所時再次相遇也是備感親切。在這幾年中的細心指導，還有時時對論文進度的督促，以及對論文內容的把關，讓我在教學領域上也能寫出這麼完整的論文，內心十分的感謝。其次要感謝我的口委吳慧珉教授及李政軒教授，都非常的有耐心的看完論文給予了許多寶貴意見。還有這段時間所有的任課老師，讓我學習了不少的東西。接著我要感謝我的家人的支持，讀了這麼久的時間，沒有讓我有經濟上的後顧之憂，可以專心的投身於研究所的學業。還有人生中重要的寶貝咩依容，在這三年多的研究所生活中一直給我支持與照顧，在許多次遇到挫折及迷惘想要放棄的時候，都是有妳的鼓勵與等待，給予了我最大的信心，讓我能夠重回論文的研究，完成了學業，有了妳的細心陪伴，讓我與妳在一起的三年半的時間裡，感到十分幸福。在這三年多的研究所生活中，還有許許多多的朋友及同儕、學弟妹的幫助與情義相挺，首談就是我的好麻吉俊源哥給了許多的支持，在工作之餘互相打氣。接著是我的好同學姵錡姐在我初接研究計畫的時候一肩擔下了許多工作，還有在學業及論文上的幫助與指導。還有許多學弟妹的情義相挺，把我當同學及好友般.

(3) 的相處，同 lab 的宜寬、冠博、又銘、為泓等，加上測統中心的各位學長姐的熱情，讓我的生活毫不孤單。最後要感謝的是在我研究中後期，使我教學相長的六位在職老師們，感謝有這個機會讓我認識妳們，在指導的過程中，也讓我也學習到許多我不會的東西，對於統計的知識與學習更完整。妳們的熱情，讓我在指導的過程中更加的充實自己，希望能夠給予正確的學習資訊。感謝在這段時間幫忙與支持的所有人，要感謝的人的人太多太多了。很難在三言兩語中道盡歷來的過程，謹以此論文簡述，祝福各位事業順利，身體健康。. 閻承楙. 謹誌. 中華民國一○四年六月. II.

(4) 摘要本研究依據九年一貫數學學習領域課程綱要編製五年級體積、容積與容量單元的電腦化認知診斷測驗，並分別依照診斷出的概念及迷思概念編製補救教學媒體。教學實驗中將受試者分成概念適性補救組、迷思概念適性補救組及傳統補救組，其中概念適性補救組以 DINA 模式進行概念的診斷，迷思概念適性補救組以 Bug-DINO 模式進行迷思概念的診斷，此兩組為實驗組，採電腦化適性補救教學。本研究結果摘要如下：一、本研究直接採用 DINA 模式診斷學生的概念及採用 Bug-DINO 模式診斷學生的迷思概念，其平均辨識率分別為 0.83 及 0.75。二、探討不同的補救教學法學習成效，其校正平均數中，概念適性補救組及迷思概念適性補救組皆優於傳統補救組，迷思概念適性補救組雖然其校正平均略優於概念適性補救組，但兩者之間並未達顯著差異。三、在實驗組中，概念適性補救組在 11 個概念之平均進步率為 12％、而迷思概念適性補救組在 12 個迷思概念之平均減少率為 6％。四、使用電腦化適性補救教學的學生，其補救教學效果不會因性別及高低分組的不同而有顯著差異。五、進一步探究實驗組中高、中、低能力三組的學生在前後測的進步情形，中低分組的學生其後測成績有顯著的進步，而高分組的學生在後測的成績並無顯著進步。六、使用電腦化適性補救教學的學生，對此種補救教學形式持正向意見的百分比平均為 91％，表示學生大部分均能並樂於接受電腦化的補救學習方式。. 關鍵字：電腦化適性補救教學、認知診斷模式、辨識率、體積、容積與容量. I.

(5) A study on cognitive diagnostic test and computerized adaptive remedial instruction media for the '' Capacity and Bulk " unit in fifth grade. Abstract The purpose of the study was to construct the computerized diagnostic testing of volume and capacity in fifth grade according to Grade 1-9 mathematics curriculum guidelines, and to develop remedially instructional media depending on the diagnostic concept and misconceptions. Participants were distributed into three groups: the concept adaptive remedial group, misconceptions adaptive remedial group, and the control group. Applying the computerized adaptive remedial instruction, the concept adaptive remedial group carried out DINA model, and misconceptions adaptive remedial group carried out Bug-DINO model. In contrast, the control group carried out traditional remedial method. Results were showed as follows: 1.. The average recognition rates of the concept adaptive remedial group with diagnostic DINA model and the misconceptions adaptive remedial group with diagnostic Bug-DINO model were 0.83 and 0.75, respectively.. 2.. To investigate the learning performance of different remedial instruction, the adaptive mean of the concept adaptive remedial group and the misconceptions adaptive remedial group were better than traditional remedial group. However, there was no significance difference between the concept adaptive remedial group and the misconceptions adaptive remedial group.. II.

(6) 3.. In experimental group, the average progress rate was 12% of 11 concepts in the concept adaptive remedial group, and the average reduction rate was 6% of 12 misconceptions in the misconceptions adaptive remedial group.. 4.. Students using computerized adaptive remedial instruction whose effectiveness were no significance differences in gender and groups.. 5.. To further investigate the progress of different groups (i.e. high, middle and low) in pre-posttest, students who were in middle and low groups had significance progress, whereas there was no significance progress in the high group.. 6.. Students using the adapting computerized adaptive remedial instruction could accept this kind of instruction delightfully and the positive views were 91%.. Keywords: computerized adaptive remedial instruction, cognitive diagnostic model, recognition rate, volume, capacity. III.

(7) 目錄摘要 .................................................................................................................................. I Abstract .......................................................................................................................... II 目錄 ............................................................................................................................... III 表目錄 ............................................................................................................................ V 圖目錄 ......................................................................................................................... VII 第一章緒論 ................................................................................................................... 1 第一節研究動機與目的 ....................................................................................... 1 第二節待答問題.................................................................................................... 5 第三節名詞解釋.................................................................................................... 6 第四節研究範圍與限制 ....................................................................................... 7 第二章文獻探討 ........................................................................................................... 9 第一節認知診斷模式............................................................................................ 9 第二節體積、容積與容量教材分析 ................................................................. 15 第三節電腦輔助教學.......................................................................................... 24 第三章研究方法 ......................................................................................................... 35 第一節研究架構.................................................................................................. 35 第二節研究對象.................................................................................................. 37 第三節研究流程.................................................................................................. 38 第四節研究工具.................................................................................................. 41 第五節資料處理與分析 ..................................................................................... 80 第四章研究結果 ......................................................................................................... 83 第一節認知診斷模式的辨識率 ......................................................................... 83 第二節不同補救教學方式的學習成效 ............................................................. 86 第三節實驗組不同性別的學習成效 ................................................................. 92 第四節實驗組高低分組的學習成效 ................................................................. 94 第五節實驗組對於電腦化適性補救教學之意見 ............................................. 97 第五章結論與建議 ..................................................................................................... 99 第一節結論.......................................................................................................... 99 第二節建議........................................................................................................ 100. IV.

(8) 參考文獻 ..................................................................................................................... 102 中文部分 .............................................................................................................. 102 外文部分 .............................................................................................................. 107 附錄 ............................................................................................................................. 109 附錄一教學實驗同意書 .................................................................................. 109 附錄二教學活動照片 ...................................................................................... 110 附錄三預試紙筆測驗試卷 .............................................................................. 111 附錄四學習意見問卷 ...................................................................................... 115. V.

(9) 表目錄表 2-1 表 2-2 表 2-3 表 2-4 表 2-5 表 2-6 表 2-7 表 2-8 表 2-9 表 2-10 表 2-11 表 2-12 表 2-13 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 3-5 表 3-6 表 3-7 表 3-8 表 3-9 表 3-10 表 3-11 表 3-12 表 3-13 表 3-14 表 3-15 表 3-16 表 3-17 表 3-18 表 3-19 表 3-20 表 3-21 表 3-22. 分數減法範例（要化成最簡分數） .......................................................... 10 同分母分數相減概念及迷思概念範例 ...................................................... 10 例題的概念 Q 矩陣 ...................................................................................... 11 例題的迷思概念 Q 矩陣 .............................................................................. 11 DINA 模式相關研究整理............................................................................ 12 Bug-DINO 模式相關研究整理 ................................................................... 14 五年級體積、容積與容量相關能力指標 .................................................. 16 國小體積、容積與容量相關分年細目與對應能力指標整理 .................. 17 各版本教材五年級體積與容積的編排表 .................................................. 18 體積、容積與容量的相關研究 .................................................................. 21 體積、容積與容量迷思概念相關文獻整理 ............................................... 22 APOS 理論的四個階段意義 ....................................................................... 28 扇形學習內容活動架構............................................................................... 28 補救教學實驗各組學生及男女生的分佈 .................................................. 38 國小五年級體積容積與容量分年細目與概念 .......................................... 43 試題與概念間試題關聯 Q 矩陣.................................................................. 44 迷思概念與概念間對應表........................................................................... 45 試題與迷思概念 Q 矩陣 .............................................................................. 46 國小五年級體積、容積與容量單元預試分析表 ...................................... 48 試題與概念間試題關聯 Q 矩陣(修正後) ................................................... 50 試題與迷思概念 Q 矩陣(修正後) ............................................................... 51 認知診斷模式在 Q 矩陣修正後的參數估計值 .................................... 53 【第 2 題】修題前後內容對照表 ................................................................ 55 【第 3 題】修題前後內容對照表 ................................................................. 56 【第 4 題】修題前後內容對照表 ................................................................ 57 【第 6 題】修題前後內容對照表 ................................................................ 57 【第 8 題】修題前後內容對照表 ................................................................ 58 【第 10 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 59 【第 13 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 59 【第 14 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 59 【第 16 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 60 【第 19 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 61 【第 21 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 61 【第 23 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 62 【第 24 題】修題前後內容對照表 .............................................................. 62. VI.

(10) 表 3-23 APOS 理論與教學內容對應表 ................................................................... 64 表 3-24 本研究迷思概念與認知衝突策略對照表 ................................................... 68 表 3-25 專家判定結果與認知診斷結果次數分配表 ............................................... 81 表 4-1 DINA、Bug-DINO 的辨識率 ...................................................................... 83 表 4-2 模式診斷各屬性後驗機率與專家判定結果對照表 ................................... 84 表 4-3 不同補救教學方法的學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ....................... 87 表 4-4 誤差變異量的 Levene 檢定 ....................................................................... 87 表 4-5 不同補救方式學習成效之共變數分析摘要表 ........................................... 87 表 4-6 各組人數及前後測平均分數統計 ............................................................... 88 表 4-7 事後比較結果摘要表 ................................................................................... 88 表 4-8 不同補救教學的屬性進步率 ....................................................................... 89 不同性別的學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ....................................... 93 表 4-9 表 4-10 誤差變異量的 Levene 檢定（性別） ....................................................... 93 表 4-11 適性補救教學之不同性別共變數分析摘要表 ........................................... 94 表 4-12 高低分組的學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ....................................... 95 表 4-13 誤差變異量的 Levene 檢定（高低能力） ............................................... 95 表 4-14 適性補救教學之高低分組共變數分析摘要表 ........................................... 96 表 4-15 高低分組前後測成對樣本 t 檢定................................................................ 96 表 4-16 學習意見統計表 ........................................................................................... 97. VII.

(11) 圖目錄圖 2-1 五年級體積、容積與容量教材地位 .......................................................... 19 圖 3-1 研究架構圖................................................................................................... 35 圖 3-2 研究流程圖................................................................................................... 40 圖 3-3 概念補救教學流程圖................................................................................... 63 圖 3-4 先備知識的複習並引入體積的計算 .......................................................... 65 圖 3-5 概念教學 1.................................................................................................... 65 圖 3-6 概念教學 2.................................................................................................... 65 圖 3-7 概念教學 3.................................................................................................... 66 圖 3-8 概念教學 4.................................................................................................... 66 圖 3-9 佈題改變單位............................................................................................... 66 圖 3-10 佈題演練不同情境....................................................................................... 66 圖 3-11 練習題 ........................................................................................................... 67 圖 3-12 重點整理....................................................................................................... 67 圖 3-13 迷思概念影片教學流程圖........................................................................... 69 圖 3-14 佈數學題並呈現學生算式........................................................................... 70 圖 3-15 動畫示意圖呈現........................................................................................... 70 圖 3-16 引導學生思考............................................................................................... 70 圖 3-17 製造學生認知衝突....................................................................................... 71 圖 3-18 重新建立正確概念 (一) ............................................................................ 71 圖 3-19 重新建立正確概念 (二) ............................................................................ 71 圖 3-20 重新建立正確概念 (三) ............................................................................ 72 圖 3-21 佈題練習....................................................................................................... 72 圖 3-22 練習題答對畫面........................................................................................... 72 圖 3-23 練習題答錯畫面........................................................................................... 73 圖 3-24 答題完成再次複習....................................................................................... 73 圖 3-25 進入挑戰題再次練習................................................................................... 73 圖 3-26 答對挑戰題畫面........................................................................................... 74 圖 3-27 挑戰題提示畫面........................................................................................... 74 圖 3-28 答題完成再次複習....................................................................................... 74 圖 3-29 結束影片畫面............................................................................................... 74 圖 3-30 系統登入畫面............................................................................................... 75 圖 3-31 系統首頁....................................................................................................... 75 圖 3-32 測驗選擇畫面............................................................................................... 76 圖 3-33 作答畫面....................................................................................................... 76 圖 3-34 歷次的測驗結果選擇畫面........................................................................... 77. VIII.

(12) 圖 3-35 圖 3-36 圖 3-37. 學生的基本資料及測驗單元 ....................................................................... 77 診斷結果與補救教學影片的選擇畫面 ....................................................... 78 團班診斷報告 ............................................................................................... 78. IX.

(13)

(14) 第一章. 緒論. 本研究以國小五年級部編版「體積、容積與容量」單元為研究領域，以認知診斷模式設計診斷測驗並結合補救教學，探討認知診斷測驗結合不同的補救教學法的學習成效，本論文依序分成五章：第一章為緒論、第二章為文獻探討、第三章為研究方法、第四章為研究結果、第五章為結論與建議。本章針對研究動機與目的、待答問題、名詞解釋、研究範圍與限制分節介紹如下：. 第一節. 研究動機與目的. 壹、研究動機數學的學習不管是對哪一個階段的學習者，大多數的人都會認為數學是不可親近的，是十分困難的，導致只要一提到數學，往往都是避之唯恐不及，造成現今一般人對數學的恐懼及學習興趣的低落。在 PISA2012 的精簡報告（OECD, 2014）中提到，臺灣學生在數學素養測驗的名次雖然位居第四，但個別差異相較於 2009 年的結果還要大，且呈現高分群的成績進步但低分群的成績退步的現象，整體而言，雙峰的情況越來越明顯，針對此種數學學習上的雙峰現象，對於學習弱勢學生的照顧應更有效的去改善及執行。此時，由於數學是一個結構性強的科目，從國小、國中逐步到高等教育，每個階段的學習都很重要，且會影響下一個階段的學習，在劉秋木（1996）國小數學科教學研究中提到數學是在舊有的知識之上逐漸發展出新的概念，且數學的學習如同在興建一棟大樓，基礎不穩則會影響後續的學習，所以若學習弱勢學生在基礎的學習時就沒有完全掌握其概念，而產生了迷思及錯誤的觀念，勢必影響接下來的學習，而且隨著時間的增加，便會產生更多的迷思，導致在數學的表現每況愈下，當學習出現障礙時，許多學生便會對數學失去了興趣。舉例來說，在劉曼麗（2005）中提到若在整數法則的理解不夠，便會對小數的概念產生混淆，數學的迷思若累積的越多，自然無法將數學. 1.

(15) 學好。所以探討如何有效及即時補救學生的學習缺失便成為重要的課題。為了能即時了解學生的學習困難，把學習落後的學生帶上來，教育部近年來已推動了如攜手計畫、課後照顧等相關措施，然而在教學現場中可發現，許多學校的執行方式都不一樣，有些學校在人力不足的情況下，招募職前教師或志工進行輔導，課輔老師往往因為教學經驗或專業能力之不足，對學生的數學學習狀況較不易掌握，自然學習效果就有限；另外還有上課方式的問題，有些教師在課後照顧時間，僅指導學生完成學校的作業，並不針對學生學習弱項進行補救教學，或者有些老師只把教過的課程重教一次，然後就讓學生一直重複寫題目，對學習落後的學生而言，不會的題目很難因為不斷重複演練而學會，況且也會有學習動機的問題，並且現行的補救教學多半採用團班上課的方式，很難顧及學生的個別差異，當學生在某一概念需要花時間加強時，老師卻已經上完該概念進入下一概念，反之當學生已理解該概念，讓學生複習固然是好事，但久而久之學生耐心降低，專注力下滑，真正需要學習時反而跟不上了。在過去的相關研究中亦指出，對於學習能力較低的學生給予較為專業的教學設計模式會有負面的效果及影響，反之亦然，稱為專家反向效應（expertise reversal effect）（Kalyuga, 2009; Sweller, 2010）。所以在教學情境上應該針對不同的個別差異進行教學，而適性化的教學就是提供合適的教材，使每位學生皆能達成學習目標的教學方式（Wang, 1992），但終極目標仍然要培養學生在不同情境下的學習，變成一位獨立的學習者（黃政傑、張嘉育，2010）。目前由老師以團班教學的方式進行的補救教學，很難達到針對個別學生的學習困難來進行適性化的補救教學，近年來資訊及電腦的普及，透過資訊科技的輔助，適性化學習成為一個可行的做法，例如要落實適性的補救教學，必須要先了解每一位學生所欠缺的概念為何，此時可利用電腦化診斷測驗來偵測學生的學習困難處，如此便可針對每一位學生的學習弱點給予立即的回饋，達到因材施教的性化教學目的。. 2.

(16) 根據上述，為了達到適性化補救教學的目標，除了透過與電腦科技的結合，提供個別化的診斷測驗結果，並以此進行適性化補救是必要的，然而傳統在學校內的評量多半只能區分學生能力在團體裡的位置，而無法確實的了解學生在概念上的不足（Sheehan, 1997），也影響了補救教學的效果。所以 Nichols（1994）主張應發展一套新的診斷評量方法，將認知科學（cognitive science）與心理計量學（psychometrics）相結合，此一方法稱為認知診斷評量（cognitive diagnostic assessment, CDA）。根據認知診斷評量的設計原則，認知診斷模式可以提供教學者分析認知診斷測驗的結果，了解受試者的學習情形並據以設計補救方式，直接對受試者不足的部分進行補救教學，認知診斷模式目前較常用於測驗分析的有 DINA 模式（ deterministic input, noisy ''and'' gate model ）、 G-DINA 模式（ generalized deterministic input, noisy ''and'' gate model）、DINO 模式（deterministic input, noisy ''or'' gate model）等，用於測量受試者是否具備重要的認知屬性，近年來國內也有修正部分模式，探討錯誤類型模式的研究（吳國禎，2014），例如 Bug-DINO 模式可以診斷出學生是否使用某些錯誤類型或迷思概念，由於認知診斷模式的種類相當多，但為有利於形成教學現場容易推薦使用的方式，本研究將採用模式較簡單，目前已有測驗平台的 DINA 模式及 Bug-DINO 模式，其中 DINA 模式用於概念的診斷、Bug-DINO 模式用於迷思概念的診斷。 de la Torre & Karelitz（2009）提到認知診斷模式歷經國內外的許多相關研究，證明具備了許多優勢，也能提供許多訊息。透過電腦的輔助，受試者可以在做完診斷測驗之後，立即得到回饋並發現自己的學習缺失，相較於傳統的紙筆測驗需要耗費時間批閱與結果判讀，電腦化適性診斷的方式更具優勢。近幾年來隨著科技的進步及電腦、平板的普及化，學生對於資訊軟硬體的使用及接受度越來越高，現今學校在電腦輔助教學的使用漸漸增加。由於電腦輔助教學的使用越來越多，許多基於電腦輔助學習的相關學習理論也相繼被提出，使得教師及研究者得. 3.

(17) 以利用更多的教學策略，幫助學習者能夠進行更有效率的學習。若能再結合認知診斷模式並用於補救教學，將更能有效的協助且減輕教師的負擔，讓教師可以全心全易的從旁協助學生的學習，達到學習最佳的效果。綜合上述，本研究將以認知診斷模式為基礎，編製電腦化診斷測驗，並使用郭伯臣、江鴻鈞與曾彥鈞（2014）所開發的智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統為平台，將測驗、學生作答的診斷交由電腦快速的執行，由於本系統可選擇診斷學生的概念或迷思概念，因此在完成診斷測驗後可依據所設計的不同的補救教學影片進行適性的補救教學，讓學生能根據個別差異分別去學習，並探究其補救教學的成效。在選擇研究單元上，由於幾何屬於抽象的領域，在理解上較為不容易，且在國教署的教檢數學科試題分析中也指出在各領域中，幾何領域的表現較為差強人意，可知在數學學習上在幾何領域是較不完備的，但幾何領域在日常生活中卻是息息相關，舉凡日常的飲食、生活的用品，皆是三維的物體所構成，所必須接觸的就是幾何相關的概念，在 NCTM（National Council of Teachers Mathematics）於 2000 年提出的 Principles and standards for school Mathematics 裡有提到無論在哪一階段，量與實測的學習是很重要的，其中在完整學習幾何領域教材的內容之後，對於數學的其他部分領域也可以結合與應用（陳穆鶯，2005），且在具備相關的概念學習之後，可以幫助抽象事物的學習（何明昇，1999），因此幾何領域在數學學習上是十分重要的，所以研究者選擇部編版第九冊與幾何相關的第六單元體積、容積與容量為研究範圍。本單元雖然在之前已有使用認知診斷模式進行概念診斷的相關研究（劉清源，2010；呂淳郁，2012），但並無針對補救教學進行研究，所以本研究針對此部分進行探討，此外研究將以 Bug-DINO 模式針對迷思概念的部分進行診斷，此模式在國內尚未有實徵資料的研究，補救教學成果仍待評估；另外，因為在之前的相關研究中亦未同時進行並比較基於 DINA 模式的概念及基於 Bug-DINO 模式. 4.

(18) 的迷思概念的補救教學成效，所以研究者比較使用概念及迷思概念的適性補救教學效果，而在先前電腦化補救教學的文獻，發現電腦化補救教學可能會因不同性別及不同能力而造成成效上的差異，但結果並不一致。例如在廖娸婷（2009）中指出男女生可能有差異，亦有尤怡雯（2011）的研究結果中顯示沒有差異；另外，亦有分別探討不同能力學生在補救教學後的差異（俞克斌，2012；莊育斐，2014；施雅文，2011）。在資訊越來越普及的時代，希望補救教學皆能有效的幫助到不同性別的孩子，所以在本研究中也將檢視性別及高低能力學生對於本研究電腦化適性補救教學的學習成效。. 貳、研究目的本研究使用認知診斷模式中的 DINA 模式及 BUG-DINO 模式進行概念及迷思概念的診斷，首先將專家判定和認知診斷模型診斷出來的結果做辨識率的分析，透過辨識率的結果，回饋給 Q 矩陣做為調整的參考。而具有良好的辨識率，對於認知診斷測驗的診斷效果也會有正面的影響。接著利用古典測驗理論中難度、鑑別度的結果及認知診斷模式中試題參數的結果來修審試題，以建立完整具有內容效度的認知診斷測驗，並根據研究者在國小五年級學生在體積、容積與容量單元所定義的概念及迷思概念屬性，參考相關的文獻及教材編製補救教學媒體。教學實驗中利用認知診斷測驗找出學生的學習困難，並將學生分成三組，分別為依概念適性補救教學組、依迷思概念適性補救教學組及傳統補救教學組，其中前兩者為實驗組，進行適性補救教學；而傳統的補救教學設為對照組，實驗完畢後分析其結果並比較其補救教學的成效。根據以上論述，以下是本研究之研究目的：一、分別將 DINA、BUG-DINO 兩種認知診斷模式所診斷的結果與專家判定的結果做一致性的比較，計算出辨識率。二、比較認知診斷測驗結合不同補救教學方式，在學習成效上的差異。三、比較在實驗組中不同性別的學生，學習成效是否有顯著差異。. 5.

(19) 四、探討在實驗組中，高、中、低分組的學習成效是否有顯著差異。五、調查並分析實驗組的學生，對於本研究使用的電腦化適性補救教學的學習意見。. 第二節待答問題 1. 二種認知診斷模式的辨識率為何？ 2.1 根據認知診斷模式進行適性補救教學，探討兩組實驗組與對照組的補救教學成效，是否有顯著差異？ 2.2 以 DINA 模式進行概念的診斷並實施概念適性補救教學後，其個別的概念進步率為何？ 2.3 以 Bug-DINO 模式進行迷思概念的診斷並實施迷思概念適性補救教學後，其個別的迷思概念減少率為何？ 3. 實驗組中適性補救教學對於不同性別的學生的學習成效是否有顯著差異？ 4.1 實驗組中適性補救教學對於高、中、低分組學生的學習成效是否有顯著差異？ 4.2 實驗組高、中、低分組學生的進步情形是否達到顯著？ 5.. 實驗組的學生對於本次的電腦化適性補救教學的學習意見為何？. 第三節名詞解釋壹、認知診斷模式為了實行認知診斷理論而有了固定的判定規則與公式，而形成一個模式，稱為認知診斷模式，模式有許多種應用在不同的領域上，目的為診斷受試者背後潛在的屬性結構，評估時會受到粗心（slip）及猜測（guess）的影響，可以推測出受試者具備或缺乏哪一個屬性，進而針對該屬性進行加強或補救。本研究使用的認知診斷模式包括 DINA 模式及 Bug-DINO 模式。. 6.

(20) 貳、Q 矩陣使用認知診斷模式必須先依照要施測的內容建立認知屬性，並與施測的試題. 相對應並建立一個 J  K 的表格以進行分析，稱為試題關聯矩陣，也稱作 Q 矩陣（Tatsuoka, 1985）。其中 J 為試題數， K 為屬性數，以概念診斷為例，若有兩道試題. 、，且有三個認知屬性. 、、，假設. 具備. 、，且. 具備. 、，則 Q 矩陣可以寫成：. 相對若以迷思概念診斷為例，假設有三個迷思概念其中一個屬性則會答錯，有. 、. 、、，若有. 、. 其中一個屬性則會答錯，則迷思概念 Q 矩. 陣亦可寫成：. 叁、辨識率透過認知診斷模型的分析可以估計出受試者的概念組型，除了選用較佳的模型增加估計的準確度外，還會與專家判定的結果進行一致性的比對，稱為辨識率，辨識率越高，代表估計的效果越準確。. 肆、電腦化適性補救教學所謂適性教學 (Adaptive Instruction) 是指教學的過程能配合學習者的能力特質、興趣與需要，而作不同的教學因應與導引式調整，亦即因材施教。由於本研究是以電腦做為適性教學的輔助工具，藉由學習平台，受試者可以根據診斷報告進行個人化的補救教學，每位受試者均可以針對自己不足的部分進行補救學. 7.

(21) 習，因此稱之為「電腦化適性補救教學」。研究中所使用電腦化適性補教教學共有兩組，分別為依 DINA 模式進行的概念適性補救教學組及依 Bug-DINO 模式進行的迷思概念適性補救教學組，在後面的章節敘述中，文字部分將簡稱為概念適性補救組及迷思概念適性補救組，而在圖表部分為了排版及方便閱讀，二組的名稱簡化為概念補救及迷思概念補救。. 第四節研究範圍與限制壹、研究範圍本研究的範圍為國小五年級體積、容積與容量單元，主要在探討不同認知診斷模式在補救教學上的成效，對於未討論的其它認知診斷模式以及數學科不同的教學單元、年級是否有相同的成效等，並不適合作過度的推論，仍待後續研究的探討，也不宜推論至其他教育層面。. 貳、研究限制本研究受限於部分因素，因本研究的預試到實驗均不在學校的教學規畫之中，施測時間有限，且實驗時電腦教室的安排必須在無人使用的時段，所以實驗的時間需按學校的安排，本研究補救教學兩節課安排在一起，有部分學生會有學習的疲勞，且對於需補救較多概念的學生，因實驗說明及班級管理需要部分時間，實際的學習時間不到兩節課，所以有部分低能力的學生無法看完教學影片，而影響學習成效，另外受限於各校的版本不同及樣本數的限制，同一個時間點可能有學校已經教完本單元，而有些學校在另一個學期才學習本單元，所以實驗對象皆安排在同一間學校，兩組實驗組、一組對照組分別皆只找一個班進行，樣本數有限。在系統的使用上，由於目前僅提供 DINA 模式及 Bug-DINO 模式可供使用，這也是本研究為何直接採用此兩種模式做為診斷概念及迷思概念的主要原因。. 8.

(22) 第二章. 文獻探討. 本研究以認知診斷模式為基礎編製體積、容積與容量單元的診斷測驗，結合認知診斷模式進行電腦化的適性補救教學，分別探討以概念進行適性補救教學、以迷思概念進行適性補救教學及傳統補救教學的學習成效差異，對此了解二種結合認知診斷模型的適性補救教學方式之效果，為達本研究目的，必須蒐集相關的文獻資料做為本研究的基礎，以下分成認知診斷模式、體積、容積與容量教材分析、電腦輔助補救教學三節加以探討。. 第一節認知診斷模式傳統的測驗，除了可以顯示學生在團班的相對位置之外，主要的目的，就是要了解學生的學習成果。美國於 2002 年頒布「沒有落後的孩子」（No Child Left Behind Act, NCLB）教育法案，主要欲提高中小學的辦學績效及學童的學習能力（陳惠敏，. 2010）。受此影響，臺灣亦推出許多弱勢的教育與補救教學課程，如偏鄉教育、課後照顧、攜手計畫等（顏國樑，2013）。因此，能夠針對學生的特定能力，快速了解學生強項與弱點，有效增進學習效果的認知診斷模式（cognitive diagnostic models , CDMs）在近年來逐漸受到重視，相關的研究也如雨後春筍般的產生，經過國內外研究反覆的實驗驗證，許多模式發展也漸趨完備，進而衍生出許多新的認知診斷模式。除了傳統多以概念診斷為主的模式（如 DINA 模式、G-DINA 模式）之外，也產生了以診斷迷思概念為主的模式（如 Bug-DINO 模式）。在認知診斷模式中，常須界定每一題所應具備哪些屬性，而 Q 矩陣可以達到此目的（Tatsuoka, 1985）。在模式中也發揮了重要的功能，而認知診斷測驗中 Q 矩陣的界定可以是依概念、依迷思概念、依選題策略等不同的設計，依據不同的研究目的，Q 矩陣的定義也會不一樣，其中公式如 2-1。. 9.

(23) 1 試題具備屬性 k q jk   0 試題無具備該屬性. （2-1）. 其中 q jk 為在試題 j 中，是否具備該屬性 k，其結果會寫在矩陣的第 j 列、第 k 行，當欲診斷的目的不同，屬性 k 的意義也就會不一樣。依概念進行診斷時，代表答對該試題 j 所需具備的概念屬性 k；但若依迷思概念進行診斷時，代表該試題是否會產生迷思概念屬性 k，兩者雖都以 0、1 表示，但使用上卻是相反的涵義。下表以 de la Torre（2009b）的範例說明，加上方文邦、劉曼麗（2013）所研究的迷思概念為例，同分母分數的減法例題如表 2-1。表 2-1 分數減法範例（要化成最簡分數） 1. 4 7   12 12. (A) 1. 3 9 3 1 (B) 1 (C) (D) 12 12 4 4. 其中表 2-1-1 所使用的概念及迷思概念如表 2-2。表 2-2 同分母分數相減概念及迷思概念範例概念. 敘述. 迷思概念. 敘述. K1. 從整數部分借 1 再計算。. B1. 計算時忽略整數部分。. K2. 基本的同分母分數減法。. B2. 整數與分子相減。. K3. 將計算結果化簡。. B3. K4. 分開整數及分數部分。. B4. K5. 將分數換成整數。. 減數分子大的減去被減數分子小的。未將結果化簡。. 由表 2-2 中可以得知，此例題包含了 K1、K2、K3 三個概念，而在此例題中，會產生的迷思概念則有 B1、B3、B4。因此，此題涉及的 Q 矩陣可以用兩種不同. 10.

(24) 的方式表徵，一種是試題與測量概念之間的關係，如表 2-3；一種是表示試題與可能產生的迷思概念之間的關係，如表 2-4。表 2-3 例題的概念 Q 矩陣 K1 例題 1 表 2-4 例題的迷思概念 Q 矩陣. 例題. K2. K3. K4. K5. 1. 1. 0. 0. B1. B2. B3. B4. 1. 0. 1. 1. 受試者屬性有無的判定，會根據認知診斷模式的不同而有所差異，以下僅針對本研究中所使用的 DINA 模式及 Bug-DINO 模式分別介紹。壹、DINA 模式 DINA 模式(deterministic inputs, noisy “and” gate model)在認知診斷模式中是一個較為簡單的模式，適用於二元計分的測驗，為一非補償性的模式，也就是在受試者只精熟該試題所需的概念其中之一時，無法由精熟其他的概念進行補償，也就是說，必須完全具備答對該試題的所有概念才有較高的機率答對該試題。 DINA 模式的公式如 2-2： . P( X ij  1 |  )  (1  s j ) ij g j. 其中.  ij . . k :q jk 1. （2-2）. K. .  ik . 1ij. ik. q jk. k 1. s j P X(ij  0| ij 1). g j P X(ij   1| ij 0).  ij 為受試者 i 在試題 j 是否具備答對該試題所需具備的所有概念，若完全具備其. 11.

(25) 值為 1，反之若未完全具備則為 0；  ik 代表受試者 i 在技能 k 是否具備，若具備則值為 1，反之為 0； q jk 顯示試題 j 與概念 k 是否有相關，若有相關其值為 1，反之為 0。試題答對的機率，會受到猜測（guess，簡寫為 g）及粗心（slip，簡寫為 s）兩個試題參數的影響。在 DINA 模式的定義式中，當受試者 i 在試題 j 具備答對該題應包含的概念，但答錯該題時（ X ij  0 ），則歸類於粗心，反之當受試者 i 在試題 j 不完全具備答對該題應包含的概念，卻答對該題時（ X ij  1 ），則歸類於猜測。近年來 DINA 模式使用在模式理論的探討及應用在測驗及教學上的例子相當多，且 DINA 模式容易解釋且較為精簡，在許多相關研究中亦有較好的適配度（de la Torre & Douglas, 2004），研究者將相關的文獻整理如表 2-5。表 2-5 DINA 模式相關研究整理作者. 時間. 研究主題利用 Kullback-Leibler Information. Henson & 2005 Douglas Xu 2008. (KL) 在 DINA 下進. 行測驗編製。探討一般化診斷模式間的等化與連結。. &Davier 針對選擇題題型提出 multiple-choice DINA 的模式，試 de la Torre. 2009a. 圖從選項中獲得更多認知診斷的訊息，以達到更精準的估計。詳述 DINA 參數估計的方法來降低 MCMC 的參數估計. de la Torre. 2009b. 時間。（接下頁）. 12.

(26) 表 2-5 DINA 模式相關研究整理（續）作者. 時間. 研究主題. 楊智為等 2011. DINA 與 G-DINA 模式參數不變性探討。. 許珊珊. 2012. 不同 Q 矩陣設計對於 DINA 模式概念診斷成效之影響。. 劉燕玲. 2012. 人. 監督式貝氏網路與非監督式 DINA、G-DINA 模式應用於國小四年級時間概念診斷成效之探究。. 吳慧珉、張結合知識結構之 Q 矩陣設計於 DINA 模式之估計成效育蓁、林宏. 2012. 探究。. 昇 DINA、HO-DINA、G-DINA 模式適合度與診斷辨識率莊振雄. 2013. 之關係探討。探討在認知診斷模式的差異試題功能: Wald Test 的應. Hou, L. 2014 et al.. 用在 DINA 模型的差異試題功能。. 貳、Bug-DINO 模式 Bug-DINO（bug deterministic inputs, noisy “or” gate model）模式（陳俊華、郭伯臣、楊智為，2014）所提出，此模式由 DINO 模式修改演進而來，利用補償性模式的特點，可進行錯誤類型或迷思概念的診斷，同樣適用於二元計分的測驗，Bug-DINO 模式的公式定義如 2-3：. 1rij. P( X ij  1 i )  (1  s j ). 其中. L. rij  1   (1  il ) l 1. 13. q jl. r. g j ij. （2-3）.

(27) s j P X(ij  0r|ij  0) g j P X(ij  1r|ij  1) rij 為受試者 i 在試題 j 是否產生答錯該試題的錯誤類型，若至少產生其中一種其. 值為 1，反之若沒有產生任何一種錯誤類型則為 0； q jl  0 代表試題 j 不會產生錯誤類型 l。在 Bug-DINO 模式的定義中，答對機率會受到粗心及猜測的影響，當學生具備該題的至少一種錯誤類型的情況下，仍答對此題，則在模式中歸類於猜測；反之當學生不具備該題任何一種錯誤類型的情況下答錯此題，則在模式中歸類於粗心。近年來國內外針對錯誤類型及迷思概念的研究相當多，由於 Bug-DINO 模式是在 2010 年所提出，相關的研究仍非常稀少，其中數篇研究者整理如表 2-6。表 2-6 Bug-DINO 模式相關研究整理作者. 時間. 張詩亞、楊智為、郭伯. 研究主題利用 DINO 模型於錯誤類型的診斷探勘-以自然科「水. 2011. 臣、陳俊華. 的流動」單元為例。探討不同證據輸入方式應用於錯誤類型之認知診斷估. 吳國禎. 2014. 謝明俊. 2014. 計效果。應用認知診斷模式於多重解題策略與錯誤類型分析-以國小等量公理單元為例。. 綜合以上文獻，DINA 模式有容易檢視且模式較為精簡的特性，且在模式的適配度及辨識率皆有較佳的結果。Bug-DINO 模式雖然文獻較少，卻需要後續的研究應用於診斷及教學來驗證其效果，提供教學者能多一種方式能夠了解學生的. 14.

(28) 不足。本研究選擇 DINA 模式用於概念的診斷並進行電腦化適性補救教學，選擇 Bug-DINO 模式用於迷思概念的診斷並進行電腦化適性補救教學，並比較兩者模式應用在適性補救教學上的效果。. 第二節體積、容積與容量教材分析壹、教材意義「量與實測」一直是數學學習領域中重要的核心概念之一，其中「量」包含了長度、高度、金額、時間的「數與量」與角度、面積、體積、容積的「幾何量」。在教育部國民中小學九年一貫課程綱要中，更包含了四大主題中的其中兩大主題，而在本研究中所使用五年級「體積、容積與容量」單元課程，需要「數與量」及「幾何」兩大主題的連結。在數學教學上應注重數、量、形（幾何）的聯繫，讓學生在實際的作圖與測量中，獲得數、量、形及其相互關係的概念，再經由反覆不斷的思考、練習與解決相關的應用問題，讓學生逐步穩定掌握其概念，作為進一步學習的基礎（教育部，2009）。所以學生若缺乏體積、容積與容量的概念，在學習及解題的過程將遭遇到困難，本研究分別針對體積、容積與容量的基本概念加以敘述：一、體積概念在譚寧君（1997）提到體積為一物體在空間中所佔的大小，學童從二維的面積概念轉成三維的體積概念，概念較容易混淆，兩者差別在於體積可以透過排列、堆疊形成更大的體積，其空間是密不可分的。另外，譚寧君（1997）更進一步將體積分成外體積、內體積與排他性體積，其中外體積為視覺可觀察所占空間大小，內體積為在一個內部空間中，透過堆疊、排列可以填滿的最大容量，而排他性體積就是能透過排出液體的量來測量規則或不規則物體的體積。二、容積、容量概念一個內部為空的容器或空箱可裝載的最大容量，其空間稱為容積，而所裝載. 15.

(29) 的內容物，通常會以「液量」來表示，也就是液體裝滿的量，容積的單位，可用立方公分、立方公尺等為單位表示；容量的單位則會用公升、毫公升等表示。. 貳、教材指標整理教育部在數學學習領域國民中小學九年一貫課程綱要中，將數學分成四個階段，第一階段為一、二年級，第二階段為三、四年級，第三階段為五、六年級，第四階段為七到九年級。前三階段為國小階段的學習範圍，教育部更將數學分成五大主題，而體積、容積與容量概念主要由「數與量」與「幾何」兩大主題的相互連結。在能力指標中分別由 N 與 S 代表。本研究根據教育部於 2009 年公布的「97 年數學領域課程綱要」數學領域部分，國小學童在五、六年級正式進入體積、容積與容量的計算，從二維平面圖形轉換到三維的立體形體。本研究的對象為五年級的學童，在此單元中對於計算容積、體積有了基本的認識，但是僅限於正方體與長方體亦或是複合圖形的計算，底面為多邊形的柱體和圓柱體的體積則安排在六年級習得，不在本研究討論範圍內。以下將國小五年級學習體積、容積與容量對應之課程綱要整理於表 2-7，與體積、容積與容量相關的各年級分年細目、對應的能力指標整理如表 2-8。表 2-7 五年級體積、容積與容量相關能力指標代碼. 指標內容. N-3-19. 能認識量的常用單位及其換算，並用複名數處理相關的計算問題。. N-3-20. 能理解正方體和長方體的體積公式。（S-3-05）. N-3-21. 能理解容量、容積和體積間的關係。（N-2-18）. 16.

(30) 表 2-8 國小體積、容積與容量相關分年細目與對應能力指標整理年級分年細目內容. 1-s-02 一 1-s-04 2-n-16 二. 2-s-01 2-s-02. 三. 四. 五. 3-n-15. 能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。能依給定圖示，將簡單形體做平面舖設與立體堆疊。能認識容量。能認識周遭物體上的角、直線與平面(含簡單立體形體)。能認識生活周遭中平行與垂直的現象。能認識容量單位「公升」、「毫公升」(簡稱「毫升」)及其關係，並做相關的實測、估測與計算。. 4-n-14. 能以複名數解決量(長度、容量、重量) 的計算問題。. 4-n-19. 能認識體積及體積單位「立方公分」。. 5-n-19. 能認識體積單位「立方公尺」、「立方公分」及「立方公尺」間的關係，並做相關計算。. 5-n-20 5-s-07. 能理解長方體和正方體體積的計算公式，並能求出長方體和正方體的表面積。. 對應能力指標 S-1-01 S-1-02 N-1-10 S-1-03 S-1-04 N-2-18 N-2-26 N-2-17 N-2-18 N-2-19 N-2-25 N-2-23 N-3-19 N-3-20 N-3-25 S-3-05 S-3-11. 5-n-21. 六. 6-n-13 6-a-04. 能理解容量、容積和體積間的關係。. 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性。. N-3-21 N-3-18 A-3-02 A-3-03 A-3-04 A-3-05 （接下頁）. 17.

(31) 表 2-8 國小體積、容積與容量相關分年細目與對應能力指標整理（續）年級分年細目內容對應能力指標. 六. 6-n-15. 能理解簡單直柱體的體積為底面積與高的乘積。. 6-s-01. 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。. S-3-01. 6-s-04. 能認識面與面的平行與垂直，線與面的垂直，並描述正方體與長方體中面與面、線與面的關係。. S-3-08. N-3-24 S-3-10. 叁、教材地位在教材的編排上，分年細目將該年級應該習得的知識列出，使得在教材安排有一個重要的依據。然而其中並無規定教材的先後順序，在現今一綱多本的時代中，每一家出版社所出版的教科書在內容的安排也會略有差異，以本研究中所選擇的體積、容積與容量的範圍為例，整理如表 2-9。表 2-9 各版本教材五年級體積與容積的編排表學期. 授課單元. 教學時間. 康軒. 十. 2、3. 四週. 翰林. 十. 3、4. 四週. 部編. 九. 6. 三週. 南一. 十. 3、10. 三週. 表 2-9 中可知，各版本在教學時間的長短及授課的時間點各有不同，但探究其教材內容中，各版本並無明顯差異。其中以部編版的授課時間點為例，教材安排上將體積、容積與容量歸類於同一個單元，但其他版本教材將體積與容積、容. 18.

(32) 量的部分分開，學習完體積的概念後，於下一個單元再引入容積及容量的學習。因實驗期程的考量，必須選擇上學期的單元進行補救教學實驗，而部編版剛好符合此條件，加上以單元內容分配的角度來看，將體積、容積與容量結合，範圍較大且內容較為多元，學生在學習上可能會產生的迷思概念較多，特別有補救教學的需求，故選擇部編版進行研究，希望藉由認知診斷模式進行適性補救教學的優點，讓學習落後的學生更能掌握其內容。綜合以上文獻內容，可以得知本研究所選擇的單元教材意義與各版本教學時間差異，但整體上仍以教育部 97 年數學領域課程綱要中所提到所應具備的能力為主要的目標。本單元涵蓋了幾何和數與量兩大領域，研究中在訂立 Q 矩陣之前，也必須了解相關的先備知識與該單元應該習得哪些重要的內容，茲將部編版的體積、容積與容量的教材地位整理呈現於圖 2-1。. 第九冊第二單元 ·. ·. 算出正方體、長方體及其它立體型體點、線、面的數量。判斷面與面之間的平行與垂直關係。. · · ·. 第五冊第六單元 ·. 第九冊第六單元. 認識公升與毫公升，並作單位換算。. ·. 使用公式算出長方體及正方體的體積。計算複合圖形的體積。計算容積與容量的問題。能做單位換算。. 第十二冊第第三單元 · · ·. 計算多角柱體的體積及表面積。計算圓柱的體積及表面積。計算複合圖形的體積。. 圖 2-1 五年級體積、容積與容量教材地位圖 2-1 為本單元的教材地位，其中體積的部分很清楚的可以知道，學生在了解立體圖形的特徵之後，接著便開始學習基本的長方體及正方體體積的計算，並引入相同形狀的容器，也學習如何計算容積與容量，具備這些概念之後，於六年. 19.

(33) 級下學期時再加入多角柱體體積的計算，容積與容量的部分僅在本單元有詳細的教學，在之前的先備知識中僅於三年級時討論公升與毫公升的轉換，本研究中所要學習的知識，參考教材做為編製電腦化診斷測驗及製作補救教學媒體的依據。. 肆、概念及迷思概念為了讓學生可以更有效的學習，教育部除了定期會根據教材內容做檢討修正之外，亦有許多相關的研究，如設計相關輔助的教學及評量工具、教學內容的分析及建議、學生的迷思概念研究等，本研究實驗為此根據研究目的，參考許多相關的文獻，設計出適合學生的診斷工具及適性補救教材，以下分別找出體積、容積與容量單元概念及迷思概念的相關研究並進行探討。一、概念使用概念教學是目前在教學上最為直接、普遍的方式，教師根據自身的經驗採用有效的教學方式，讓學習者能透過學習過程，精熟其內容，黃志雄（2002）中提到 Markle 和 Tiemann（1970）認為當學習者在完全精熟其概念或技能的同時，應擁有類化新的例子及區別反例兩種能力。Westling 和 Fox（2000）的文獻中說明了類化（generalization）是指學習者能將所學的知識與經驗相結合，並在不同的情境、時間能夠適時的適應環境及解決問題。在教育部訂立的數學領域課程綱要中的教育目標也希望學生能夠在習得數學的知識之後，能夠應用在生活中，解決周遭的問題。本研究中是以能力指標為基礎，依據教材的編排並參考相關的文獻，探究學生學習本實驗單元時，所需要的概念。本實驗單元的部分相關研究整理於表 2-10。表中可知有的研究分析體積、容積與容量相關的概念，了解概念形成的歷程，亦有搭配適性測驗的診斷工具及輔助教學的方法，研究者除了參照現行教材設計規畫外，從相關研究中也整理出單元的教學重點，不同於劉清源（2010）以貝氏網路為基礎設計的適性診斷測驗，. 20.

(34) 本研究以認知診斷模式為基礎並結合適性補救教學，訂立概念的 Q 矩陣，希望建立不同的診斷方式並用於適性補救教學，能提供教師更多的選擇。表 2-10 體積、容積與容量的相關研究作者. 時間. 譚寧君. 1997. 面積與體積的教材分析。. 張淑怡. 2004. 國小五年級學童容量概念之研究。. 葉麗鳳. 2008. 國小五年級學童體積概念之研究。. 劉清源. 電腦適性測驗結合數學教學之研究-以國小五年級 2010. 楊凱翔、葉淑珍、譚寧君. 研究主題. 「體積與容積」為例。建立立體心像教學活動之國小體積課程設計本位. 2014. 研究。. 二、迷思概念概念學習的過程，常會遇到許多困難。Piaget 的認知發展論提到，在兒童的認知過程中，面對新的事物會根據自身的生活經驗、學習過程會產生同化及調適，若概念的建立不同於專家知識及科學自然的現象，就稱為學生的「迷思概念」（misconceptions）（陳淑筠，2002）或是「錯誤概念（error）」，在研究中統一稱為迷思概念。產生的原因常常來自於學習過程中，不當的解讀教科書或上課的內容，亦有來自於教學者在教學時未釐清概念與概念之間的連結及差異，或是無意間的習慣造成的疏忽，使學生產生迷思（甯平獻，2010）。另外，面對較為抽象的概念時，由於學生常只會公式的背誦，而缺乏理解導致於應用的推理能力不足也容易產生迷思（葉懷祖，2013）。因此，在教材設計時，應了解學生的先備知識並掌握學生的學習困難，適時的給予幫助，引導具有迷思概念的學生，利用適當的方式去澄清、修正錯誤的想法，重新建立正確的概念。. 21.

(35) 在體積、容積與容量單元中，除了在單元中多是較為抽象的幾何圖形，且在單元中亦和數與量結合，需要理解計算的公式利用於實際的生活情境中，學生在學習的過程易產生迷思或概念的混淆，相關的研究針對此一部分列出了許多迷思概念，探討形成的原因及探究其先備知識，希望能找出學習的問題所在。本研究整理國內學生學習「體積、容積與容量」時，常見的迷思概念整理如表 2-11。表 2-11 體積、容積與容量迷思概念相關文獻整理研究者 (年代). 呂淳郁（2012）. 葉麗鳳（2008）. 研究主題. 迷思概念整理. 在此研究中要探討結合建構反應題的認知診斷模式估計成效，其整理之錯誤概念如下: 結合建構反應題 1.不清楚對容量的定義。之認知診斷模式 2.缺乏單位換算與高低階單位換算的能估計成效-以國小力。體積、容量與容 3.估測的量感不足。積單元為例 4.無法列式但了解題意。 5.會使用公式卻不了解其概念。 6.使用錯誤的符號。. 國小五年級學童體積概念之研究. 1.缺乏估測的量感，常低估較大體積的情形。 2.認為看不見摸不到的東西沒有體積，如氣球內的空氣。 3.認為動物會成長形體會變所以沒有體積。 4.體積跟重量混淆。 5.體積切割重組之後的保留概念缺乏。 6.約只有三分之一的學童認為在同體積不同重量的物體丟入水中其上升高度應相同。（續下頁）. 22.

(36) 表 2-11 體積、容積與容量迷思概念相關文獻整理（續）研究者 (年代). 研究主題. 馬乃忠（2006）. 基於模糊理論及試題反應理論探討國小四五六年級學童體積概念之發展. 徐存姮（2003）. 診斷教學對國小六年級學童的體積直觀迷思概念影響之研究. 張淑怡（2004）. 國小五年級學童容量概念之研究. 譚寧君（1997）. 面積與體積教材分析. 迷思概念整理研究利用結合模糊理論與 IRT，找出學童迷思概念如下：一、保留概念 1.體積會隨著物體的重新組合而改變。二、在體積測量概念部分 2.對於看不見摸不著的沒有體積。 3.單位量轉換錯誤。 4.公式使用錯誤。 5.不了解題意，隨便湊數。研究中探討學童直觀的迷思概念，發現學童在體積受直觀的「重量」影響最大，包含以下幾點迷思概念： 1.重量較重的物體體積較大。 2.學童常會直接計算題目上的數字而忽略長寬高的單位不一致而導致計算錯誤。 3.體積和容量混淆，認為加蓋的杯子和無蓋的杯子體積是相同的。 4.認為體積就是物體的重量。 1.越重的容量越大。 2.缺乏對容器的基本概念，例如認為只有可以裝液體的才是容器。 3.缺乏單位換算的能力。 4.對於容量估測有低估的情形。 5.容量與重量的混淆。研究中對於學生常出現的錯誤概念整理如下： 1.缺乏對被測量量的認識。 2.保留概念的不足。 3.單位量轉換的混淆。 4.體積點數受空間能力影響。 5.對體積的估測能力不足。 6.只會記憶公式而缺乏對概念的理解。. 23.

(37) 表 2-11 所整理的文獻中顯示，在國小體積、容積與容量學習課程中，在量與實測與保留概念上會出現較多的迷思概念，研究者初步整理在國小五年級學童常出現的迷思概念有「對於體積、容積與容量的定義尚不完全清楚」、「容易與重量混淆」、「缺乏單位換算的能力」、「缺乏對於形體改變的保留概念」、「估測能力不足」與「只會利用公式計算，不了解概念」等，其中有部分迷思在進行本單元的課程之前就已經存在。保留概念的不足，容易在複合圖形體積計算時，較容易產生錯誤；缺乏單位換算的能力，在各研究中也幾乎都會提到，尤其部分的學生只會使用公式計算卻不了解其意義，再加上單位換算的步驟，自然對於題目及概念的理解，就會感到十分的吃力，因此，研究者參考相關文獻的研究，訂出迷思概念的 Q 矩陣，並依據迷思概念設計適性補救教學教材，希望能透破除學生學習的迷思。. 第三節. 電腦輔助補救教學. 面對近年臺灣數學在大型測驗中雙峰現象的表現，呼應國內的學習現況，在教育部「帶好每位學生」的理念下，投入了相當多的資源，針對學習落後的學生，提供了許多政策與方案，讓學生可以利用許多課餘的時間，得到額外補救的機會。補救教學是一種診療教學模式，診斷出學生的學習困難，再依學生的困難提供適性的課程來達到補救教學的效果（黃士騰，2006）。所以對於學生的補救教學，不只是提供額外的教學時間，還必須有一套有策略的教學方法，近年來由於電腦的普及，許多學校也開始利用電腦輔以補救教學，增強補救的效果。由於本研究採用電腦輔助學習進行補救教學，以下便針對電腦輔助學習進行更詳細的探討。近年來科技的進步，各種學習理論的興起，電腦輔助教學的設計也各具特色。一般而言，電腦輔助教學(computer assisted instruction, 簡稱 CAI)，大約有下列六種的表達型態（洪榮昭、劉明洲，1996；尤怡雯，2011），在編寫 CAI 軟體時，可依實際需要，採單一種或多種混合，讓此軟體更豐富。以下分別. 24.

(38) 簡述這六種表達型態。一、教導式（tutorials）CAI 系統扮演教師的角色，將教材內容呈現於畫面中，學生可以進行個別化的學習，通常教材會分成數個章節或小節，看完一個小節之後可以再選擇要看的範圍，進度可以隨個人的需求自行調整，達到個別化學習的目標。二、模擬式（simulation）CAI 模擬式的 CAI 提供了一個擬真的學習情境，日常不易接觸的、較不易呈現的情境或狀況，使用電腦化的模擬來達成相同的效果，讓學生彷彿身歷其境中。此應用相當廣泛，駕駛模擬飛機即為其中一個例子。三、練習式（drill ＆ practice）CAI 在數學的學習中，最需要的就是不斷的練習，達到熟練的目標。在練習式的 CAI 中，練習的題目不能太難，且在同一個小節的練習題，各難度的題目數量應是相同的，所以再練習式 CAI 的設計上，須注意選題的策略。四、測驗式（testing）CAI 此型態是最早出現的形式，學生可以透過上機考試完成階段性的評量，以評估學習的成效，與傳統的紙筆測驗相比，測驗式 CAI 可以透過題庫的建立，可以選取適合的題目進行測驗，且亦能提供測驗結果的回饋，節省了許多人力、時間。五、遊戲式（gaming）CAI 遊戲式的學習，是最能引起學生的動機及興趣的一種方式，將教學內容設計於遊戲中，透過挑戰模式的設計，可以吸引學生循序漸進的學習，達成學習的效果，目前也有不少遊戲式的設計應用於教學中。六、問題解決式（problem solving）CAI 透過軟體及題目情境的設計，學生可以利用角色扮演的方式，模擬互動式的情境解決可能會遇到的問題，來評估學生的解題能力，其中包含了該單元領域的知識與推理技巧。教師在設計題目時，須考量學生所具備的能力，才能讓學生理. 25.

(39) 解電腦所提供的相關資訊，幫助其解決問題。從以上六種型態的描述可看出，電腦輔助教學的便利與多元，使得近年來常被用於補救教學上，透過多項型態的搭配使用，增進教學的成效。除此之外，即時提供適當的回饋，也是相當重要的一環（引自許琇雅，2004）。鍾樹椽（1993）認為透過回饋，可以產生互動的效果，達到「個別化教學」與「互動學習」的目標。回饋的方式，Dempsey & Scales（1993, 引自湯清二，1994）歸納出五種的回饋形式（轉引自許琇雅，2004）：一、無回饋（no feedback）亦即學生的學習活動或是作答沒有提供任何回饋，此形式較常出現在測驗，但在學習上並不適合採用此方法。二、改正型知識反應回饋（knowledge of correct response, KCR）此方式無論學生的回答是對還是錯皆給予正確的答案，此方式對於答對的學生有再一次複習的功效，但是對於答錯的學生，雖然可以檢視其作答，但容易對答案產生依賴的效果。三、反應型知識回饋（knowledge of response, KR or KOR）此方式無論學生的回答是對還是錯，只給予對或錯的反應，而不給正確答案，直接跳入下一個情境，這種方式亦常用於測驗，較無回饋略優的好處是學生可以即時了解該題的對錯情形，但對概念的理解仍然無幫助。四、再試一次回饋（answer until correct response, AUC）當學生回答錯誤時，讓其反覆的重新作答到其答對為止，優點是可以讓學生嘗試修正自己的想法，若輔以教師協助可以達到不錯的效果，但是重複太多次會讓學生產生挫折的感覺，且若為選擇題會有猜測的問題，而喪失其教學及診斷功能。. 26.

(40) 五、精緻型回饋（elaboration feedback, E）根據學生的回答給予正確的答案，當回答遇到困難時，也可以參考提示再作答，此回饋方式較為完整，在教學上優於以上四種的回饋方式。本研究的系統是融合了教導式、練習式與測驗式的電腦輔助教學。經過電腦診斷測驗後分析了解學生之概念或迷思概念，進行線上的適性補救教學，以達到概念的澄清與精熟；在回饋的方式上，在電腦化診斷測驗時採用無回饋的的方式，目的僅為了估計出學生的反應組型，但在補救教學媒體的設計上，融合了第四種及第五種回饋的優點，幫助學生在重新建立概念時，可以再次的練習，並適時的給予提示，達到概念澄清的效果。綜合以上所述，使用電腦補救教學媒體是本研究中使用於適性補救教學的重要教材，針對本單元體積、容積與容量課程內容及補救教學策略的探討之後，研究者參考相關的研究並分別訂出概念及迷思概念，並選擇適當的補救教學策略編製教材內容，以下將分成概念與迷思概念的補救教學策略探討。. 一、概念的補救教學策略為了達成概念精熟的目標，本研究的概念適性補救教學與適用於電腦化教學的理論相結合編製教學媒體。實驗中所採用的教學理論為美國數學教育學家 Dubinsky 於 1991 年根據數學概念的形成過程所提出的 APOS 理論（Action, Process, Object, Schema），其核心概念是由 Piaget 的認知發展理論演進而來，探討學生在數學概念的學習時，大腦中進行的活動。Dubinsky 指出數學概念的學習，分成行動（Action）、過程（Process）、物件（Object）、基模（Schema）四個階段，各階段的意義整理如表 2-12。. 27.

(41) 表 2-12 APOS 理論的四個階段意義階段. 意義. 階段. 行動. 操作舊有物件. 物件. 過程. 內化操作的過程. 基模. 意義整合操作過程並視為可操作物件。整合舊知識連結網絡. 表 2-12 中，學生先經過舊經驗的複習，學習新的概念知識且操作類似的過程，再整合操作歷程結合舊知識形成新的物件，最後反覆操作物件連結於各個情境中，形成基模，學生在學習完此一概念之後，便能以此再進行下一個概念的學習，進而達成預期的教學目標。參照左台益（2013）結合 APOS 理論所提出的典型及非典型平行四邊形的教學，研究者以認識扇形的教學為例，如表 2-13。由表可知經過內化，透過反覆操作物件的過程，可以讓學生認識典型及非典型的扇形，並透過與舊經驗的結合，了解扇形的基本定義是由一個圓心、兩個半徑及所夾的圓弧所組成，並透過布題的練習讓學生能指出何者為扇形、何者非扇形。本研究將依概念逐一編製補救教學媒體，透過與 APOS 理論相結合，達到預期的成效。表 2-13 扇形學習內容活動架構活動. 複習. 細部流程. 教學目標. 利用色紙認識圓形的圓、圓心、圓弧、複習圓形的基本定半徑、直徑的位義。置。. 示例. APOS 理論運用. .. A-P-O. （接下頁）. 28.

(42) 表 2-13 扇形學習內容活動架構（續）活動. 細部流程. 教學目標. 示例. APOS 理論運用. 典型：將圓形分成數等份，呈現如三分之一圓、五分之二形狀圓、五分之三圓等變化圖形，指出著色部分為扇形及圓心、半徑等位置。. 1. 利用圓形板認識扇形。非典型： 2.認識典型扇形。 3.認識非典型扇形。. A-P-O. 典型：呈現完整的扇形，指出其圓心、半名詞徑、圓弧的位置，定義並利用圓規作圖，畫出完整的圓。. 1.典型扇形 2.非典型扇形 3. 了解扇形由兩個非典型：半徑及一圓弧所組成。. O-S. 指出何者為扇形。 1. 2.. 練習. 利用練習題認識扇形及非扇形的圖形布題練習。並統整相關概念。. S 3.. 二、迷思概念的補救教學策略學生在學習過程中，一旦建立了錯誤的觀念，如果不是遭遇到無法解決的問題，則不易改變其原有的想法（吳仁俊，1996）。所以適當的選擇教學策略，幫助學生重新建構其概念，才會有利於下一個階段的學習。為了讓學生可以自我察. 29.

(43) 覺到自己的認知與現實上的既定科學概念不同，在過去的研究中提到若使用認知衝突的方式進行教學，讓學生產生認知失衡、開始對原有的認知概念不信任，是破除迷思概念的的一步（引自許琇雅，2004），且在先前的研究也應證運用認知衝突所進行的教學，獲得了不錯的成效（李源順，2001；林玉華，2013），本研究使採用劉曼麗（2005）所提出的五種認知衝突策略編製教學媒體，搭配電腦化的學習，可以強化認知衝突的效果。五種認知衝突策略分別為二對一法、反向法、一對多法、引入參考值法、表徵法（劉曼麗，2005），以下分別介紹此五種策略：（一）二對一法針對例題. 學生所回答的答案 A，再舉一個例題. ，使其答案也為 A，以製. 造認知衝突。（柱體與椎體問題）：五角錐有幾個面？ A ：7 個。：五角柱有幾個面？ A ：7 個。（二）反向法面對. 學生所產生的錯誤答案. ，利用. 知衝突。（時間問題）：220 分鐘是幾時幾分？：2 時 20 分。：2 時 20 分是幾分鐘？：140 分鐘。. 30. 舉例. 反問回去得到. ，製造認.

(44) （三）一對多法同一個問題. ，產生了許多答案. 、. 、. ，透過同學之間的質疑辯證，產. 生認知衝突。（比例尺問題）：比例尺. 的地圖中，地圖上的 1 公分是實際是多少公里？. ：1 公里：10 公里。：1000 公里。：請每個人提出想法，為什麼會等於 1 公里、10 公里、1000 公里？. 、. 、. ：辯證想法。. （四）引入參考值法針對題目. ，面對學生的答案. ，引入參考值 R，讓學生比較. 、R 及原題. ，製造學生的認知衝突。（分數與小數的轉換問題）（引自劉曼麗，2005）：2.1 化成分數是多少？：。. ：. 有比 1 大嗎？. ：沒有。：2.1 有比 1 大嗎？. 31.