節 一元二次方程式的應用題與綜合題

7.5 節 一元二次方程式的應用題與綜合題

在前三節，我們學習了利用因式分解、配方法與公式解找出二元一次方程式的解，本 節我們將應用這些學到的方法，來處理應用問題。

利用因式分解求解：

將方程式因式分解成(axb)(cxd)0的形式，則解為 a x 、b

c

d。(a c0, 0)

利用配方法求解：

將方程式配方成(xa)² b的形式，則解為xa b。(

b  0

) 利用公式求解：

方程式ax²bxc0，其解為

a

ac b

x b

2

2 4



 。(a0,b² 4ac0)

7-56

之前在例題 7.1-1，我們只有在情境中列式，現在可以試著求出未知數之值了。

例題 7.5-1

試求下列各情境中的x 之值。

(1)某三角形的底為(x1)公分，高為

3 x

公分，面積為 30 平方公分。

(2)小華買了(2x3)枝原子筆，每枝原子筆售價都是 x 元，小華共花了65 元。

(3)(x2)與(x3)兩數的乘積為6。

詳解：

(1)三角形的面積等於底×高×

2 1。

列成方程式為 30

2 3 1 ) 1

(x  x 

30

2 ) 1 3 3

( x²  x  

2 30 2

2 ) 1 3 3

( x²  x     (等量公理，等號左右同乘以2) 3x²  x3 60

3x²  x3 600 x²  x200

(x5)(x4)0 (利用十字交乘)

x  4

、

x   5

(長度不可為負數，－5 不合) 得

x  4

。

(2)總價等於單價×枝數。

列成方程式為 (2x3)x65 2x²  x3 65 2x²  x3 650

(2x13)(x5)0 (利用十字交乘)

x  5

、

2

13



x (枝數與價格不可為負數，

2

13不合) 得

x  5

。

7-57

7-58

例題 7.5-3

如圖 7.5-1，某正方形，若將其一邊長度 減少 2 公分，另一邊長度變為 2 倍，則所 得新長方形面積比原正方形面積多 32 平 方公分，試求原正方形邊長。

圖 7.5-1

詳解：

令原正方形邊長為x 公分，則其面積為 x²平方公分。

新長方形邊長為(x2)公分與

2 x

公分，面積為2x(x2)平方公分。

新長方形面積比原正方形面積多 32 平方公分 列成方程式為 2x(x2)x² 32

2x² 4xx² 32 x²  x4 320

(x8)(x4)0

x  8

、 4 (邊長不可為負， 4 不合) 得原正方形邊長為 8 公分。

7-59

例題 7.5-4

如圖 7.5-2，有三角形 ABC，其中 B 為直角。

已知AB x4、BC6、CA x2 2，

且直角三角形邊長有AB² BC² CA²的關係，

試求三角形 ABC 之面積。 圖 7.5-2

詳解：

根據AB² BC² CA²

可列式 (x4)² (6)² (2x2)² x² 8x16364x² 8x4 x² 4x²8x8x163640  x3 ² 480

x² 160

(x4)(x4)0 (利用平方差公式)

x  4

、

x   4

(長度不可為負，故－4 不合) 8

4 4 4  



 x AB

三角形 ABC 之面積＝ 24

2 6 1 2 8

1   



 BC AB

得三角形 ABC 面積為 24 平方單位。

例題 7.5-5

如圖 7.5-3，有一張長方形紙片，其長比 寬多8 公分。在紙片中間剪去了一塊小 長方形，使剩餘紙片的四周寬度均為4 公 分。若原長方形紙片之長為x 公分，試

回答下列問題： 單位：公分

(1)原長方形的面積為何？(以x 表示) 圖 7.5-3 (2)剪去的小長方形面積為何？(以 x 表示)

(3)剪去小長方形後，剩餘的紙片面積為何？(以x 表示)

(4)若剩餘紙片的面積，比剪去的小長方形紙片面積多 128 平方公分，試求 原長方形紙片之長。

7-60

7-61

7-62

例題 7.5-7

如圖 7.5-5，有一長方形，長邊長度為x 公尺，

短邊長度為 1 公尺。若從長方形邊緣切掉一塊 邊長 1 公尺的正方形後，可使剩下的長方形長 短邊比與原長方形長短邊比相等，試求x 之值。

圖 7.5-5

詳解：

剩下的長方形長短邊比為1:(x1) 原長方形長短邊比為

x : 1

剩下的長方形長短邊比與原長方形長短邊比相等：

1:(x1)x:1 x x 



1 ( 1)

1 (外項乘積等於內項乘積)

x x 

 ² 1

0

2  x1 x

2

) 1 ( 1 4 1 ) 1

(  ²    

 

x 2

1 5

 (長度不可為負，負不合) 原長方形長邊長度為

2 1 5

公尺， 2

1 5



x 。

在例題 7.5-6 與 7.5-7 中，都出現了 2 1 5

的比值，這個數被稱為黃金比例或黃金分割。

黃金比例構成的圖形被認為是美麗的圖形，現今也有許多藝術品、建築物、電子產品 等應用了黃金比例。

7-63

圖 7.5-6

圖 7.5-6 是將例題 7.5-7 中的長方形繼續用黃金比例分割，再利用分割出來的點畫一條 螺旋形的線。自然界中，舉凡海螺的形狀、衛星雲圖中的颱風圖、蜘蛛網的形狀都與 這種螺旋線相當相似。

2 1 5

的數值大約是 1.618，一個有趣的地方是，1.618 的倒數再加上 1，大約也是 1.618。

618 . 1

1 ≒0.618

0 . 618  1  1 . 618

7-64

例題 7.5-8

如圖 7.5-6，有一長 250 公分的梯子靠在牆上，若牆腳到梯頂的距 離比牆腳到梯腳的距離多 50 公分，試求牆腳到梯腳的距離。

(牆與地面垂直，直角三角形斜邊平方等於兩股平方和)

圖 7.5-6 詳解：

令牆腳到梯腳的距離為 x 公分，則牆腳到梯頂的距離為(x50)公分。

牆與地面垂直，因此可將梯子與牆面、地面所構成圖形視為直角三角形，斜邊長 為 250 公分，兩股長分別為 x 公分與(x50)公分，如圖 7.5-7。

直角三角形斜邊平方等於兩股平方和，可列式：

2 2

2 ( 50)

250 x  x

2500 100

62500x² x² x 2500 100

2

62500 x²  x 0 60000 100

2x²  x  0 30000

2  x50  

x

0 ) 200 )(

150

(x x 

 150

x

、－200 (長度不可為負，負不合) 圖 7.5-7

得牆腳到到梯腳的距離為150 公分。

7-65

例題 7.5-9

一袋蕃茄分給x 人，每人分得(x1)顆蕃茄且沒有剩下，若一袋蕃茄有72 顆，請 問每人分得多少顆蕃茄？

詳解：

蕃茄總數等於人數×每人分得的顆數。

列成方程式為 72 xx( 1) 72x² x x²  x720 (x8)(x9)0

x  8

、

x   9

(人數不可為負數，－9 不合) 得

x  8

。

每人分得顆數為

x  1  8  1  9

答：每人分得9 顆蕃茄。

例題 7.5-10

一袋蕃茄分給x 人，每人分得(x1)顆蕃茄且沒有剩下。若改為分給7 人，則每人 分得(x5)顆，剩下5 顆，請問這袋蕃茄共有幾顆？

詳解：

蕃茄總數等於人數×每人分得的顆數。

分給x 人，每人分得(x1)顆蕃茄且沒有剩下→蕃茄總數 xx( 1) 分給7 人，每人分得(x5)顆，剩下5 顆→蕃茄總數 x7( 5)5

列成方程式為 x(x1)7(x5)5 (等號兩邊都代表蕃茄總數，故相等) x² x7x40

x² x7x400 x²  x6 400

(x10)(x4)0

x  10

、

x   4

(人數不可為負數，－4 不合) 得

x  10

。

蕃茄總數為7(x5)57(105)5110 答：這袋蕃茄共有110 顆。

7-66

例題 7.5-11

某遊樂園，基本門票價格為每人200 元。現在放出團體票優惠，若一次買超過 20 張門票，則每增加1 張，每張門票減 5 元。例如買 22 張門票，則每張門票為 190 元。若現在小明買門票共花4455 元，請問小明共買了幾張門票？

詳解：

我們先看看小明買的門票是否有超過 20 張。

若買20 張，則總價為

200  20  4000

，

4000  4455

，可知小明買的門票超過 20 張。

設小明買的門票比20 張又多出 x 張，也就是(20 張。則門票單價為x) (2005x)元。

總價＝門票數門票單價 ) 5 200 )(

20 (

4455 x  x 5 2

100 4000

4455  x x 0 455 100

5x²  x  0 91

2  x20   x

0 ) 7 )(

13

(x x  ，得

x  13

或

x  7

因此小明可能買了 33 張或 27 張門票。

我們來驗算看看：

 13

x

，則門票共33 張，單價為 135 元，總價為

33  135  4455

，符合題意。

 7

x

，則門票共27 張，單價為 165 元，總價為

27  165  4455

，符合題意。

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例題 7.5-14

一元二次方程式(axb)(cxd)0的解為－2 和 3，其中

a  0

、

c  0

，且 0 a

b 、

0 c

d ，試求

c d

ab  之值。

詳解：

0 ) )(

(axb cxd  的解為－2 和 3

a

、

b

、

c

、

d 的關係為下列兩種情形之一：

(1) a(2)b0 或 c(3)d 0 (2) a(3)b0 或 c(2)d 0 情形(1)：

0 )

2

(  

 b

a →

 2 a  b  0

→

b 2  a

→ 2 a

b

與題目 0 a

b 矛盾，可知正確的情形應為(2) 情形(2)：

0 )

3 (  

 b

a →

3 a  b  0

→

b   3 a

→ 3 a

b

0 )

2

(  

 d

c →

 2 c  d  0

→

d 2  c

→ 2 c

d

1 2 3 





 c d a b

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7-70

7.5 節 習題

習題 7.5-1

試求下列各情境中的x 之值。

(1)某長方形的長為(2x5)公分，寬為

2 x

公分，面積為 36 平方公分。

(2)小美買了(2x3)顆蘋果，每顆蘋果售價都是 x 元，小美共花了 35 元。

(3)(x1)與(x2)兩數的乘積為 10。

習題 7.5-2

有一三角形，底為(5x3)公分，高為(x7)公分，面積為 90 平方公分，試求其底。

習題 7.5-3

如右圖，某長方形，其長為寬的 3 倍多 1 公分，若將其寬度 變為 2 倍，長度減少 4 公分，則得新正方形，面積比原長方

形面積多 6 平方公分，試求原長方形的寬。

習題 7.5-4

如右圖，有三角形 ABC，其中 B 為直角。已知AB x1、

3

BC 、CA x2，且直角三角形邊長有AB² BC² CA² 的關係，試求三角形 ABC 之周長。

7-71

習題 7.5-5

如右圖，有一張長方形紙片，其長比寬多 4 公分。

在紙片中間剪去了一塊小長方形，使剩餘紙片的四 周寬度均為 2 公分。若原長方形紙片之長為x 公分，

試回答下列問題：

(1)原長方形的面積為何？(以x 表示) (2)剪去的小長方形面積為何？(以 x 表示)

(3)剪去小長方形後，剩餘的紙片面積為何？(以x 表示)

(4)若剩餘紙片的面積，比剪去的小長方形紙片面積多 36 平方公分，試求 原長方形紙片之長。

習題 7.5-6

若將一正方形的一邊減少 2 公分，另一邊變成原來的 3 倍，則所得新長方形的面 積比原正方形的面積多 20 平方公分，求原正方形的邊長是多少公分？

習題 7.5-7

如右圖，有一長 260 公分的梯子靠在牆上，若牆腳到梯頂的距 離比牆腳到梯腳的距離多 140 公分，試求牆腳到梯腳的距離。

(牆與地面垂直，直角三角形斜邊平方等於兩股平方和)

7-72

習題 7.5-8

端午節媽媽包了若干顆粽子，每 x 顆綁成一捆，恰可綁成

3 x

捆，若吃掉 4 捆後，

還剩粽子 32 顆，請問媽媽總共包了幾顆粽子？

習題 7.5-9

一袋糖果分給 x 人，每人分得(5x2)顆糖果且沒有剩下。若改為分給 10 人，則每 人分得(x2)顆，剩下 1 顆，請問這袋糖果共有幾顆？

習題 7.5-10

某游泳班預定招生 20 人，每人收費 300 元，但人數若少於 20 人，每減少 1 人，

則每人要加收 10 元。已知該游泳班共收到 5040 元，請問共有多少人參加？

習題 7.5-11

已知三個連續整數的平方和為 77，試求此三個連續整數。

習題 7.5-12

若某一元二次方程式x² bxc0的兩根為 3 和

 5

，試求b

、

c 之值。

7-73

例題 7.5-13

若(x5)(x4)(x3)(x2)360，試求x 7² x？

7-74

在文檔中 代數第七章 目錄 (頁 57-76)