2 文獻回顧
2.2 Ranking 相關文獻
(Adler et al., 2002)針對早期 DEA 排序研究作了回顧，分成六類來探討。第 一類為利用交叉效率矩陣的評估方式，讓自我與同儕之間相互評比。第二類是有 關超高效方法評比，藉以透過效率前緣的改變分析，以及線性規劃模式的運算排 序，剔除效率前緣上的評估單位。第三類是根據標竿測量的方法，讓它被選為其 他單位的目標來排序。第四類是利用多變量統計技巧，通常在DEA 將評估單位 區分為二後使用。第五類是研究相關低效的評估單位間排序。最後一類是透過彙 集決策者與DEA 方法，結合多準則方法求得優先信息的方式。
(Roll et al., 1991)最早提出共同權重的觀念，共同權重是指找到一組共同的權
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(Andersen & Petersen, 1993)為了將效率前緣上高效之決策單位加以排序，提 出了剔除資料的方法，將高效的決策單位，分別從資料集合中剔除，其餘的DMUs
10 比(cross-efficiency)，其衡量方法是以模式(P2)中各個 DMUo輪流當主角的情況下 所計算出來的權重，來評估其它DMUi之績效值，將此績效值加總取其平均作為
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(Hashimoto, 1997)參考 (Andersen & Petersen, 1993)所提出將生產效率前緣 上高效決策單位加以排序的模式，利用將高效決策單位分別從資料集合中剔除，
在其餘 DMUs 為基礎，計算被剔除的主角 DMUo總合分數，並加以排序。但是 缺點還是其並未針對 ε 的問題作解決；加上此方法依然會產生非高效者的改變 去影響到高效者排序的問題，因為當非高效者改變時，高效者輪流剔除時，所得 到的包絡面已經改變，因此計算出來的總合分數會有所改變。
(Noguchi et al., 2002)認為 ε 的設定很重要，會影響權重可行解區域的改變，
故 ε 設 0 並不是個好方法，因此作者提出弱排序(weak ordering)與強排序(strong ordering)法則。弱排序如方程式(10)：
1 , 1,..., 1, .
j j k
W −W + ≥ε j= k− and W ≥ (10) ε 在投票者心目中的前面k 名，分別給予 k 個候選人排序名次，每位候選人 i 可獲得票數vij (i =1,…,m)，故 Wj表示每張第j 名得票的權重(j=1,…,k)。弱排序是 認為每個名次得票數的權重不能相等，至少要有一點差距，而最後一名的權重也 至少要是正數；強排序如方程式(11)：
1 2 2 3 3 ... , 2 . ( 1)
k k
W W W kW and W
ε Nk k
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ =
+ (11) 方程式(11)中的 N 是指所有評審的人數。強排序是強調每個名次得票的權重 相減會呈現遞減情況，利用這種假設去推導出權重之間的關係，並且推導出計算 ε 的下界值的公式。加入強排序與弱排序的限制後，可以計算得到總合分數。但 由於是輪流當主角的方式，故所得總合分數為相對分數，無法排序。故作者利用 交叉效率評比的方法來獲得全排序，但這方法的缺點還是非高效者的改變會影響 到高效者的排序。
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(Obata & Ishii, 2003)也針對投票系統的排序問題提出方法，主要是解決高效 間無法排序問題，其先將非高效的候選人剔除後，再利用標準化的權重去衡量高
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(Wang & Chin, 2007)則將低效包絡面的觀念跟投票機制作結合，其使用的 投票模式是 (Noguchi et al., 2002)所提出的模式，將該模式轉換成低效模式，模
模式(P10)是求取相同排名候選人的最小相對分數(least relative total scores)。
由於該排名相同的候選人，都擁有相同的最大相對分數(best relative total scores)，
故必須比較最小相對分數，誰的最小相對分數較大，誰就是優勝者，藉此來做同 排名的排序。但是此模式為輪流當主角，該方法是用非低效的分數做比較，但是 非低效彼此之間參考的低效對象並不一樣，故計算後的最小相對成績無法作排序，
但該作者拿來作排序，可能有些爭議。且 ε 值是經由推導而得，但是在轉成低 效模式後， ε 值的變化卻不影響結果，這樣便失去 (Cook & Kress, 1990)當初制
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定 ε 是區辨強度因子的意義。
(Liu & Tsai, 2009)利用數學規劃的方式來解決同排名問題，作者將各名次得 票的權差拉大，並且拉低最後一名得票的權重，以提高前面名次的權重，藉此改 變權重最佳解。其模式為(P11)所示：
(P11) εmax(LT) =maxε2 (14)
1
. . k ij j 1, ,
j
s t v W i C
= ≤ ∈
∑
(14.1)Wj−Wj+1≥ε2 >0, j=1,...,k− (14.2) 1,
Wk ≥ε2− > (14.3) h 0,
h≤ε1*. (14.4)
模式(P11)中的C 是指相同排名候選人的集合，最後一個名次的權重則利用 h 變數來做調整，而h 必須不大於第一階段所求出的最大區辨因子 ε1* ，並找出一 個新的區辨因子 ε2。此方法的優點在於不需要人為的介入設定，可由系統自行
決定權重；且相較於其他文獻皆是利用輪流當主角的方式求解，此作者則採用共 同權重觀念跟投票系統作結合，使各候選人可得到絕對分數，而非相對分數，故 沒有參考對象不同而無法排序的問題；且作者證明該方法可使各得票權重的權差 呈現比例增加，以確保合理性。因為此方法目標式為求 ε2 的極大值，故沒有 ε2 設定的問題，也不會出現 ε2 為 0 的情況；且評比同排名時，僅將同排名者代入 模式中計算，並無其他候選人參與，故不會發生非高效者的改變會影響到高效者 的排序。
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(Liu & Hai, 2005)針對供應商的選擇，採用投票的方式進行，利用層級分析 法(Analytic Hierarchy Process, AHP)來進行供應商的評選，並提出投票式層級分析 法(Voting Analytic Hierarchy Process, VAHP)，以取代既有的 AHP 成對比較的方法。
此 VAHP 可以分成三個步驟，第一個步驟，是由每一位決策者針對受評估目標 進行排序，以避免兩兩比較方法的不一致性問題；第二個步驟，運用 (Noguchi et al., 2002)所提出的模式，求出排序之權重值；第三個步驟，計算出受評估目標的 總合分數，以排列優先順序。並且也可使用多目標二元整數規劃模式，以個別受 評單位進行組合評估方式，評選不同組合之供應商。改善了原本兩兩比較方法的 缺失，使得整體評比能夠更加客觀與公平。