綜合習題 - 代數第七章目錄

習題 1：

解下列一元二次方程式 (1) x² x16 640

(2) x²90

(3) 4x² x5 10

(4) 4x²19x50

(5) 6x²  x10

(6) ²^x⁽^x^⁵⁾^³⁽^x^⁵⁾^⁰ (7) ⁽^x^³⁾⁽³^x^⁴⁾^^⁵⁽³^x^⁴⁾ (8) ⁵₃^x² ^{ x}₃⁸ ^⁷^⁰

(9) ⁽^x^²⁾⁽^x^⁶⁾^⁹ (10) ⁽^x^⁴⁾² ^⁹^x²

習題

2：

利用配方法，解下列一元二次方程式 (1) x²  x2 70

(2) x² x8 30

(3) ⁴^x²^¹³₄ ^⁸^x

(4) ₄¹^x² ^{ x}₃² ^₁₂¹ ^⁰

習題

3：

利用公式解，解下列一元二次方程式 (1) 2x² x8 30

(2) 5x² x4 30

(3) ⁽^x^²⁾⁽²^x^⁵⁾^¹⁵ (4) ₂³^x² ^{ x}₃² ^₂¹^⁰

習題

4：

若 2

1 3 為方程式⁽²^x^^a⁾² ^^b的解，則a b？

習題

5：

若^x ^^¹是方程式x²3xk0的解，求^k 值及方程式的另一根。

習題

6：

若方程式2x² x8 50與⁽^x^²⁾² ^^m有相同的解，則m ？

習題

7：

若方程式x²6xk0無解，則^k的範圍為何？

習題

9：

有一三角形的底是⁽³^x^⁵⁾公分，高是⁽²^x^⁵⁾公分，且其面積是7 平方公分，則底是多少公分？

習題

10：

若將一正方形的一邊減少2 公分，另一邊變成原來的 3 倍，則所得新長方形的面積比原正方形的面積多20 平方公分，求原正方形的邊長是多少公分？

習題

11：

如右圖，在長20 公尺、寬 14 公尺的長方形草地內部開闢一條等寬的十字形道路，已知道路與草地的長寬平行，

若剩下的草地面積為187 平方公尺，則十字形道路的寬應是多少公尺？

習題

12：

如右圖，沿著正方形菜園的四周鋪上一條寬2 公尺的道路，

若菜園面積與道路面積相等，問菜園的邊長為多少？

習題

13：

某補習班預定招收30 名學生，每人收費 1000 元，但人數若少於 30 人，則每減少1 人，每人要加收 50 元。已知該補習班共收到 31200 元，請問共招收多少名學生？

習題

14：

已知x²  x2 20，則^(x^¹⁾² ^？

習題

15：

設⁽²^x^³⁾² ^¹⁸^⁰的兩根為 a 、b，且ab，則a b？

基測與會考模擬試題

( ) 1. 如下列何者可為方程式91x² 53x60的解？【90(一)基測】

(A) －₇² ˉ (B) －₁₃² ˉ(C) ₁₃² ˉ (D) ₁₃³

( ) 2. 如圖，有一個數學遊戲如下，由左方入口進入，按框框內的指示判斷正確的路徑，則最後到達哪一個地方？【90(一)基測】

(A)甲 ˉ(B)乙 ˉ(C)丙 ˉ(D)丁

( ) 3. 如x2不是下列哪一個方程式的解？【93(一)基測】

(A) ³⁽^x^²⁾^⁰ (B) 2x² x3 2 (C) ⁽^x^²⁾⁽^x^²⁾^⁰ (D) x² x20

( ) 4. 如 a 、b 為方程式^x⁽³^x^⁷⁾^⁰的兩根，且ab，則b a？【94(一)基測】

(A) ₃⁷ 　 (B) ₇³ 　 (C) ^ ₃⁷ 　(D) ^ ₇³

( ) 5. 已知方程式 x² 56250的兩根為 75，則下列何者可為方程式

0 5616

2  x6  

x 的解？【95(二)基測】

(A) ^x^⁶⁹ (B) ^x^⁷² (C) ^x^⁷⁷ (D) ^x^⁸¹

( ) 6. 將一元二次方程式x² x6 50化成⁽^x^^a⁾² ^^b的型式，則^b^？【96(一)基測】

(A) －4 (B) 4 (C) －14 (D) 14

( ) 7. 用配方法將 ^y^^²^x²^¹²^x^¹化成 ^y^^²⁽^x^^h⁾² ^^k的形式，求 ^h^{ k} ^？

【98(二)基測】

(A) 16　 (B) 21　 (C) －20 　(D) －14

( ) 8. 若 a 為方程式(x 17)² 100的一根，b為方程式(y4)² 17的一根，且 a 、

b都是正數，則ab之值為何？【99(一)基測】

(A) 5　 (B) 6　 (C) ⁸³　(D) ¹⁰^ ¹⁷

( ) 9. 關於方程式⁸⁸⁽^x^²⁾² ^⁹⁵的兩根，下列判斷何者正確？【100(一)基測】

(A)一根小於 1，另一根大於 3 (B)一根小於－2，另一根大於 2 (C)兩根都小於 0 (D)兩根都大於 2

( ) 10. 用配方法將^y^^²^x²^⁴^x^⁶化成^y^^a⁽^x^^h⁾² ^^k的形式，求ahk之值為何？

【100(二)基測】

(A) 5　 (B) 7　 (C) －1　 (D) －2

( ) 11. 小傑用長為 x 公分的竹筷去量一張長方形的紙，發現紙的長度比竹筷的兩 倍長少1 公分，寬比竹筷長多 2 公分。已知紙的面積為 3000 平方公分，

依題意下列哪一個一元二次方程式是正確的？【90(二)基測】

(A) ⁽^x^²⁾⁽²^x^¹⁾^³⁰⁰⁰ˉ (B) ⁽^x^²⁾⁽²^x^¹⁾^³⁰⁰⁰^⁰ (C) 2x² x3 3002 (D) 2x²  x3 30020

( ) 12. 對於方程式⁽²^x^⁵⁾⁽^x^¹⁾^⁽³^x^²⁾⁽^x^¹⁾根的敘述，下列何者正確？【91(一) 基測】

(A)方程式只有一根，而且這個根是正數 (B)方程式有兩根，而且兩根的正、負號相同 (C)方程式一根為正數，一根為負數

(D)方程式無解

( ) 13. 小風想利用一個遊戲的方法問出兩位朋友的年齡。他說：「將你的年齡，先減5，再平方，最後加上 25。所出現的數字將會是你今天的幸運數字喔！」阿珠說：「我是89 耶！」阿花說：「我的是 146！」若阿珠的年齡是 a ，阿花的年齡是^b，則^a^b的值會落在下列哪一個範圍內？【91(二)基測】

(A) ¹⁸^^a^^b^²¹ˉ (B) ²¹^^a^^b^²⁴ (C) ²⁴^^a^^b^²⁷ˉ (D) ²⁷^^a^^b^³⁰ ( ) 14. 樂樂以配方法解2x²bxa0，可得

2 15 2

3



x 。求 a ？【91(二)基測】

(A) －6ˉ(B) －3ˉ(C) 6ˉ(D) 3

( ) 15. 下列有關 10的敘述，何者不正確？【92(一)基測】

( ) 16. 若一元二次方程式x²  x2 3230的兩根為 a 、b，且ab，則2a b？

【92(二)基測】

(A) －53 (B) 15 (C) 55 (D) 21

( ) 17. 利用配方法將4x²  8xa化成^b⁽^x^{ c}⁾²^³的形式，則^a^^b^^c^？【93(二)基測】

(A) 9 (B) 12 (C) 13 (D) 25

( ) 18. 已知x² 6xb0可配方成⁽^x^{ a}⁾² ^⁷的型式、請問x²6xb2可配方成下列何種型式？【94(二)基測】

(A) ⁽^x^{ a}⁾² ^⁵　 (B) ⁽^x^{ a}⁾² ^⁹ (C) ⁽^x^{ a}^²⁾² ^⁹　 (D) ⁽^x^{ a}^²⁾² ^⁵

( ) 19. 下列哪一個選項為方程式4x² 16x150的兩根？【95(一)基測】

(A) ₂³ 、

5 (B) ₂³ 、

 5 (C) ^ ₂³、

5 (D) ^ ₂³ 、

 5

( ) 20. 若 a 、b為方程式⁽^x^²⁹⁾² ^²⁴⁷的兩根，則下列敘述何者正確？【95(一)基測】

(A) a 為 247 的平方根 (B) ^a^^b為247 的平方根 (C) ^a^²⁹為247 的平方根 (D) ²⁹^^b為247 的平方根 ( ) 21. 已知方程式 ¹⁾⁽ ²⁾ ⁰

(3x x 

的兩根為 a 、b，其中ab，則下列哪一個選項是正確的？【95(一)基測】

(A) ³^a ^^⁶ (B) ²^b^⁶ (C) ^a^{ b}^¹ (D) ^a^{ b}^^¹

( ) 22. 下列何者為一元二次方程式⁽²^x^³⁾⁽^x^¹⁾^⁽^x^¹⁾⁽^x^³⁾的解？【96(一)基測】

(A) ^x^⁰或x1 (B) ^x^^¹或x 3

( ) 23. 關於方程式49x² 98x10的解，下列敘述何者正確？【97(一)基測】

(A)無解　(B)有兩正根　(C)有兩負根　(D)有一正根及一負根 ( ) 24. 若



、 ^ 為方程式

8 ) 2 ( 7

) 5 )(

(x x  x x

的兩根，且^^^，則^^²^ ^？

【97(二)基測】

(A) 5　 (B) 10 　(C) －6　(D) －8

( ) 25. 若 a 、b為方程式^x²^⁴⁽^x^¹⁾^¹的兩根，且ab，則 ^

a ？【98(一)基測】

(A) －5 (B)－4　 (C) 1　 (D) 3

( ) 26. 已知一元二次方程式x² ax160的兩根均為整數，a0且 a 為二位數，

求 a 的個位數字與十位數字相差為何？【98(二)基測】

(A) 0　 (B) 1　 (C) 4　 (D) 6

( ) 27. 若一元二次方程式 ^ax⁽^x^¹⁾^⁽^x^¹⁾⁽^x^²⁾^^bx⁽^x^²⁾^²的兩根為 0 、 2 ，則

b a 4

3  之值為何？【100 北北基】

(A) 2　 (B) 5　 (C) 7　 (D) 8

( ) 28. 若方程式⁽³^x^{ c}⁾² ^⁶⁰^⁰的兩根均為正數，其中 c 為整數，則 c 的最小值為 何？【100(二)基測】

(A) 1　 (B) 8　 (C) 16　 (D) 61

( ) 29. 若一元二次方程式x² x2 35990的兩根為 a 、b，且ab，則2ab之值為何？【101 基測】

(A) －57　 (B) 63　 (C) 179　 (D) 181 ( ) 30. 若一元二次方程式^a⁽^x^{ b}⁾² ^⁷的兩根為 ⁷

2 1

21  ，其中 a 、b為兩數，則

a 之值為何？【102 基測】

(A) ₂⁵ (B) ₂⁹ (C) 3 (D) 5

( ) 31. 如圖，有A 型、B 型、C 型三種不同的紙板，其 A 型：邊長為



公分(



為圓周率)的正方形，共有 7 塊；B 型：長為



公分，寬為 1 公分的長方形，

一個大長方形，請問拿掉的是哪一種紙板？【91(二)基測】

(A)A 型 ˉ(B)B 型 ˉ(C)C 型 ˉ(D)完全不用拿掉，就可排出一個大長方形 ( ) 32. 已知 a 、b為方程式 ¹⁾ ⁶⁸⁰

(2x ²  的兩根，且ab，利用下表，求 ^a ^b

5 2 52 

之值最接近下列哪一數？【94(二)基測】

(A) 0　 (B) 2　 (C) 37　 (D) 52

( ) 33. 若b為正數且方程式x²xb0的兩根均為整數，則b可能為下列哪一數？

【96(二)基測】

(A) ²^³^⁵^¹¹　(B) ²^³^⁷^¹¹ (C) ²^⁵^⁷^¹¹　(D) ³^⁵^⁷^¹¹

習題解答

(1)

x33 2

(2)

x2 11

練習

7.4.2-4

3.答：

基測與會考模擬試題解答

9. 《答案》(A)

17. 《答案》(B)

26. 《答案》(C)

680 5 1

2a 

、

1 680

2b 

→

1 680 ( 1 680) 2 680 5

2 5

2a b     

由表知

680 26.077

，

2 680 52.154

，最接近 52

33. 《答案》(B)

詳解：

x² xb0

的兩根均為整數，

需可分解為相差 1 的兩數乘積 (A)

23511

，無法分解為相差 1 的兩數乘積

(B)

23711

，僅此數可分解為 21 22

(C)

25711

，無法分解為相差 1 的兩數乘積

(D)

35711

，無法分解為相差 1 的兩數乘積

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