試題層次與測驗層次之認知診斷模型適合度分析-以國小四年級面積單元診斷測驗為例

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文. 指導教授：施淑娟博士. 試題層次與測驗層次之認知診斷模型適合度分析-以國小四年級面積單元診斷測驗為例. 研究生：蔣威廉撰. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 一. 年. 八. 月.

(2) 謝辭長達三年多的研究所求學生涯終於劃下句點。這一段路確實走來艱辛但卻是人生中令人值得回味且留下了最美好的回憶。在測統所這個大家庭中，曾參與編製的數學教材、以及學習各種與教學主題有關的內容，讓我能以更豐富歷練、更多元的學識來面對教育工作。能夠順利取得碩士學位，首先感謝指導教授施淑娟博士，在她默默辛苦付出的指導之下，讓我學會了如何看待問題、提出問題、分析問題、與解決問題。不僅協助我走向正確的研究方向，也讓我建立研究過程中的信心。而在平時討論、溝通的過程當中，老師總能一針見血地點出我的盲點，讓整篇論文的內容更臻於完備。感謝口試委員郭伯臣教授與吳慧珉教授，在論文完成前的最後一個階段不吝給予的指教，提供寶貴的意見和與眾不同的想法，使得本論文的結構完整性能夠更加嚴謹。其次感謝智為學長、彥均學長與鴻鈞大哥耐心教導與細心協助，不論是程式的撰寫與使用或是線上施測流程與事後數據分析，都給了我極大的幫助！甚至在我遇到瓶頸時，能適時提供解說與支援，也謝謝好同學們的相互扶持與鼓舞，討論相關研究問題時有你們的陪伴讓我安心不少。最後，感謝我的家人在背後默默的支持，由於你們不斷的鼓勵與無私的包容心，讓我能無後顧之憂地完成論文的寫作，如今順利從研究所畢業這一份榮耀願與你們共享，也祝福你們永遠平安健康。蔣威廉謹誌於國立臺中教育大學教育測驗統計研究所中華民國一０一年八月.

(3) 中文摘要本研究旨在以認知診斷模型為理論基礎編製認知診斷測驗，將國小四年級數學學習領域中「面積」單元作為特定研究範圍，從試題層次與測驗層次之模型適合度檢定以及概念診斷辨識率三種面向，評估認知診斷模型應用於實際數學診斷分析之成效，提供給實務工作者編製試題與評估模型的參考。為達研究目的，本研究先藉由試題層次與測驗層次之模型適合度檢定，比較 G-DINA模型、DINA模型與DINO模型三種不同認知診斷模型之適合度，以探究哪一種模型最適合本研究之資料，再透過比較不同認知診斷模型之概念診斷結果與專家診斷結果之一致性(即診斷辨識率)，以瞭解三種認知診斷模型之診斷辨識率比較結果是否與適合度檢定一致，最後以最佳模型分析學童面積概念的表現情形。研究結果顯示： 1.以面積單元為內容編製的診斷測驗工具 Cronbach  值為 0.86，平均難度為 0.49，平均鑑別度為 0.64，試題品質佳。 2.就試題層次之模型適合度而言，約85％的試題使用DINA模型與G-DINA模型模型之適合度並無顯著差異，且因DINA模型為較精簡的模型，因此選用DINA模型進行認知診斷分析對大多數的試題是較佳的選擇。 3.就測驗層次之模型適合度而言，DINA模型優於G-DINA模型與DINO模型。 4.受試者整體概念診斷辨識率以DINA模型表現最佳，優於G-DINA模型與DINO 模型，此結果與適合度檢定一致。 5.以表現最佳的 DINA 模型進行測驗分析，可知：面積單元各個概念的精熟度表現高分組學童顯著優於低分組學童；全體學童平均概念精熟度為 0.6687，其中能應用 1 平方公尺＝10000 平方公分，作單位的換算概念與能瞭解 1 平方公尺(1 公尺 × 1 公尺：每邊長 1 公尺的正方形) 的定義概念表現最差，能應用正方形的周長公式，算出正方形的周長概念表現最好。關鍵字：認知診斷模型、模型比較、選模準則、試題層次之模型適合度檢定、測驗層次之模型適合度檢定。. I.

(4) The analysis of item-level and test-level model fit based on cognitive diagnostic model -Taking diagnostic test in area unit of grade four as an example. Abstract The purpose of this research is to design a cognitive diagnostic test based on cognitive diagnostic model. The content of test proposed by this study focuses on the area unit of mathematics for the fourth graders. After the test is administered, the analysis of item-level model fit, test-level model fit and conceptual diagnostic accuracy are applied to evaluate the effect of the cognitive diagnostic models. The method and result in this study will provide a guideline for test developers and future researchers. The research begins with the item-level and test-level model fit test to examine the differences among three different models including G-DINA model, DINA model and DINO model in order to determine an optimal model in this research. Secondly, exploring the consistency of the conceptual diagnosis result between above three cognitive diagnosis models and the specialist’s diagnosis in order to evaluate the diagnosis accuracy among three cognitive diagnosis model. Finally, applying the optimal model to diagnose the performance of students in area unit of grade four. The results show that: 1. The Cronbach  index of diagnosis test tool which is designed based on the area unit is 0.86, the average difficulty index is 0.49 and the average discrimination index is 0.64, indicating that test has a good quality.. II.

(5) 2. Comparing item-level model fit test: 85% of the items have no distinct for model fit by using G-DINA model and DINA model. Since DINA model is a relatively simplified model, thus, DINA model would be a better option for cognitive diagnosis analysis. 3. Comparing test-level model fit test: DINA model is better than G-DINA model and DINO model. 4. Comparing the diagnostic accuracy of overall concepts : DINA model is better than G-DINA model and DINO model. It agrees with the compared result of the model-fit. 5. Students’ performances analysis based on the best DINA model shown that the high ability group are significant better than low ability group in all concepts of the area unit. In general, the average degree of area concepts mastery for overall students is 0.6687. In fact, the worst performance is measure conversion of “1 m2 = 10000 cm2 ” and understanding the definition of 1 m2 (1 m × 1 m by square). On the contrary, the best performance is applying the perimeter formula to calculate square perimeter. Keywords: cognitive diagnostic models, model comparison, model selection criterion, item-level model fit test, test-level model fit test.. III.

(6) 目錄摘要...............................................................Ⅰ 目錄...............................................................Ⅳ 表目錄.............................................................Ⅵ 圖目錄.............................................................Ⅷ 第一章緒論.........................................................1 第一節研究動機.................................................1 第二節研究目的.................................................3 第三節待答問題.................................................3 第四節名詞釋義.................................................4 第五節研究範圍與限制...........................................6 第二章文獻探討.....................................................7 第一節認知診斷模型.............................................7 第二節試題層次模型比較........................................14 第三節測驗層次選模準則........................................19 第四節面積教材分析............................................22 第五節面積迷思概念............................................28 第三章研究方法....................................................33 第一節研究流程................................................33 第二節研究對象................................................35 第三節研究工具................................................36 第四節認知診斷模型評估指標....................................52 第五節資料處理與分析..........................................56 第四章研究結果與討論..............................................57. IV.

(7) 第一節正式施測之試題品質分析與不同模型試題參數估計比較........57 第二節試題層次之模型適合度分析比較............................63 第三節測驗層次之模型適合度分析比較............................65 第四節模型診斷結果與專家判定結果之一致性分析..................66 第五節學童面積概念之精熟表現..................................68 第五章結論與未來研究建議..........................................75 第一節結論....................................................75 第二節未來研究建議............................................76 參考文獻...........................................................78 中文部分.......................................................78 英文部分.......................................................80 附錄...............................................................83 附錄一開放性紙筆預試試題......................................83 附錄二預試測驗卷轉換正式施測測驗卷試題分析....................85 附錄三線上正式施測試題.......................................107. V.

(8) 表目錄表 2-1-1 整數四則的概念............................................10 表 2-1-2 整數四則的選擇題例題......................................10 表 2-1-3 整數四則選擇題例題的Q 矩陣................................10 表 2-1-4 受試者的概念狀態..........................................11 表 2-1-5 認知診斷模型相關研究......................................13 表 2-4-1 面積教材詮釋與層次理論架構比較表..........................22 表 2-4-2 相關主題與相對應能力指標..................................24 表 2-4-3 國小階段面積相關聯能力指標、分年細目詮釋與對應能力指標....25 表 2-5-1 學習面積單元可能發生迷思概念之相關研究....................29 表 3-3-1 概念與試題對照表..........................................37 表 3-3-2 Q 矩陣設計................................................38 表 3-3-3 信度Cronbach's Alpha值分析表..............................39 表 3-3-4 預試試題之通過率、難度指數及鑑別度試題分析表..............41 表 3-3-5 原題與修正後試題內容對照表................................43 表 3-3-6 DINA模式預試試題參數估計值................................45 表 3-3-7 DINA模式預試修正後試題參數估計值..........................46 表 3-3-8 概念與試題對照表（修正後）................................47 表 3-3-9 Q 矩陣設計（修正後）......................................48 表 3-4-1 認知診斷模型之選模準則公式................................53 表 3-4-2 專家判定評分者信度表......................................54 表 3-4-3 概念辨識率判定方法........................................55 表 4-1-1 信度Cronbach's Alpha值分析表..............................58 表 4-1-2 正式施測之通過率、難度指數及鑑別度試題項目分析表..........59. VI.

(9) 表 4-1-3 DINA模型參數估計值（正式施測）............................60 表 4-1-4 DINO模型參數估計值（正式施測）............................61 表 4-1-5 G-DINA模型參數估計值（正式施測）..........................62 表 4-2-1 試題層次之模型適合度分析表................................64 表 4-3-1 測驗層次之模型適合度指標..................................65 表 4-4-1 不同認知模型診斷結果與專家判定結果之一致性比較............66 表 4-5-1 全體學童面積概念精熟表現情形..............................68 表 4-5-2 高、低分組對於概念1精熟的表現情形.........................69 表 4-5-3 高、低分組對於概念2精熟的表現情形.........................70 表 4-5-4 高、低分組對於概念3精熟的表現情形.........................70 表 4-5-5 高、低分組對於概念4精熟的表現情形.........................70 表 4-5-6 高、低分組對於概念5精熟的表現情形.........................71 表 4-5-7 高、低分組對於概念6精熟的表現情形.........................71 表 4-5-8 高、低分組對於概念7精熟的表現情形.........................72 表 4-5-9 高、低分組對於概念8精熟的表現情形.........................72 表 4-5-10 高、低分組對於概念9精熟的表現情形........................72 表 4-5-11 高、低分組對於概念10精熟的表現情形.......................73 表 4-5-12 高、低分組對於概念11精熟的表現情形.......................73 表 4-5-13 高、低分組對於概念12精熟的表現情形.......................74. VII.

(10) 圖目錄圖 1-4-1 三道試題與兩個認知屬性所構成的關聯矩陣.....................4 圖 2-4-1 國小四年級教材地位........................................28 圖 3-1-1 研究流程圖................................................34 圖 3-3-1 系統登入畫面..............................................49 圖 3-3-2 系統歡迎畫面..............................................49 圖 3-3-3 使用說明畫面..............................................50 圖 3-3-4 測驗進行畫面..............................................50 圖 3-3-5 完成測驗畫面..............................................50. VIII.

(11) 第一章緒論本章旨在說明本研究的動機與目的、研究問題、重要名詞的詮釋、以及研究範圍和限制。茲分成五節陳述於後。. 第一節研究動機面積概念在人類生活中常會接觸和使用到，例如：地板磁磚的大小，桌面的大小等，時時刻刻都可接觸到有關面積的物品，所以面積是學童日常生活中最常接觸到也是最實用的經驗教材。既然兒童對於面積的接觸經驗十分豐富，理論上，在學習方面應具有不錯之成效，然而現今課程實施的結果，卻發現大多數學童只學會了背公式，而無法真正掌握面積的涵義。有太多的例子證明面積的教學常常失敗，探詢學生的面積概念時，發現大多數學生掌握的不過是一連串的公式；至於面積所代表的意義，或不同面積公式之間的關聯性等往往被學生忽略，導致學生面積概念的偏頗不全而影響他們日後的學習（譚寧君，1995）。因此，若能在學生學習面積的過程中，透過評量方式及時察覺學生的迷思概念，適時給予補救，對於學生面積概念的學習困難勢必能發揮改進之效果。基於上述，好的評量方法，除了要能測量出學習者的學習現況外，同時也應該提供學習者學習缺失的診斷訊息，以利教學者進行有效的補救教學。如此，評量方法與教學歷程的結合，才能讓教學活動更完善（涂金堂，2003）。因此，本研究試圖以四年級數學課程中之面積單元為評量內容，藉由Tatsuoka (1985) 提出試題與概念間關聯矩陣(Q矩陣)編製一套認知診斷測驗，然而有了好的認知診斷測驗必須加上良好的認知診斷模型來分析測驗結果，才能使診斷測驗所測得的訊息能被有效的揭露，認知診斷模型是一種潛在變量模式，主要朝向評估學生精熟或. 1.

(12) 非精熟一系列細微技能發展(de la torre, 2011)。因此，可以用來診斷受試者能力的精熟情形或是特定領域的表現情況模式。它不僅比傳統的總結性評量(summative evaluation)以單一總分來表示學生的成就更具預測效力，也可顯現出學生是否精熟某種技能的訊息，進而幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵意，進行更有效率的學習。目前常被應用在測驗資料分析的認知診斷模型，包括DINA模型(deterministic input, noisy “and” gate model; de la Torre, 2009b; Junker & Sijtsma, 2001)、DINO模型(deterministic input, noisy “or” gate model; Templin & Henson, 2006)、MC-DINA 模型(multiple-choice DINA model; de la Torre, 2009a)、G-DINA模型( generalized deterministic input, noisy “and” gate model; de la Torre, 2011)等。由於模型十分多元，在測驗實務上如何使選用的認知診斷模型與測驗資料間有最佳的適合度，以獲得較精確的診斷結果，遂成為重要的研究議題。模型適配度越低，模型在統計上或估計出來的結果越不具有任何的意義(Rupp,Templin,& Henson, 2010)，相對地，模型適合度較高其解釋的試題量就提高。de la torre(2011)可透過wald test進行試題層次的模型適合度比較，藉由逐一試題檢驗與模型之間適配度並決定最佳模型；以及利用模型選擇的準則(Akaike information criterion; Akaike, 1973、Bayesian information criterion; Akaike, 1978、consistent Akaike information criterion; Bozdogan, 1987)來進行測驗層次的模型適合度比較，由整份測驗的觀點看學生作答反應與模型間符合程度。但在文獻中並未將其應用在實徵資料中，因此本研究將應用上述的程序進行實際測驗資料之認知診斷模型選用，以確定所選定的模型能夠最佳適用於所分析的資料。除此之外，認知診斷模型是否能精確診斷出受試者概念，也是一個令人感興趣的議題，因此模式適合度較佳的模型是否也能獲得較好的診斷正確率亦為本研究探討重點之一。基於上述，因此本研究嘗試從試題層次、測驗層次之模型適合度檢定探究不. 2.

(13) 同認知診斷模型間的差異進而決定適合本研究最佳模型，並透過專家教師判定概念的有無的結果與不同認知診斷模型比對概念診斷辨識率之一致性，最後利用成效最佳模型分析學童在面積概念上精熟度表現情況。. 第二節研究目的茲根據前述的動機目的與重要文獻評閱結果，再加上研究者的研究心得與認知，擬定本研究核心目的。茲分別條述如下：一、編製國小四年級面積單元診斷測驗，並分析其信、效度、難度及鑑別度。二、探討不同認知診斷模型之試題層次模型適合度檢定。三、探討不同認知診斷模型之測驗層次模型適合度比較。四、分析不同認知診斷模型的診斷結果與專家判定結果之一致性並與模型適合度比較結果對照。五、以最佳認知診斷模型檢視國小四年級學童學習面積概念之精熟程度。. 第三節待答問題根據研究目的，本研究提出下列待答的問題，茲分述如下：一、如何利用預試結果的信、效度、難度及鑑別度修審診斷測驗內容？二、如何分析試題層次檢定適合度的結果，針對不同認知診斷模式選擇出與試題最佳適配的模式？三、在不同選模準則之下，何種認知診斷模型與資料較適配？四、探討不同認知診斷模型與專家判定結果之個別概念診斷辨識率與平均概念診斷辨識率為何？五、探究國小四年級受試學童面積概念之精熟情形如何？ 5-1 分析國小四年級全體受試學童面積概念精熟表現情形如何？. 3.

(14) 5-2 分析國小四年級高、低分組受試學童面積概念之精熟情形如何？. 第四節名詞釋義茲針對本研究常見的重要名詞，進行解釋或下操作型定義如后。. 壹、Q矩陣試題與概念之間所形成的關聯矩陣(incidence matrix) 通常以Q來表示。關聯矩陣的階數(order)是由概念的個數(k)乘以試題的數目(n)，若第j道試題包含第k個認知屬性(以下認知屬性本研究將界定為概念)，則qjk=1，否則qjk=0。例如有三道試題j1、j2、j3，有兩個概念k1、k2，其中j1與j3題各含有概念k1，j2 題則包含概念 k2，亦即若想答對j1或j3題，需具備概念k1的知識；若想答對j2題，需具備概念k2 的知識。則該關聯矩陣Q為(3 ×2)矩陣。如圖1-4-1 概念 k1 k2 試 j1  1 0   j2  0 1  題 j3  1 0  圖 1-4-1 三道試題與兩個認知屬性所構成的關聯矩陣. 貳、面積係指教育部審定通過國小四年級部編版(2010)第八冊面積單元，其課程包含正方形面積、周長；長方形面積、周長；面積單位(平方公分、平方公尺)換算與組合圖形面積。. 参、認知診斷模型認知診斷模型是指施測者可藉由受試者的試題反應組型來推估受試者是否具備或缺乏哪些概念，進而依據此訊息瞭解受試者的學習狀況，進行補救教學。本研究所探討的認知診斷模型包含：DINA、DINO、G-DINA等三種模型。. 4.

(15) 肆、概念診斷辨識率診斷辨識率是用來估計受試者的概念是否跟專家診斷的結果是一致的，在這樣的概念狀態之下，概念診斷辨識率是指概念判斷的正確性，也就是判斷的百分比愈高，其估計的結果愈準確。. 伍、Wald Test 本研究藉由 de la Torre(2011) 提出試題層次模型適合度檢定，以 G-DINA 為飽和模型，並以 DINA、DINO 為精簡模型，透過執行 Wald Test 計算出 W 值以卡方檢定來檢驗使用精簡模型與飽和模型之間是否有達顯著差異，若 p＞0.05 則顯示使用較少參數的模型與該試題作答反應資料之模型適合度和 G-DINA 模型在統計上可視為相同，但因使用精簡模型所須估計的參數較少，在模式適合度差不多的情況下，使用精簡模型會是較為經濟的選擇，所以此時試題的最佳模型會判給精簡模型；反之，若 p＜0.05。顯示使用較少參數的模型與該試題作答反應資料之模型適合度和 G-DINA 模型在統計上有顯著上差異，表示使用精簡模型無法得到與飽和模型相似的結果，所以試題的最佳模型會判給 G-DINA 模型。. 陸、模型選擇準則以模型為主的試題統計量的期望值與估計值之間指標的檢定(包含：百分率校正值、轉換修正值、或然率對數比)，使模型能夠更加符合測驗資料的特性。本研究使用AIC、BIC與CAIC三種選模準則，其公式如下： AIC = -2logL + 2‧ npar BIC = -2logL + log(N) ‧npar CAIC = -2logL +[1 + log (N )] ‧ npar. 5.

(16) 第五節研究範圍與限制本研究由於時間、資源、及人力限制的關係，採立意抽樣的方式。僅針對彰化縣兩所國小五年級學生進行診斷研究，研究題材為數學科，因此，本研究結果不可過度推論到其他教育層級的學生和其他學科。. 6.

(17) 第二章文獻探討本研究目的比較在不同認知診斷模型之下，分析測驗層次模型檢定、試題層次模型檢定適合度與不同模型間概念辨識率，從中選擇出最佳模型，最後分析受試者概念精熟度的表現情形。本章共分為五節：第一節首先論述認知診斷模型；第二節探討模型比較；第三節探討選模準則；第四節探究面積教材分析；第五節探討面積迷思概念等五個部份進行相關文獻探究，以作為本研究之學理基礎。. 第一節認知診斷模型測驗的主要目的乃在了解受試者學習的狀態，以增進受試者的能力。過去大部分的標準化評量測驗採用傳統的單向度IRT模型來分析單一的整體能力(overall score)，這些分數在連續量尺上用來排序受試者非常實用。No Child Left Behind Act[NCLB]教育改革法案實施，此法案要求美國所有三到八年級的學生每年必須接受各州政府辦理的閱讀和數學評量，目的是使所有的學生在12年內，「閱讀」與「數學」達到精熟的程度（陳惠敏，2010）。此法案規定要提供教師、學生與家長測驗診斷結果，以了解每一位學生在主要學科進步情形等資訊，也就是提供學生哪些概念他們已經掌握，以及哪些概念還需要進行補救教學(Cheng, 2009)。施淑娟（1997）及Sternberg(1991)等指出未來測驗的發展應是結合認知心理學、心理計量學、及教學等三方面的理論知識，使得測驗所得的結果，能提供相關訊息處理的診斷訊息。其中認知診斷模型(cognitive diagnostic models, CDMs)是可以使用在判斷受試者優勢與劣勢的心理計量模式，提供給施測者的分數形式並可以有效測量學生的學習和進步(de la Torre, 2009b)。所謂認知診斷模型是潛在變量特質的一種模式，主要是測量學生一組細微技能是否達到精熟。可以用來診斷受試者是否具備. 7.

(18) 教育測驗所需的概念，不同於試題反應理論只是用一個廣義的潛在特質代表受試者的能力，認知診斷模型是利用一個潛在向量 αi  ( i1 ,  i 2 ,..., iK ) 表示受試者是否精熟每一個概念，其中  ik  1 表示第i位受試者精熟第k個概念，  ik  0 則表示未精熟第k個概念。由於認知診斷模型都需由專家界定每個試題所測量的認知概念，也就是Q矩陣(Tatsuoka, 1985)，以Q矩陣為基礎進行診斷，在認知診斷模式中佔有不可或缺的重要性。Q矩陣大小為 J  K ，J為試題數，K為概念數，其中 q jk 代表要解決試題j，是否需具備概念k，定義如公式1： 1 第j 題需要第 k個概念 q  jk 0 其他. （1）. 舉例來說，假設 Q 矩陣的設計為一個 3  4 的矩陣，表示如下 0 1 0 1 Q  1 0 1 0 1 1 0 0. 代表第一題需要第2個與第4個概念，第二題需要第1個與第3個概念，第三題需要第1個與第2個概念。在一個分數減法的測驗中，試題反應理論的測量目的是瞭解受試者分數減法的能力，而認知診斷模型的目的則是測量出受試者多個概念，例如：基本分數減法運算、分數化簡、從整數借1到分數……等認知歷程(de la Torre & Douglas, 2008)。由此可知，認知診斷模型可以提供更詳盡的診斷訊息來協助教學者對學習者進行個別化的補救教學。然而認知診斷模型發展出了相當多的模型，目前已有許多認知診斷模型被開發且應用。本研究只針對DINA模型、DINO模型與G-DINA模型進行探討，分別作以下介紹：. 8.

(19) 壹、認知診斷模型介紹一、DINA模型 DINA 模型是許多認知診斷模型評估方法的基礎，適合用於二元計分的認知診斷測驗。DINA 模型假設受試者答對試題的機率，會受到粗心(slip)及猜測(guess) 兩個參數影響，其試題反應函數表示如公式 2 ij P ( X  1 |  , s, g )  (1  s j ) g j1ij ij K. （2）. q jk. 其中，ij    ik k 1. s j  P ( X ij  0 |  ij  1) g j  P( X ij  1 |  ij  0) 其中 X ij ：第 i 個受試者在第 j 題的反應組型. ij ：表示受試者 i 是否完全具備試題 j 所需具備的概念，完全具備其值為 1，反之，缺少一個以上所需概念其值為 0。.  ik ：表示受試者 i 是否具備概念 k，具備該屬性其值為 1，反之為 0。 q jk ：表示解試題 j 是否需要概念 k，需要該屬性其值為 1，反之為 0。 s j ：表示受試者完全具備試題所需的概念卻因為粗心而答錯此題的機率。 g j ：表示受試者缺少一個以上試題所需的概念卻因為猜測而答對此題的機. 率。假設受試者間彼此相互獨立且試題間也彼此相互獨立，其概似函數(likelihood function)表示如下 X ij 1 X ij N J L( , s, g )    P( i ) (1  P( i ) ) i1 j1. 9. （3）.

(20) X ij ：表示第 i 個受試者在第 j 題的反應組型。 P  i  ：表示受試者 i 給定的概念之下答對的機率。 N：受試者人數 J：試題數以下舉例說明 DINA 模型的計算方法：(引自卓淑瑜，2011) 表 2-1-1 為整數四則的概念，表 2-1-2 為測驗學生是否具備整數四則的概念而設計的題目，表 2-1-3 為整數四則範例題之 Q 矩陣，由表 2-3 可知，解此題目需具備概念 1、2、3、5、6、7。表 2-1-1 整數四則的概念概念 1 2 3 4 5 6 7. 敘述基本加法運算基本減法運算基本乘法運算基本除法運算先乘除後加減由左往右計算括號內先計算. 表 2-1-2 整數四則的選擇題例題計算 3×7－2×(3＋5)＝？ 5.  20.  62.  152. 表 2-1-3 整數四則選擇題例題之 Q 矩陣概念試題例題 1. K1. K2. K3. K4. K5. K6. K7. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 10.

(21) 表 2-1-4 受試者的概念狀態概念試題受試者 1 受試者 2 受試者 3. K1. K2. K3. K4. K5. K6. K7. 1 1 1. 1 1 1. 1 0 1. 1 1 1. 1 1 1. 1 1 0. 1 1 0. 假設給定試題參數 s1  0.05 、 g1  0.05 ，今有三名受試者，其所具備的概念如表 2-4 所示，可知受試者 1 具備解題所需的六個概念，因此其 11  1，受試者 2 與受試者 3 都缺少一個以上的概念，所以其 21  31  0 ，則計算三位受試者的答對機率分別如下： 111. P ( X 11  1 | 1 , s1 , g1 )  (1  s1 ) g1 11.  (1  0.05)1 (0.05)11  1  0.05  0.95. 1 21. P ( X 21  1 |  2 , s1 , g1 )  (1  s1 ) 21 g1. 1 31. P ( X 31  1 |  3 , s1, g1 )  (1  s1 )31 g1.  (1  0.05 )0 (0.05)1 0  0.05  0.05.  (1  0.05)0 (0.05)1 0  0.05  0.05. 由此可知，在 DINA 模型下，受試者只要缺少一個以上答題所需的概念，若答對此題，皆屬於猜測的情況發生。綜合以上敘述，DINA模型是一個簡單且容易解釋的模式，因為它僅涉及粗心及猜測兩個參數，且具有良好的模式適配度，目前已應用在許多測驗方面(de la Torre & Douglas, 2004)。二、DINO模型 DINO模型(Templin & Henson, 2006)，其試題反應函數(如公式4)：. ij 1 ij ' P ( X ij  1 |  , s, g )  (1  s ) g ' j j K. q jk. 其中，ij    ik k 1. s 'j  P ( X ij  0 | ij  1). 11. （4）.

(22) g 'j  P ( X ij  1 | ij  0). 其中 X ij ：第 i 個受試者在第 j 題的反應組型. ij ：表示受試者 i 是否完全具備試題 j 所需具備的概念，具備至少 1 個以上其值為 1，反之，完全不具備所需概念其值為 0。.  ik ：表示受試者 i 是否具備概念 k，具備該屬性其值為 1，反之為 0。 q jk ：表示解試題 j 是否需要概念 k，需要該屬性其值為 1，反之為 0。 s 'j ：表示受試者具備至少 1 個以上試題所需的概念卻因為粗心而答錯此題的. 機率。 g 'j ：表示受試者完全不具備試題所需的概念卻因為猜測而答對此題的機率。. 不同於 DINA 模型，在 DINO 模型之下，只要受試者完全不具備答題所需的概念，若答對此題，屬於猜測的情況發生；當受試者具備至少一個以上答題所需的概念，若答錯此題，皆屬於粗心的情況。三、G-DINA模型是上述兩種認知診斷模型的一般式，受試者答對的機率取決於各個概念之間交互作用的結果。其試題反應函數(如公式6)：. .  lj. . K j. P X j  1   j 0    jk  lk  k 1. K j. K j. K j 1.  . k '  k 1 k 1. jkk '. 在上述公式中  j 0 ：無任何概念作用之下，第 j 題的截距項  jk ：對  k 的主要影響.  jkk ' ：  k 與  k 之間的交互影響 '. 12.  lk lk '   j12K   lk j. k 1. （6）.

(23)  j12K ' ：  k ，…，  k ' 之間的交互影響 j. 當  j 0 與  j12K 不為 0 時，而其他  jk 與  jkk 均為 0 時，就是 DINA 模型，其中 '. ' j. g j =  j 0 、1- s j =  j 0 +  j12K ' ；相對於 DINA 模型，除了 0 K  外，所有的潛在群體正 j. j.  j. 確答對第 j 題的機率均相等，設定  jk   jk k     1K 112K 因此 DINO 模型可 ' ''.  j. 從 G-DINA 模型得到，其中 g 'j =  j 0、1- s 'j =  j 0 +  jk。由此可知，DINA 模型與 DINO 模型都是 G-DINA 模型的一種特例。。. 貳、認知診斷模型相關研究近年來許多專家學者致力於認知診斷模型研究，不管是電腦化適性測驗上、在測驗編製上或是在等化與信度上都有相關議題被發表與探討，使得認知診斷模型相關研究蓬勃發展，但由於 DINO 模型相關研究篇幅甚少，僅就手邊文獻作介紹如表 2-1-5：表 2-1-5 認知診斷模型相關研究研究者（年代） Xu, Chang, & Douglas (2003) Henson & Douglas (2005) Templin & Henson (2006) de la Torre (2008). 研究主題內容比較認知診斷架構下電腦適性化測驗策略的模擬研究利用 Kullback-Leibler Information(KL)在 DINA 下進行測驗編制提供示範的認知診斷模型得到的估計，用於評估和診斷病態賭徒 G-DINA 模型的介紹. 13. 相關認知診斷模型 DINA. DINA. DINO. G-DINA.

(24) 表 2-1-5 認知診斷模型相關研究(續) Gierl, Cui, & Zhou （2009）. de la Torre (2009a). de la Torre (2009b) de la Torre (2011). 探究在認知診斷模型的評量下基於認知屬性的分數與信度之研究針對選擇題題型提出 multiple-choice DINA 的模式，試圖從選項中獲得更多認知診斷的訊息，以達到更精準的估計詳述 DINA 參數估計的方法來降低 MCMC 的參數估計時間介紹認知診斷模型一般式之基本架構(G-DINA 模型). DINA. DINA. DINA DINA、DINO G-DINA. 参、本節文獻對本研究的啟示根據以上文獻所述，近年來認知診斷模型之所以迅速發展主要原因是它提供詳盡的診斷訊息來協助教學者對學習者進行個別化的補救教學。然而不同的認知診斷模型有不同的優點，Rupp, Templin & Henson (2010)提到模型與資料的適合度可能會對研究結果造成極大的偏誤影響。如何透過資料特性選用適合本研究的模型並建立選模的機制是相當重要課題。因此本研究將探討三種不同認知診斷模型與資料間作相互比較與分析，並從中選擇出適合本研究最佳的認知診斷模型，以利作進一步研究。. 第二節試題層次模型比較從上一節文獻(de la Torre, 2008; de la Torre, 2011)介紹中得知，二種認知診斷模型(DINA 模型與 DINO 模型)是 G-DINA 模型中的一種特殊模型，在測驗實務上可將 G-DINA 模型視為飽和模型，透過試題反應函數參數估計來設計相關矩陣將 DINA 模型與 DINO 模型轉換成精簡模型，然後再利用統計學上的方法（Wald. 14.

(25) test）藉由 W 值判定精簡模型是否可以取代飽和模型；如此便能進一步逐一檢定試題與模型間適配程度。. 壹、飽和模型根據de la Torre(2011)文獻指出，將G-DINA模型參數估計值轉算成它的試題反應函數中的各項成份(例如：  j 0 ，  jk ，  jkk ，  j12K )時，矩陣Mj的設計佔了核 '. ' j. 心的角色。它也可以被用來推導出可替代一般認知診斷模型關聯函數的參數估計。最後，矩陣設計可以方便估計這一類特殊的精簡模型的參數。矩陣設計向度 K j. K j. 為 2  P ，其中P是模型參數的數目。因此，飽和模型， P  2 (即列數是相等的行數)。這相當於飽和模型，因為模型參數的數量等於 K *j 潛在屬性產生的潛在群 K j. 體數量。假設 A j   lk ，針對某一題所需的概念可能的組合 2  K j 矩陣可定義如矩陣1：                        . 0. 0. 0. . 0. 1. 0. 0. . 0. 0. 1. 0. . 0.  0.  0.  0.  .  1. 0. 0. 0. . 0. 1. 1. 0. . 0. 1 . 0 . 1 .  . 0 . 1. 0. 0. . 0.  0.  0.  0.  .  1. 1. 1. 1. . 0. . . . . . 1. 1. 1. . 1. 0   0  0     0  1   0  0     1     1   0     1 . （1）. 至於飽和模型，飽和矩陣 M (Sj ) 設計的第 l 行可以從 A j 的第 l 行（即，  l* ）來產生。第一個元素是1，接著是  lk 當k= 1，…， K *j ，然後  lk   lk ，k =1，…， K *j -1 '. K *j. 和 k '  k  1 ，…， K *j ，等等；此向量的最後一個元素是 k 1 lk 。當 K *j ＝3時，飽和矩陣的設計如矩陣2(de la Torre, 2011)：. 15.

(26) 1  1 1  1 S  M j 88   1 1  1 1 . 0 1 0 0 1 1 0 1. 0 0 1 0 1 0 1 1. 0 0 0 1 0 1 1 1. 0 0 0 0 1 0 0 1. 0 0 0 0 0 1 0 1. 0 0 0 0 0 0 1 1. 0  0 0  0 0  0  0 1 . （2）. *. 定義 Pj  P( lj* )，其中向量長度為 2K j ，.  . P  lj ：表示 A j 矩陣中第 l 列答對的機率. . . 為得出 δj 的估計值，  j ＝  j 0 ,  j1 ,..., jK ,  j12 ,..., j12... K ' ，給定 Pˆ j * j. * j. 找到最小平方估計法，如公式 3：. . ' ' ˆ j  M jS  M jS . . 1. '. M jS  Pˆ j. （3）. 模式的標準差可以藉由多變量距離法計算，如公式 4：.   .      . ' Var f Pˆ j  f Pˆ j Var Pˆ j f Pˆ j ,.   . ' ' 其中 f Pˆ j  M jS  M jS . . 1. ' M j S  Pˆ j. （4）（5）. 貳、精簡模式 de la Torre(2011)指出透過適當指定矩陣的設計，特殊類別的精簡模型之參數在原始 G-DINA 模型試題反應函數之下可藉由 Pˆ j 進行估計。M ( r ) 是精簡模型 r 的相關矩陣，而 M ( r  ) 是 M ( r ) 的最後 P-1 行，P 為模型參數的個數。因此任何具備兩個參數精簡模型皆屬於這種特殊模型的一類。例如 DINA、DINO 與 A-CDM 模型。 de la Torre(2011)文獻中有提到雙參數模型 DINA、DINO 模型的例子，其設計的相關矩陣如矩陣 6 與矩陣 7。. 16.

(27) DINA 模式：. M jr  2 K j  2 . 1  1    1 1 . 0  0   0 1 . （6）. M jr  2 K j  2. 1  1    1 1 . 0  1   1 1 . （7）.  .  . DINO 模式：.  .  . 此外，由 de la Torre & Douglas(2008)提出的多策略 DINA 模型，也是屬於這一類的雙參數模型。然而，成功答對機率的模型乃基於概念精熟數量，而不是精熟特定的概念，它也屬於這類精簡模型.對於 P =2 的精簡模型 M (jr ) ，就是矩陣(6) 與矩陣(7)，表明 M (jr  )' M (jr  ) 是一個對角矩陣(例如，M (jr  )' M (jr  ) 是一個純量)。精簡模型 δj 的估計值可由加權最小平方估計法得到，如公式 8： δj＝(M jr ' W j M jr  ) 1 M jr ' W j Pˆ j. （8）. 而這些模型的標準差也可由多變量距離法公式計算出來，其中.   . '. f Pˆ j ＝ M jr  W j M jr . . 1. ' M jr  W j Pˆ j. （9）. 参、Wald Test de la Torre(2011)提出假設已確認試題相關的概念，並正確的定出Q矩陣，飽和模型將提供模型與資料間最佳的適合度。但假若可以找到一個精簡模型，須估計的參數較少，卻可以達到與飽和模型相似的適配度，如此一來，使用精簡模型取代飽和模型進行資料分析，在測驗實務上不失為一種較為經濟的作法。因此為了檢驗上述精簡模型是否可用於解釋並取代飽和模型，可以利用de la Torre (2011) 透過統計學方式比較每一道試題與飽和模型及精簡模型間適配的程度。. 17.

(28) 測試最適當精簡模型的一個方法就是使用Wald Test，對於第j題和精簡模型 K. K. p，這種方法需要設定Rjp，它是一個(2 j－p)×2 j大小的限制矩陣。舉例來說，當 Kj＝3，DINA模型的Rjp矩陣如下： 0 0 0 0 1 1 0  0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 Rjp6×8＝  0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0  0 0 0 0 0 1 1 . 0  0 0  0 0  0 . 在此矩陣中限制所有的P（  lj* ）機率都一樣，除P（1 K *j ）之外。因此，由計算 Wald test統計量W值(如公式10)得知，在虛無假設之下，R．f (P j )＝0，且近似於卡方檢定(  )，df(自由度)＝2 2. K *j. －p。只要找出f(P j )，Var〔f（P j ）〕與R jp 就足. 以執行完成W值計算。.  1 W j  Rjp  f Pj  Rjp Var f Pj   Rjp  Rjp  f Pj . . . . . . . （10）. 肆、本節文獻對本研究的啟示由以上文獻所述，雖然G-DINA模型是屬於認知診斷模型的一般式，並非所有的試題都須藉由G-DINA模型分析，藉由較精簡模型透過適當矩陣的設計轉換後計算出W值，以檢驗每一道試題適合何種模型分析。因此本研究利用二種模型 (DINA模型與DINO模型)參數的個數轉換成精簡模型，再透過Wald test檢測每一道試題與模型間適配度。. 18.

(29) 第三節測驗層次選模準則為了使模型能夠更加符合資料的特性，因此評估模型的正確性是非常重要的，而模型的選擇便成了一個令人關注的焦點。一般傳統模型檢定的方法多半是靠一些訊息準則，有兩個常用的準則分別為：1. Akaike (1974) 提出的 AIC(Akaike information criterion)、2. Akaike (1978) 提出的 BIC(Bayesian information criterion)。但 AIC 與 BIC 準則的懲罰參數是固定的，也因此常會面臨過度配適或過於精簡的問題。而只使用其中的一種準則通常只能在一些情況下表現較好(蘇育正，2011)。到了 1980 年後，學者開始研究不同選模方法的性質與異同，最重要的性質是有效性(efficiency)和一致性(consistent)的探討。在實際的應用上應該使用具有效性的選模方法，還是一致性呢？事實上，這種選擇是非常主觀的，必須根據不同的研究目的來做取捨。因此本研究加入了 Bozdogan (1987) 提出 CAIC(consistent Akaike information criterion)，試圖提昇選擇模型時的有效性與一致性。以下針對 AIC、BIC 與 CAIC 進行探討：. 壹、AIC(Akaike information criterion) 係由日本統計學家Akaike (1973) 首先創立與發展的，是衡量統計模型擬合優良性的一種標準，其值是根據 Kullback-Leibler discrepancy 所定義出來的，其優點是具有有效性，也就是它會選擇具有最小MSE(meansquared error)分配的模型作為適配模型，但是卻容易有過度適配(over-fitting)的問題。這是因為相較於其他選模準則，AIC 的懲罰函數(penalty function)較小所致。不過當樣本數增加，過度適配的問題就可以得到改善。同時比較多個模型，且考慮到描述的準確性和簡約性，AIC 是較常使用的方法；但在模型中AIC並不是一個統計檢定法，它只是一個選擇模式的準則，例如：給定一組資料，根據AIC 選模準則之下，可以把一些模型排列出來，以AIC 值最小的模型當作最佳模型。其中AIC 基本架構理念為： 1. 模型適合度的預測使用、2. 採用自然對數期望概似值作為基本準則。. 19.

(30) 因為樣本的大小並不會直接包含在其計算中（Ostini & Nering, 2005; Schwarz, 1978; Sclove, 1987），因此，AIC 指標較利於用在大樣本的飽和模型中（Janssen & De Boeck, 1999）。AIC 定義如公式11。 AIC = -2logL + 2‧ npar. （11）. 其中 L 表示概似函數，npar 表示參數個數。. 貳、BIC(Bayesian information criterion) BIC 是 Akaike (1978) 由貝氏的觀點所提出來的，是一個具有一致性的選模法，也就是當候選模式包含真正的模型時，BIC 所選出之模式為正確模式的機率趨近於 1，反之，也不會有過度適配的問題，原因是 BIC 的懲罰函數的係數為 log N，一般都會大於 AIC 懲罰函數的係數 2。當樣本數多時，BIC 指標傾向於選擇較簡單的模式，換句話說，相較於 AIC 指標，BIC 指標易選擇參數較少的模式。 BIC 定義如公式12。 BIC = -2logL + log(N) ‧npar. （12）. 其中 L 表示概似函數，N 表示有效樣本數，npar 表示參數個數。. 参、CAIC(Consistent Akaike information criterion) Bozdogan (1987) 為了讓 AIC 訊息準則更有一致性，因此提出 CAIC，他將 AIC 的懲罰項係數由一個比 2 更大的樣本數函數來替代。在樣本數較小或衡量變數較少時，AIC 指標通常有低估的情形出現，而 CAIC 則改善了這項缺點(Cudeck & Browne, 1983)。CAIC 定義如公式 13。 CAIC = -2logL +[1 + log (N )] ‧ npar. （13）. 其中L表示概似函數，N表示有效樣本數，npar表示參數個數。. 肆、本節文獻對本研究的啟示由以上文獻分析中，可知模型評估的過程是複雜且重要的，模型選擇對於之後的推論具有重要影響，因為忽略模型選擇的步驟導致無效推論，容易造成認知. 20.

(31) 診斷模型估計產生的誤差。最好的方式除了提供足夠觀測數據，還必須以最少的複雜性，或等價方式獲取最多的訊息。因此，本研究採用三種選模準則透過Ox 程式軟體分析與統計方法，從分析結果中選出與本研究最佳適配的認知診斷模型，以作為後續研究的依據。. 21.

(32) 第四節面積教材分析壹、面積教材分析(教育部，2003) 一、九年一貫課程綱要面積教材架構依據教育部(2003)頒訂國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域，量與實測是國小數學的核心課程之一，面積教材在九年一貫課程綱要(2003)中是屬於「量」的部份。然而 2003 年課程綱要中面積課程發展乃延續 1993 年課程標準針對「量」教材提出的五階段層次理論架構；同時也提出除了時間以外「量」的學習大致要經歷四個階段(教育部，2003，頁 68)，此四階段轉換成面積教材詮釋與層次理論架構比較如表 2-4-1：表 2-4-1 面積教材詮釋與層次理論架構比較表層次理論架構課程標準(1993). 某量的初步比較. 某量的間接比較. 九年一貫課程綱要 (2003). 面積教材詮釋（黃琡懿，2007）. (a)初步概念與直接比較：透過感官直接感覺該量，再對兩同類量作直接比較，最後是量的複製，這是(b)的前置經驗。另外，也包括利用測量工具之刻度直接描述一量。量的複製包括：整體複製合成複製與等量合成複製。 (b)間接比較與個別單位：對無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量，分別作直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留概念與量的遞移律)。能作間接比較，便能使用個別單位作測量。.  藉由感官建構面積初步概念  面積的直接比較  透過百格板(平方公分板)直接描述面積  面積複製：包括整體複製合成複製與等量合成複製  藉由媒介量分別對兩面積作直接比較，並利用比較結果，做出兩面積的比較  間接比較個別面積單位的大小. 22.

(33) 表 2-4-1 面積教材詮釋與層次理論架構比較表(續) 層次理論架構課程標準(1993). 九年一貫課程綱要 (2003). 某量的普遍單位比較. (c)常用單位的約定：認識某類量之常用單位，並能運用此單位，作量的比較、加、減、乘、除。. 某量的測量單位制度概念. (d)常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結果。然後再學習使用單位換算的約定，來進行換算。. 某量的測量公式概念. ※「周長」「面積」有中文簡記的計算公式. 面積教材詮釋（黃琡懿，2007）  認識面積常用的單位：如平方公分、平方公尺、公畝等  能利用面積常用的單位作面積比較、加、減、乘、除  能使用面積單位複名數如多少平方公尺多少平方公分來描述面積測量結果  能使用面積單位換算的約定，如 1 平方公尺＝ 10000 平方公分；1 公畝＝ 100 平方公尺等，來進行面積單位的換算  簡單圖形面積計算公式的應用：如長方形、正方形、平行四邊形等. 二、國小面積教材相關主題與相對應能力指標在九年一貫課程綱要(2003)中數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。然而面積教材除了分屬「數與量」與「幾何」二大主題外，其中又牽涉到公式應用「代數」部份，因此面積單元包含數、量、形三者的結合。現將相關主題與相對應能力指標陳列如表 2-4-2：. 23.

(34) 表 2-4-2 相關主題與相對應能力指標年級. 數與量主題. 幾何主題. 代數主題. 對應能力指標. N-1-14. 能對兩個同類量作直接比較。. N-1-15. 能對兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。能使用日常測量工具進行實測活動，理解其單位和刻度結構，並解決同單位量的比較、加減與簡單整數倍的問題。能作量的估測。. 一至三 N-1-16 年級. N-1-17 N-2-15 N-2-16 四、五 N-2-17 年級. S-2-07. N-2-19. S-2-08 A-2-04. 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。能理解普遍單位間的關聯，並在描述一個量時，作不同單位的換算。能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形面積的公式能使用中文簡記式記錄常用的公式。. S-3-02 六、七 N-3-15 年級 N-3-16. S-3-03 S-3-04. 為了要達成教學目標，許多指標需採分年階段進行教學。因此由各階段能力指標中衍生出更細緻的分年細目與詮釋，成為學校教師在教學上主要參考依據。國小階段面積相關聯能力指標、分年細目詮釋與對應能力指標整理如表 2-4-3：. 24.

(35) 表 2-4-3 國小階段面積相關聯能力指標、分年細目詮釋與對應能力指標年級. 分年細目. 二年級. 2-n-07 2-s-05. 三年級. 3-n-18 3-s-05. 4-n-15. 四年級. 4-n-16 4-s-09. 4-a-04. 內容. 詮釋與說明. 能認識面積，並作與視覺或幾何感有關，能直接比較。直接比較。能利用間接比較或個別單位實測方法來比較不同面積的大小，並認識面積單位『平方公分』。能認識面積單位『平方公尺』，與『平方公尺』、『平方公分』間的關係，並作相關換算。. N-1-14 S-1-03. 對無法直接比較的兩面積，作間接比較、個別單位比較，及常用單位『平方公分』的認識。. N-1-15 N-1-16. 認識『1 平方公尺＝10000 平方公分』。. N-2-15.  此處邊長皆為整數。  討論面積與周長間的關係：長方形的面積相同，周長不一定相同；周能理解長方形和長相同，面積不一定相同。正方形面積公式  計算長方形，正方形組與周長公式成的簡單複合圖形面積，只處理相接而不相重疊的圖形。如：. 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周長的公式。. 對應指標. 長方形面積公式＝長 × 寬正方形面積公式＝邊長 × 邊長. 25. N-2-17 S-2-07. A-2-04.

(36) 表 2-4-3 國小階段面積相關聯能力指標、分年細目詮釋與對應能力指標(續) 年級. 五年級. 分年細目. 內容. 詮釋與說明. 對應指標. 5-n-15. 能認識面積單位『公畝』、『公頃』、『平方公里』與其關係，並作相關換算。.  此處計算可引入分數或小數。  包含兩單位間的關係及三種以上單位的換算。. N-2-15 N-2-16. 5-n-16 5-s-05. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形面積的公式. 5-a-04. 能用中文簡記式表示簡單平面圖形的面積，並說明圖形中邊長或高變化時對面積的影響。. 6-n-11＊ 6-s-03＊. 六年級 6-n-12 6-s-04. 以長方形面積出發，把 3-S-06(能透過操作，將簡單圖形切割重新組成另一已知簡單圖形)當作前置經驗，運用切割重組與簡單幾何圖形性質，來推導這些面積公式。例：梯形面積＝(上底＋下底)×高÷2，再以紀錄觀察高改變時，面積變化的情形，這是變數的前置經驗。. 對曲線圍成的平面區域進能以適當的正方行面積的估算，只估計面形單位，對曲線圍積的上下限，不需對跨周成的平面區域估界面積單位，進行更細緻算其面積。估算。  可由圓周長的實測理解圓周長與直徑成比率，其比率(比值)稱為圓周能理解圓面積與率，教學上教師應說明圓圓周長公式，並計周率大約為 3.14。簡單算簡單扇形的面扇形面積的計算可與分數積。平分的操作相互加強。如半圓、圓、圓的面積計算方式。. 26. N-2-19 S-2-08. N-2-19 S-2-08 A-2-04. N-3-15 S-3-03. N-3-16 S-3-04.

(37) 表 2-4-3 國小階段面積相關聯能力指標、分年細目詮釋與對應能力指標(續) 年級. 分年細目. 內容. 詮釋與說明. 對應指標. 6-s-02. 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。.  從影印機的縮小放大，利用實測，知道任兩點之間的距離也以相同比賽縮小放大，但是角度沒有變化。如果將圖形放大成 3 倍，角度不變，長度變 3 倍，但面積變成 3 × 3 ＝9 倍。  能利用平行四邊形、三角形與梯形面積公式，說明面積變化的事實。. S-3-02. 6-a-05. 能用中文簡記式表示圓面積、圓周圓面積公式為半徑×半徑× 長與柱體體積公圓周率式。. S-3-04 S-3-06. 六年級. 貳、本節文獻對本研究的啟示綜合以上文獻內容，九年一貫課程綱要數學領域『面積』教材相關主題與相對應能力指標，可知『面積』單元在各階段與分年的地位；依據教育部(2003)頒訂國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域面積教材架構，得知面積教材的教學是經過五個階段的學習，而從這五個階段對面積概念學習的主張，可以提供本研究在測驗學童面積概念時，考量應該包含哪些子概念或是哪些概念是學生必須精熟。而面積教材包含了幾何、數與量三個範疇，有了幾何的基礎概念後，面積的概念才不會流於公式的教學與背誦。因此，在進行四年級面積教材測驗前，題目設計上必須符合學童具備先備知識包括四個範疇：乘法、長度、幾何和面積，才能真正診斷出學生面積單元概念是否已達精熟。研究者將四年級面積教材地位統整如圖 2-4-1。. 27.

(38) ◎ 面積教材先備經驗 1. 認識圖形的內部、外部與周界。 2. 認識周長的意義，並計算圖形的周長。 3. 認識「平方公分」，用點數或乘法計算長方形、正方形的面積(無公式)。 4. 認識公尺與公分、公里與公尺之間的化聚。. ◎ 第八冊面積單元 1. 用公式算出長方形與正方形的周長與面積。 2. 認識「平方公尺」，並做平方公尺與平方公分的換算。 3. 算出簡單複合圖形的面積。. ◎ 面積教材後續發展 1. 知道平行四邊形和梯形的定義，並繪製正方形、長方形與平行四邊形。 2. 認識平面圖形全等的意義。 3. 認識圓周率與圓面積公式。 4. 複合圖形的面積計算。. 圖 2-4-1 國小四年級教材地位根據圖 2-4-1 的內容所述，研究者可以掌握在研究設計時，根據學童的先備經驗，四年級面積單元教材內容與未來學習方向，提供本研究在編製面積單元測驗的依據。. 第五節面積迷思概念壹、面積迷思相關研究謝青龍(1995)認為迷思概念是指學生在某一特定學科中，對某事件或現象，所持有的一些有別於目前科學家所公認的想法。Sutton & West (1982) 指出迷思概念的來源有：1.直接的實際經驗或從日常生活經驗和觀察得來的；2.由通常的用語或隱喻的使用得來的；3.由正式或非正式的教學而來；4.同儕的文化或由信念、被允許的意見而來；5.來自教科書的內容或教師教學的過程(引自戴政吉，2001)。 Ashlock (1990) 和Brown & Burton (1978) 曾在其研究中指出：學生錯誤類型分析的過程中對於老師及學生是有助益的。老師愈瞭解學生的錯誤類型及想法，就愈能掌握學生的數學學習問題，且更能根據問題提供有效的教學，以減少學生學習上的困擾(陳卿斌，2005)。. 28.

(39) 絕大部分的學童在學習數學的過程中，並不會嘗試著思考『為什麼』，而是幾乎把老師在課堂上所教的方法照單全收，其實只是學會每個單元解題的方法，以及計算能力，而不是真正學會每個單元的基本概念。因此，本節綜合有關面積迷思概念之研究，以作為本研究面積測驗命題的依據。以下針對學童學習面積單元時存在相關的迷思概念，整理如表2-5-1：表2-5-1 學習面積單元可能發生迷思概念之相關研究研究者 (年代). 論文主題. 研究相關內容. 1.有些學童在計算周長與面積時會將兩個公式互相混淆，例如：他們會將「邊長×4」當作是正方形面積公式，將「長×寬」當作是長方形周長公式，但他們大多數都是以面積公式解周長問題。戴政吉國小四年級學童長度 2.有些學童在解題時，只以圖形出現的數字求周長與面積。 (2001) 與面積概念之研究 3.有些學童容易固著於面積公式中兩數相乘的思考模式，只要題目中出現與面積相關的概念，他們的算式中就會出現兩數相乘，不管這樣的算法是否合理。 1.單位換算方面，大多數學生的迷失概念為：(1) 將長度單位關係和面積單位關係混淆，而認為1平方公尺等於100平方公分、(2)誤認為1平方公尺等許嵐婷國小五年級面積概念於1000平方公分或是1000000平方公分。 2.面積公式應用方面，學生的迷失概念為：(1)誤 (2003) 之教學研究用面積公式(2)若題目提供多餘資訊時，學生易受到題目中無關條件的影響(3)對於複合圖形面積的計算，不會有移補的概念、(4)套錯公式。 1.在單位的化聚問題上，不少學童會誤認面積單位關係為長度單位關係，產生1平方公尺等於100平王選發國小六年級學童面積方公分的迷思。 2.學童對面積公式的來源及意義瞭解不夠，常以記 (2003) 學習之研究憶公式來解決面積問題，而造成公式的誤用。又若提供多餘資訊，則學童在應用上更加困難。. 29.

(40) 表2-5-1 學習面積單元可能發生迷思概念之相關研究(續) 研究者 (年代). 論文主題. 王選發國小六年級學童面積 (2003) 學習之研究資訊融入國小面積迷易諳峙思概念教學─以國小 (2005) 四年級為例國小六年級面積概念張文莉之理解情形與試題關 (2009) 聯分析. 研究相關內容 3.學童普遍有兩圖形「面積相等，周長也會一樣」的迷思；同時有不少學童會混淆長方形的周長與面積概念，誤將面積當成周長。 4.學童普遍在解面積應用問題時，對題意欠缺分析的能力，往往憑直覺套用公式來解題。 1.迷思概念：「面積與周長概念」、「面積公式的理解」相較於其他面積分概念上，表現顯著不佳。 2.不同的面積迷思概念，存在不同的解題策略。 1.學童是由「基本面積保留概念」到「互補面積保留概念」中的「等量減等量」面積恆等概念。. 1.在周長與面積的測量概念方面，受試學童因為誤用公式、對周長與面積概念的混淆、認為等面積一定等周長，等周長也一定等面積及單位的認知不清等，而產生錯誤。國小高年級學童面積陳人豪 2. 在周長與面積的初步概念，若試題以圖形呈與周長概念之錯誤類現，則約有七成以上的學童答對；但若改以文字 (2011) 型研究敘述來表達，則大約只有五成的學童答對。 3. 在周長與面積的解題應用方面，受試學童常會忽略重要的線索或無法理解題意，而產生解題上的疑惑。綜合表2-5-1所述，可以知道現今學童在學習面積單元時，存在許多錯誤概念與迷思，其錯誤解題原因整理如下： 1. 在計算周長與面積時會將公式互相混淆、錯誤。例如本診斷測驗中的第5題、第6題、第7題、第8題等(參閱附錄二)，是屬於這類問題測驗。 2. 長度單位關係和面積單位關係混淆。例如本診斷測驗中的第9題、第10題等(參閱附錄二)，是屬於這類問題測驗。 3. 學童對面積公式與周長公式的來源及意義瞭解不夠或理解錯誤。例如本診斷測驗中的第13題、第14題、第15題、第16題等(參閱附錄二)，是屬於這類問題測. 30.

(41) 驗。這個結果與Hirstein (1981) 研究結果不謀而合。他指出學生面積解題的困難，源於面積概念的迷思，而非計算能力的薄弱。面積概念的迷思如以下四點： 1. 面積與周長概念的混淆。2. 不了解普通單位量的意義。3. 單位量轉換的混淆。 4. 不瞭解面積公式的形成和誤用公式的條件。. 貳、本節文獻對本研究的啟示既已知道學童在學習面積教材時，會遭遇到這些迷思概念，教師在教學中就應致力於破除學生的迷思概念。若能針對學生迷思想法，設計能引發學生認知衝突的題目和選項，將能有效診斷出學生的迷思想法。故本研究之預試紙筆測驗設計與認知診斷電腦化測驗，試題命題原則上將以面積迷思概念為基礎來設計錯誤選項，再藉由修審試題過程，提高認知診斷模型之概念診斷的辨識率。. 31.

(42) 32.

(43) 第三章研究方法本研究旨在探究本研究方法與研究設計理念，為達成上述的研究目的，以下分為五節介紹本研究之研究方法與設計。第一節描述本研究的研究流程；第二節界定本研究對象；第三節說明本研究之研究工具的編製、預試及試題修審的過程；第四節介紹不同認知診斷模型概念辨識率的評估指標；第五節說明資料的分析與處理。. 第一節研究流程本研究先確定研究主題，進行與研究主題相關的文獻蒐集與探討，提出相關研究問題，再依據本研究所設計的診斷單元產生紙筆實徵資料進行實徵研究，透過認知診斷模型估計出受試者概念的有無，並同時分析在不同診斷模型下試題層次模型適合度檢定、測驗層次模型適合度檢定與不同認知診斷模型與實徵資料之概念診斷辨識率成效的比較決定最佳認知診斷模型，接著進行透過成效最佳認知診斷模型分析學童面積概念精熟的表現情況，最後撰寫研究結果與建議，研究流程如圖 3-1-1 所示：. 33.

(44) 確定研究主題相關文獻探討編製筆試預試試題. 預試與專家修審試題. 進行正式施測. 進行試題層次之模型檢定. 進行測驗層次之模型檢定. 比較不同模型診斷結果與專家判定結果一致性. 決定最佳認知診斷模型以最佳認知診斷模型來檢視國小四年級學童學習面積概念之精熟程度結論與建議完成撰寫論文圖 3-1-1 研究流程圖以下針對上述研究流程圖內容作介紹： 1. 首先確定本研究主題與目的後，蒐集與面積概念相關的文獻，參考指導教授意見並修定研究主題相關題目。. 34.

(45) 2. 接著根據教育部頒訂九年一貫課程綱要，以部編版第八冊面積單元編製本研究預試的紙筆測驗試題，然後諮詢指導教授及實際參與數學課程的國小教師數名，提供有關測驗工具的修正與建議。待試題修正後(參閱附錄一)再選取預試對象(參閱本章第二節)進行預試、試題難易度分析與鑑別度分析(參閱本章第三節表 3-3-4)，再經由專家修審試題後，編製成正式施測的測驗工具(參閱附錄三)，最後選取正式施測對象(參閱本章第二節)進行正式施測。 3. 同時將正式施測的結果進行試題層次之模型檢定(Wald test)與測驗層次之模型檢定(AIC、BIC 與 CAIC)分析，比較模型與試題之間適配的程度與整份測驗最適合哪一種模型作分析。(參閱第四章第二、三節) 4. 將正式施測的結果分別進行 DINA 模型與 G-DINA 模型參數分析(Ox 軟體)，診斷出的受試者概念的有無與專家判定的結果進行比對，比較哪一種模型概念診斷結果的一致性較高。(參閱第四章第四節) 5. 由上述分析結果決定出本研究最佳認知診斷模型，透過最佳認知診斷模型檢視受試學童面積概念精熟程度。(參閱第四章第五節) 6. 分析綜合資料，撰寫研究報告。. 第二節研究對象本研究對象為已學習過部編版「第八冊面積單元」之國小四、五年級學生。本研究包含以紙筆測驗方式進行試題預試與電腦化診斷測驗方式進行正式施測兩階段，以下概述預試對象及正式施測對象。. 壹、預試對象(紙筆測驗) 本研究的預試對象，係以彰化縣2所公立國民小學為抽樣範圍，並以完成部編版數學第八冊四年級學生為研究對象，採用立意取樣共計抽取十三班395名四年級學生進行測驗預試。共計有效樣本數395人，無效樣本數0人。本預試工作，. 35.

(46) 係在民國100年7月底之前，完成所有的紙筆測驗與篩選試題的工作，預試結果提供研究者進行試題修正之依據。. 貳、正式施測對象(電腦化診斷測驗) 本研究的正式施測對象與預試對象相同，因施測時間相隔 3 個月，學生已由四下升至五上，因此正式施測之樣本數共 395 名國小五年級學生，其中有效樣本數 374 人，無效樣本數 21 人。施測時間為民國 100 年 9 月 5 至民國 100 年 9 月 9 日止。後續的資料分析工作，係以此有效樣本作為分析的依據。. 第三節研究工具本研究的研究工具有：自編國小四年級面積單元診斷測驗、認知診斷電腦適性測驗系統、相關統計軟體，依序分述如下：. 壹、自編國小四年級面積單元診斷測驗一、測驗內容首先依據不同 Q 矩陣(試題概念)與參考數學教育的相關面積概念研究文獻，以及根據教育部於民國九十二年所公布九年一貫課程綱要小學數學科四年級課程(部編版第八冊)教材內容範圍，配合課程綱要中面積概念相關的能力指標進行命題編製測驗。命題的重點放在四年級學生都學過的面積基本概念，因此，每一道試題應該都是用來測量基本能力的題目，沒有任何艱深、刁難的試題，凡經過正常教學與學習的學生，應該都會作答且答對。二、編製過程依據教育部編審通過的版本(部編版第八冊)課本、習作相關概念題目，並參考國內外有關面積單元相關研究文獻之錯誤概念類型，進行本研究國小四年級面積單元概念診斷測驗之編製，共命 22 道開放性題型的試題(參閱附錄一)，其中包含 12 個與面積相關的概念，每一個概念至少命二題以上之試題，所有試題請指. 36.

(47) 導教授、國小老師三名，提供試題編製上的建議，再加以修正。並先以紙筆測驗方式進行試題預試，受試學生必須在每道試題中寫出計算過程。根據預試結果並分析預試題目難易度與信度，進行試題的修審或刪除，最後編製成電腦化線上的診斷測驗。本研究預試題本測驗的概念與試題對照表如表 3-3-1 所示；試題概念矩陣(Q 矩陣)如表 3-3-2 所示，表示數字中「1」表示該題目測量到此概念；數字「0」表示該題目沒有測量到此概念。表 3-3-1 概念與試題對照表認知屬性(概念)內容. 試題. 【概念 1】能應用 1 平方公尺＝10000 平方公分， 1、3、9、10、11、14 作單位的換算【概念 2】能正確使用『平方公分』、『平方公尺』 2、7 描述面積的大小【概念 3】能做『公尺』與『公分』單位的換算 1、3、6、10、12 13、14、16、17、18、19 【概念 4】能做『公里』與『公尺』單位的換算 4、8、15 【概念 5】能做公尺-公分複名數互換 5、6 【概念 6】能做公里-公尺複名數互換 4、8 【概念 7】能做長度複名數加、減、乘、除法的計 4、6、8、16、17 算【概念 8】能應用長方形的周長公式，解決生活中 5、8、16、17 相關問題【概念 9】能應用正方形的周長公式，解決生活中 4、6、13、16、17、18 相關問題【概念 10】能應用長方形面積公式算出長方形的 10、12、14、17、20、21 面積 22 【概念 11】能應用正方形面積公式算出正方形的 9、11、13、15、16、18 面積 19、20、21、22 【概念 12】能解決簡單組合圖形的面積問題 19、20、21、22. 37.

(48) 表 3-3-2 Q 矩陣設計認知屬性(概念) 試題編號 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 I12 I13 I14 I15 I16 I17 I18 I19 I20 I21 I22 概念數統計. K1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0. K2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. K3 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0. K4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0. K5 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. K6 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. K7 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0. K8 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0. K9 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0. 6. 2. 11. 3. 2. 2. 5. 4. 6. K10 K11 K12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7. 10. 4. 三、預試試題之品質分析為求診斷測驗編製的慎重，在本試題經由預試後與討論而完成修正之後，修正試題中題意不清或內容不符，使試題具有良好的信、效度，以提高準確診斷訊息，並讓試題選項更具有誘答力；另外，為得知本預試試題品質的良窳，我們需要進行試題之品質分析，其目的在於瞭解每一試題的難度(difficulty)與鑑別度 (discrimination)。. 38.

(49) （一）預試效度預試測驗題本之效度以專家效度為主。試題擬訂後，藉由指導教授及二位教學經驗豐富現職老師審閱本預試測驗，針對題本內容設計適切作評估，並提供試題修改建議，以確認測驗試題內容之有效性。（二）預試信度本研究預試信度分析，採內部一致性分析之Cronbach α係數，其值為0.888。刪除試題後的Cronbach's Alpha值，數據如表3-3-3所示。表3-3-3 信度Cronbach's Alpha值分析表題號. 項目刪除時的項目刪除時的修正的項目尺度平均數尺度變異數總相關. 項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值. I1. 36.64. 569.475. 0.506. 0.883. I2. 37.42. 614.295. 0.625. 0.883. I3. 36.19. 620.162. 0.154. 0.894. I4. 36.64. 590.891. 0.522. 0.882. I5. 36.02. 604.703. 0.397. 0.885. I6. 36.10. 589.246. 0.560. 0.881. I7. 37.23. 620.941. 0.517. 0.885. I8. 35.97. 615.035. 0.287. 0.888. I9. 37.03. 606.651. 0.365. 0.886. I10. 37.24. 589.857. 0.566. 0.881. I11. 37.00. 578.171. 0.674. 0.878. I12. 36.67. 582.073. 0.617. 0.879. I13. 37.26. 587.690. 0.492. 0.883. I14. 37.18. 577.494. 0.580. 0.880. I15. 37.65. 595.552. 0.481. 0.883. I16. 37.42. 574.776. 0.566. 0.880. I17. 37.77. 593.877. 0.467. 0.883. I18. 37.94. 603.779. 0.411. 0.885. 39.

(50) 表3-3-3 信度Cronbach's Alpha值分析表(續) 題號. 項目刪除時的項目刪除時的尺度平均數尺度變異數. 修正的項目總相關. 項目刪除時的 Cronbach's Alpha 值. I19. 36.66. 574.839. 0.554. 0.881. I20. 36.12. 566.947. 0.608. 0.879. I21. 36.44. 584.887. 0.455. 0.884. I22. 36.24. 570.729. 0.575. 0.880. 由上述 Cronbach α 信度分析表中得知，雖然刪除第三題會使信度提高至 0.894，但提昇的幅度不大且因第三題所包含的主概念共有三個，其中概念五僅由第一題與第三題測量，根據認知診斷測驗編製原則為每一個概念至少測驗兩題，以減少診斷時所產生的誤差，再加上預試後顯示此題有不錯的鑑別度，因此仍保留第三題。（三）預試試題難度本預試測驗以難度指數表示本測驗的難易程度，難度指數愈高，代表該試題愈容易；反之，則代表該試題愈難。難度指數計算公式如下： P＝（PH＋PL）/2 PH：高分組通過率；PL：高分組通過率本預試試題的難度指數值介於 0.1565~0.7290，平均難度為 0.40840。數據如表 3-3-5。整份測驗難度為中偏難，因此在編製正式測驗時，將難度較高試題中的數字變小以降低測驗難度。（四）預試試題鑑別度本研究之預試試題鑑別度( D )的計算將受試者依測驗總分由高而低排序後，測驗總分前 27％設為高分組，測驗總分後 27％設為低分組，之後計算高低分組答對此試題的百分比，鑑別度( D )為高分組答對此試題百分比與低分組答對此試題百分比的差異值，公式如下：. 40.

(51) D＝PH－PL PH：高分組通過率；PL：高分組通過率本預試試題的鑑別度值介於 0.1565~0.7290，平均鑑別度為 0.40840。試題都在可接受範圍，因此不作修改。數據如表 3-3-4。表 3-3-4 預試試題之通過率、難度指數及鑑別度試題分析表題號. 通過率 P％. 高分組通過率（PH）. 低分組通過率（PL）. 難度指數(P) P＝(PH＋PL)/2. 鑑別度(D) D＝PH－PL. I1. 31.552. 0.66. 0.05. 0.3588. 0.6107. I2. 75.573. 0.91. 0.53. 0.7214. 0.3740. I3. 32.570. 0.63. 0.05. 0.3435. 0.5802. I4. 60.814. 0.80. 0.40. 0.6031. 0.3969. I5. 57.761. 0.89. 0.19. 0.5420. 0.7023. I6. 66.158. 0.93. 0.30. 0.6145. 0.6336. I7. 75.827. 0.95. 0.51. 0.7290. 0.4351. I8. 58.779. 0.85. 0.29. 0.5687. 0.5573. I9. 31.043. 0.68. 0.04. 0.3588. 0.6412. I10. 33.588. 0.72. 0.02. 0.3664. 0.7023. I11. 40.712. 0.85. 0.03. 0.4389. 0.8168. I12. 50.636. 0.85. 0.10. 0.4733. 0.7481. I13. 23.664. 0.01. 0.00. 0.3053. 0.6107. I14. 28.753. 0.68. 0.01. 0.3435. 0.6718. I15. 19.084. 0.45. 0.01. 0.2290. 0.4427. I16. 20.356. 0.53. 0.02. 0.2786. 0.5115. I17. 13.232. 0.37. 0.00. 0.1832. 0.3664. I18. 11.705. 0.30. 0.19. 0.1565. 0.2824. I19. 38.422. 0.76. 0.05. 0.3779. 0.7557. I20. 55.980. 0.85. 0.09. 0.5229. 0.6641. I21. 38.677. 0.74. 0.05. 0.3969. 0.6870. 41.