虛擬教具對國小學生等值分數彈性思考表現之影響

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(1)摘要本研究旨在探討範例融入方式及數學自我效能，對國小學生等值分數彈性思考表現和數學學習態度之影響。研究對象為台北市某國小五年級學生，共 100 位。研究設計採因子設計之準實驗研究法，自變項包含範例融入方式和數學自我效能，範例融入方式分為「連續型範例一般教學」、「連續型範例資訊技融入教學」、「整合型範例資訊科技融入教學」三種方式，數學自我效能依據數學自我效能量表總得分，將學習者分為高、低數學自我效能兩組，參與者分別於教學實驗前後接受測量。依變相為「等值分數彈性思考表現」及「數學學習態度」，等值分數彈性思考表現包括(1)基本彈性思考：基本補畫能力、分割能力；(2)進階彈性思考：進階補畫能力、組合能力、運作思考能力、單位形成能力，數學學習態度為學習興趣、學習動機、數學焦慮三個面向。. 研究結果發現：(1)運用整合型範例資訊科技融入教學，能促進學習者等值分數彈性思考；(2)運用虛擬教具於數學教學中，可提升學習者的學習興趣；(3)高數學自我效能學習者透過不同範例融入方式學習等值分數，均有較好的等值分數彈性思考表現及學習態度。本研究結果與建議可供國小數學科教學與未來相關研究參考。. 關鍵詞：等值分數、彈性思考、資訊科技融入教學、虛擬教具、數學自我效能. I.

(2) ABSTRACT The purpose of this study was to investigate the effect of type of example and mathematics self-efficacy on the five graders’ flexible thinking ability and mathematical attitudes. The participants in this study were 100 fifth graders from three classes of an elementary school in Taipei, Taiwan. The quasi-experimental design with factorial design was employed in the study. The independent variables were methods of example integrated into instruction and self-efficacy toward mathematics. The methods of example integrated into instruction include general instruction of continuous example, continuous example integrated into instruction with technology, and mixed example integrated into instruction with technology. Learners were categorized into two groups, which were high self-efficacy toward mathematics and low self-efficacy toward mathematics based on the scores measured by a self-efficacy scale on mathematics. The dependent variables were flexible thinking ability on equivalent fractions and mathematical attitudes. The flexible thinking ability include (a) basic flexible thinking: basic drawing ability and division ability, (b) advanced flexible thinking: advanced drawing ability, assembly ability, operative thinking ability and unitize ability. The results showed that (a) the application of mixed example integrated into instruction with technology promoted the flexible thinking ability on equivalent fractions, (b) the application of virtual manipulative on the mathematics teaching promoted the students’ learning interest, and (c) the higher mathematical self-efficacy, the better flexible thinking ability on equivalent fractions and mathematical attitudes.. Keywords: equivalent fractions, flexible thinking, integrate technology into instruction, virtual manipulative, mathematics self-efficacy II.

(3) 致謝兩年的時間過得真快，從懵懂無知的碩一新生，到現在已順利完成論文研究，轉眼間我們已即將畢業，很榮幸我可以進入 CSL LAB 這個溫暖的大家庭，讓我碩士生涯可以過得多采多姿，一路走來要感謝許多人，有你們的幫忙我才可以順利畢業。首先，要感謝我的指導教授─陳明溥老師，平時 meeting 報告的訓練、研討會和期刊論文的撰寫，奠定了寫論文的基礎。論文研究的過程中，老師一步一步細心的指導我們，從一開始研究架構的敲定，到最後論文撰寫的定稿，老師花了需多時間指導我們的論文，雖然老師的要求很嚴格，做研究的過程也是非常艱辛，但是最後可以順利畢業，再多的辛苦都是值得的。接著，要感謝我的論文口試委員─高震峰、游光昭教授，在百忙之中撥空審查學生的論文，並且給予我許多建議與指導，使得學生的論文可以更完善。在此要特別感謝袁媛老師，感謝您提供我研究方面的資源，以及為我解答研究上的困惑，學生才能順利畢業。再來，要感謝實驗室的伙伴們，特別是俊儀學長、婉怡學姐、與瑋芷，提供許多想法供我參考，有任何研究上的問題你們都不吝惜的為我解答，常常給予我研究上的建議，非常謝謝你們。再來要感謝和我一起努力的伙伴們─秀如、育亭、惠嵐、韻芳、陳明，在學習的過程中大家互相切磋、互相幫忙、互相討論、互相提醒，最後才得以順利的畢業。最後，要感謝 LAB 的學妹們─貴徽、瑋芷、如詩，謝謝你們在我們最忙碌的時刻，為我們處理許多大大小小的事物，並且幫忙我們校稿論文。最後謹將此論文獻給我最摰愛的家人，感謝你們這兩年來在心理及實際層面上支持我念書，給我最好的讀書環境，讓我心無旁騖的完成論文。這兩年除了學到如何做研究之外，還增廣了我的視野，未來還有許多事物要學習，謝謝大家的支持與幫忙，我會繼續努力的。. III.

(4) 目錄附表目錄 ......................................................................................................................VI 附圖目錄 ...................................................................................................................VIII 第一章. 緒論 ................................................................................................................ 1. 第一節. 研究背景與動機 .................................................................................... 1. 第二節. 研究目的與待答問題 ............................................................................ 5. 第三節. 研究範圍與限制 .................................................................................... 6. 第四節. 名詞解釋 ................................................................................................ 8. 第二章. 文獻探討 ...................................................................................................... 11. 第一節. 等值分數 .............................................................................................. 11. 第二節. 資訊科技融入教學 .............................................................................. 30. 第三節. 自我效能與數學自我效能 .................................................................. 40. 第四節. 歸納與結論 .......................................................................................... 45. 第三章. 研究方法 ...................................................................................................... 47. 第一節. 研究對象 .............................................................................................. 47. 第二節. 研究設計 .............................................................................................. 49. 第三節. 研究工具 .............................................................................................. 51. 第四節. 實驗程序 .............................................................................................. 68. 第五節. 資料分析 .............................................................................................. 71. 第四章結果與討論 .................................................................................................... 74 第一節. 等值分數彈性思考表現分析 .............................................................. 74. 第二節. 數學學習態度分析 .............................................................................. 92. 第五章. 結論與建議 ................................................................................................ 100. 第一節. 結論 .................................................................................................... 100. 第二節. 建議 .................................................................................................... 103 IV.

(5) 參考文獻 .................................................................................................................... 106 附錄一. 數學自我效能量表 .................................................................................... 115. 附錄二. 數學學習態度問卷 .................................................................................... 116. 附錄三. 等值分數成就測驗卷 ................................................................................ 117. V.

(6) 附表目錄. 表 2-1 等值分數彈性思考歸納 .................................................................................. 46 表 3-1 教學實驗之分組及各組人數分配表 .............................................................. 48 表 3-2 數學自我效能預試量表向度、題數分配及內部一致性 .............................. 52 表 3-3 數學自我效能正式量表向度、題數分配及內部一致性 .............................. 52 表 3-4 等值分數單元之教學目標 .............................................................................. 52 表 3-5 等值分數單元之教學程序 .............................................................................. 53 表 3-6 等值分數成就測驗試題內容分析 .................................................................. 64 表 3-7 等值分數成就測驗題目類型、題數分配及內部一致性 .............................. 65 表 3-8 等值分數成就測驗試題難度與鑑別度摘要 .................................................. 65 表 3-9 數學學習態度預試問卷向度、題數分配及內部一致性 .............................. 66 表 3-10 數學學習態度正式問卷向度、題數分配及內部一致性 ............................ 67 表 4-1 各組在等值分數基本彈性思考整體之調整平均數、標準差及人數 .......... 75 表 4-2 各組在等值分數基本彈性思考中各能力分項之調整平均數、標準差及人數 ....................................................................................................................................... 76 表 4-3 等值分數基本彈性思考之多變量整體效果考驗摘要分析 .......................... 77 表 4-4 等值分數基本彈性思考表現之共變數摘要分析 .......................................... 78 表 4-5 各組在等值分數進階彈性思考整體之調整平均數、標準差及人數 .......... 80 表 4-6 各組在等值分數進階彈性思考中各能力分項之調整平均數、標準差及人數 ....................................................................................................................................... 81 表 4-7 等值分數進階彈性思考之多變量整體效果考驗摘要分析 .......................... 82 表 4-8 等值分數進階彈性思考表現之共變數摘要分析 .......................................... 85 表 4-9 等值分數彈性思考表現摘要表 ...................................................................... 87 表 4-10 各組在數學學習態度之調整平均數、標準差及人數 ................................ 93 VI.

(7) 表 4-11 數學學習態度之多變量整體效果考驗摘要分析 ........................................ 94 表 4-12 數學學習態度之共變數摘要分析 ................................................................ 96 表 4-13 數學學習態度分析摘要表 ............................................................................ 97. VII.

(8) 附圖目錄. 圖 2-1. 分數的面積模式 ............................................................................................ 13. 圖 2-2. 分數的長度模式 ............................................................................................ 14. 圖 2-3. 分數的群組模式 ............................................................................................ 14. 圖 2-4. 等值分數的面積模式 .................................................................................... 15. 圖 2-5. 等值分數的長度模式 .................................................................................... 15. 圖 2-6. 等值分數的群組模式 .................................................................................... 16. 圖 2-7. 不等分的分數板 ............................................................................................ 18. 圖 2-8. 等值分數彈性思考能力說明(1).................................................................... 19. 圖 2-9. 等值分數彈性思考能力說明(2).................................................................... 19. 圖 2-10. 等值分數彈性思考能力說明(3).................................................................. 20. 圖 2-11 等值分數彈性思考能力說明(4).................................................................. 20 圖 2-12. 等值分數運作思考能力說明(1).................................................................. 23. 圖 2-13 「4×3」乘法性關係概念圖 .......................................................................... 24 圖 2-14 「等值分數」乘法性關係概念圖 ................................................................ 24 圖 2-15. 等值分數運作思考能力說明(2).................................................................. 25. 圖 2-16. 等值分數單位形成能力說明(1).................................................................. 25. 圖 2-17. 等值分數單位形成能力說明(2).................................................................. 26. 圖 2-18. 等值分數單位形成能力說明(3).................................................................. 26. 圖 2-19. 圖形幾何釘板 .............................................................................................. 34. 圖 2-20. 虛擬白板同時呈現圖形及符號 .................................................................. 35. 圖 3-1. 研究架構圖 .................................................................................................... 49. 圖 3-2. 分數棒 ............................................................................................................ 54. 圖 3-3. 長度模式之連續型等值分數範例 ................................................................ 55 VIII.

(9) 圖 3-4. 面積模式之連續型等值分數範例 ................................................................ 56. 圖 3-5. 群組模式之連續型等值分數範例 ................................................................ 57. 圖 3-6. 長度模式之整合型等值分數範例 ................................................................ 58. 圖 3-7. 面積模式之整合型等值分數範例 ................................................................ 59. 圖 3-8. 群組模式之整合型等值分數範例 ................................................................ 60. 圖 3-9. 等值分數單元之教學流程 ............................................................................ 62. 圖 3-10. 研究流程圖 .................................................................................................. 68. 圖 3-11 等值分數彈性思考表現分析流程圖 .......................................................... 72 圖 3-12. 數學學習態度分析流程圖 .......................................................................... 73. IX.

(10) 第一章緒論分數是數學中重要的概念之一，分數的學習對於國小學生是一相當難的課題，假如分數概念無法正確建立，將無法進行其他相關概念的學習。學生具備基本的分數概念後，必須先了解分數的等值意義，才能進一步發展有理數概念，但國小學生之等值分數概念相當薄弱，且學習成效不彰。資訊科技的發展創造出一個優質的教學環境，可以利用資訊科技的特性有效達成教學目標，把資訊科技當作心智學習的工具，使學生能從事有意義的學習活動。另外，數學自我效能也會影響學習者的學習成效及學習態度。本章分別就本研究的研究動機與背景、研究目的與待答問題、研究範圍與限制、及名詞釋義四個部份進行說明。. 第一節研究背景與動機分數象徵兒童知識重大的擴展，當學生對分數概念十分理解時，便能運用這些知識去解決涉及測量、機率和統計等問題，開闊兒童對數的功用，也擴大了兒童數系的知識(NCTM, 2000)。劉秋木(2002)也曾指出：「在國小階段，分數是最高的概念，是國小數學的頂石，但也是往後學習的基石，分數有如基礎數學與高深數學間的分水嶺。」分析國內小學數學科教材可以發現，分數概念不但是數學中重要的概念，在國小數學教材中亦占有相當的份量，而且分數概念與小數、百分率、比、除法等概念關係密切(教育部, 2004)。分數的重要性可以從幾個不同的層面觀之(楊瑞智, 2000)：(1)從實際層面來看，有效地處理分數概念，可廣泛增進了解與掌握真實世界的問題之能力；(2)從心理層面來看，分數提供豐富的領域發展、學童智力、及擴展心智結構；(3)從數學層面來看，分數的了解提供爾後學習小數、比、機率及基本代數運算等基礎。由此可知，分數概念的發展是未來學習許多概念和技能的基礎和關鍵。分數的學習對於國小學生是相當難的課題，因為分數概念是學習者第一次學習有關兩個量的相對比較關係，包含了許多分數意義，而且在不同分數意義情境 1.

(11) 下也有非常多的變化(Behr, Wachsmuth, & Post, 1985)。分數概念有許多不同的使用情境及解釋，不同的解釋所使用的認知結構也有所不同，是一個複雜且重要的數學概念，學生需要漫長的時間來發展分數概念，學習的過程相當艱苦，若學生的分數概念無法正確建立，將無法進行其他相關概念的學習(呂玉琴, 1991a; 林碧珍, 1990; 洪素敏、楊德清, 2002; 湯錦雲, 2002; 詹志禹, 1997; 劉秋木, 2002)。由於學校的分數教材太強調程序性技能與計算的演算法，不但無法幫助學生了解數學與發展數學意義，甚至可能導致學習成效低落(Behr, Lesh, Post, ＆ Silver, 1983; Bishop, 1989)。我國國小學生學習分數概念之困難為對分數概念無法理解；分數的符號與分數的意義疏離；只會機械式的記憶分數規則來解題而不了解算則的意義等(呂玉琴, 1991a; 林福來、黃敏晃、呂玉琴, 1996; 陳靜姿, 1997; 黃馨緯, 1995; 楊壬孝, 1988)。美國的全國教育發展評估(The National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP) 指出學生分數的成就低且概念也不完備，例如：不了解分數的意義、對分數缺乏數感(number sense)、不知分數是數、不知分數有大小之別、以機械式的記憶規則來完成計算、對於分數的操作、數感等認知也都有相當困難 (Columba, 1989; Post, 1988)。縱使學生在計算方面的技巧非常熟練，卻往往不理解分數的真正意義，對分數概念學習有諸多困難(呂玉琴, 1998a; 林碧珍, 1990; 游自達, 1993; Behr, Wachsmuth, & Post, 1985; Hunting, 1983; Saenz-Ludlow, 1994)。在分數的學習中，等值的概念扮演著重要的地位。學生具備基本的分數概念後，必須先了解分數的等值意義，才能進一步發展有理數概念，而且在比較兩個分數的次序關係時，必須考慮分數的等價關係，等值分數概念是異分母分數加減法、分數除法、及分數的四則運算的基礎。此外，等值分數也和許多重要的數學概念有密切的關聯性，如比、比例、機率、小數、百分率等，這些概念均是學習基礎科學知識所必須要學會的。82 年版部編本國小數學教材亦主張引入等值分數的活動，以作為發展有理數概念的基礎，提供學生學習等值分數概念的經驗，可進一步成為學生解決異分母分數合成、分解問題的基礎(呂玉琴, 1998b)。雖然等值分數概念只佔國小分數課程中的一個單元，但若能成功的學習等值分數概念， 2.

(12) 可促進分數其它子概念之學習，更是日後基本代數運算的基礎，由此可見，等值分數概念在國小數學中的重要性。等值分數是分數子概念中最困難的子概念，其困難處在於學生的思考必須更為彈性、更能勇於從具體操作進入形式運思來解決問題。國小學生的等值分數概念相當薄弱(Booth, 1987)，我國國小學生也有此問題，許多學生即使接受過等值分數的教學，仍然不認為二分之一等於四分之二(呂玉琴, 1991b)，分數概念殘缺不全或思考過於僵化時，皆無法正確解決等值分數問題(彭海燕, 1998)。影響學習者學習等值分數概念主要的因素有五點，分別為(1)等分概念；(2)彈性思考能力； (3)組合能力；(4)單位形成能力；(5)運作思考能力(呂玉琴, 1991a; 呂玉琴, 1991b; 呂玉琴, 1994; 林碧珍,1990; 彭海燕, 1998; Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983; Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Behr & Post, 1992; Booth, 1987; Kamii & Clark, 1995; Parrat-Dayan & Vonbche, 1992; Saenz-Ludlow, 1994, 1995)。演練範例有助於問題的解決，提供適當的演練範例可幫助學習者概念的形成，等值分數學習成效不彰的原因為學習者彈性思考能力不足，彈性思考能力為數學能力之一，提升學習者等值分數彈性思考能力即是數學能力的提升教學中，若提供可促進彈性思考的演練範例，可增進學習者的彈性思考。國小階段的學生多處於具體運思階段，必須透過實際操作才能形成行動與形象表徵，具體物操作可以形成動作表徵與形象表徵，使所學得的知識有更多的聯結增加記憶。國小數學教學借重教具之處甚多，就是希望透過教具的操作形成正確的知識表徵，教具最重要的功能在提供學生具體與抽象思維之轉換，這種轉換可幫助兒童經由表徵形式增進抽象思考的發展。操弄教具可幫助數學概念之學習，但學習等值分數概念時，必需將物品進行不同等分的切割，實體教具很難讓學習者任意地分割物品(賴阿福, 2004)。由於資訊科技的蓬勃發展，若能善用電腦多媒體特性，將資訊科技視為學習工具，並在教學活動中運用資訊科技，可以有效達成教學目標，使學生能從事有意義的學習活動(王世全, 2000; 何榮桂, 2002; 徐新逸、吳佩謹, 2002; 邱瓊慧, 3.

(13) 2002; Dias, 1999)。透過資訊科技的特性，在學習等值分數概念時可將物品進行不同等分的分割，電腦多媒體具有互動的特性，並提供學習者半具體物之操作，將不易體驗之知識以影像或動畫呈現，抽象概念予以具體化、視覺化，使學童有充足地操作機會，以經驗其中的數學概念，可有效地具體呈現學習內容，幫助學童理解(賴阿福, 2004)。虛擬教具是一種放在網站上具互動特性的動態物件，和實體教具非常相似，並且加上有助於學習的特徵，幫助學習者建構數學知識(Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002; Moyer, Niezgoda, & Stanley, 2005)。虛擬教具具有可變性，學習者可針對某一物件的某一部分塗顏色，或是增加或減少某一物件的數量 (Yuan, 2005)，動態、顏色、圖解、互動的特性可以持續讓學習者保持注意力(Reimer & Moyer, 2005; Suh, Moyer, & Heo, 2005; Steen, Brooks, & Lyon, 2006)。等值分數概念對國小學生來說是較困難的學習內容，自我效能的高低會影響學習的表現。學習者的自我效能高低會影響嘗試解決任務時的動機、願意付出努力的程度、當面臨困難時堅毅的程度、以及面對失敗挫折的反應方式，在學習的過程中會持續影響學習者的表現 (Bandura, 1986; Schunk, 2000; Zimmerman, 2000)，在數學學習中亦是如此，當學習者的數學自我效能較高時，會有較高的數學自信，數學作業的表現也會較好，並有較低的數學焦慮，因此會有較佳的學業表現(陳玉玲, 1995; 魏麗敏, 1996; Hackett & Betz, 1989; Schunk, 2000)。因此，數學自我效能的高低對學習成就及學習態度之影響是值得探討的議題。綜合上述，教學中若提供適當的範例可促進學習者對概念的了解，在等值分數概念學習的過程中，必需將物品進行不同等分的切割，實體教具很難讓學習者任意地分割物品，導致學習者等值分數彈性思考能力不足，虛擬教具具有可變、互動的特性，並且將抽象概念視覺化、具體化，可以彌補實體教具的不足，數學自我效能的高低也會影響學習表現與學習態度。本研究期能藉由不同的範例融入方式進行等值分數教學，以提升學習者的等值分數彈性思考表現，並探討數學自我效能與範例融入方式是否有交互作用，以及高、低數學自我效能者接受不同範例融入方式之教學後，對等值分數彈性思考能力表現及數學學習態度之影響。 4.

(14) 第二節研究目的與待答問題本研究旨在探討不同的範例融入方式(連續型範例一般教學 v.s 連續型範例資訊科技融入教學 v.s 整合型範例資訊科技融入教學)及數學自我效能(高數學自我效能 v.s 低數學自我效能)，對國小學生學習等值分數彈性思考表現與數學學習態度之影響，未來以提供國小數學教師等值分數概念教學之參考。希望透過可促進學習者彈性思考之演練範例及虛擬教具增進學習者對等值分數內容的理解。本研究主要目的如下：一、探討不同的範例融入方式之教學對高、低數學自我效能學習者，在「等值分數彈性思考」上表現之情形。二、探討不同的範例融入方式之教學對高、低數學自我效能學習者，在「數學學習態度」上表現之情形。針對以上研究目的，提出下列待答問題：一、在學習等值分數時，不同的範例融入方式(連續型範例一般教學、連續型範例資訊科技融入教學、整合型範例資訊科技融入教學)與數學自我效能(高數學自我效能、低數學自我效能)是否對學習者基本彈性思考表現(基本補畫能力、分割能力)產生不同的影響？二、在學習等值分數時，不同的範例融入方式(連續型範例一般教學、連續型範例資訊科技融入教學、整合型範例資訊科技融入教學)與數學自我效能(高數學自我效能、低數學自我效能)是否對學習者進階彈性思考表現(進階補畫能力、組合能力、運作思考能力、單位形成能力)產生不同的影響？三、在學習等值分數時，不同的範例融入方式(連續型範例一般教學、連續型範例資訊科技融入教學、整合型範例資訊科技融入教學)與數學自我效能(高數學自我效能、低數學自我效能)是否對學習者之數學學習態度(學習興趣、學習動機、數學焦慮)產生不同的影響？ 5.

(15) 第三節研究範圍與限制本研究為配合教學活動之設計與進行，在研究對象、教材內容及實驗設計有以下之研究範圍與限制：. 一、教學環境本教學研究進行之教學環境為原班級上課之普通教室(非電腦教室)，教室中提供投影機、投影幕、及一台電腦。為配合原班級課程安排，在五年級中隨機抽取三個班，隨機分派為「連續型範例一般教學組」、「連續型範例資訊科技融入教學組」、「整合型範例資訊科技融入教學組」。受限於教學環境的影響，教學老師為各班原本數學老師，資訊科技融入教學組均是將虛擬教具投影至布幕上的方式進行教學，學習者有機會操作虛擬教具，各組學習者均搭配學習單進行學習。. 二、研究對象本研究以台北市某國小五年級三個班級學習者為研究對象，為配合受試者原課程之規劃與教學需要，以班級為單位分組進行教學實驗，各班教學者為該班級原來之數學老師。進行教學實驗前均已修習過等分概念、簡單分數概念、單位量概念等分數基本概念，但尚未學習等值分數，已具備學習等值分數先備知識，因此研究結果只能推論於類似研究對象。. 三、教學時間本教學實驗為配合原本學校所規劃之課程進度，實驗教學時間為兩節課，共 80 分鐘，各組學習者有相同的學習時間。. 四、教學內容本研究為等值分數單元之實驗教學，此單元課程內容除了等值分數概念之 6.

(16) 外，還包括分數的約分、擴分概念，但本研究之教學內容與成就測驗未牽涉分數的約分、擴分概念，只與等值分數觀念有關。課程內容分為「等分概念」、「認識和 1 相等的分數」、「在整體 1 的具體情境中，找出真分數的等值分數」等三個教學重點，每個教學重點皆包含連續量與離散量情境之等值分數問題。. 五、教學方法本研究基於教學環境和學校教師授課方式為考量，教師以講述方式進行教學，並適當的引導學生思考，依據不同的教學實驗介入，採用不同的範例及教具。依據不同範例融入方式分為「連續型範例一般教學」、「連續型範例資訊科技融入教學」、及「整合型範例資訊科技融入教學」，連續型範例一般教學所提供之演練範例為連續型等值分數，並操作實體教具進行等值分數概念之教學；連續型範例資訊科技融入教學所提供之演練範例為連續型等值分數，並操作虛擬教具進行等值分數概念之教學；整合型範例資訊科技融入教學所提供之演練範例為整合型等值分數，並操作虛擬教具進行等值分數概念之教學。由於教學環境的限制，無法讓每位學習者均有電腦可以操作虛擬教具。. 7.

(17) 第四節名詞解釋一、虛擬教具 Moyer、Bolyard、和 Spikell (2002)定義虛擬教具(virtual manipulatives)為一個動態物體透過可互動、網路的虛擬圖像來呈現，是一種動態物件的具體表徵，讓學習者有機會建構數學知識。本研究之虛擬教具為將等值分數問題用圖形表徵的方式呈現，且像實體教具一樣具有操弄的功能，並具有可變性，可以改變物件的屬性，如顏色、數量、分割方式之功能。. 二、範例融入方式本研究依據不同範例分成「連續型範例」與「整合型範例」兩種。連續型範例即是連續型等值分數問題，在連續量情境下連續型範例指的是分數圖形塗色區塊皆是連續不分散的等值分數問題；在離散量情境下連續型範例指的是一群相同的物品中，進行重新分割或合併之等值分數問題。整合型範例指的是除了提供學習者連續型範例之外，還提供能促進彈性思考之範例，在連續量情境下整合型範例指的是分數圖形塗色區塊除了是連續不分散的範例之外，還有塗色區塊是不連續的等值分數問題；在離散量情境下整合型範例指的是兩種以上不同物品，需先進行重新排列並找出適當分割之等值分數問題。又依據教學融入方式分成「一般教學」與「資訊科技融入教學」兩種，一般教學指的是教師講解等值分數概念時，輔以實體教具操作講解說明，並給予學生適當的操作機會以驗證其中之數學概念；資訊科技融入教學指的是教師講解等值分數概念時，輔以虛擬教具操作講解說明，並給予學生適當的操作機會以驗證其中之數學概念。因此，本研究將範例融入方式分為「連續型範例一般教學」、「連續型範例資訊科技融入教學」、「整合型範例資訊科技融入教學」三種。. 8.

(18) 三、數學自我效能數學自我效能為在特定情境或問題中學習者認為自己可以成功的完成或解決某一特定任務的信心程度(Hackett & Betz, 1989)。本研究數學自我效能為學生對於自己數學能力的知覺，也就是說學生認為自己是否可以了解以及有效的執行數學學習活動的一種信念，分為主動嘗試、努力堅持、自我信心三個面向，「主動嘗試」指的是學習者面對新的數學學習活動，或較困難的數學任務時，主動學習之信心程度；「努力堅持」指的是學習者學習數學時，面臨挫折或對學習目標努力堅持學習之信心程度；「自我信心」指的是學習者學習數學時，對於完成任務之信心程度。各組數學自我效能量表所得總分前 50%為高數學自我效能者，後 50% 為低數學自我效能者。. 四、等值分數彈性思考表現本研究以等值分數彈性思考表現作為等值分數概念學習成效之評定，依據學習者解決等值分數問題所運用彈性思考的程度，將等值分數彈性思考分為「基本彈性思考」及「進階彈性思考」兩種彈性思考表現，各種彈性思考所包含之能力分項茲分別說明如下： 1、等值分數之「基本彈性思考」表現基本彈性思考是指學習者解決連續型等值分數問題之能力，解題的過程中運用較少彈性思考，包含「基本補畫能力」及「分割能力」兩個能力分項。「基本補畫能力」為學習者在連續量情境下，解決連續型等值分數問題之能力，即學習者是否有想像或忽視分割線之彈性思考能力；「分割能力」為學習者在離散量情境下，解決連續型等值分數問題之能力，即學習者將一群相同的物品，進行重新分割或合併理解等值分數之彈性思考能力。. 2、等值分數之「進階彈性思考」表現進階彈性思考是指學習者解決非連續型等值分數問題，解題時需要運用較多 9.

(19) 的彈性思考，包括「進階補畫能力」、「組合能力」、「運作思考能力」、及「單位形成能力」四個能力分項。「進階補畫能力」為學習者在連續量情境下，解決非連續型等值分數問題之能力，即學習者是否能先將不連續的區塊集中在一起，並且有忽視或想像分割線之彈性思考能力；「組合能力」為學習者在離散量情境下，解決非連續型等值分數問題之能力，即學習者將兩種以上不同物品重新排列後，再重新分割或合併，呈現切割與拼湊之彈性思考能力；「運作思考能力」是指同一塊圖形上使用不同的分割方式，涉及部分整體的保留概念和乘法性思考兩個運作思考層面，即等積異形的情形下，學習者能夠不被視覺的影響，判斷兩個一樣圖形以不同的分割方式呈現，其分數為等值之能力；「單位形成能力」為學生將全部以適當的單位分盡後，再利用這個單位重組成全部或集合的可逆轉能力，能否在圖形中找到適當的單位，將指定的部分量盡之能力。. 五、數學學習態度本研究之數學學習態度是指學習者經由不同範例融入方式後在數學「學習興趣」、「學習動機」、及「數學焦慮」的看法。「學習興趣」是指透過不同的範例與教學融入方式是否可以引起學習者學習興趣，進而幫助學習；「學習動機」是指透過不同的範例與教學融入方式是否可以引起學習者學習動機，進而讓學習者持續投入學習活動；「數學焦慮」是指透過不同的範例與教學融入方式是否可以改善學習者學習數學時的焦慮程度。. 六、先備知識先備知識指的是學習者參與教學活動前，已具備的數學知識，本研究以學習者該學期教學實驗前的期中考數學成績作為先備知識之依據，分數愈高代表先備知識愈高，反之則愈低。. 10.

(20) 第二章文獻探討本研究以數學教學及資訊科技融入教學的觀點，探討範例融入方式與數學自我效能，對學習者等值分數彈性思考表現及數學學習態度之影響。本文首先析論等值分數的意義和等值分數學習上之困難，繼而探討資訊科技及數學自我效能對學習之影響，探究不同範例融入方式和數學自我效能對等值分數彈性思考表現及數學學習態度之影響。以下分別對等值分數、資訊科技融入教學、數學自我效能相關文獻進行歸納與整理，提供數學科領域教師規劃教學活動時，面對高、低數學自我效能之學習者如何設計適切的教學活動，以促進等值分數彈性思考及提升數學學習態度。. 第一節等值分數學生具備基本的分數概念後，必須先了解分數的等值意義，才能進一步發展有理數概念，等值分數概念是五種分數子概念中最困難的子概念，其困難處在於學生的思考必須更為彈性、更能勇於從具體操作進入形式運思來解決問題。許多學生即使接受過等值分數的教學，仍然不認為二分之一等於四分之二(呂玉琴, 1991b)，可見學生等值分數概念相當薄弱，等值分數概念的學習上有困難(Booth, 1987)。在以下就等值分數的意義、等值分數教學策略、影響學習者學習等值分數概念之因素、及等值分數相關實徵研究分別進行探討。. 一、等值分數的意義由數學定義的觀點來看，等值分數為分數的不同名稱，在符號上形成一定的規則，即所謂的擴分或約分，由任意一個分數開始，將分子分母各乘以兩倍、各三倍，…就可以構成一系列的等值分數(數學學習心理學, 1995)。數學上則有下列公式代表等值分數的產生：若 a、b、K 代表任意自然數，則分，反之亦然，. a Ka = 為分數的擴 b Kb. Ka a = 為分數的約分，即是分子分母同乘零之外的數，或同除 Kb b 11.

(21) 2 2× 2 4 零之外的數例如 = = (數學學習心理學, 1995; Vance,1992)。等值分數概念 5 5 × 2 10 也可以從單位量轉換的觀點來解釋，單位量轉換係指將非 1 的單位量，轉化成以. 2 4 2 1 4 1 1 為單位量之活動，以和為例，可以視為 2 個，而可以視為 4 個， 4 8 4 4 8 8 因此可將分數的等值意義解釋為單位量減少，而單位數增加。在分數學習活動中，「等值」的意義為當兩個分數選取相同單位量的情境時，由於等分割的份數與合成份數不同，以致於分數的數值不相同，但兩分數的量卻是一樣多的(黃敏晃、周筱亭, 2001)。分數是透過分割與聚集活動來確定一個量與一個單位量的數值關係，所以分數可以代表量的數值，由於同一個量與其單位量之分割及聚集活動並非唯一，因而產生構成分數的等價集，是一個類，也表示一個有理數，即所謂的「等值分數」，例如. 1 2 是一個分數，也是一個分數，這兩個分數的等價集 2 4. 1 2 3 相同，都是{ ，，，……}這個有理數。 2 4 6 甯自強(1997)認為等值分數的意義有兩種，一種是去比較分數值所指的內容物是否相等，由於等分割的份數與合成份數不同，以致於分數的數值表面上看起來不相同，但事實上兩分數所代表的量卻是一樣多的，另一種等值分數的意義指的是去比較兩分數的分子與分母的比值是否相等以決定兩分數的等值。等值分數的特性包含(1)很多個名字；(2)重新命名一個分數，並不會改變它的本質，包括量和大小；(3)一個分數的最好的名字，須依其情況而定(Vance, 1992)。學習等值分數概念就像任何一個數學概念的發展一樣，需要隨著時間慢慢由具體的實物感逐漸脫離實徵的狀態，進而形成抽象的表徵，學生需要許多的時間與機會去發展及應證等值分數的特性。. 二、等值分數教學策略中小學數學科教材教法(2005)一書中將分數的表徵方式分為面積模式、長度模式、及群組模式。「面積模式」為將平面或面積之連續量物體分割成較小的部 12.

(22) 分，每一個部分可以和整體比較，面積模式是小學課本中介紹分數之最早的表示方法，可利用正方形、矩形、或圓形來說明等值分數，如圖 2-1 所示，樣式積木. (pattern blocks)、幾何釘板(geoboards)、方格紙、和摺紙皆是面積模式可靈活運用的模型。「長度模式」是以長度對照來代替面積，也屬於連續量情境的一種，如圖 2-2 所示，常以分數長條的形式出現，是以長條或棒型的最小測量單位所組成的。「群組模式」則是把一集合的物體看做是一整體，整體中部分群組就產生了分數的部分，屬於離散量情境的一種，如圖 2-3 所示，群組模式幫助孩童建立許多使用分數的真實世界和有理數概念的重要連結。. 長方形區域. 圓形餅片. 釘板方格紙. 樣式積木. 點陣紙. 摺紙. 圖 2-1 分數的面積模式. 13.

(23) 分數長條. 摺紙條. 圖 2-2 分數的長度模式. 圖 2-3 分數的群組模式. 等值分數概念的教學，一般的處理方式是要求學生使用模型產生分數模型的不同名稱(中小學數學科教材教法, 2005)。「等值分數的面積模式」為要求學生試著用不同的單位分數小塊來填滿，以決定這個區域要多少簡單的分數構成，如圖. 2-4 所示，在教學上常利用摺紙的方式，要求學生把紙張摺成一半或三份，展開並把紙上的分數著色，寫下分數再摺疊，並且再摺一次，討論分數的不同名稱，或使用方格紙或點陣紙以便區域容易細分成許多較小的部分，要求學生畫出一個整體的模式，並在紙的線或點決定的分數上著色，討論陰影部分的不同分數名稱。「等值分數的長度模式」與面積模式有許多相同的方法，不同的是用長度來決定分數其他名稱，在教學上常用分數長條或分數拼盤進行教學，如圖 2-5 所示，將分數長條或分數拼盤的一端對齊，比較其中哪幾塊合起來的長度是否相等，藉由此方式證實等值分數，並推想出等值分數的規則。「等值分數的群組模式」則是利用不同的分割方式找出分數的不同名稱，在分數如何被分割上有較多的限制，如圖 2-6 所示，一個已知的兩色計數物可以安排在不同的小群中來描述等值 14.

(24) 分數，12 個計數物中的 8 個是全部的但不能視為. 2 4 8 ，這個特殊的表徵也可以視為和， 3 6 12. 6 10 或。 9 15. 圖 2-4 等值分數的面積模式. 分數長條. 摺紙. 分數拼盤. 圖 2-5 等值分數的長度模式. 15.

(25) 圖 2-6 等值分數的群組模式. 若單以連續量情境或離散量情境說明等值分數概念會造成日後學習許多困擾。使用面積模式教導等值分數會使學生受到數字的影響而混淆分數的概念，例如學生會認為成為 1，而. 1 5 1 比大，是因為直接從圖形觀察發現, 只需要再 3 塊面積就能 4 20 4. 5 需要再 15 塊才會湊成 1(Kerslake, 1986)；使用群組模式說明等值 20. 分數時，學生易產生以分子個數來判斷等值分數的大小，例如「◆◆◆◆◆◆◇◇◇◇◇◇」代表. 6 6 ，「◆◆◆◆◆◆◇◇◇◇」代表，學 12 10. 生會直接從圖形表示的結果，點數兩邊分子個數，而認為. 6 6 等於 (Hart, 1989)。 12 10. 因此，等值分數概念教學時，教師應提供多樣化的情境以利學生學習，本研究所提供之演練範例包含連續量情境及離散量情境的等值分數問題。. 16.

(26) 三、影響學習者學習等值分數概念之因素國小學生等值分數概念相當薄弱(Booth, 1987)，許多學生即使接受過等值分數的教學，仍然不認為二分之一等於四分之二(呂玉琴, 1991b)，等值分數概念學習成效不彰的原因為學生思考過於僵化，等值分數的彈性思考能力不足所造成的. (彭海燕, 1998)。影響學習者學習等值分數的因素有很多，分別為(1)等分概念、(2) 彈性思考能力、(3)組合能力、(4)運作思考能力、(5)單位形成能力，茲分別說明如下：. 1、等分概念等分概念是學習分數概念的基礎，若兒童的等分概念不完備，非但影響分數的學習，對於解決等值分數的問題，恐怕也是只知其然，而不知其所以然。在連續量情境等分概念指的是是將全部分成相等的部份，在離散量情境則是將一整群，分成等量的子集合。在等分概念學生常犯的錯誤為(呂玉琴, 1991b)：在連續量的情境下，將連續量分成所要求之份數，但每份大小不一樣大；在離散量的情境下，將離散量分成所要求之份數，但每份的個數不一樣多，或者是把不同大小的離散量分成個數相同的份數，但每份的總量不一樣多，例如：給學生四塊正方形積木、兩塊長方形積木、兩塊三角形積木，請學生拿出所有積木的二分之一，有學生拿了四塊正方形積木，只注意到分成的兩堆個數要一樣多，而忽略這兩堆的量也要一樣多。學習者在判斷分割後的部份是否相等時，也會以視覺的約估及對折或折成三份、四份等直觀的方式來判斷是否等分(林福來、黃敏晃、呂玉琴、譚寧君, 1991)。當學習者等分概念不完備，處理分數板的問題時，只注意到分數板分割成幾塊，而沒有注意到分割的每一塊是否相等，如圖 2-7 所示，學生將每一塊視為六分之一，而沒注意到每一塊大小是否相等 (Bergeron ＆ Herscovics,. 1987)。且在林碧珍(1990)的研究結果顯示有 22%的高年級學生認為等分就是分割後面積和形狀都要相同。. 17.

(27) 圖 2-7 不等分的分數板. 2、彈性思考能力在連續量的圖形表徵中，彈性思考能力指的是學習者能以不同名稱稱呼同一個分數，且有想像或忽略分割線之能力(Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983; Behr,. Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Behr & Post, 1992)。Behr、Lesh、Post、和 Silver (1983)以面談四年級學童的方式，呈現圖 2-8 之圖形，要求學生以不同的名稱來稱呼 b 或 cde，也就是說，對 cde 這個部份，學生能不能忽視 cde 的分割線，將之視為四分之一？而在 b 這個部份，學童能不能憑空想像出兩條分割線，並將之命名為十二分之三呢？在面談者逐步的指引後，學生認為如果在 b 加上分割線的話，b 和 cde 三塊加起來就會一樣大，可以把 b 稱作為「十二分之三」，但是仍無法將「未分割」的 b 視為十二分之三。Booth(1987)訪談英國 11 歲學童的等值概. 1 1 念，發現有 95﹪的學童認為圖 2-9 中的 A 圖是，73﹪的學童認為 B 圖是，中 3 3 2 1 間有 22%的差異，造成差異的原因是這些學童認為 B 圖是，與不一樣。由此 6 3 可知，如果學習者可以在圖形上想像或忽視分割線，就可以產生等值分數其他名稱。. 18.

(28) 圖 2-8 等值分數彈性思考能力說明(1). A. B. 圖 2-9 等值分數彈性思考能力說明(2). 在連續量情境之等值分數概念學習中，分割線的多寡及分割區塊是否連在一起，也常會影響學習的結果，有些學生堅持分數符號的分母必須與分割塊數一樣多外，還堅持分割區塊必須結合在一起，才能接受以另一種等價的名稱稱呼。以圖 2-10 為例，所有四年級學生都認為 A 圖為三分之一，仍有 25%的學生不認為 B 圖、C 圖是三分之一，而且許多學生認為三分之一和六分之二是不一樣的(Behr,. Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984)。由此可知，如果學習者可以把不相鄰分割區塊想像是連在一起的，並且在圖形上想像或忽視分割線，就可以產生等值分數其他名稱。. 19.

(29) A. B 圖 2-10. C. 等值分數彈性思考能力說明(3). 在離散量的圖形表徵中，彈性思考能力指的是學習者需要以實際的操作物或. ? 4 在心靈上想像，進行重新分割或合併才能解題。例如：以小圓圏來解決＝的 3 6 問題時，學習者首先要做的是把圖形轉換，先將小圓圏兩個兩個合併視為一份，如圖 2-11 所示，六個就成了三份，六個圓圏中有四個是黑的，將圖形轉換成符號. 4 2 ；三份圓圏中有兩份是黑的，轉換成符號，觀察兩邊黑的地方有同樣的個數， 6 3 推論出結果. 4 2 ＝ (Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984)。 6 3. ○. ●. ●. ○. ●. ●. ○. ●. ●. ○. ●. ●. (4) 6. (2) 3. 圖 2-11 等值分數彈性思考能力說明(4). 「圖形表徵」所提供的「知覺線索」，常是干擾學生概念表現的重要因素，圖形表徵的「知覺線索」分為四類，如下(Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983)：. (1)完全的線索：分數分母與圖形中單位量分割的塊數相等，即單位量分割等於分母。. (2)不完全的線索：分數的分母與圖形中圖形中單位量分割的塊數不相等，而此時學生必須自行「增加分割線」以符合題目中的分母部分，即單位量分割份數等於分母的倍數。 20.

(30) (3)不相干的線索：分母與圖形中單位量分割塊數不相等，兒童必須「忽視」圖形上提供的某些分割線，以符合題目中的分母部分，即單位量分割份數等於分母的因數。. (4)不一致的線索：兒童必須將圖形上所有的分割線視為不存在，並對單位量製作一些新的分割線，即單位量分割數與分母無關。「單位量分割數等於分母」是最容易被學生接受的，而「單位量分割數與分母無關」似乎都是最困難的類型，「單位量分割數等於分母的倍數」和「單位量分割數等於分母的因數」對學生的困難度研究有不同順序呈現的結果呈現(林碧珍,. 1990; Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983; Bright, Behr, Lesh, & Wachsmuth, 1988)。因此，學習等值分數概念學習者必須具備「想像或忽視圖形中的分割線」之能力，教學中藉由自由的心智操作，進行想像、忽視、增加或刪除分割線之活動，是影響學生等值分數概念是否成形的重要因素(Behr & Post, 1992; Behr, Lesh, Post, &. Silver, 1983)。. 3、組合能力「組合能力」指的是學生在做等值分數問題或餘量再分的問題時，使用一種特定解題策略的能力，即學童將單位量分成數部份，每部份都正確處理後，能否再將處理後的各部份合併成單位量的指定分數之能力 ( 呂玉琴 , 1994; 彭海燕 ,. 1998)。呂玉琴(1991c)在研究中發現： 1 2. 塗上顏色的小雞（以圓圈代表）是全部的。○○○○ I：你為什麼塗●○●○這兩隻小雞呢？. 1 S：因為我想在這裡（指●○∣●○）弄一個界線，然後 2 隻塗一隻，就是。 2 I：那麼這二隻（塗顏色的小雞）有沒有佔全部的 S：沒有。 I：那這兩隻佔全部的多少？ 21. 1 ？ 2.

(31) 2 S：。 4 上述研究指出，該學童將四隻小雞的份，每部份有兩隻小雞，以符合. 1 塗上顏色時，先將單位量分為兩部 2. 1 1 的分母 2，再每兩個塗一個，以符合的那個 2 2. 1，但是該學童不會把那兩個塗黑的小雞再合併成一份、並將四隻小雞視為全部， 1 2 n 所以他會回答塗黑的那兩隻小雞不是全部的，而是。可見學童在處理的等 2 4 m 值分數問題時，若使用將單位量分成 m 個一堆，再分別從 m 個中取 n 個的解題策略，如果學生不會再將個別的. n n 合併為整體的，則學生缺乏組合能力。在 m m. 處理等值分數的過程中，學生若能主動的呈現切割、拼湊的能力，將有助於解決等值分數之問題(呂玉琴, 1994)。. 4、運作思考能力運作思考能力是指同一塊圖形上使用不同的分割方式，即等積異形的情形. (Kamii & Clark, 1995) 。知識可區分為圖形面 (figurative aspect) 知識與運作面 (operative aspect)知識，圖形面知識是基於知識的「形狀」，是可觀察的；運作面知識則是基於知識的「關係」，是觀察不到的(Piaget, 1987)。例如，將長方形分成兩半，有不同的分割方法，結果可能是長方形、也可能是三角形，如果由圖形面知識來看，長方形和三角形兩個形狀不同，看起來是不一樣大的；但從運作面知識來看，了解切割後的三角形、長方形和原來那個長方形的關係，可以不受視覺的誘導，推論出三角形和長方形其實是一樣大的，兩者都是原本長方形的二分之一。. Kammi 和 Clark(1995)探討學生等值分數概念之運作思考能力，問學生圖 2-12 中 a 和 c 是否代表一樣的數量。研究結果顯示，學過等值分數概念的四年級學生，答對率為 50％，而五年級學生則是 44％，六年級學生是 51％。分析造成學生答對率不高的原因為大部分學生覺得這種圖形是一種「衝突」，他們的內心運 22.

(32) 作思考告訴他們 a 和 c 兩量是相同的，但是他們自己的知覺、視覺感受卻使他們認為三角形所佔的量比較多，如果學生等值分數的概念夠穩固，這樣的「衝突」就會消失，因為他們會看出即使等值分數的圖形是不同形狀，但代表的量會是相同的。. 圖 2-12. 等值分數運作思考能力說明(1). 解決等值分數的問題，涉及兩個運作思考的層面：(1)部分/整體的保留概念. (Parrat-Dayan & Vonbche, 1992; Piaget, Inhelder, & Szeminska, 1960)；(2)乘法性思考(multiplicative thinking)(Piaget, 1987)。乘法性思考是一種階層式的思考模式，以圖2-13來說明，對於4×3 的題目，學生如果以3+3＝6、6+3＝9、9+3＝12 來作答，這種只涉及一個層次的思考，若學生能以4×3＝12 來解題，這則涉及了兩種階層式的思考，因為學生會同時去想「一個3、兩個3、三個3、四個3」。如果透過這種階層式的乘法關係去看等值分數，則會得到如圖2-14的思考層次，並進而理解等值分數的概念，圖2-14中，最底層是12個物品，取其中的3個來代表分數. 3 ，若再將這些物品3個一數，則會進入到第二層次，得到共有「4個3」，也就是 12 3 有4份的意義，當去取4個3中的一份，這一份不但可代表最底層次的代表第二層次中4份中的一份，也就是考，而得到. 3 ，亦可 12. 1 的意義，因此學生藉由這種層次間的思 4. 1 3 = 的等值意義。 4 12. 23.

(33) 圖 2-13 「4×3」乘法性關係概念圖. 圖 2-14 「等值分數」乘法性關係概念圖. Kammi 和 Clark(1995)探討學生處理等值分數時的部分/整體的保留概念和乘 1 3 法性思考。問學生圖 2-15 中 B 圖多少個才會和 A 圖的一樣多呢？研究結果 8 4 顯示，未學習過等值分數概念的學生答對率是 11％，學習過等值分數概念的四年級學生答對率是 27％，而後經過八個月再去檢驗這些從四年級升上五年級的學生，發現答對率反而降到 13％。Kammi 和 Clark 認為因為學習者部分/整體的保留概念和乘法性思考不足，才會導致這樣的結果，因此，推論學習者等值分數概念學習成效不佳其中一個原因應是缺乏「運作思考能力」。運作思考能力著重的是兒童對知識的關係之了解，這種能力不僅牽涉到部分整體的保留概念，而且要配合乘法性思考，才能在視覺或無法操作的情況下，能做正確的判斷。. 24.

(34) A 圖 2-15. B 等值分數運作思考能力說明(2). 5、單位形成能力處理分數問題最重要的一個概念是指認單位量(呂玉琴, 1991a)。「能否在圖形中找到適當的單位，將指定的部分量盡」是學習者能否解決等值分數問題的關鍵，將全部以適當的「單位」分盡後，再利用這個單位重組成全部或集合的可逆轉能力，稱為「單位形成能力」(Saenz-Ludlow, 1994, 1995)。. Saenz-Ludlow(1994, 1995)將題目導向分數的形式時，提供圖 2-16 之圖片給三年級學生，包含 b1、b2、b3 各有好幾塊：. A 圖 2-16. B 等值分數單位形成能力說明(1). 先讓學生比較 b1 和全部，再分別比較 b2、b3 和全部，這三塊相對於全部(A 圖)都是可以分盡的，例如 b2 是 A 圖的三分之一。該研究要兒童比對 b1 和 b2，學生一時之間無法找到兩者的關係，但給了 b3 的提示後，學生很快的就說出 b2 是. b1 的三分之二。從研究結果的分析中指出，學生知道分割後的小單位，每一塊都要相等，主動調整小單位，以滿足題目需求；給他 b3，他會說出以 b3 為小單 25.

(35) 位測量 b2 的結果是「半片的三分之二」，半片顯示了 b1 與全部的關係，而三分之二則顯示 b2 和 b1 的關係。學習者如果能熟練的運用單位形成能力，就會發現等值分數的不同名稱. (Saenz-Ludlow, 1994, 1995)。Saenz-Ludlow(1995)以圖 2-17 之圖形引導學生 Ann 說出. 1 4 ＝。Ann 能夠很快的說出圖形中Ａ佔全部的十六分之一，而圖形中的四 4 16. 分之一可以是Ｂ這一塊，但是卻無法認同Ｂ這一塊也可以說成十六分之四。. 圖 2-17. 等值分數單位形成能力說明(2). Saenz-Ludlow(1994)的研究中，給學生 Michael 看圖 2-18 之圖形，並告訴 Michael 圖 2-18 是一列火車，有大小不同的車廂。Michael 利用這些紙片的重覆 1 1 「Ｂ」是全部的，Ｃ是全部的比對，在幾個提示之下，發現「Ａ」是全部的， 4 8 1 1 2 4 8 ，同時，他也發現「」和、、都一樣大。研究結果指出，學童會利 16 2 4 8 16 用不同的小部份為單位去測量全部，而自發的說出等於一半的其他等值分數名稱。. 圖 2-18. 等值分數單位形成能力說明(3) 26.

(36) 綜合觀之，影響等值分數概念之因素為彈性思考能力、組合能力、運作思考能力、及單位形成能力，分割線的多寡、分割區塊是否連在一起、及圖形表徵所提供的知覺線索，也常是干擾學生概念表現的重要因素。學習者學習等值分數概念表現的先後發展次序為(彭海燕, 1998)：(1)兒童會作分數的分母等於分割塊數或個數的題目。(2)兒童具備彈性思考能力，可接受分母是分割塊數或個數的因數、倍數之等值分數，會在圖形上自行增加、忽視分割線，或是把數塊、數個物品合併為一份以說明約擴分的概念。(3)兒童具備組合能力，將全部分成幾個部份，每個部份分別正確處理以後，再將各部份合併成全部來看，並正確的說明其結果。. (4)兒童具備單位形成能力。會依題目需要找到適當的小單位，將部份、全部分別量盡以後，再以分數符號表示出來。(5)兒童具備運作思考能力，可以不受視覺的干擾而判斷等積異形的相等關係。(6)兒童具備同時使用想像與忽視分割線的彈性思考能力，會說明分母與分割數或個數不是直接倍數關係的等值分數問題。解決等值分數問題時，學生大多嫻熟於符號的運作，喜愛以符號來解題，一昧的進行約分、擴分的計算，而不了解其意義(彭海燕, 1998)。. 四、等值分數教材現況美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM) 在「學校數學原則與標準」詳盡闡述學生在幼稚園到 12 年級期間應當擁有豐富的數概念。在分數教材方面之課程標準為從二年級開始學習分數概念，三至五年級則是「使用模型、參考點及等價形式判斷分數大小」、「辨識分數、小數及百分率的等價形式，以及能夠找出其等值分數」、「使用視覺模型、參考點及等價形式對分數與小數進行加減運算」，六至八年級則強調彈性運用分數解決問題及運算能力(NCTM, 2000)。台灣九年一貫課程綱要之數學領域課程標準中指出，一至三年級引入分數基本概念，四至五年級則是引入等值分數、約分、擴分的意義，和分數加減乘除之運算(教育部, 2004)。吳麗玲(2005)分析美國、新加坡、台灣分數教材之現況，研究結果顯示「情 27.

(37) 境數學」是國際間一致認為最符合美國 NCTM 課程標準的一套教材，教材內容與學校數學原則與標準所訂定各階段課程標準一致，雖然美國數學課程標準三至五年級有等值分數相關教學目標，但是情境數學教材中之教學目標沒有等值分數方面的教學目標，在教材中也甚少介紹等值分數，雖在解題過程中，可能會使用到等值分數的概念，多為透過分數條找出其等值分數，但並未正式引入等值分數概念。「大家一起學數學」是新加坡使用率最高的數學教材版本，二年級開始介紹分數概念，內容為等分、同分母分數的比較與排序；三年級為等值分數，也就是基本的擴分與約分、異分母分數的比較與排序；四年級為同分母分數的加減，分數乘以整數；五年級為複雜的分數加減乘除運算，並引入分數除以整數、比、比率及百分率等概念，對等值分數概念亦著墨不多。「康軒數學」則為目前我國市場佔有率最高的版本，康軒數學對於分數教材的處理方式，二、三年級介紹分數基本概念；四年級為同分母分數的合成與分解；五年級為等值分數、約分、擴分概念；六年級則強調分數的運算。康軒數學五年級分數教材，著重在等值分數. (47.4%)和分數乘法(36.8%)兩個分數概念，在等值方面，強調透過約分、擴分或通分的方法，找出其等值分數或判斷兩數是否等值。康軒版對於等值分數的重視，則在另外兩個版本較為少見。國內各版本在等值分數教材的呈現，都不直接引進擴分、約分等名詞，並不直接介紹同乘一數、同除一數其值不變的運算方式，而是在具體情境中透過再分割或重做分組來產生更小的單位分量，或是透過合併或重組來產生較大的單位分量，並比較兩種單位分量的情況下，所欲表示的部分量的等價關係 ( 蔡麗蓉 ,. 2003)。各版本在處理等值分數教材時採用的解決策略如下(蔡麗蓉, 2003)：在連續量情境下，常常採用「訴諸於直觀經驗」策略、「訴諸於分割份數」策略，訴諸於直觀經驗指的是將彩帶、大餅，透過不同份數的分割，取不同數量比較長短大小後，透過知覺經驗得知兩分數在長度上或面積上的相同，認定兩分數等值；訴諸於分割份數指的是直接告知分割的數量，用數線的方式比較兩分數是否等值。在離散量情境下，常常採用「訴諸於內容物」策略、「合併或重組內容物」 28.

(38) 策略來進行解題，訴諸於內容物指的是透過比較內容物數量而判定是否等值；合併或重組內容物指的是可將多個內容物視為一體，判定內容物的數量是否一樣，找出分數的其他名稱。分析康軒數學等值分數單元教材內容發現，所提供之範例包含連續量情境和離散量情境之彈性思考能力，連續量情境之彈性思考能力所提供的範例皆是分割區塊相連在一起的；離散量情境之彈性思考能力所提供的範例只有在同一群相同物品中做分割或合併之活動。在數學學習中，透過演練範例可以幫助學習者發展出適當的心智模型並達成學習目標，藉由演練範例學習最初始的認知技巧是很有益的方式，對初學者來說以演練範例的方式來學習是比較喜歡的學習模式；對有經驗的學習者來說是有效率的學習模式 (Anderson, Farrell, & Sauers, 1984;. Atkinson, Derry, Renkl, & Wortham, 2000; LeFevre & Dixon, 1986; Recker & Pirolli, 1995)。因此，在教學中所提供適當的演練範例是非常重要的，會影響學習者概念的學習。由上述文獻探討可知，等值分數為分數學習中重要的概念之一，是發展有理數概念之基石，國小學生等值分數概念學習成效不佳，主要影響因素為彈性思考能力、組合能力、運作思考能力、及單位形成能力不足所造成的。國小教科書中等值分數教材卻只提供最基本的彈性思考能力之範例，若教學中沒有提供適當的演練範例可能導致解決等值分數問題所應具備的能力不足，造成等值分數概念學習成效不佳。本研究探討不同的範例對學習者等值分數概念之影響，期望教學中提供可促進彈性思考的演練範例，以提升學習者的等值分數彈性思考。. 29.

(39) 第二節資訊科技融入教學資訊科技可以支持學習者建構知識、探索知識、及做中學，教師可利用資訊科技當作工具，提供學生具體練習及操作的機會，若將資訊科技當作認知工具可促進學生學習成效，虛擬教具即是將實體教具數位化，並加上有助於學習的特徵，以下就資訊科技融入教學之意涵、虛擬教具對學習之影響、及虛擬教具相關實徵研究分別進行探討。. 一、資訊科技融入教學之意涵資訊科技融入教學的目的是要創造一個優質的教學環境，此種環境除了能改進教師的教學方法，增進學生的學習效果之外，它應是一個多元的、互動性高的，能培養學生主動進行探索問題，並有利於解決問題的環境(何榮桂, 2002)。資訊科技融入教學強調融入與整合，焦點應在教學上，將資訊科技有效的整合且融入課程、教材與學習活動中(王世全, 2000)。許多學者將資訊科技視為學習工具，在教學活動中運用資訊科技，以融入、整合的方式使用科技來支援與延伸課程目標，教師針對課程及教學策略之需，善用電腦多媒體特性，來有效達成教學目標，並把資訊科技當作心智學習的工具，使學生能從事有意義的學習活動(王世全, 2000; 何榮桂, 2002; 徐新逸、吳佩謹, 2002; 邱瓊慧, 2002; Dias, 1999)。從唯實主義(realism)與經驗主義(empiricism)、實用主義(pragmatism)與工具主義 (instrumentalism) 、以及視覺媒體學習理論來看資訊科技融入教學 ( 王春生 ,. 2004)。唯實論與經驗主義者認為知識是經驗的產物，所有的知識基礎都是建立在學習者感官的經驗上，有些學科是必須透過實物來進行教學的，透過各種感官來認識事物能讓學習者印象清晰，同時藉由具體經驗，可以協助學習者理解學科內的概念知識，實際操作的直接經驗最能引起學習動機，也最能幫助學習者了解學習內容。實用主義與工具主義認為知識來自於活動，來自於個體與環境的交互作用，此作用除了要運用感官外，同時也要運用頭腦，其知識發展的目的是在於產 30.

(40) 生改善人生的工具，在教育方面則重視學校與校外生活經驗的連結、科目之間的連結、及單元之間的連結，從做中來學、從經驗中來學、從解決問題中來學，所以教師在設計教材內容時，應重視學習者的生活經驗。視覺媒體學習理論則認為人類學習知識的歷程是從具體的實物操作到抽象符號的表徵，在學習過程中，為了使學童順利建立知識概念，在不同學習階段，要運用不同的輔助媒體進行學習，才能達到事半功倍之效，學習是動作、圖像與符號表徵，而媒體具有具體到抽象的連續性。資訊科技可以支持學習者建構知識、探索知識、及做中學，教師可利用資訊科技當作學習工具，提供學生具體練習及操作的機會，並將資訊科技當作心智工具，幫助學習者學習，表達已知的知識，建構新知識(Jonassen, 2000)。將資訊科技融入教學不僅能吸引學習者的注意、引起學習動機，也能讓學習者獲得更具體及真實的學習經驗，教師要進行有效的教學前，首先要做的就是引起學習者注意，多媒體互動的特性、生動活潑的動畫或影片可以有效的吸引學習者的注意(劉世雄, 2002; Jonassen, 1999)。互動性的視覺化媒體具有獨特的教學功能，可以有效幫助學生理解與學習，資訊科技融入教學獨特的功能即是多元化的呈現教材，讓抽象的教學內容更具體化，幫助學生達成有意義的學習(陳淑貞, 2004; Jonassen,. 1999)。資訊科技融入教學應是在「有需要」的前題下來進行，不應該只是為了融入而只是將教材透過資訊設備來展示(王春生, 2004)。在數學學習方面，有些內容是很抽象、不易了解、或是必需透過實地操作以經驗其中概念，因此容易造成學生學習動機低落，若欲提高學習動機及增進學習成效，有必要將教材以視覺化的方式呈現，將抽象教材內容具體化，以往的教學方式，往往需要花費大量的時間及人物力來達成，現今利用資訊科技即可輕易的將抽象概念具體化，就由多媒體豐富的聲光效果及互動特性，可以增加學生操作學習機會，並具體連結學習經驗，提昇學生學習興趣及學習動機，以獲致較佳學習效果 ( 張國恩 , 2002; 萬志祥 ,. 2004)。 31.

(41) 二、虛擬教具對學習之影響在數學學習方面，兒童的認知發展有四個階段，依序為感覺動作期. (sensorimotor)、運思前期(preoperational)、具體運思期(concrete operations)、和形式運思期(formal operations) (劉秋木, 2002)。「感覺動作期」為零至二歲，兒童以身體動作與感覺來體驗環境，憑感覺與動作以發揮其基模功能，會使用延後模仿，此階段兒童有物體恆存的概念；「運思前期」為二至七歲，兒童逐漸能運用符號來代表對環境的認識與體驗，但尚不能進行邏輯思考，開始運用語言、文字、圖形等較為抽象的符號去從事思考活動，雖然能操作符號，但仍依賴具體事物，此時期的兒童可以開始學習簡單的文字、數字和圖形，具有形象表徵的能力；「具體運思期」為七至十一歲，兒童已能進行推理，以具體經驗之事物或經驗從事合乎邏輯的思考，此階段兒童可以按物體某種屬性為標準排序進行比較，將具有相同或相似特徵的事物放置在一起的分類能力，面對問題情境思維時，不再只憑知覺所見的片面事實去做判斷，具有面積、體積、重量的保留概念，且具有符號表徵的能力；「形式運思期」為十一歲以上，可將所面對的問題情境提出一系列的假設，根據假設進行驗證，從而得到答案，在解決問題時，能獨立出個別的因素，並將這些因素做某種組合，來思考問題的解決。知識的表徵分為動作表徵 (enactive representation) 、形象表徵 (iconic 「動作 representation)、符號表徵(symbolic representation)三個時期(劉秋木, 2002)。表徵期」是由做中學的經驗，指的是學習者接受到刺激後，所引發的外在行動反應，透過行動手段來掌握概念或事物，例如幼兒對於一個具體物件的瞭解，在於這個東西可以怎麼被操弄，當這個物件消失不再能被操作時，則此物件的意義亦不存在，而此種運思的材料即為動作的表徵，實物、或花片、積木之具體物教具皆為概念的動作表徵物，它們可以被實際地、外顯地操弄，如用點數的方式計數花片的數量；「形象表徵期」是由觀察中學的經驗，指的是用「心像」來掌握概念，換言之，即使具體物件已消失，在腦中仍留有心像，運思活動即是以心像為材料，進行內在的活動；「符號表徵期」是由思考中學的經驗為主，指的是用符 32.

(42) 號來掌握概念，對符號進行運思，符號是一個隨意選擇的記號，與實物之間並無任何類似之處，不似心像是外在實物的影像，符號代表了實物或心像的某一種性質之抽象意義。從認知發展階段的時程來看，國小五年級學生處於具體運思與形式運思兩者之間，國內研究指出，即便兒童進入國中階段，多數學生仍未發展出形式運思的能力(袁媛, 1993)，知識的表徵是最基本的行動與形象的表徵，兒童必須透過操作才能形成這些表徵，若不讓兒童實際操弄環境，或者至少見到外在事物，很難形成這些表徵。具體物操作可以形成動作表徵與形象表徵，使所學得的知識有更多的聯結增加記憶，所以國小數學教學借重教具(manipulative)之處甚多，就是希望透過教具的操作形成正確的知識表徵(劉秋木, 2002)。教具重要的功能為提供學生具體與抽象思維之間的轉換，這種轉換可幫助兒童經由表徵形式增進至抽象思考的發展，從心理學習理論的觀點也支持教具於教學上的使用。Drickey(2000)也指出，教具的使用能幫助學生建構數學抽象世界的意義及提供不同的情境以連結學生己知及未知的知識。因此，教具在中小學生學習數學的過程中便扮演了重要的角色，許多研究也都支持使用實體教具可以幫助學生學習數學概念。認識等值分數時必需將物品進行不同等分的切割，但實體教具無法讓學習者任意地切割，分數數感及單位量的概念也難以用實體教具說明，透過電腦多媒體互動特性，提供半具體物之操作，將不易體驗的知識以影像或動畫呈現，抽象概念予以具體化、視覺化，使學童有充足地操作機會，以經驗其中的數學概念，可有效地具體呈現學習內容，幫助學童理解(賴阿福, 2004)。虛擬教具(virtual manipulatives)和實體教具非常相似，是一種放在網站上具互動特性的動態物件，此動態物件之具體表徵可以提供學生建構數學知識的機會. (Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002; Moyer, Niezgoda, & Stanley, 2005)。最常使用於數學教學的表徵方式有實物表徵 (concrete/physical representation) 、圖形表徵. (pictorial/visual representation)及符號表徵(abstract/symbolic representation)，虛擬教具像圖形表徵物一樣可提供學習者視覺上的印象，但它也同時像具體教具一樣具 33.