節 一元二次方程式的應用題與綜合題

在前三節，我們學習了利用因式分解、配方法與公式解找出二元一次方程式的解，本 節我們將應用這些學到的方法，來處理應用問題。

利用因式分解求解：

將方程式因式分解成^{(axb)(cxd)0}的形式，則解為

a x b、

c

d 。(^a0,c0)

利用配方法求解：

將方程式配方成^{(xa)2 b}的形式，則解為^{xa b}。(^b0) 利用公式求解：

方程式ax²bxc0，其解為

a ac b

x b

2

2 4



 。(^{a0,b2 4ac0})

之前在例題7.1-1，我們只有在情境中列式，現在可以試著求出未知數之值了。

(3)列成方程式為 ^{(x2)(x3)6}

例題 7.5-3

如圖7.5-1，某正方形，若將其一邊長度 減少2 公分，另一邊長度變為 2 倍，則所 得新長方形面積比原正方形面積多32 平 方公分，試求原正方形邊長。

圖7.5-1 詳解：

令原正方形邊長為x 公分，則其面積為 x²平方公分。

新長方形邊長為^(x2)公分與2x公分，面積為^2x(x2)平方公分。

新長方形面積比原正方形面積多32 平方公分 列成方程式為 ^{2x(x2)x2 32}

32 4

2x² xx²  0 32

2 x4  

x

0 ) 4 )(

8

(x x 

8

x 、

 4

(邊長不可為負，

 4

不合) 得原正方形邊長為8 公分。

例題 7.5-4

(2) 紙片中間減去的小長方形：

長：x44x8(公分) 寬：^{(x8)44x16}(公分)

128 24

) 16 )(

8

(x x x²  x

小長方形面積為^{(x224x128)}平方公分

(3) 剩餘的紙片面積＝原長方形紙片面積－小長方形面積

128 16

) 128 24

( ) 8

(x²  x  x²  x  x

剩餘的紙片面積為^(16x128)平方公分。

(4) 剩餘紙片的面積，比剪去的小長方形紙片面積多128 平方公分

128 ) 128 24

( ) 128 16

( x  x²  x  0 128 128 24

128

16x x²  x   0

384

2 40  

x x

0 384

2 40x 

x

0 ) 16 )(

24

(x x 

24

x 、16 (若^x16，則小長方形寬為0，故不合) 因此原長方形紙片之長為24 公分。

例題 7.5-6

邊長1 公尺的正方形後，可使剩下的長方形長

條螺旋形的線。自然界中，舉凡海螺的形狀、衛星雲圖中的颱風圖、蜘蛛網的形狀都與 這種螺旋線相當相似。

2 5

1 的數值大約是1.618，一個有趣的地方是，1.618 的倒數再加上 1，大約也是 1.618。

618 . 1

1 ≒0.618 ^{0.61811.618}

例題 7.5-8

如圖7.5-6，有一長 250 公分的梯子靠在牆上，若牆腳到梯頂的距 離比牆腳到梯腳的距離多50 公分，試求牆腳到梯腳的距離。

(牆與地面垂直，直角三角形斜邊平方等於兩股平方和)

圖7.5-6 詳解：

令牆腳到梯腳的距離為 x 公分，則牆腳到梯頂的距離為^(x50)公分。

牆與地面垂直，因此可將梯子與牆面、地面所構成圖形視為直角三角形，斜邊長 為250 公分，兩股長分別為 x 公分與^(x50)公分，如圖7.5-7。

直角三角形斜邊平方等於兩股平方和，可列式：

2 2

2 ( 50)

250 x  x

2500 100

62500x²x² x 2500 100

2

62500 x²  x 0 60000 100

2x² x  0 30000

2 50x 

x

0 ) 200 )(

150

(x x 

150

x 、－200 (長度不可為負，負不合) 圖7.5-7 得牆腳到到梯腳的距離為150 公分。

例題 7.5-9

若買20 張，則總價為^{200204000}，40004455，可知小明買的門票超過20 張。

設小明買的門票比20 張又多出 x 張，也就是^(20x)張。則門票單價為^(2005x)元。

總價＝門票數



門票單價

) 5 200 )(

20 (

4455 x  x 5 2

100 4000

4455  x x 0 455 100

5x²  x  0 91

2 20x  x

0 ) 7 )(

13

(x x  ，得x13或x7

因此小明可能買了33 張或 27 張門票。

我們來驗算看看：

13

x ，則門票共33 張，單價為 135 元，總價為^{331354455}，符合題意。

7

x ，則門票共27 張，單價為 165 元，總價為^{271654455}，符合題意。

例題 7.5-12

此三個連續整數可能為－9、－10、－11 或 9、10、11。

例題 7.5-13

例題 7.5-14

一元二次方程式^{(axb)(cxd)0}的解為－2 和 3，其中^a0、c0，且 ^0

a

b 、 ^0

c

d ，

試求 c d

b a 之值。

詳解：

0 ) )(

(axb cxd  的解為－2 和 3

a、b、c、d 的關係為下列兩種情形之一：

(1) ^{a(2)b0} 或 ^{c(3)d 0} (2) ^{a(3)b0} 或 ^{c(2)d 0} 情形(1)：

0 )

2 (  

 b

a → ^{2ab0} → ^b2a → ^2

a b

與題目 ^0

a

b 矛盾，可知正確的情形應為(2) 情形(2)：

0 )

3 (  

 b

a → ^{3a b0} → ^b3a → _a^{b 3}

0 )

2 (  

 d

c → ^{2cd 0} → ^{d 2c} → ^2

c d

1 2 3 





 c d a b

例題 7.5-15

7.5 節 習題

習題 7.5-1

試求下列各情境中的x 之值。

(1)某長方形的長為^(2x5)公分，寬為^2x公分，面積為36 平方公分。

(2)小美買了^(2x3)顆蘋果，每顆蘋果售價都是 x 元，小美共花了35 元。

(3)^(x1)與^(x2)兩數的乘積為10。

習題 7.5-2

有一三角形，底為^(5x3)公分，高為^(x7)公分，面積為90 平方公分，試求其 底。

習題 7.5-3

如右圖，某長方形，其長為寬的3 倍多 1 公分，若將其 寬度變為2 倍，長度減少 4 公分，則得新正方形，面積 比原長方形面積多6 平方公分，試求原長方形的寬。

習題 7.5-4

如右圖，有三角形ABC，其中 B 為直角。已知^{AB x1}、

3

BC 、CA x²，且直角三角形邊長有AB²BC² CA²

的關係，試求三角形ABC 之周長。

在紙片中間剪去了一塊小長方形，使剩餘紙片的四 周寬度均為2 公分。若原長方形紙片之長為 x 公分，

試回答下列問題：

(1)原長方形的面積為何？(以 x 表示) (2)剪去的小長方形面積為何？(以 x 表示)

(3)剪去小長方形後，剩餘的紙片面積為何？(以 x 表示)

(4)若剩餘紙片的面積，比剪去的小長方形紙片面積多 36 平方公分，試求 原長方形紙片之長。

習題 7.5-6

若將一正方形的一邊減少2 公分，另一邊變成原來的 3 倍，則所得新長方形的面 積比原正方形的面積多20 平方公分，求原正方形的邊長是多少公分？

習題 7.5-7

如右圖，有一長260 公分的梯子靠在牆上，若牆腳到梯頂的距 離比牆腳到梯腳的距離多140 公分，試求牆腳到梯腳的距離。

(牆與地面垂直，直角三角形斜邊平方等於兩股平方和)

習題 7.5-8

端午節媽媽包了若干顆粽子，每 x 顆綁成一捆，恰可綁成3x捆，若吃掉4 捆後，

還剩粽子32 顆，請問媽媽總共包了幾顆粽子？

一袋糖果分給 x 人，每人分得^(5x2)顆糖果且沒有剩下。若改為分給10 人，則 每人分得^(x2)顆，剩下1 顆，請問這袋糖果共有幾顆？

習題 7.5-10

某游泳班預定招生20 人，每人收費 300 元，但人數若少於 20 人，每減少 1 人，

則每人要加收10 元。已知該游泳班共收到 5040 元，請問共有多少人參加？

習題 7.5-11

已知三個連續整數的平方和為77，試求此三個連續整數。

習題 7.5-12

若某一元二次方程式x²bxc0的兩根為3 和^5，試求b、c 之值。

例題 7.5-13

若^{(x5)(x4)(x3)(x2)360}，試求x² x7 ？

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