3 本研究提出新的方法
3.1 第一個方法
第一個方法是利用同排名之間總合分數最大差距的觀念，來將相同排名的候 選人予以差異化。這個模式的目的，是要求取相同排名之間最大的差距，利用相 同排名之間差距最大來予以差異化。本研究為了方便解釋，故採用 (Cook & Kress, 1990)的模式(P13)來做說明，但是本方法亦可套用在模式(P15)與模式(P16)上，皆 可解決相同排名的問題。第一個方法模式(P17)中，目標式是將所有相同排名候 選人，彼此之間的差距相加總，此方法的目的，就是要讓相同排名之間差距最大 化，利用此方法來區辨優勝者。我們只針對在模式(P13)中相同排名的候選人來
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(Cook & Kress, 1990)提出剝層計算的方法，來逐步找到各個候選人的排名。
(Liu & Tsai, 2009)以共同權重的觀念計算總合分數，其證明剝層計算法與共同權 重計算出來的排序結果會一樣，因此我們可以僅計算一次，得到一組共同權重，
代入各候選人得票數，得到總合分數，可利用此總合分數來做排序，但仍會遇到 排名相同的問題。
在解決排名相同的問題，我們將方法流程整理如圖一。本研究將 (Cook &
Kress, 1990)提出的剝層計算法加以延伸，剝層法的觀念為排名在前面的候選人，
確定會凌駕於排名在後面的候選人，因此可以把前面的候選人刪除，再繼續計算。
本研究將承繼這個觀念，假設每個投票者可以從m 個候選人中選擇 k 個候選人，
我們將m 個候選人的數據代入模式(P13)，可得到一組最原始的候選人排序(R)。
若遇到一個以上第f 名情況時，我們先將前(f-1)名剔除，將剩下(m-f+1)名候選人 數據代入模式(P13)，若原本皆排名f 的候選人，在計算後已可以分出高下，那就 將這些原本第f 名候選人的新排序列入原始的排序(R)；若計算後仍無法分出高 下，就將(m-f+1)名候選人數據代入模式(P17)，利用最大差距模式來解決排序問 題，再將新排序列入原始的排序(R)。本研究方法強調原始排序(R)的重要性，因 為該組排序是考慮所有候選人而評估出來，具備參考價值，故使用剝層法後，也 不該抹滅此原始排序的意義與價值。但必須注意，刪除了候選人，使受評的候選 人人數改變，計算出的ε1*也會不斷改變，因此在代入限制式(21.5)時要特別小心。
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圖一：解決多個同排名之方法流程圖
S：Stage
S4：將得票矩陣 vij代入模式(P13)，得到
一組共同權重和ε1*，求出(m-f+1)位候選人 總合分數，進行排序
yes 同名者是否
以分出高下
S5：將同排名者排序
列入原始排序(R) S6：將得票矩陣 vij代入模式(P17)，將ε1*代 入限制式(21.5)，求出同列第 f 名候選人的總 合分數，將同排名者排序。
no
回到S2 yes
no 得到所有候選人排序
S1：將得票矩陣 vij代入模式(P13)，
得到一組共同權重，求出m 位候 選人總合分數，得到排序(R)
S2：是否有 排名相同者
S3：有若干個第 f 名存在，
先將第1~(f-1)名刪除，並 刪去得票數數據
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假設A,B,C,D,E,F,G,H,I,J 10 位候選人，經由投票後統計結果，將所得數據進 行S1，得到排序如表一之原始排序，此時 A 與 B 兩位同列第一名、D 與 E 兩位 為第四名、G,H,I 三位同列第七名。進行 S2，首先要將 A 與 B 兩位分出高下。
進行S6，得知 B 勝 A，排序如表一之第一階段排序。到 S2，由於 D 與 E 兩位為 第四名，故進行S3。將 D～J 7 位候選人代入 S4，得知 D 與 E 仍同為此階段第 一名。我們進行S6，得知 D 勝 E，排序如表一之第二階段排序。到 S2，由於 G,H,I 三個同列第七名，剔除 D,E,F，將 G～J 4 位候選人代入 S4。得知 G 勝 I 勝 H，排序如表一之第三階段排序。到 S2，由於無同排名，完成如表一之最終排序。
表一：各階段排序表
候選人 A B C D E F G H I J
原始排序(R) 1 1 3 4 4 6 7 7 7 10
候選人 B A C D E F G H I J
第一階段排序 1 2 3 4 4 6 7 7 7 10
候選人 ─ ─ ─ D E F G H I J
第二階段排序 4 5 6 7 7 7 10
候選人 ─ ─ ─ ─ ─ ─ G I H J
第三階段排序 7 8 9 10
候選人 B A C D E F G I H J
最終排序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
我們這個模式可以避免掉先前排序文獻中的兩大缺點，第一點即是 ε 設定 的問題，很多文獻都是令 ε = 0，但是 ε = 0 是不合理的，原因有二：(1)權重相減 如果等於0，就代表兩個名次權重相等，那就等於沒有鑑別程度。(2)最後一名的 權重(W )可能會等於 0，這樣就代表最後一名的得票數是沒用到的，失去投這k* 票的意義。第二點是，非高效者的改變會影響到高效者的排序，如果評比高效的 候選人，還加入其他非高效的候選人一起評比，那高效候選人的排名會受到非高
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效候選人的影響而改變，故我們認為，不應該把非高效的候選人放進來一起評比，
才能避免這個問題。關於第一點問題，因為在我們方法的第一階段可求出一個最 大的(ε1*)，第二階段時由決策者給予合理的比例寬放，故並不會使( d )為 0，所
以不會出現第一項缺點。而第二個問題，由於我們第二階段利用同排名之間總合 分數最大差距的觀念，來將相同排名的候選人予以差異化時，僅需要同排名的候 選人來進行評比，不需要其他不相關的非高效候選人參與，故非高效者的改變，
不會影響到高效者的排序。
在我們的模式中是採用共同權重的觀念，我們認為投票模式應該採用共同權 重較為合理，因為共同權重的意涵，為由管理者來尋找一組共同的權重，來評比 其想要檢視的受評單位，不同於傳統的輪流當主角，是由各決策單位各自尋找一 組對自己最有利的權重，來彰顯自己的特色，而投票系統源自於DEA，是沒有 投入項(input)的 DEA 模式，其得到的數據是該受評單位在各名次所得到的票數，
在投票系統的評比中，我們將這些各名次得票視為評比指標，給予權重，但特別 的地方是這些評比指標是具有強弱性，而非一般DEA 中的參考指標，那些指標 不具有強弱性質，方適合用輪流當主角來評比，故我們認為在投票模式的評比中，
應該採用共同權重的觀念較為合適。