3. 等候模型與規劃設計之方法
3.1. 等候系統之參數與表現
具有雙重服務速率的 M/M/1 等候模型，即顧客平均到達間隔時間和服務員 平均服務間隔時間都服從指數分配，且僅有一個服務員。其服務速率與系統人數 的關係可以用圖 3 表示：
圖 3 具有雙重服務速率之等候系統
系統一開始服務速率為
μ，當系統人數過多到達 N
2個人時，即從 A 點升至 B 點，服務員平均服務速率從原本的 μ 提升到 kμ，即從 B 點跳至 C 點。等到系 統人數減少到 N1（N1 < N2）時，即由 C 點降至 D 點，服務員服務速率再切換回 原本的服務速率μ，即從 D 點跳回 A 點。而在這過程中，顧客單位時間平均到
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達間速率一直維持在
λ。
關於具有雙重服務速率的 M/M/1 等候系統，包含(Gebhard, 1967)、(Lee, Park, Kim, Yoon, Ahn, & Park, 1998)和(Liu & Tseng, 1999)都曾經對此種模型或是其變 化型做過探討。不管是基本型還是有成批到達的變化型，推導手法皆是使用生死 過程（birth-death process），我們將此種等候系統的流率圖繪製如圖 4：
圖 4 雙重服務速率等候系統流率圖
圖 4 中每個節點代表此等候系統各種可能的狀態，括號中第一個數字代表系 統中的人數，第二個數字則表示現在狀態所使用的服務速率，其中 1 代表使用低 速率服務而 2 代表使用高速率服務。而具有方向性的弧線，上方符號則表示兩個 狀態（結點）間轉換的速率。接著將所有狀態分成四個部分討論：第一部分為系 統人數少於或等於 N1時，服務員服速率皆為
μ。第二部分為系統人數大於或等
於 N2時，服務員服務速率皆為 kμ。第三以及第四部分，則是系統人數大於 N1 小於 N2時，分成服務速率為μ 和 kμ 探討。在這四個部分，其顧客到達速率皆為 λ。分成這四個部份之後，即可利用生死過程來推導。計算出下列四項等候系統
的表現：L：平均等候系統人數
Pq：等候系統有 q 個人的穩態機率 F：使用高速率服務時間佔總時間機率 W：顧客平均等候時間
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首先先介紹五項參數所代表的意義，並說明其值大小對整個等候系統表現的 表現和資源消耗的影響。
參數一：λ（人/小時），顧客單位時間平均到達速率。從收入的角度來看，
管理者會希望單位時間到達的平均顧客越多越好，顧客越多自然收入也會越多。
但相對的，若要越多顧客進入等候系統，就勢必得花費更多的錢就做廣告或是舉 辦各種不同的促銷手段來吸引顧客。除此之外，若在其它參數不變下，僅僅只有
λ 值增加，也必頇要夠多的等候空間來容納這些顧客，這些空間的設置，也是資
源的耗費。因此λ 值到底大好還是小好，沒有辦法很直接的就做出判斷，應該用
一套有系統的方法來分析。參數二：μ（人/小時），系統人數少，服務員單位時間平均服務速率。在服 務業的等候系統中，管理者會希望服務員平均服務一個顧客的時間越短越好，這 樣不但可以加快等候系統流轉的速度，也可以縮短顧客被服務的時間，使其滿意 度增加。服務速率越大，所需要的等候空間也越小，可以節省這方面資源的消耗。
但是若要服務速率提升，就需要花費比較多的人事成本來聘請具有比較高速服務 速率的服務人員。由此可知，μ 值到底要大或要小也無法明確的直觀決定，需有 一套有效的方法來訂定。
參數三：N2（人），由低速率切到高速率系統人數的閥界值。在雙重服務速 率的 M/M/1 等候系統中，必頇設置一個切換的臨界點。這個臨界點就是系統人 數達到 N2人時，服務速率即由低速率切換至高速率。當然 N2的選擇不能太大，
否則系統內會累積過多的人，除了降低系統的流動速率外，亦需要準備比較多的 等候空間，造成資源的消耗。但若 N2太小，又會造成使用高速率服務的時間過 長，人事成本也隨之提高。因此，N2 究竟是要大還是要小，也要有一合理的方 法來做衡量。
參數四：N1（人），由高速率切換回低速率系統人數的閥界值。在切換為高 速率之後，必頇設置另外一個臨界點，也就是由高速率切換回低速率時的系統人 數 N1。N1為一個小於 N2的值，若 N1選擇的值過大，代表越接近 N2，會造成過
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些表現所代表的意義，以及如何利用五項參數計算出這些結果(Gebhard, 1967) 和(Liu & Tseng, 1999)。等候表現一：P0，系統中顧客數為 0 之機率。顧客進入等候系統有 P0的機