節 用因式分解解一元二次方程式

在前一節中我們學習了如何找(x2)(x3)0這種已拆成兩式相乘的一元二次方程式 的解。那未拆成兩式相乘，如x²  x3 100這種形式的方程式又該如何處理呢？

過去章節中，我們曾學過因式分解，也就是能夠將x²  x3 10化成(x5)(x2)。 將x²  x3 100轉變成(x5)(x2)0，我們就能輕鬆的找到解為

x  5

、－2 了。

本節中我們將學習利用因式分解來找一元二次方程式的解。

首先來學習直接提出公因式的題型。

例題 7.2-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x0 (2)x² 5x 詳解：

(1) x²  x0 0 ) 1 (x 

x (直接提出x)

 0

x

、1

(2) x² 5x 0

2  x5 

x

0 ) 5 (x 

x (直接提出x)

 0

x

、5

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-1

求下列一元二次方程式的解。

(1) 3x(x5)0 (2)(x4)(x2)0

7-11

例題 7.2-2

求下列一元二次方程式的解。

(1) x(x2)2(x2)0 (2)(x2)(x3)6(x3) 詳解：

(1) x(x2)2(x2)0 0

) 2 )(

2

(x x  (直接提出

x  2

)

 2



x

、2

(2) (x2)(x3)6(x3) 0 ) 3 ( 6 ) 3 )(

2

(x x  x  0 ) 6 2 )(

3

(x x   (直接提出

x  3

) 0

) 8 )(

3

(x x 

 3

x

、－8

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-2

求下列一元二次方程式的解。

(1) x(x5)4(x5)0 (2)(x5)(x1)3(x1)

7-12

接下來，我們練習需要利用乘法公式來因式分解的題目。

例題 7.2-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 90 (2)4x²  x( 2)² 詳解：

(1) x² 90 0 3²

2  

x

0 ) 3 )(

3

(x x  (利用平方差公式)

 3



x

、3

(2) 4x²  x( 2)² 0 ) 2 (

4x²  x ²  0 ) 2 ( ) 2

( x ²  x ² 

0 )) 2 ( 2 ))(

2 ( 2

( x x x x  (利用平方差公式) 0

) 2 )(

2 3

( x x  3

 2

x 、－2

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) 4x² 360 (2)9x²  x( 4)²

7-13

例題 7.2-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x2 10 (2)x²  x6 90 詳解：

(1) x²  x2 10 0 ) 1

(x ²  (利用和的平方公式)

 1



x

(重根) (2) x²  x6 90

0 ) 3

(x ²  (利用差的平方公式)

 3

x

(重根)

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x4 40 (2)x²  x10 250

7-14

除了用直接提出公因式與乘法公式做因式分解外，我們還學過用十字交乘法做因式分 解。

例題 7.2-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x6 50 (2)x²  x60 詳解：

(1) x²  x6 50 0 ) 1 )(

5

(x x  (利用十字交乘)

 5



x

、 1 (2) x²  x60

0 ) 2 )(

3

(x x  (利用十字交乘)

 3



x

、2

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x6 80 (2)x²  x6 70

7-15

以上是利用因式分解解一元二次方程式的基本題目，接下來讓我們練習一些運算較多 變化的題型。

例題 7.2-6 (先移項再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 2x²  x11 21 (2)(x6)(x5)24 詳解：

(1) 2x²  x11 21 0 21 11

2x²  x  0 ) 7 )(

3 2

( x x  (利用十字交乘) 2

3



x 、

7

(2) (x6)(x5)24 24

2  x30

x

0 24

2  x30 

x

0

2  x6

x

0 ) 2 )(

3

(x x  (利用十字交乘)

 3



x

、2

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-6

求下列一元二次方程式的解。

(1) 3x²  x2 8 (2)(x4)(x3)30

7-16

7-17

例題 7.2-8 (係數為文字)

求下列一元二次方程式的解。(各題中a

、

b

、

c 皆不為 0) (1) ax² (ab1)xb0 (2) x² 2axa² 0 (3) x² (ab)xab0 (4) abx² (abc)xc0 詳解：

(1) ax² (ab1)xb0 a 1 0

) )(

1

(ax xb  (利用十字交乘) a b x a1



 、

 b

1 b

(ab11)x(ab1)x (2) x² 2axa² 0 1 a

0 )

(x a ²  (利用乘法公式或十字交乘) 1 a² a

x (重根) 1 a

(1aa1)x2ax (3) x² (ab)xab0 1 a

0 ) )(

(xa xb  (十字交乘) 1 ab a

x 、－b 1 b

(1ba1)x(ab)x (4) abx² (abc)xc0 ab c

0 ) 1 )(

(abxc x  (利用十字交乘) ab c ab

x c 、-1 1 1

(ab1c1)x(abc)x

7-18

驗算：

(1) 將

x a1



 代入ax² (ab1)xb： a b

a ab

a    1) )(

1 ( 1)

( ²

a b a b   

 1)

( ) 1 (

b a b

a   

 1 1 ( )

 0

可確認

xa1為方程式ax² (ab1)xb0的解。

將

x   b

代入ax² (ab1)xb： b

b ab

b

a( )² ( 1)( ) b b ab

ab     

 ² ( ²) ( )

 0

可確認

x   b

為方程式ax² (ab1)xb0的解。

(2) 將xa代入x² 2axa²：

2

2 2 ( )

)

(a  a a a

2 2

2 2a a

a  



 0

可確認xa為方程式x²2axa² 0的解。

同學可以驗算看看(3)、(4)題的解是否能使等式成立。

【練習】7.2-8

求下列一元二次方程式的解。(各題中a

、

b

、

c 皆不為 0) (1) x² 2bxb² 0 (2)abx² (acb)xc0

7-19

例題 7.2-9

解一元二次方程式x² (x2)(x1)4(x2)² 詳解：

本題可以活用之前學過的因式分解來計算

2 2 (x2)(x1)4(x2)

x

2

2 4) ( 2)( 1) ( 2)

(x   x x  x (將－4 與 x²湊成一組) 0

) 2 ( ) 1 )(

2 ( ) 2 )(

2

(x x  x x  x ²  (利用平方差公式) 0

)]

2 ( ) 1 ( ) 2 )[(

2

(x x  x  x  (提出(x2)) 0

] 2 1

2 )[

2

(x x x x  0

) 3 )(

2

(x x 

 2



x

、

3

同學可以驗算看看此解是否能使等式成立。

【練習】7.2-9

解一元二次方程式x² (x3)(x2)9(x3)²

7-20

7.2 節 習題

習題 7.2-1

求下列一元二次方程式的解。

(1)x²  x8 0 (2)x² 3x

習題 7.2-2

求下列一元二次方程式的解。

(1)x(4x5)6(4x5)0 (2)(x5)(2x7)3(x5)

習題 7.2-3

求下列一元二次方程式的解。

(1) x² 250 (2)16x²  x( 3)²

習題 7.2-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x8 160 (2)x²  x12 360

7-21

習題 7.2-5

求下列一元二次方程式的解。

(1) x²  x5 60 (2)x²  x2 30

習題 7.2-6 (先移項再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 3x²  x13 4 (2)(x3)(x1)8

習題 7.2-7 (先整理係數再因式分解) 求下列一元二次方程式的解。

(1) 1 0

3 2 9

1 ₂





 x

x (2) 1 0

16 1 ₂



 x

習題 7.2-8 (係數為文字)

求下列一元二次方程式的解。(各題中a

、

b

、

c 皆不為 0) (1) x² (ab)xab0 (2) a²x²  ax2 10

習題 7.2-9

解一元二次方程式x² (x2)(x4)16(x4)²

7-22

在文檔中 代數第七章 目錄 (頁 12-24)