研究方法

第三章 研究方法

3.1 單根檢定

單根檢定是用來檢定時間序列資料是否為定態的方法，而在時間序列的研究 與分析過程中，許多經濟資料，例如所得、物價和貨幣供給等等都具有非定態的 性質，故在研究前，都會對時間序列的資料進行單根檢定以確認研究結果有效。

所謂的定態是指，在長期之下資料結構為一穩定的狀態，當受到外生干擾或衝擊 時，所受到的影響會隨時間而消逝，最終回到長期的平均水準。而非定態的時間 序列資料，當受到外生干擾和衝擊時，將隨著時間的經過而產生永久性的累積效 果，最後發散而遠離長期平均水準。

若我們對非定態的時間序列資料做迴歸分析，則可能會出現「假性迴歸」

(spurious regression) 的現象，即是在用迴歸方法檢定或估計實證模型的時候，如 果採用的時間序列變數不是定態，則迴歸的結果，很有可能使原本毫無因果關係 的變數之間，出現假的因果關係，也就是迴歸係數顯著異於零，且判定係數也很 高的情況。在此情況下，常導致研究的結論發生錯誤，因為看起來不錯的迴歸結 果，其實並沒有真正的因果關係或經濟意義。以下將介紹本文所使用到的三種單 根檢定方法：ADF 單根檢定、PP 單根檢定和 DF-GLS 單根檢定。

3.1.1 ADF 單根檢定 (Augmented Dickey-Fuller unit root test)

在本文中使用的第一個單根檢定是 ADF 單根檢定，是由 Dickey and Fuller 在 1979 年的 DF 單根檢定修改而來，由於 DF 單根檢定會忽略殘差項存在自我相關 的現象，導致檢定力降低，造成過度接受有單根的情況，也就是本來不具單根的 變數也被誤認為是有單根，因此加入一個增廣項來控制殘差序列中可能出現的自 我相關，我們將之稱為 ADF 單根檢定。一個完整的 ADF 單根檢定程序必須包含 三種資料產生的模型，其設定如下：

(1) 原始模型

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y_𝑡 = 𝑎₀+ 𝑎₁𝑦_𝑡−1+ 𝑎₂𝑦_𝑡−2+ ⋯ + 𝑎_𝑝−1𝑦_{𝑡−𝑝+1}+ 𝑎_𝑝𝑦_𝑡−𝑝+ 𝑒_𝑡 (3.1.1)

(2)含截距項但不含時間趨勢項

∆𝑦_𝑡 = 𝑎₀+ 𝛾𝑦_𝑡−1+ ∑^𝑝_𝑖=2𝛽_𝑖∆𝑦_{𝑡−𝑖+1}+ 𝑒_𝑡 (3.1.2)

(3)含截距項與時間趨勢項

∆𝑦_𝑡 = 𝑎₀+ 𝛾𝑦_𝑡−1+ 𝑎₂𝑡 + ∑^𝑝_𝑖=2𝛽_𝑖∆𝑦_{𝑡−𝑖+1}+ 𝑒_𝑡 (3.1.3)

(4)不含截距項與時間趨勢項

∆𝑦_𝑡 = 𝛾𝑦_𝑡−1+ ∑^𝑝_𝑖=2𝛽_𝑖∆𝑦_{𝑡−𝑖+1}+ 𝑒_𝑡 (3.1.4)

其中a₀為截距項，t 為時間趨勢項，𝛾 = −(1 − ∑^𝑝_𝑖=1𝑎_𝑖)，而𝛽_𝑖 = − ∑^𝑝_𝑗=1𝑎_𝑗，在上 述的模型當中，∑^𝑝_𝑖=1𝑎_𝑖 < 1 是定態的必要條件。所以當∑^𝑝_𝑖=1𝑎_𝑖 = 1時，表示該變 數至少會有一個特徵根為 1，若∑^𝑝_𝑖=1𝑎_𝑖 > 1則表示該變數的特徵根在單位圓之外，

也就是非定態。ADF 單根檢定的虛無假設為H₀: 𝛾 = 0，對立假設為H₁: 𝛾 < 0。若 檢定結果拒絕虛無假設，則代表此序列不存在單根。∑^𝑝_𝑖=2𝛽_𝑖∆𝑦_{𝑡−𝑖+1}為 ADF 單根 檢定的增廣項，其最適落後期 P 可由 AIC 和 SIC 準則來判定。

3.1.2 PP 單根檢定 (Phillips-Perron unit root test)

在本文中使用的第二個單根檢定是 PP 單根檢定，Phillips and Perron (1988) 用 無母數之方法來控制殘差序列中可能出現的自我相關問題，且 PP 檢定允許殘差 項有自我相關和異質變異，這是 ADF 單根檢定所不允許的，因此我們經常使用 PP 單根檢定來輔助 ADF 單根檢定。一個完整的 PP 單根檢定程序必須包含下列三 中資料產生的模型：

(1) 不含截距項與時間趨勢項

∆𝑦_𝑡 = 𝛾𝑦_𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (3.1.5)

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(2) 含截距項但不含時間趨勢項

∆𝑦_𝑡 = 𝑎₀+ 𝛾𝑦_𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (3.1.6)

(3) 含截距項與時間趨勢項

∆𝑦_𝑡 = 𝑎₀+ 𝑎₂𝑡 + 𝛾𝑦_𝑡−1+ 𝑒_𝑡 (3.1.7)

PP 單根檢定的虛無假設為H₀: 𝛾 = 0，對立假設為H₁: 𝛾 < 0。若檢定結果拒絕虛無 假設，則代表此序列不存在單根。

3.1.3 DF-GLS 單根檢定 (Dicky-Fuller GLS unit root test)

在本文中使用的第三個單根檢定是 DF-GLS 單根檢定，是由 Elliott, Rothenberg and Stock (1996) 提出，對自我迴歸單根的效率檢定，使用一般化最小平方法來估 計，其檢定力相較於 ADF 單根檢定來說較高。DF-GLS 單根檢定的模型如下：

∆𝑦_𝑡^𝑑 = 𝛼𝑦_𝑡−1^𝑑 + 𝛽₁∆𝑦_𝑡−1^𝑑 + ⋯ + 𝛽_𝑝∆𝑦_𝑡−𝑝^𝑑 + 𝑒_𝑡 (3.1.8)

當 DF-GLS 只有常數項時，其統計量 t 值等同於 DF 單根檢定，臨界值則沿 用 ADF 單根檢定;而當含常數項和時間趨勢項時，其分配與 DF 單根檢定的就不 同，此時臨界值使用 ERS 文中所述之結果。DF-GLS 單根檢定的虛無假設為 H₀: 𝛾 = 0，對立假設則是H₁: 𝛾 < 0。若檢定結果拒絕虛無假設，則代表此序列不 存在單根。

3.2 GRACH 模型 (GARCH model)

Engle (1982) 提出 ARCH 模型，將會因時而異的條件變異數模型化，解決了 許多財務資料條件變異數不齊一的現象，但是其線性遞延結構較長，使得模型較

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為冗長，因此其學生 Bollerslev (1986) 又提出了 GARCH 模型，將落後期的條件 變異數納入條件變異數方程式中，修正了 ARCH 模型線性遞延結構較長的缺點，

使得模型更加彈性且精簡化。GARCH (p,q) 模型如下：

𝑦_𝑡|𝛺_𝑡~𝑁(𝑥_𝑡𝑎, 𝜎_𝑡²) (3.2.1)

𝜀_𝑡 = 𝑦_𝑡− 𝑥_𝑡𝑎 (3.2.2)

𝜎_𝑡² = 𝛼₀+ ∑^𝑞_𝑖=1𝛼_𝑖𝜀_𝑡−𝑖² + ∑^𝑝_𝑖=1𝛽_𝑖𝜎_𝑡−𝑖² (3.2.3)

在文獻中，(3.2.2) 式常被稱為均數方程式，(3.2.3) 則稱為變異數方程式。其中𝑥_𝑡是 迴歸式的自變數向量，a 是迴歸式的係數向量，𝜀_𝑡−𝑖² 為均數方程式中殘差項的平方，

𝜎_𝑡²則為殘差項的變異數，p, q 為 GARCH 模型的階次。

而本研究的第二階段 GARCH 模型就以上述之模型為原則，並於均數方程式 中加入石油價格報酬率和美元兌台幣匯率之報酬率，以探討此兩變數對台灣股市 各類股的超額報酬率影響為何，其設定如下：

𝑟_𝑖,𝑡 = К_𝑖 + 𝜔_𝑖1𝑟_{𝑖,𝑡−1}+ 𝜔_𝑖2𝑟_{𝑜,𝑡−1}+ 𝜔_𝑖3𝑟_{𝑒,𝑡−1}+ 𝜔_𝑖4ℎ_𝑜,𝑡+ 𝜔_𝑖5ℎ_𝑒,𝑡+ 𝜉_𝑖,𝑡 , 𝑖 =

1, 2 … 9, 10 (3.2.4)

𝜉_𝑖,𝑡|𝛹_𝑡−1~𝑁(0, ℎ_𝑖,𝑡) (3.2.5)

ℎ_𝑖,𝑡 = 𝜑_0𝑖+ 𝜑_1𝑖𝜉_{𝑖,𝑡−1}² + 𝜑_2𝑖ℎ_{𝑖,𝑡−1} , 𝑖 = 1, 2 … 9, 10 (3.2.6)

其中𝑟_𝑖,𝑡為第 i 類股在時間 t 的超額報酬率，ℎ_𝑖,𝑡為第 i 類股在時間 t 的條件變異數。

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而在本研究的最後一階段，為了觀察出石油報酬率波動及美元兌台幣匯率報酬率 波動對股價報酬的影響，是正向波動影響較多還是負向波動影響較多，因此本文 再對 (3.2.4) 式加入虛擬變數來估計，模型如下：

𝑟_𝑖,𝑡 = 𝜂₀+ 𝜂₁𝑟_{𝑜,𝑡−1}+ 𝜂₂𝑟_{𝑒,𝑡−1}+ 𝜂₃𝑟_{𝑖,𝑡−1}+ 𝜂₄𝐷_1,𝑡^𝑜 ℎ_𝑜,𝑡+ 𝜂₅(1 − 𝐷_1,𝑡^𝑜 )ℎ_𝑜,𝑡+

𝜂₆𝐷_2,𝑡^𝑒 ℎ_𝑒,𝑡+ 𝜂₇(1 − 𝐷_2,𝑡^𝑒 )ℎ_𝑒,𝑡+ 𝜋_𝑖,𝑡 , 𝑖 = 1,2 … 9,10 (3.2.7)

ℎ_𝑖,𝑡 = 𝜍_0𝑖 + 𝜍_1𝑖𝜉_{𝑖,𝑡−1}² + 𝜍_2𝑖ℎ_{𝑖,𝑡−1} (3.2.8)

其中𝐷_1,𝑡^𝑜 是當石油價格報酬率為正 (負) 時，其值為 1 (0) 的虛擬變數。而𝐷_2,𝑡^𝑒 是當 美元兌台幣匯率報酬率為正 (負) 時，其值為 1 (0) 的虛擬變數。

3.3 固定條件相關係數 GARCH 模型 (Constant Conditional Correlation GARCH model, CCC GARCH)

Bollerslev (1990) 提出了固定條件相關係數模型 (CCC)，說明相關係數是固 定的不會隨著時間而改變。CCC 模型以共變數矩陣𝐻_𝑡標準化的形式來表達：

𝐻_𝑡 = 𝐷_𝑡𝑅𝐷_𝑡 (3.3.1)

其中𝐷_𝑡為N × N之𝐻_𝑡對角化矩陣，即D_t = 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝐻_𝑡}。𝑅_𝑡為相關係數矩陣，𝑅_𝑖𝑖 = 1，

其餘非對角元素為𝜌_𝑖𝑗√𝑤𝑖𝑤_𝑗。以 2 元變量 GARCH (1,1) 為例，將各變數之條件變 異數方程式表達如下：

ℎ_11,𝑡 = 𝑐₁₁+ 𝛼₁₁𝜀_1,𝑡−1² + 𝛽₁₁ℎ_11,𝑡−1 (3.3.2)

ℎ_22,𝑡 = 𝑐₂₂+ 𝛼₂₂𝜀_2,𝑡−1² + 𝛽₂₂ℎ_22,𝑡−1 (3.3.3)

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ℎ_12,𝑡 = 𝜌₁₂√ℎ11,𝑡ℎ_22,𝑡 (3.3.4)

其中ℎ_11,𝑡為變數 1 的條件變異數，ℎ_22,𝑡為變數 2 的條件變異數，ℎ_12,𝑡為變數 1 和 2 的條件共變數，𝜀_1,𝑡−1² 為變數 1 的殘差平方項，𝜀_2,𝑡−1² 為變數 2 的殘差平方項。值 得注意的是，相關係數𝜌₁₂為一固定常數，不會隨時間而變動，而這樣的一個假設 除了配合資料的特性外，估計起來也比較容易，但容易產生實證上的問題，因此 下一節將再介紹動態條件相關係數模型來加以修正。

3.4 動態條件相關係數 GARCH 模型 (Dynamic Conditional Correlation GARCH model, DCC GARCH)

Engle (2002) 提出了動態條件相關係數模型 (DCC)，和固定條件相關係數模 型 (CCC) 十分相像，唯一不同處在於 DCC 模型的相關係數會隨著時間而變動，

CCC 則否;而變動的方式是以 GARCH 模型為其函數形式，以 2 變量 GARCH (1,1) 為例：

𝐻_𝑡 = 𝐷_𝑡𝑅_𝑡𝐷_𝑡 (3.4.1)

其中𝐷_𝑡為 2×2 之𝐻_𝑡對角化矩陣，即𝐷_𝑡 = 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝐻_𝑡}，𝑅_𝑡為相關係數矩陣，加入下標 t 代表其中的條件相關係數將因時間而改變。而各變數之變異數方程式為單變數 GARCH 形式：

𝐷_𝑡² = 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝑐} + 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝛼} ⊗ 𝜀_𝑡−1𝜀_𝑡−1^′ + 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝛽} ⊗ 𝐷_𝑡−1² (3.4.2)

其中之 c、𝛼和𝛽為多變量 GARCH 之參數矩陣，在取對角化後變成單變量 GARCH 之係數，𝜀則是均數方程式中的殘差項。DCC 模型的條件變異數和共變數之方程

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式及𝑅_𝑡之模型化表示如下：

ℎ_11,𝑡 = 𝑐₁+ 𝛼₁₁𝜀_1,𝑡−1² + 𝛽₁₁ℎ_11,𝑡−1 (3.4.3)

ℎ_22,𝑡 = 𝑐₂+ 𝛼₂₂𝜀_2,𝑡−1² + 𝛽₂₂ℎ_22,𝑡−1 (3.4.4)

ℎ_12,𝑡 = 𝜌_12,𝑡√ℎ11,𝑡ℎ_22,𝑡 (3.4.5)

𝑅_𝑡 = 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝑄_𝑡}⁻¹𝑄_𝑡𝑑𝑖𝑎𝑔{𝑄_𝑡}⁻¹ (3.4.6)

其中ℎ_11,𝑡為變數 1 的條件變異數，ℎ_22,𝑡為變數 2 的條件變異數。在 DCC 模型中，

我們是先估計條件相關係數𝜌_12,𝑡，再利用 (3.4.5) 式計算共變數ℎ_12,𝑡。而𝑄_𝑡是在 t 時間之條件相關係數矩陣，將𝑄_𝑡設為服從 GARCH 形式的函數如下：

𝑄_𝑡= 𝑆(𝑖𝑖^′− 𝐴 − 𝐵) + 𝐴 ⊗ 𝑢_𝑡−1𝑢_𝑡−1^′ + 𝐵 ⊗ 𝑄_𝑡−1 (3.4.7)

其中𝑄_𝑡是個N × N的對稱矩陣，S 是非條件相關係數矩陣，i 是 2 維度的 1 向量，A 和 B 則是條件相關係數方程式的 ARCH 項和 GARCH 項的係數矩陣，u 則是均數 方程式之標準化殘差矩陣，也就是𝑢_𝑡 = 𝐷⁻¹𝜀_𝑡。將𝑄_𝑡第 1 和第 2 個標準化殘差的 條件相關係數以𝑞₁₂表示，其函數服從 GARCH 之形式，以 GARCH (1,1) 為例：

𝑞_12,𝑡 = 𝜌̅̅̅̅(1 − a_{12 12}− 𝑏₁₂) + 𝑎₁₂𝑢_1,𝑡−1𝑢_2,𝑡−1+ 𝑏₁₂𝑞_12,𝑡−1 (3.4.8)

而本研究之第一階段模型即以上述之 DCC-GARCH 模型為原則，以探討石油與美 元兌台幣匯率間的動態相關係數，其設定如下：

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𝑟_𝑜,𝑡 = 𝛼₁+ 𝛽₁₁𝑟_{𝑜,𝑡−1}+ 𝛽₁₂𝑟_{𝑒,𝑡−1} + 𝜀_𝑜,𝑡 (3.4.9)

𝑟_𝑒.𝑡= 𝛼₂ + 𝛽₂₁𝑟_{𝑜,𝑡−1}+ 𝛽₂₂𝑟_{𝑒,𝑡−1}+ 𝜀_𝑒,𝑡 (3.4.10)

ℎ_𝑜,𝑡 = 𝑐₁₁+ 𝜈₁₁𝜀_𝑜,𝑡² + 𝛷₁₁ℎ_{𝑜,𝑡−1} (3.4.11)

ℎ_𝑒,𝑡 = 𝑐₂₂+ 𝜈₂₂𝜀_𝑒,𝑡² + 𝛷₂₂ℎ_{𝑒,𝑡−1} (3.4.12)

𝑞_12,𝑡 = 𝜌₁₂(1 − 𝑎₂₁− 𝑏₂₁) + 𝑎₂₁𝜆_1,𝑡−1𝜆_2,𝑡−1+ 𝑏₂₁𝑞_12,𝑡−1 (3.4.13)

𝑞_11,𝑡 = 𝜌₁₁(1 − 𝑎₁₁− 𝑏₁₁) + 𝑎₁₁𝜆_1.𝑡² + 𝑏₁₁𝑞_11,𝑡−1 (3.4.14)

𝑞_22,𝑡 = 𝜌₂₂(1 − 𝑎₂₂− 𝑏₂₂) + 𝑎₂₂𝜆_2,𝑡² + 𝑏₂₂𝑞_22,𝑡−1 (3.4.15)

𝜌_12,𝑡 = ^𝑞12,𝑡

√𝑞11,𝑡𝑞_22,𝑡 (3.4.16)

其中𝑟_𝑜,𝑡 為在時間 t 下的石油價格報酬率，𝑟_𝑒,𝑡為在時間 t 下的美元兌台幣匯率報酬 率，ℎ_𝑜,𝑡為石油價格報酬率的條件變異數，ℎ_𝑒,𝑡為美元兌台幣匯率 報酬率的條件變 異數，𝑞_{𝑖𝑗,𝑡}為標準化殘差的條件相關係數，𝜌̅̅̅̅為標準化殘差的非條件相關係數，𝜆_{𝑖𝑗 𝑖} 為標準化殘差，𝜌_12,𝑡為條件相關係數，i , j=1、2 分別代表石油價格和美元兌台幣 匯率。為了保持定態性質，(𝑎₂₁+ 𝑏₂₁)、(𝑎₁₁+ 𝑏₁₁) 和 (𝑎₂₂+ 𝑏₂₂) 必須小於 1。

3.5 動態條件相關係數檢定

在進行 DCC-GARCH 模型研究時，必須考慮其波動程度，若波動程度不大或 許採用 CCC-GARCH 模型即可，但若有劇烈波動卻使用 CCC-GARCH 模型進行

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相關分析的話，容易導致結果的誤判。Tse (2000) 以蒙地卡羅模擬分析法檢測出 LM 檢定法在對於非常態性的時間序列資料有較佳的檢定力。本研究利用此 LM 檢定法檢定油價報酬率與匯率報酬率間是否符合動態條件相關係數之假設，其模 型設定如下：

𝜌_{𝑖𝑗,𝑡} = 𝜌_𝑖𝑗 + 𝛼_𝑖𝑗𝑟_{𝑖,𝑡−1}𝑟_{𝑗,𝑡−1} (3.5.1)

其中𝜌_{𝑖𝑗,𝑡}為兩變數之動態條件相關係數，𝜌_𝑖𝑗為兩變數之固定條件相關係數，𝑟_{𝑖,𝑡−1}為 油價報酬率資料，𝑟_{𝑗,𝑡−1}為匯率報酬率資料。檢定的假設為 H₀: 𝛼_𝑖𝑗 = 0，H₁: 𝛼_𝑖𝑗 ≠ 0。

檢定結果若拒絕虛無假設，則表示此兩變數間不具有固定條件相關係數之特性，

在分析資料時應採用動態條件相關係數模型；反之，若不拒絕虛無假設，則採用 固定條件相關係數即可。

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