研究背景與動機

分數是數學中重要的概念之一，分數的學習對於國小學生是一相當難的課 題，假如分數概念無法正確建立，將無法進行其他相關概念的學習。學生具備基 本的分數概念後，必須先了解分數的等值意義，才能進一步發展有理數概念，但 國小學生之等值分數概念相當薄弱，且學習成效不彰。資訊科技的發展創造出一 個優質的教學環境，可以利用資訊科技的特性有效達成教學目標，把資訊科技當 作心智學習的工具，使學生能從事有意義的學習活動。另外，數學自我效能也會 影響學習者的學習成效及學習態度。本章分別就本研究的研究動機與背景、研究 目的與待答問題、研究範圍與限制、及名詞釋義四個部份進行說明。

第一節 研究背景與動機

分數象徵兒童知識重大的擴展，當學生對分數概念十分理解時，便能運用這 些知識去解決涉及測量、機率和統計等問題，開闊兒童對數的功用，也擴大了兒 童數系的知識(NCTM, 2000)。劉秋木(2002)也曾指出：「在國小階段，分數是最高 的概念，是國小數學的頂石，但也是往後學習的基石，分數有如基礎數學與高深 數學間的分水嶺。」分析國內小學數學科教材可以發現，分數概念不但是數學中 重要的概念，在國小數學教材中亦占有相當的份量，而且分數概念與小數、百分 率、比、除法等概念關係密切(教育部, 2004)。分數的重要性可以從幾個不同的層 面觀之(楊瑞智, 2000)：(1)從實際層面來看，有效地處理分數概念，可廣泛增進了 解與掌握真實世界的問題之能力；(2)從心理層面來看，分數提供豐富的領域發 展、學童智力、及擴展心智結構；(3)從數學層面來看，分數的了解提供爾後學習 小數、比、機率及基本代數運算等基礎。由此可知，分數概念的發展是未來學習 許多概念和技能的基礎和關鍵。

分數的學習對於國小學生是相當難的課題，因為分數概念是學習者第一次學 習有關兩個量的相對比較關係，包含了許多分數意義，而且在不同分數意義情境

下也有非常多的變化(Behr, Wachsmuth, & Post, 1985)。分數概念有許多不同的使 用情境及解釋，不同的解釋所使用的認知結構也有所不同，是一個複雜且重要的 數學概念，學生需要漫長的時間來發展分數概念，學習的過程相當艱苦，若學生 的分數概念無法正確建立，將無法進行其他相關概念的學習(呂玉琴, 1991a; 林碧 珍, 1990; 洪素敏、楊德清, 2002; 湯錦雲, 2002; 詹志禹, 1997; 劉秋木, 2002)。由 於學校的分數教材太強調程序性技能與計算的演算法，不但無法幫助學生了解數 學與發展數學意義，甚至可能導致學習成效低落(Behr, Lesh, Post, ＆ Silver, 1983;

Bishop, 1989)。我國國小學生學習分數概念之困難為對分數概念無法理解；分數 的符號與分數的意義疏離；只會機械式的記憶分數規則來解題而不了解算則的意 義等(呂玉琴, 1991a; 林福來、黃敏晃、呂玉琴, 1996; 陳靜姿, 1997; 黃馨緯, 1995;

楊壬孝, 1988)。美國的全國教育發展評估(The National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP) 指出學生分數的成就低且概念也不完備，例如：不了解分 數的意義、對分數缺乏數感(number sense)、不知分數是數、不知分數有大小之別、

以機械式的記憶規則來完成計算、對於分數的操作、數感等認知也都有相當困難 (Columba, 1989; Post, 1988)。縱使學生在計算方面的技巧非常熟練，卻往往不理 解分數的真正意義，對分數概念學習有諸多困難(呂玉琴, 1998a; 林碧珍, 1990; 游 自達, 1993; Behr, Wachsmuth, & Post, 1985; Hunting, 1983; Saenz-Ludlow, 1994)。

在分數的學習中，等值的概念扮演著重要的地位。學生具備基本的分數概念 後，必須先了解分數的等值意義，才能進一步發展有理數概念，而且在比較兩個 分數的次序關係時，必須考慮分數的等價關係，等值分數概念是異分母分數加減 法、分數除法、及分數的四則運算的基礎。此外，等值分數也和許多重要的數學 概念有密切的關聯性，如比、比例、機率、小數、百分率等，這些概念均是學習 基礎科學知識所必須要學會的。82 年版部編本國小數學教材亦主張引入等值分數 的活動，以作為發展有理數概念的基礎，提供學生學習等值分數概念的經驗，可 進一步成為學生解決異分母分數合成、分解問題的基礎(呂玉琴, 1998b)。雖然等 值分數概念只佔國小分數課程中的一個單元，但若能成功的學習等值分數概念，

可促進分數其它子概念之學習，更是日後基本代數運算的基礎，由此可見，等值 分數概念在國小數學中的重要性。

等值分數是分數子概念中最困難的子概念，其困難處在於學生的思考必須更 為彈性、更能勇於從具體操作進入形式運思來解決問題。國小學生的等值分數概 念相當薄弱(Booth, 1987)，我國國小學生也有此問題，許多學生即使接受過等值 分數的教學，仍然不認為二分之一等於四分之二(呂玉琴, 1991b)，分數概念殘缺 不全或思考過於僵化時，皆無法正確解決等值分數問題(彭海燕, 1998)。影響學習 者學習等值分數概念主要的因素有五點，分別為(1)等分概念；(2)彈性思考能力；

(3)組合能力；(4)單位形成能力；(5)運作思考能力(呂玉琴, 1991a; 呂玉琴, 1991b;

呂玉琴, 1994; 林碧珍,1990; 彭海燕, 1998; Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983; Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Behr & Post, 1992; Booth, 1987; Kamii & Clark, 1995; Parrat-Dayan & Vonbche, 1992; Saenz-Ludlow, 1994, 1995)。演練範例有助於 問題的解決，提供適當的演練範例可幫助學習者概念的形成，等值分數學習成效 不彰的原因為學習者彈性思考能力不足，彈性思考能力為數學能力之一，提升學 習者等值分數彈性思考能力即是數學能力的提升教學中，若提供可促進彈性思考 的演練範例，可增進學習者的彈性思考。

國小階段的學生多處於具體運思階段，必須透過實際操作才能形成行動與形 象表徵，具體物操作可以形成動作表徵與形象表徵，使所學得的知識有更多的聯 結增加記憶。國小數學教學借重教具之處甚多，就是希望透過教具的操作形成正 確的知識表徵，教具最重要的功能在提供學生具體與抽象思維之轉換，這種轉換 可幫助兒童經由表徵形式增進抽象思考的發展。操弄教具可幫助數學概念之學 習，但學習等值分數概念時，必需將物品進行不同等分的切割，實體教具很難讓 學習者任意地分割物品(賴阿福, 2004)。

由於資訊科技的蓬勃發展，若能善用電腦多媒體特性，將資訊科技視為學習 工具，並在教學活動中運用資訊科技，可以有效達成教學目標，使學生能從事有 意義的學習活動(王世全, 2000; 何榮桂, 2002; 徐新逸、吳佩謹, 2002; 邱瓊慧,

2002; Dias, 1999)。透過資訊科技的特性，在學習等值分數概念時可將物品進行不 同等分的分割，電腦多媒體具有互動的特性，並提供學習者半具體物之操作，將 不易體驗之知識以影像或動畫呈現，抽象概念予以具體化、視覺化，使學童有充 足地操作機會，以經驗其中的數學概念，可有效地具體呈現學習內容，幫助學童 理解(賴阿福, 2004)。虛擬教具是一種放在網站上具互動特性的動態物件，和實體 教具非常相似，並且加上有助於學習的特徵，幫助學習者建構數學知識(Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002; Moyer, Niezgoda, & Stanley, 2005)。虛擬教具具有可變 性，學習者可針對某一物件的某一部分塗顏色，或是增加或減少某一物件的數量 (Yuan, 2005)，動態、顏色、圖解、互動的特性可以持續讓學習者保持注意力(Reimer

& Moyer, 2005; Suh, Moyer, & Heo, 2005; Steen, Brooks, & Lyon, 2006)。

等值分數概念對國小學生來說是較困難的學習內容，自我效能的高低會影響 學習的表現。學習者的自我效能高低會影響嘗試解決任務時的動機、願意付出努 力的程度、當面臨困難時堅毅的程度、以及面對失敗挫折的反應方式，在學習的 過 程 中 會 持 續 影 響 學 習 者 的 表 現 (Bandura, 1986; Schunk, 2000; Zimmerman, 2000)，在數學學習中亦是如此，當學習者的數學自我效能較高時，會有較高的數 學自信，數學作業的表現也會較好，並有較低的數學焦慮，因此會有較佳的學業 表現(陳玉玲, 1995; 魏麗敏, 1996; Hackett & Betz, 1989; Schunk, 2000)。因此，數 學自我效能的高低對學習成就及學習態度之影響是值得探討的議題。

綜合上述，教學中若提供適當的範例可促進學習者對概念的了解，在等值分 數概念學習的過程中，必需將物品進行不同等分的切割，實體教具很難讓學習者 任意地分割物品，導致學習者等值分數彈性思考能力不足，虛擬教具具有可變、

互動的特性，並且將抽象概念視覺化、具體化，可以彌補實體教具的不足，數學 自我效能的高低也會影響學習表現與學習態度。本研究期能藉由不同的範例融入 方式進行等值分數教學，以提升學習者的等值分數彈性思考表現，並探討數學自 我效能與範例融入方式是否有交互作用，以及高、低數學自我效能者接受不同範 例融入方式之教學後，對等值分數彈性思考能力表現及數學學習態度之影響。