節 認識一元二次方程式

前面的章節中，我們學過了一元一次方程式、二元一次方程式：

一元一次方程式是指只有1 個未知數(一元)，未知數最高次數為 1(一次)的方程式，

如^2x70。

二元一次方程式是指只有2 個未知數(二元)，未知數最高次數為 1(一次)的方程式，

如^{2x y3 70}。

同樣地，一元二次方程式就是只有1 個未知數(一元)，未知數最高次數為 2(二次)的 方程式，如x² x4 40、^{(x3)(x4)0}

我們先來看看什麼樣的場合會用到一元二次方程式。

例題 7.1-1

請依下列敘述列出一元二次方程式：

(1)某三角形的底為^(x1)公分，高為^3x公分，面積為30 平方公分。

(2)小華買了^(2x3)枝原子筆，每枝原子筆售價都是 x 元，小華共花了65 元。

(3)^(x2)與^(x3)兩數的乘積為6。

詳解：

(1)三角形的面積等於底×高×¹₂ 。

列成方程式為 ³⁰

2 3 1 ) 1

(x  x 

繼續化簡 ³⁰

2 ) 1 3 3

( x² x  

2 30 2 2

) 1 3 3

( x² x     (等量公理，等號左右同乘以 2)

60 3 3x²  x

0

2 x20 x

(2)總價等於單價×枝數。

列成方程式為 ^{x(2x3)65} 繼續化簡 2x²  x3 65

0 65 3

2x² x 

(3)列成方程式為 ^{(x2)(x3)6} 繼續化簡　 x²  x66

0

2  x12 x

由例題7.7-1 可知，生活中有很多情境是可以列成一元二次方程式的。

接著我們再來看看什麼是一元二次方程式的解。

與一元一次方程式相同，只要將一個數代入方程式中的未知數，若能使等號的兩邊相 等，則稱此數為該一元二次方程式的解(或根)。

我們試試看－2、－1、0、1、2 這些數中有哪幾個是一元二次方程式x²  x20的解。

－2： ^{(2)2 (2)242240}，等號不成立，－2 不是此方程式的解。

－1： ^{(1)2(1)21120}，等號成立，－1 是此方程式的解。

0： ^{(0)2 (0)200220}，等號不成立，0 不是此方程式的解。

1： ^{(1)2 (1)211220}，等號不成立，1 不是此方程式的解。

2： ^{(2)2 (2)24220}，等號成立，2 是此方程式的解。

因此－1 與 2 都是一元二次方程式x²  x20的解。

例題 7.1-2

下列哪些敘述是正確的？

(1) 3 是x²  x2 30的解 (2) 4 是x²  x4 40的解 詳解：

(1)將^x3代入x² x2 30：^{(3)22(3)30} 等式成立，因此3 是x²  x2 30的解。

(2)將^x4代入x²  x4 40：^{(4)2 4(4)440} 等式不成立，因此4 不是x² x4 40的解。

例題 7.1-3

若^x2是一元二次方程式^{x2 ax40}的解，試求a 之值。

詳解：

2

x 是一元二次方程式x² ax40的解，

也就是將^x2代入方程式，可使等式成立。

0

2 ax4 x

0 4 2

2² a   (將^x2代入)

0 4 2 4 a 

0 8 2a 

8 2a

4

 a

【練習】7.1-3

若^{x 3}是一元二次方程式^{x2 ax90}的解，試求a 之值。

若是想找一元二次方程式的解，有一個性質我們必須熟悉：

若a b⁰，則a⁰或b⁰

已知^{a b0}，我們想利用等量公理，將等式左右都乘以

a

1 消去a，但必須在^{a 0} 時才能乘以

a

1 ，故我們先看a⁰的情形。

0

 b a

a b a

a 1

1 0







 (^a0，利用等量公理，將等式左右都乘以 _a¹ )

0 b

即a0時，可推得b0。

另一個情形是a0，a 0即為此性質的另一個結果。

由以上討論可知，若a b0，則a0或b0。 利用這個性質，我們可以解一些一元二次方程式。

如要解^{(x1)(x2)0}，我們可以從方程式推得x10或x20。

0 1



x ，即^x1；^x20，即^x2。 因此^{(x1)(x2)0}的解為x1或x2。

驗算：^{x 1}時，^{(11)(12)0(1)0}；^x2時，^{(21)(22)100}。

例題 7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) ^x(x1)0 (2)^{(x2)(x3)0} (3) ^{(2x1)(x4)0} (4)^{(x2)2 0} 詳解：

(1)由題目可知，^x0或^x10可使等式成立。

0 1



x → ^x1 解為x⁰、

1

。

(2)由題目可知，^x20或x30可使等式成立。

0 2



x → ^x2

0 3



x → ^{x 3} 解為x2、3。

(3)由題目可知，^2x10或^x40可使等式成立。

0 1

2x  →

2

1

 x

0 4



x → ^x4 解為 2

1



x 、

4

。

(4)^{(x2)2 (x2)(x2)}

兩個含x 的式子都相同，^x20時可使等式成立。

0 2



x → ^x2 解為x2。

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

在例題7.1-4(4)中，若是依(1)～(3)的答案寫法，(4)的答案可寫成^x2、2。

像這種兩個解都相同的情形，我們稱為重根，也就是一個解重覆出現兩次。

【練習】7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) ^{2x(x7) 0} (2)^{(x5)(x6)0} (3) ^{(3x2)(x1)0} (4)^{(x3)2 0}

例題 7.1-5

若^x5是一元二次方程式^{(x2)(xa)0}的解，試求a 之值。

詳解：

一元二次方程式^{(x2)(xa)0}，^x20或^{x a0}時可使等式成立。

0 2



x → ^x2

0

 a

x → xa

依題意，x5是一個解，且25，因此a5。

驗算：^a5代入方程式得^{(x2)(xa)0}，此方程式解為2、5，與題意符合。

【練習】7.1-5

若^x3是一元二次方程式^{(x2)(xa)0}的解，試求a 之值。

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