第三章 研究方法
第三節 研究工具
本研究的研究工具有：自編國小四年級面積單元診斷測驗、認知診斷電腦適 性測驗系統、相關統計軟體，依序分述如下：
壹、自編國小四年級面積單元診斷測驗
一、測驗內容
首先依據不同 Q 矩陣(試題概念)與參考數學教育的相關面積概念研究文獻，
以及根據教育部於民國九十二年所公布九年一貫課程綱要小學數學科四年級課 程(部編版第八冊)教材內容範圍，配合課程綱要中面積概念相關的能力指標進行 命題編製測驗。命題的重點放在四年級學生都學過的面積基本概念，因此，每一 道試題應該都是用來測量基本能力的題目，沒有任何艱深、刁難的試題，凡經過 正常教學與學習的學生，應該都會作答且答對。
二、編製過程
依據教育部編審通過的版本(部編版第八冊)課本、習作相關概念題目，並參 考國內外有關面積單元相關研究文獻之錯誤概念類型，進行本研究國小四年級面 積單元概念診斷測驗之編製，共命 22 道開放性題型的試題(參閱附錄一)，其中包 含 12 個與面積相關的概念，每一個概念至少命二題以上之試題，所有試題請指
導教授、國小老師三名，提供試題編製上的建議，再加以修正。並先以紙筆測驗 方式進行試題預試，受試學生必須在每道試題中寫出計算過程。根據預試結果並 分析預試題目難易度與信度，進行試題的修審或刪除，最後編製成電腦化線上的 診斷測驗。本研究預試題本測驗的概念與試題對照表如表 3-3-1 所示；試題概念 矩陣(Q 矩陣)如表 3-3-2 所示，表示數字中「1」表示該題目測量到此概念；數字
「0」表示該題目沒有測量到此概念。
表 3-3-1 概念與試題對照表
認知屬性(概念)內容 試題
【概念 1】能應用 1 平方公尺＝10000 平方公分，
作單位的換算
1、3、9、10、11、14
【概念 2】能正確使用『平方公分』、『平方公尺』
描述面積的大小
2、7
【概念 3】能做『公尺』與『公分』單位的換算 1、3、6、10、12
13、14、16、17、18、19
【概念 4】能做『公里』與『公尺』單位的換算 4、8、15
【概念 5】能做公尺-公分複名數互換 5、6
【概念 6】能做公里-公尺複名數互換 4、8
【概念 7】能做長度複名數加、減、乘、除法的計 算
4、6、8、16、17
【概念 8】能應用長方形的周長公式，解決生活中 相關問題
5、8、16、17
【概念 9】能應用正方形的周長公式，解決生活中 相關問題
4、6、13、16、17、18
【概念 10】能應用長方形面積公式算出長方形的 面積
10、12、14、17、20、21 22
【概念 11】能應用正方形面積公式算出正方形的 面積
9、11、13、15、16、18 19、20、21、22
【概念 12】能解決簡單組合圖形的面積問題 19、20、21、22
表 3-3-2 Q 矩陣設計 認知屬性(概念)
試題編號 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 I1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I4 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 I5 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 I6 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 I7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I8 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 I9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 I10 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 I11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 I12 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 I13 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 I14 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 I15 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 I16 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 I17 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 I18 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 I19 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 I20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 I21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 I22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 概念數
統計 6 2 11 3 2 2 5 4 6 7 10 4 三、預試試題之品質分析
為求診斷測驗編製的慎重，在本試題經由預試後與討論而完成修正之後，修 正試題中題意不清或內容不符，使試題具有良好的信、效度，以提高準確診斷訊 息，並讓試題選項更具有誘答力；另外，為得知本預試試題品質的良窳，我們需 要進行試題之品質分析，其目的在於瞭解每一試題的難度(difficulty)與鑑別度 (discrimination)。
（一）預試效度
預試測驗題本之效度以專家效度為主。試題擬訂後，藉由指導教授及二位教 學經驗豐富現職老師審閱本預試測驗，針對題本內容設計適切作評估，並提供試 題修改建議，以確認測驗試題內容之有效性。
（二）預試信度
本研究預試信度分析，採內部一致性分析之Cronbach α係數，其值為0.888。
刪除試題後的Cronbach's Alpha值，數據如表3-3-3所示。
表3-3-3 信度Cronbach's Alpha值分析表 題
號
項目刪除時的 尺度平均數
項目刪除時的 尺度變異數
修正的項目 總相關
項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值 I1 36.64 569.475 0.506 0.883
I2 37.42 614.295 0.625 0.883 I3 36.19 620.162 0.154 0.894 I4 36.64 590.891 0.522 0.882 I5 36.02 604.703 0.397 0.885 I6 36.10 589.246 0.560 0.881 I7 37.23 620.941 0.517 0.885 I8 35.97 615.035 0.287 0.888 I9 37.03 606.651 0.365 0.886 I10 37.24 589.857 0.566 0.881 I11 37.00 578.171 0.674 0.878 I12 36.67 582.073 0.617 0.879 I13 37.26 587.690 0.492 0.883 I14 37.18 577.494 0.580 0.880 I15 37.65 595.552 0.481 0.883 I16 37.42 574.776 0.566 0.880 I17 37.77 593.877 0.467 0.883 I18 37.94 603.779 0.411 0.885
表3-3-3 信度Cronbach's Alpha值分析表(續) 題
號
項目刪除時的 尺度平均數
項目刪除時的 尺度變異數
修正的項目 總相關
項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值 I19 36.66 574.839 0.554 0.881
I20 36.12 566.947 0.608 0.879 I21 36.44 584.887 0.455 0.884 I22 36.24 570.729 0.575 0.880
由上述 Cronbach α 信度分析表中得知，雖然刪除第三題會使信度提高至 0.894，但提昇的幅度不大且因第三題所包含的主概念共有三個，其中概念五僅由 第一題與第三題測量，根據認知診斷測驗編製原則為每一個概念至少測驗兩題，
以減少診斷時所產生的誤差，再加上預試後顯示此題有不錯的鑑別度，因此仍保 留第三題。
（三）預試試題難度
本預試測驗以難度指數表示本測驗的難易程度，難度指數愈高，代表該試題 愈容易；反之，則代表該試題愈難。難度指數計算公式如下：
P＝（PH＋PL）/2
PH：高分組通過率；PL：高分組通過率
本預試試題的難度指數值介於 0.1565~0.7290，平均難度為 0.40840。數據如 表 3-3-5。整份測驗難度為中偏難，因此在編製正式測驗時，將難度較高試題中 的數字變小以降低測驗難度。
（四）預試試題鑑別度
本研究之預試試題鑑別度(D)的計算將受試者依測驗總分由高而低排序後，
測驗總分前 27％設為高分組，測驗總分後 27％設為低分組，之後計算高低分組 答對此試題的百分比，鑑別度(D)為高分組答對此試題百分比與低分組答對此試 題百分比的差異值，公式如下：
D＝PH－PL
PH：高分組通過率；PL：高分組通過率
本預試試題的鑑別度值介於 0.1565~0.7290，平均鑑別度為 0.40840。試題都 在可接受範圍，因此不作修改。數據如表 3-3-4。
表 3-3-4 預試試題之通過率、難度指數及鑑別度試題分析表 題號 通過率
P％
高分組通過 率（PH）
低分組通過 率（PL）
難度指數(P) P＝(PH＋PL)/2
鑑別度(D) D＝PH－PL
I1 31.552 0.66 0.05 0.3588 0.6107 I2 75.573 0.91 0.53 0.7214 0.3740 I3 32.570 0.63 0.05 0.3435 0.5802 I4 60.814 0.80 0.40 0.6031 0.3969 I5 57.761 0.89 0.19 0.5420 0.7023 I6 66.158 0.93 0.30 0.6145 0.6336 I7 75.827 0.95 0.51 0.7290 0.4351 I8 58.779 0.85 0.29 0.5687 0.5573 I9 31.043 0.68 0.04 0.3588 0.6412 I10 33.588 0.72 0.02 0.3664 0.7023 I11 40.712 0.85 0.03 0.4389 0.8168 I12 50.636 0.85 0.10 0.4733 0.7481 I13 23.664 0.01 0.00 0.3053 0.6107 I14 28.753 0.68 0.01 0.3435 0.6718 I15 19.084 0.45 0.01 0.2290 0.4427 I16 20.356 0.53 0.02 0.2786 0.5115 I17 13.232 0.37 0.00 0.1832 0.3664 I18 11.705 0.30 0.19 0.1565 0.2824 I19 38.422 0.76 0.05 0.3779 0.7557 I20 55.980 0.85 0.09 0.5229 0.6641 I21 38.677 0.74 0.05 0.3969 0.6870
表 3-3-4 預試試題之通過率、難度指數及鑑別度試題分析表(續) 題號 通過率
P％
高分組通過 率（PH）
低分組通過 率（PL）
難度指數(P) P＝(PH＋PL)/2
鑑別度(D) D＝PH－PL
I22 48.855 0.82 0.53 0.4580 0.7328 平均值 40.204 0.74 0.07 0.40840 0.67176 四、正式診斷測驗編製
（一）編製正式測驗
透過預試工作分析的結果，針對預試測驗中某部分試題進行修正或增刪。其 說明如下：
1. 第 3 題經紙筆預試的結果得知學生的答對率普遍偏低，可能原因是題意不 清楚，學生無法正確作答，導致此題通過率低，難度偏高。因此除了修改原題目 中的數字外，並修正題幹中語意不清楚的地方(如表 3-3-5)。
2. 將預試結果利用 Ox 軟體估計試題參數，發現第六題的猜測參數 g 稍高(如 表 3-3-6)，探究其原因可能是專家設定的 Q 矩陣不適當，而導致參數估計不精準，
因此重新修正概念與試題間對應關係(如表 3-3-8)與 Q 矩陣(如表 3-3-9)，經分析 後，g 值(猜測參數)由 0.5076 降至 0.4269(如表 3-3-7)，正式施測後經 Ox 軟體分 析所有 g 值(猜測參數)皆小於 0.5(參閱第四章第一節表 4-1-3、4-1-4 與 4-1-5)。
3. 第 17 題、第 18 題因紙筆預試測驗時通過率偏低，難度偏高(難度指數為 0.18 與 0.16)，其中未作答的學生比率過高，且學生反應作答時因試題偏難導致跳 過該試題，因此於正式施測時刪除 17、18 兩題。
4. 第 20 題原設計理念為利用長方形與正方形面積公式解決組合圖形面積，
部分學生對正方形面積與周長公式產生混淆，導致無法正確答對試題，因此將原 題目修改為利用長方形面積算出組合圖形面積(如表 3-3-5)。
5. 為了將紙筆測驗轉換成正式施測時的電腦化診斷測驗，其餘的試題根據學 生紙筆預試的作答反應結果，依原題目轉換成選擇題的題型。(參閱附錄二)
表 3-3-5 原題與修正後試題內容對照表
原題(紙筆測驗) 修正後(電腦線上測驗)
3. 小葵想計算 16 平方公尺等於多 少平方公分？但她計算過程只寫 一半，聰明的小朋友請完成下列空 格，幫小葵解決問題！
16 平方公尺
＝4（ ） × （ ）公尺，
＝（ ）公分 × （ ）公分
＝（ ）平方公分。
（ ）3. 小葵想計算 4 平方公尺等於多少 平方公分？在她的計算過程中，哪一個算式 是正確的？
○
１ 因為 4 平方公尺 ＝ 4 × 1（平方公尺）
＝ 4 × 1（公尺）× 1（公尺）
＝ 4 × 10（公分）× 10（公分）
＝ 400 平方公分
所以 4 平方公尺 ＝ 400 平方公分
○
２ 因為 4 平方公尺 ＝ 4 × 1（平方公尺）
＝ 4 × 1（公尺）× 1（公尺）
＝ 4 × 100（公分）× 100（公分）
＝ 40000 平方公分
所以 4 平方公尺 ＝ 40000 平方公分
○
４ 因為 4 平方公尺
＝2（公尺）× 2（公尺）
＝20（公分）× 20（公分）
＝400 平方公分
所以 4 平方公尺 ＝ 400 平方公分
○
３ 因為 4 平方公尺
＝ 200（公尺）× 200（公尺）
＝ 200（公分）× 200（公分）
＝ 40000 平方公分
所以 4 平方公尺 ＝ 40000 平方公分
表 3-3-5 原題與修正後試題內容對照表(續)
原題(紙筆測驗) 修正後(電腦線上測驗)
20. 如右下圖。算出塗色部分面 積是多少平方公分？
（ ）20. 如右下圖。算出塗色部分面積是多 少平方公分？
○１ 111 ○２ 39
○３ 195 ○４ 102
最後經專家、教師修審試題後，篩選出 20 道試題彙編成為正式線上施測的
「數學科面積單元認知診斷測驗試卷」，本試卷係用來診斷國小五年級學生在面 積單元學習上是否達精熟為目的。試題以單選的選擇題為題型方式呈現，共有 4 個選項，1 個是正確答案，其他 3 個為誘答選項。為了使測驗試題的選項更具有 誘答力，題目與選項皆經由學生紙筆預試的結果，詳細設計學生易發生的錯誤概 念，避免學生猜測度提高進而影響認知診斷測驗的結果。經內部一致性信度分析 結果顯示，本數學科認知診斷測驗卷的平均試題難度約介於 .312 ～ .747 之 間、鑑別度約介於 .398 ～ .860 之間、α 信度係數約介於 .851~ .866。由此測驗 卷的信效度可知，它們足以作為本研究線上施測用之工具。其試題內容詳見附錄 三。
單位：公分 6 6
10
15
單位：公分 6
7
9
17
表 3-3-6 DINA 模式預試試題參數估計值
試題 粗心參數 s 猜測參數 g
I1 0.1393 0.0656
I2 0.0394 0.3498
I3 0.2220 0.1183
I4 0.1657 0.4691
I5 0.1161 0.2169
I6 0.0609 0.5076
I7 0.0004 0.2850
I8 0.0637 0.2660
I9 0.4241 0.0686
I10 0.2694 0.0244
I11 0.1501 0.0038
I12 0.1644 0.1119
I13 0.3627 0.0246
I14 0.3912 0.0340
I15 0.4492 0.0007
I16 0.4386 0.0172
I17 0.6065 0.0000
I18 0.7100 0.0027
I19 0.2721 0.0382
I20 0.1490 0.1554
I21 0.3473 0.0802
I22 0.2065 0.1371
表 3-3-7 DINA 模式預試修正後試題參數估計值
試題 粗心參數 s 猜測參數 g
I1 0.1851 0.2413
I2 0.0873 0.4078
I3 0.0930 0.4354
I4 0.2051 0.3976
I5 0.2494 0.1911
I6 0.1022 0.4269
I7 0.0494 0.3568
I8 0.1557 0.0967
I9 0.2683 0.0873
I10 0.3923 0.0432
I11 0.3156 0.0504
I12 0.1407 0.2344
I13 0.3997 0.0367
I14 0.4854 0.0325
I15 0.3429 0.0000
I16 0.4950 0.0274
I17 0.1791 0.0300
I18 0.0617 0.1328
I19 0.2926 0.1325
I20 0.1115 0.1851
表 3-3-8 概念與試題對照表(修正後)
認知屬性(概念)內容 試題
【概念 1】能應用 1 平方公尺＝10000 平方公分，作 單位的換算
1、3、9、10、11、13 14
【概念 2】能正確使用『平方公分』、『平方公尺』描
述面積的大小 2、7
【概念 3】能將幾公尺幾公分換算成幾公分，幾公 分換算成幾公尺幾公分
1、3、5、6、10、12 14、16、17
【概念 4】能將幾公里幾公尺換算成幾公尺，幾公尺
換算成幾公里幾公尺 4、8、15
【概念 5】能瞭解 1 平方公尺(1 公尺 × 1 公尺：每邊長
1 公尺的正方形)的定義 1、3
【概念 6】能應用面積與周長公式，解決生活相關問 題
4、5、6、9、10 11、12、13、14、15
【概念 7】能做長度複名數加、減、乘、除法的計
算 4、6、8、16
【概念 8】能應用長方形的周長公式，算出長方形的
周長 5、8、16
【概念 9】能應用正方形的周長公式，算出正方形的
周長 4、6、13、15、16
【概念 10】能應用長方形面積公式算出長方形的面 積
10、12、14、18、19 20
【概念 11】能應用正方形面積公式算出正方形的面 積
9、11、13、15、16、17 19、20
【概念 12】能解決簡單複合圖形的面積問題
17、18、19、20
表 3-3-9 Q 矩陣設計(修正後) 認知屬性(概念) 試題
(n＝20) K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 I1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 I2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I3 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 I4 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 I5 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 I6 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 I7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I8 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 I9 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 I10 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 I11 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 I12 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 I13 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 I14 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 I15 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 I16 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 I17 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 I18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 I19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 I20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 概念數
統計 7 2 9 3 2 10 4 3 5 6 8 4
貳、認知診斷電腦適性測驗系統
本研究使用臺中教育大學教育測驗統計研究所研發的認知診斷電腦適性測 驗系統(郭伯臣等人，2011)為平台，研究者將編製的認知診斷試題上傳並進行線
本研究使用臺中教育大學教育測驗統計研究所研發的認知診斷電腦適性測 驗系統(郭伯臣等人，2011)為平台，研究者將編製的認知診斷試題上傳並進行線