節 用配方法解一元二次方程式

在多項式章節中，我們已經學過根號。如 9  、3 25 。 5 我們也知道3²  ，9 5² 25。

那麼今天若是想解一個一元二次方程式 x² 9，會有什麼答案呢？

因為3²  ，所以9

x  3

是一個解。

但再仔細觀察，會發現因為(3)² 9，所以

x   3

也是一個解，。

也就是說x² 9的解有 3 和－3。而 3 和－3 也稱為 9 的平方根。

用文字來表示，一元二次方程式 x² a(

a  0

)的解即為 a 與 a，也可寫為 a。

例題 7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 16 (2)3x² 12 (3) (x1)² 3

詳解：

(1) x² 16

 4



x

( 16  ) 4 (2) 3x² 12

3 12 3

3x²   

2 4 x

 2



x

( 4  ) 2

(3) (x1)² 3 3 1

 x

1 3

 x

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

7-23

【練習】7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 81 (2)2x² 32 (3) (x3)² 7

在前面的例題 7.3-1(3)中，我們可以想成是利用完全平方式來找出解。

完全平方式：對於一多項式 A，若能找到另一多項式 B 使得 AB²，則稱 A 為完 全平方式。例如多項式x²  x2 1可以寫成(x1)²，因此x²  x2 1是完全平方式。

若我們想解一元二次方程式 x²  x2 20，因為 x²  x2 2沒辦法用因式分解，因 此可試著利用乘法公式湊出完全平方式，形成例題 7.3-1(3)的形式後再找出解。

0 2

2  x2  

x (觀察前兩項x²2x，可以發現若是加上 1，

就能變成完全平方式x²  x2 1，即(x1)²) 1

0 2 1

2  x2    

x (等號左右兩邊都加上 1)

1 2 ) 1

(x ²   (x²  x2 1利用乘法公式變成(x1)²) 2

1 ) 1

(x ²   3 ) 1 (x ² 

至此，方程式便與例題 7.3-1(3)相同，可以繼續用例題 7.3-1(3) 的計算方法找出解。

像這種利用配成完全平方式，將一元二次方程式變成(xa)² b的形式，再使用 平方根的概念來求解的方法，稱為配方法。

7-24

7-25

(4) x  x 5

2 6

□ 25

9 5

2  x6 

x (

25 ) 9 5 ( 3 ) 5 2

(6 ²   ²  ，□填入 25

9 )

＝ )² 5 (x3

【練習】7.3-2

分別將適當的數填入□中，使該式子可以配成一個完全平方式，並將它寫成完全 平方的形式。

(1) x²  x2 □ (2) x²  x14 □ (3) x²  x5 □ (4) x  x

7

2 4

□

熟悉了如何配出完全平方式後，接下來我們就可以正式用配方法來求解。

例題 7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x4 60 (2)x²  x2 90 (3) x²  x3 50 (4)x²  x30 詳解：

(1) x²  x4 60 6

2  x4 

x (先將常數項移到等號右邊)

2 2

2  x4 (2) 6(2)

x (等號兩邊都加(－2)²)

10 ) 2

(x ²  (配成完全平方式) 10

2



x

10 2

 x

7-26

7-27

【練習】7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x6 90 (2)x²  x4 70 (3) x²  x40 (4)x²  x5 80

例題 7.3-4 (二次項係數不為 1) 求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 6x60 (2)2x²  x4 50 (3) 3x²  x5 20 (4)4x² 5x10 詳解：

若二次項係數不為 1，可先利用等量公理，乘上二次項係數的倒數，將二次項係數 化為 1。

(1) x² 6x60

) 1 ( 0 ) 1 ( ) 6 6

(x² x      (等號左右都乘以(－1)，二次項係數化為 1) 0

6

2  x6   x

6

2  x6 

x (將常數項移到等號右邊)

2 2

2  x6 3 (6)3

x (等號兩邊都加3²)

3 ) 3

(x ²  (配成完全平方式)

3 3

 x

3 3



 x

7-28

7-29

7-30

將x3 3代入x² 6x6，看看是否會等於 0。

6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3

(  ²    



6 ) 3 3 ( 6 ) 3 3 6 9

(      





6 3 6 18 3 6

12   





) 3 6 3 6 ( ) 6 18 12

(     



 0

因此x3 3是x² 6x60的解。

由以上驗算可知，x3 3是x² 6x60的解。

同學可以驗算看看其他題的解是否能使等式成立。

【練習】7.3-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 7x30 (2)2x²  x6 70 (3) 5x²  x7 20 (4)3x² 9x20

7-31

7-32

7-33

例題 7.3-6

若x²  x4 160，則(x2)²之值為何？

詳解：

由題目知 x²  x4 160

x²  x4 16 (先將常數項移到等號右邊) x²  x4 (2)² 16(2)² (等號兩邊都加(2)²) (x2)² 20 (配成完全平方式) 可知(x2)²之值為 20。

【練習】7.3-6

若x²  x6 200，則(x3)²之值為何？

例題 7.3-7

若方程式x² 12xp0可配方成(x6)² 30的形式，則 p 的值是多少？

詳解：

將(x6)² 30化成x² 12x p0的形式 由題目知 (x6)² 30

x²  x12 3630 x²  x12 36300 x²  x12 60 可知p 之值為 6。

【練習】7.3-7

若方程式x² 14xp0可配方成(x7)² 30的形式，則p 的值是多少？

7-34

例題 7.3-8

已知x² 10xa(xb)²，求 a、b 之值。

詳解：

a x

x² 10 

＝ x² 10x(5)² a(5)²

＝ (x5)² (a25)

與(xb)²對照，可知

b  5

，

a  25  0

→

a  25

。

【練習】7.3-8

已知x² 16xa(xb)²，求a、b 之值。

例題 7.3-9

若方程式x² 2xp0可利用配方法寫成(x q)² 5，試求p 之值。

詳解：

0

2 2x p

x

2 2

2 2x(1) p(1) x

1 )

1

(x ² p

與(x q)² 5對照，可知q1， p15→ p4。

【練習】7.3-9

若方程式x² 8x p0可利用配方法寫成(x q)² 8，試求 p 之值。

7-35

7.3 節 習題

習題 7.3-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 25 (2)4x² 4 (3) (x2)² 5

習題 7.3-2

分別將適當的數填入□中，使該式子可以配成一個完全平方式，並將它寫成完全 平方的形式。

(1) x²  x6 □ (2) x²  x8 □ (3) x²  x3 □ (4) x  x

5

2 2

□

習題 7.3-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x10 20 (2)x²  x2 50 (3) x²  x7 10 (4)x²  x10

7-36

習題 7.3-4 (二次項係數不為 1) 求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 5x30 (2)4x²  x8 60 (3) 2x²  x5 30 (4)3x² x15 140

習題 7.3-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x28 1870 (2)x²  x2 1950 (3) x²  x2 3230 (4)x²  x10 3750

習題 7.3-6

若x²  x10 150，則(x5)²之值為何？

習題 7.3-7

若方程式x² 8x p0可配方成(x4)² 28的形式，則 p 的值是多少？

7-37

習題 7.3-8

已知x² 4xa(xb)²，求 a、b 之值。

習題 7.3-9

若方程式x² 6x p0可利用配方法寫成(x q)² 6，試求 p 之值。

7-38

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