節 用配方法解一元二次方程式

在多項式章節中，我們已經學過根號。如 ^{9 3}、 ^255。 我們也知道3² 9，5² 25。

那麼今天若是想解一個一元二次方程式x² 9，會有什麼答案呢？

因為3² 9，所以x3是一個解。

但再仔細觀察，會發現因為^{(3)2 9}，所以x³也是一個解，。

也就是說x² 9的解有3 和－3。而 3 和－3 也稱為 9 的平方根。

用文字來表示，一元二次方程式x² a(^a0)的解即為 ^a與^{ a}，也可寫為^{ a} 。

例題 7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²16 (2)3x² 12

(3) ^{(x1)2 3} 詳解：

(1) x² 16

4



x ( ^164)

(2) 3x² 12

3 12 3 3x²  

2 4 x

2



x ( 4 2)

(3) ^{(x1)2 3}

3 1 x

3 1 x

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²81 (2)2x² 32

(3) ^{(x3)2 7}

在前面的例題7.3-1(3)中，我們可以想成是利用完全平方式來找出解。

完全平方式：對於一多項式 A，若能找到另一多項式 B 使得A



B²，則稱A 為完全 平方式。例如多項式x² x2 1可以寫成^(x1)2，因此x² x2 1是完全平方式。

若我們想解一元二次方程式 x²  x2 20，因為x² x2 2沒辦法用因式分解，因此可 試著利用乘法公式湊出完全平方式，形成例題 7.3-1(3)的形式後再找出解。

0 2

2  x2  

x (觀察前兩項x²2x，可以發現若是加上1，

就能變成完全平方式x² x2 1，即^(x1)2)

1 0 2 1

2  x2    

x (等號左右兩邊都加上 1)

1 2 ) 1

(x ²   (x² x2 1利用乘法公式變成^(x1)2)

2 1 ) 1

(x ²   3 ) 1 (x ² 

至此，方程式便與例題 7.3-1(3)相同，可以繼續用例題 7.3-1(3) 的計算方法找出 解。

像這種利用配成完全平方式，將一元二次方程式變成^{(xa)2 b}的形式，再使用平方 根的概念來求解的方法，稱為配方法。

在正式使用配方法求解以前，我們需要先熟悉如何配出完全平方式。

(4) ^{x  x}

5

2 6 □

25 9 5

2  x6 

x (^(₅^{62)2 (}₅^{3)2 } ₂₅⁹ ，□填入

25 9 )

＝ ⁾²

5 (x3

【練習】7.3-2

分別將適當的數填入□中，使該式子可以配成一個完全平方式，並將它寫成完全平 方的形式。

(1) x² x2 □ (2) x² 14x□ (3) x² x5 □ (4) ^{x2  x}₇^{4 }□

熟悉了如何配出完全平方式後，接下來我們就可以正式用配方法來求解。

例題 7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x4 60 (2)x²  x2 90

(3) x²  x3 50 (4)x²  x30

詳解：

(1) x²  x4 60 6

2 x4 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2  x4 (2) 6(2)

x (等號兩邊都加(－2)²)

10 ) 2

(x ²  (配成完全平方式)

10 2 x

10 2

 x

(2) x²  x2 90

2

【練習】7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x6 90 (2)x²  x4 70

(3) x² x40 (4)x²  x5 80

例題 7.3-4 (二次項係數不為 1) 求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 6x60 (2)2x²  x4 50

(3) 3x² x5 20 (4)4x² 5x10

詳解：

若二次項係數不為1，可先利用等量公理，乘上二次項係數的倒數，將二次項係 數化為1。

(1) x² 6x60

) 1 ( 0 ) 1 ( ) 6 6

(x² x      (等號左右都乘以(－1)，二次項係數化為 1)

0 6

2 x6   x

6

2 x6 

x (將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x6 3 (6)3

x (等號兩邊都加 3²)

3 ) 3

(x ²  (配成完全平方式)

3 3

 x

3 3

 x

(2) 2x²  x4 50

2 0 1 2 ) 1 5 4 2

( x² x    (等號左右都乘以¹₂ ，二次項係數化為1)

2 0

(4) 4x² 5x10

將x3 3代入x²6x6，看看是否會等於0。

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3

(  ²    



6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 6 9

(      





6 3 6 18 3 6

12   





) 3 6 3 6 ( ) 6 18 12

(     



0

因此^{x3 3}是x² 6x60的解。

由以上驗算可知，x3 3是x² 6x60的解。

同學可以驗算看看其他題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²7x30 (2)2x²  x6 70

(3) 5x²  x7 20 (4)3x² 9x20

例題 7.3-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x2 4830 (2)x²  x6 3910

(3) x² 12x2530 (4)x² 24x6970

詳解：

(1) x²  x2 4830 483

2 x2 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x2 (1) 483(1)

x (等號兩邊都加^(1)2)

484 )

1

(x ²  (配成完全平方式)

484 1 x

22 1

 x

22 1

 x

23

x 、

 21

(2) x²  x6 3910 391

2  x6 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x6 (3) 391(3)

x (等號兩邊都加^(3)2)

400 )

3

(x ²  (配成完全平方式)

400 3 x

20 3

 x

20 3

 x

23

x 、^17

(3) x²12x2530 253

2 12x

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 12x(6) 253(6)

x (等號兩邊都加^(1)2)

289 )

6

(x ²  (配成完全平方式)

289 6

 x

17 6

 x

17 6

 x

23

x 、

 11

(4) x² 24x6970 697

224x

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 24x(12) 697(12)

x (等號兩邊都加^(12)2)

841 )

12

(x ²  (配成完全平方式)

841 12 x

29 12

 x

29 12

 x

41

x 、^17

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x2 2550 (2)x²  x6 2160

(3) x²  x4 2210 (4)x²  x8 3450

例題 7.3-6

若^{x2 x4 160}，則^(x2)2之值為何？

詳解：

由題目知 x² x4 160 16

2  x4 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2 x4 (2) 16(2)

x (等號兩邊都加^(2)2)

20 ) 2

(x ²  (配成完全平方式) 可知^(x2)2之值為20。

【練習】7.3-6

若^{x2 x6 200}，則^(x3)2之值為何？

例題 7.3-7

若方程式^{x2 12x p0}可配方成^{(x6)2 30}的形式，則p 的值是多少？

詳解：

將^{(x6)2 30}化成^{x2 12x p0}的形式 由題目知 ^{(x6)2 30}

30 36

2  x12   x

0 30 36

2  x12   

x

0 6

2  x12   x

可知p 之值為 6。

【練習】7.3-7

若方程式^{x2 14x p0}可配方成^{(x7)2 30}的形式，則p 的值是多少？

例題 7.3-8

已知^{x2 10xa(xb)2}，求a、b 之值。

詳解：

＝ ^{x210x(5)2a(5)2}

＝ ^{(x5)2 (a25)}

與^(xb)2對照，可知^b5，^a250→^a25。

【練習】7.3-8

已知^{x2 16xa(xb)2}，求a、b 之值。

例題 7.3-9

若方程式^{x22xp0}可利用配方法寫成^{(x q)2 5}，試求p 之值。

詳解：

0

22xp x

2 2

2 2x(1) p(1) x

1 )

1

(x ² p

與^{(x q)2 5}對照，可知^{q 1}，^{ p15}→ ^p4。

【練習】7.3-9

若方程式^{x28x p0}可利用配方法寫成^{(x q)2 8}，試求p 之值。

7.3 節 習題

習題 7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 25 (2)4x² 4

(3) ^{(x2)2 5}

習題 7.3-2

分別將適當的數填入□中，使該式子可以配成一個完全平方式，並將它寫成完全 平方的形式。

(1) x²  x6 □ (2) x²  x8 □ (3) x²  x3 □ (4) ^{x  x}

5

2 2 □

習題 7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 10x20 (2)x² x2 50

(3) x²  x7 10 (4)x²  x10

習題 7.3-4 (二次項係數不為 1)

(1) x²5x30 (2)4x² x8 60

(3) 2x² x5 30 (4)3x²  x15 140

習題 7.3-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 28x1870 (2)x² x2 1950

(3) x²  x2 3230 (4)x² 10x3750

習題 7.3-6

若x²10x150，則^(x5)2之值為何？

習題 7.3-7

若方程式^{x28x p0}可配方成^{(x4)2 28}的形式，則p 的值是多少？

習題 7.3-8

已知^{x2 4xa(xb)2}，求a、b 之值。

習題 7.3-9

若方程式^{x26xp0}可利用配方法寫成^{(x q)2 6}，試求p 之值。

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