第三章 研究方法與研究工具
第三節 研究工具
第三節 研究工具
一、普通物理圖表概念認知調查工具發展：
（一）2015物理奧林匹亞初賽試題分析：
針對大一新生所發展的普通物理圖表概念認知調查紙筆測驗工具，主要來 自2015 物理奧林匹亞初賽試題中，第一部分填充題的第五題。題目敘述如下：
「一內有金屬塊 W 之小木桶，整體浮在一裝有水之容器水面上。今將金屬 塊 W 由木桶內取出置入容器之水中，金屬塊在沉入底部後，試問容器內
的水面高度 h 之變化是上升、下降亦或是不變？ (8) 。」
▲圖 3-3-1：2015 物理奧林匹亞初賽試題第五題示意圖
在接下來的部分，將針對此道物奧初賽試題，進行試題分析，以藉此能進 一步了解學生具備有哪些物理概念，才能夠順利應答。以下是研究者根據原題意，
所繪製出的步驟分解圖（如下圖3-3-2 所示），同時也針對此道試題提供參考解 法：
▲圖 3-3-2：步驟分解圖
假設小木桶的重量為W木 、金屬塊的重量為 W 且原液面高度為 h 。視金屬 塊 W 及小木桶 W 木為一系統，若系統所受到浮力為 B1，則根據靜力平衡的條件，
系統在鉛直方向上所受到的外力總和恆為零，故：
Σ𝑭鉛直 = 𝑾木+ 𝑾 + 𝑩𝟏= 𝟎 或 𝐵$ = 𝑊木+ 𝑊 （1）
𝑾木
h h’
𝑾 𝑾
𝑾木
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若將重W 的金屬塊，從小木桶取出置入水中並待其沉於底部後，此時液
面高度為h’ （如上圖 3-3-2 右圖所示）。若小木桶與金屬塊，所受的浮力分
別為B木 與 B金，同樣可以根據「靜力平衡」的條件，小木桶與金屬塊在鉛直 的方向上，所受的外力總和恆等於零，即：
Σ𝑭A = 𝑩木+ 𝑾木 = 0 或 𝐵木= 𝑊木 （2）
與
Σ𝑭A = 𝑩金+ 𝑾 + 𝑵 = 0 或 𝐵金 = 𝑊 − 𝑁 （3）
再根據浮力公式 𝐵 = 𝑉𝜌𝑔 及密度的定義 𝜌 =EF ，將上（3）式改寫為 𝐵金 = V金 𝜌水 𝑔 = EH金
金 𝜌水 𝑔 = 𝑊 HH水
金 （4）
因此，若視小木桶與金屬塊為一系統，則系統所受的浮力𝐵%即為「小木 桶所受的浮力B木與金屬塊所受的浮力B金總和」。根據上（2）及（4）式，
可以將此結果表示為：
𝐵% = 𝐵木+ 𝐵金= 𝑊木+ 𝑊 HH水
金 （5）
由阿基米德原理知道「浮力即為排開的液體重 𝑊」；因此，浮力的 變化 ∆𝐵 即可視為排開液體重的變化量 ∆𝑊。今將盛水容器內水量（液 體容積）表示為𝑀 = 𝐴 ∙ 𝑦 （其中 A 為盛水容器之底面積、y 為液面的高 度），則浮力的變化 ∆𝐵可記為：
∆𝐵 = ∆𝑊排開的液重 = (∆M水量)𝑔 = 𝐴(𝑦′− 𝑦)𝜌水𝑔 （6）
若將上式（1）與（5）的結果代入（6）式中化簡，我們可以得到：
∆𝐵 = 𝐵木+ 𝐵金 − 𝐵$ = 𝑊木+ 𝑊 𝜌水
𝜌金 − (𝑊木+ 𝑊) = 𝐴(ℎ′− ℎ)𝜌水𝑔 或
∆𝐵 = 𝑊 HH水
金 − 1 = 𝐴(ℎ′− ℎ)𝜌水𝑔 （7）
藉由金屬塊沉於水底的條件，我們知道「金屬塊的密度大於水的密 度」，即
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𝜌金> 𝜌水 或 HH水
金 < 1 （8）
即暗示了，上（7）式的恆等式必「小於零」，即：
ℎ′− ℎ < 0 或 ℎ′ < ℎ （9）
另外，我們也可以藉由下面的方法，得到一樣的答案結果。 因此，浮力 的變化量∆𝐵，即為金屬塊投入水中後的浮力𝐵% 與投入水中前的浮力𝐵$之差值，
故可透過上式（1）~（3）與（5），得：
∆𝐵 = 𝐵%− 𝐵$ = 𝑊木+ 𝑊 − 𝑁 − 𝑊木+ 𝑊 = −𝑁 （10）
根據上式（6）的結果，可將上式（10）改寫成：
∆𝐵 = −𝑁 = 𝐴(ℎ′− ℎ)𝜌水𝑔 （11）
這暗示了上式（11）「恆為負值」，即：
ℎ′− ℎ < 0 或 ℎ′ < ℎ 即式（9）
這樣的數學結果，暗示了「將金屬塊投入水中，待其沉入水底後的液面 高度會下降」。
下表3-3-3 是根據分析物奧試題，總結幾項解題時所運用到的概念，其 中包含「浮力」、「密度」以及「力平衡」的概念。
概念 命題陳述
密度 （1）是否能正確運用密度的定義 𝜌 =E
F。
（2）是否能從物體的沉浮情形來判斷，物體的密度大小。
力、力平 衡
（1）是否具備有分析 系統的能力。
（2）是否能利用力平的概念，判斷出靜止浮體所受的浮力即為 本身的重量。
浮力 （1）是否能正確利用阿基米德原理：浮力等於排開的液體重。
（2）是否能正確運用浮力公式（𝐵 = 𝑉𝜌𝑔）。
▲表 3-3-3：概念表
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（二）普通物理圖表概念問卷調查之試題發展：
由於2015 年物奧初賽的該題試題，是以填充題的方式命題，因此考生只 要答對即可獲得該題題分 。為了能達到研究目的，研究者針對這部分的小缺 失，與指導教授與多位大學物理系教授開會討論後，決定將此道物奧初賽的 試題，加以修正、延伸並發展成為本研究用的普通物理圖表概念認知調查正 式施測問卷。
本調查問卷採用評量試題分析法（Item Analysis），在測驗概念部分包含 有浮力與熱力學兩部分，但在本研究僅針對浮力部分做探討。在浮力的測驗 調查，依題號順訓序分為密度概念層次題型、浮力概念層次題型以及綜合應 用層次題型三道試題，且評量試題是採兩段式測驗方法，即由參與施測的學 生回答該題答案後，再針對答案寫下答題的理由與想法。
在密度概念層次與浮力概念層次題型，是以測驗單一概念為主 ; 而在浮力 綜合應用層次題型部分，則是設計了一道情境試題，藉由金屬球的擺放方式，
例如：置於木桶內、繫於木桶下，並使其整顆球沒入於液面下，以及使其沉 於液底部等，一連串「不同的擺放方式」，探討學生如何運用與連結相關概 念，來解決浮力問題 。下部分是針對各層次題型的試題內容、測驗目標作說 明：
（1）普物問卷第一題：密度概念層次題型
「若A、B 與 C 三顆球的質量相同、體積大小為𝑉Q > 𝑉R> 𝑉S，設三顆球之 密度𝜌Q、𝜌R與𝜌S，則密度由大至小排序為 (以>、=表示)。」
【參考解答】𝜌T > 𝜌R> 𝜌Q
【測驗概念目標】是否能正確運用密度的定義。
（2）普物問卷第二題：浮力概念層次題型
「有三個材質相同但體積不相等的物體，分別置於裝有水的同一容器中，其沉 浮情形，如下【3-3-4 (a)~(c)】所示。設下圖中(a)、(b)與(c)的物體在水中 所受之浮力分別為𝐵U、𝐵V與𝐵T，則三個物體所受浮力由大至小排序為 (以>、=表示)。」
▲圖 3-3-4：普通物理圖表概念認知調查試題示意圖(第二題)
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【參考解答】𝐵U > 𝐵V > 𝐵T
【測驗概念目標】（1）是否能正確運用密度的定義。
（2）是否能正確運用浮力公式(𝐵 = 𝑉𝜌𝑔)。
（3）是否能正確運用力與力平衡的概念。
（4）是否知道浮力的來源是來自於液體的壓力差。
（3）普物問卷第三題：浮力綜合應用層次題型
「某生做浮力實驗之步驟順序如下所述：
《步驟一》將一木桶置於水中後，測得其水面高度為ℎ，如下【圖 3-3-5(a)】所 示。
《步驟二》置一金屬球於木桶內，並測得其水面高度為𝐻$，如下【圖3-3-5 (b)】所示。
《步驟三》將此金屬球從木桶內取出後，用一細絲(體積可忽略不計)勾置於木桶 底部，並測得其水面高度為𝐻%，如下【圖3-3-5 (c)】所示。
《步驟四》最後再將其細絲剪斷，並待其金屬球沉入水底後，測得其水面高度 為𝐻W， 如下【圖 3-3-5 (d)】所示。
則水面高度ℎ、𝐻$、𝐻%與𝐻W由高至低排序為 (以>、=表示)。」
▲圖 3-3-5：普通物理圖表概念認知調查試題示意圖(第三題)
【參考解答】𝐻$＝𝐻% > 𝐻W > ℎ
【測驗概念目標】（1）是否能正確運用浮力公式 (𝐵 = 𝑉𝜌𝑔)。
（2）是否能正確運用力與力平衡的概念。
（3）是否能正確運用阿基米德原理即浮力等於排開的液體重。
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（二）普通物理圖表概念問卷調查之參考解法：
（1）密度概念層次題型的參考解法：
因為三顆球的質量均相等， 故可由密度的定義與數學式判斷，
各球的密度與其體積大小成反比，即：
𝜌＝EF ∝ $F （1-1）
由題意得 A、B 與 C 三顆球的體積大小為𝑉- > 𝑉Y > 𝑉Z，故可由 上（1-1）式得：
H$
[> H$
\> H$
] 或 𝜌Q < 𝜌R < 𝜌S （1-2）
（2）浮力概念層次題型的參考解法：
【參考解法I】由題目的附圖可知，三物體的體積以 a 物體的體積 最大；c 物體的體積最小，即：
𝑉^ > 𝑉_ > 𝑉` （2-1）
根據浮力原理知道，物體在靜止液體中所受之浮力大小與沒入液體 中的體積 𝑉、液體的密度 𝜌及所在的重力場大小𝑔 有關，其數學關係式 為：
𝐵 = 𝑉𝜌𝑔 （2-2）
由於 A、B 與 C 三物體所受的重力場強度相同，且三物體「完全沒 入在相同的液體中」，因此各物體在液中，所受的浮力大小B 與其沒 入的體積V 成正比。故可由上式（2-2）記為：
𝐵 = 𝑉𝜌𝑔 ∝ 𝑉 （2-3）
根據上式（2-1）與（2-3），可以透過比較得各物體於液中，所受 的「浮力大小」關係式為：
𝐵^ > 𝐵_ > 𝐵` （2-4）
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【參考解法II】由於 A、B、C 三物體的材質均相同，即暗示了三 物體的密度物理量相同，故可將其數學式表為：
𝜌^ = 𝜌_= 𝜌` （2-5）
根據上式（1-1）與（2-5），可由（2-1）得三物體的質量大小關 係式，即：
𝑚^ > 𝑚_ > 𝑚` （2-6）
若一質量為 𝑚 的物體，所受的重力大小𝑊與所在的重力場大小 𝑔 之關係式可表示為：
𝑊 = 𝑚𝑔 （2-7）
則可將上式（2-6），由上式（2-7），得各物體的重量大小關係式，
即：
𝑊^ > 𝑊_ > 𝑊` （2-8）
由於A、B 與 C 三物體於靜止液體中達平衡，由靜力平衡的條件：
各物體於鉛直方向上，所受的「外力總合恆等於零」，故：
Σ𝑭A(^) = 𝑩𝒂+ 𝑾𝐚= 0 或 𝐵U = 𝑊U （2-9）
Σ𝑭A(_)= 𝑩𝒃+ 𝑾𝐛 = 0 或 𝐵V = 𝑊V （2-10）
Σ𝑭A(`)= 𝑩𝒄+ 𝑾𝐜 = 0 或 𝐵T = 𝑊T （2-11）
因此，可由上式（2-8）與（2-9）~（2-11）得，三物體於靜止液體 中所受的浮力大小關係式為：
𝐵^ > 𝐵_ > 𝐵` 即式（2-4）
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【參考解法III】已知物體在靜止液體中所受的靜液壓力𝑃與其 液體密度𝜌與所在的重力場大小𝑔，以及液面下的物體距液面的垂
直距離ℎ的數學關係式，可表示為：
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ （2-12）
若（a）、（b）與（c）物體的高度均為 d，則在三物體在液中分別 所受的靜液壓力差∆𝑃^、∆𝑃_與∆𝑃`，可由上式（2-12）表示成：
∆𝑃^ = 𝑃^+ 𝜌𝑔𝑑 − 𝑃^ = 𝜌𝑔𝑑 （2-13）
∆𝑃_ = 𝑃_+ 𝜌𝑔𝑑 − 𝑃_ = 𝜌𝑔𝑑 （2-14）
∆𝑃` = 𝑃` + 𝜌𝑔𝑑 − 𝑃` = 𝜌𝑔𝑑 （2-15）
壓強P 的定義為「單位面積𝐴上，所受到的垂直作用力𝐹」 ，故可
將其數學式表示為：
𝑃 = ,- （2-16）
由於浮力 B 為靜止液體的壓力差∆𝑃 所造成的結果，因此若將（a）、
（b）與（c）物體的面積，分別表示為𝐴^、𝐴_與𝐴`，則可以藉由式
（2-13）~（2-15）與 （2-16），得到 a、b、c 三物體於靜止液體中，所 受的浮力大小，即：
𝐵^ = ∆𝐹^ = ∆𝑃^𝐴^ = 𝜌𝑔𝑑𝐴^ （2-17）
𝐵_= ∆𝐹_= ∆𝑃_𝐴_ = 𝜌𝑔𝑑𝐴_ （2-18）
𝐵` = ∆𝐹` = ∆𝑃`𝐴` = 𝜌𝑔𝑑𝐴` （2-19）
由題目的附圖我們可以判斷出，其三物體間的面積大小關係為a 物體的面積最大；c 物體的面積最小，即：
𝐴^ > 𝐴_ > 𝐴` （2-20）
因此，可以透過上式（2-20）的面積大小關係式，代入上式（2-17）
~（2- 19）中，得各物體的「浮力大小」關係，即：
𝐵^ > 𝐵_ > 𝐵` 即式（2-4）
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（3）浮力綜合應用層次題型的參考解法：
本題我們將採用「兩兩比較法」來分析。首先，研究者先分析下圖
（a）~（c）系統的受力情形，若假設木桶與金屬球的重量分別為𝑾𝟏 與𝑾𝟐（粗體字表是向量），且各系統所受的浮力分別為𝑩𝐚、𝑩𝐛與𝑩𝐜 ; 根據靜力平衡的條件，我們可以得到：
Σ𝑭A(^) = 𝑩𝒂+ 𝑾𝟏 = 0 或 𝐵U= 𝑊$ （3-1）
Σ𝑭A(_)= 𝑩𝒃+ (𝑾𝟏+ 𝑾𝟐) = 0 或 𝐵V = 𝑊$ + 𝑊% （3-2）
Σ𝑭A(`) = 𝑩𝒄+ (𝑾𝟏+ 𝑾𝟐) = 0 或 𝐵T = 𝑊$+ 𝑊% （3-3）
考慮圖（d）的受力情形，若木桶所受的浮力為 𝑩𝒅木 且金屬球所受 的正向力與浮力分別為𝑵金與𝑩𝒅金 ，則：
Σ𝑭A(jk)= 𝑩𝒅木+ 𝑾𝟏 = 0 或 𝐵j木 = 𝑊$ （3-4）
Σ𝑭A(jE) = 𝑩𝒅金+ 𝑵金+ 𝑾𝟐= 0 或 𝐵j金= 𝑊%− 𝑁金 （3-5）
因此，若綜合上式（3-4）與（3-5），便可得到圖（d）系統所受 的浮力𝐵j大小，即：
𝐵j = 𝐵j木+ 𝐵j金 = 𝑊$+ 𝑊%− 𝑁金 （3-6）
根據阿基米德原理「浮力即為排開的液體重(𝑊)」，故浮力的變化
∆𝐵 即為排開液體重的變化量 ∆𝑊。若今將盛液容器內之液體量表示為 𝑀 = 𝐴 ∙ 𝑦 （其中 A 為盛水容器之底面積、y 為液面的高度），則：
∆𝐵 = ∆𝑊排開的液重 = (∆M液體量)𝑔 = 𝐴(𝑦′− 𝑦)𝜌液𝑔 （3-7）
由上式（3-7）的結果，將上式（3-1）~（3-3）與（3-6）合併 ：
∆𝐵 = 𝐵V− 𝐵U = 𝑊% = 𝐴(𝐻$ − ℎ)𝜌水𝑔 （3-8）
∆𝐵 = 𝐵T− 𝐵V = 0 = 𝐴(𝐻%− 𝐻$)𝜌水𝑔 （3-9）
∆𝐵 = 𝐵l− 𝐵T = −𝑁金 = 𝐴(𝐻W− 𝐻%)𝜌水𝑔 （3-10）
∆𝐵 = 𝐵U− 𝐵l = −𝑊%+ 𝑁金= 𝐴(ℎ − 𝐻W)𝜌水𝑔 （3-11）
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由於上式（3-8）中的𝐵V− 𝐵U 之值「恆正」，故：
𝐻$ − ℎ > 0 或 𝐻$ > ℎ （3-12）
上式（3-9）中的 𝐵T− 𝐵V 之值「恆為零」，故：
上式（3-9）中的 𝐵T− 𝐵V 之值「恆為零」，故：