節 認識一元二次方程式

前面的章節中，我們學過了一元一次方程式、二元一次方程式：

一元一次方程式是指只有 1 個未知數(一元)，未知數最高次數為 1(一次)的方程式，

如

2 x  7  0

。

二元一次方程式是指只有 2 個未知數(二元)，未知數最高次數為 1(一次)的方程式，

如2x y3 70。

同樣地，一元二次方程式就是只有 1 個未知數(一元)，未知數最高次數為 2(二次)的方 程式，如x²  x4 40、(x3)(x4)0

我們先來看看什麼樣的場合會用到一元二次方程式。

例題 7.1-1

請依下列敘述列出一元二次方程式：

(1)某三角形的底為(x1)公分，高為

3 x

公分，面積為 30 平方公分。

(2)小華買了(2x3)枝原子筆，每枝原子筆售價都是 x 元，小華共花了65 元。

(3)(x2)與(x3)兩數的乘積為6。

詳解：

(1)三角形的面積等於底×高×

2 1。

列成方程式為 30

2 3 1 ) 1

(x  x 

繼續化簡 30

2 ) 1 3 3

( x²  x  

2 30 2

2 ) 1 3 3

( x²  x     (等量公理，等號左右同乘以2) 3x²  x3 60

x²  x200

7-3

(2)總價等於單價×枝數。

列成方程式為 x x(2 3)65 繼續化簡 2x²  x3 65 2x²  x3 650 (3)列成方程式為 (x2)(x3)6 繼續化簡 x²  x66 x²  x120

由例題 7.7-1 可知，生活中有很多情境是可以列成一元二次方程式的。

接著我們再來看看什麼是一元二次方程式的解。

與一元一次方程式相同，只要將一個數代入方程式中的未知數，若能使等號的兩邊相 等，則稱此數為該一元二次方程式的解(或根)。

我們試試看－2、－1、0、1、2 這些數中有哪幾個是一元二次方程式x²  x20的解。

－2： (2)² (2)242240，等號不成立，－2 不是此方程式的解。

－1： (1)² (1)21120，等號成立，－1 是此方程式的解。

0： (0)² (0)200220，等號不成立，0 不是此方程式的解。

1： (1)² (1)211220，等號不成立，1 不是此方程式的解。

2： (2)² (2)24220，等號成立，2 是此方程式的解。

因此－1 與 2 都是一元二次方程式x²  x20的解。

7-4

例題 7.1-2

下列哪些敘述是正確的？

(1) 3 是x²  x2 30的解 (2) 4 是x² x4 40的解 詳解：

(1)將

x  3

代入x²  x2 30：(3)² 2(3)30 等式成立，因此3 是x²  x2 30的解。

(2)將

x  4

代入x²  x4 40：(4)² 4(4)440 等式不成立，因此4 不是x²  x4 40的解。

例題 7.1-3

若

_{x  2}

是一元二次方程式x² ax40的解，試求a 之值。

詳解：

 2

x

是一元二次方程式x² ax40的解，

也就是將

x  2

代入方程式，可使等式成立。

0

2  ax4 x

0 4 2

2²  a   (將

x  2

代入)

0

4 2

4  a   0 8 2 a  

8 2 a  

 4

 a

【練習】7.1-3

若

_{x   3}

是一元二次方程式x²  ax90的解，試求a 之值。

7-5

若是想找一元二次方程式的解，有一個性質我們必須熟悉：

若

a b  0

，則

a  0

或

b  0

我們來證明這個性質：

已知

a b  0

，我們想利用等量公理，將等式左右都乘以 a

1消去 a，但必須在

a  0

時

才能乘以a

1，故我們先看

a  0

的情形。

 0

b a

a b a

a 1

1 0







 (

a  0

，利用等量公理，將等式左右都乘以 a 1)

 0 b

即

a  0

時，可推得

b  0

。

另一個情形是

a  0

，

a  0

即為此性質的另一個結果。

由以上討論可知，若

a b  0

，則

a  0

或

b  0

。

利用這個性質，我們可以解一些一元二次方程式。

如要解(x x1)( 2)0，我們可以從方程式推得

x  1  0

或

x  2  0

。

0

1 



x

，即

x  1

；

x  2  0

，即

x  2

。 因此(x x1)( 2)0的解為

x  1

或

x  2

。

驗算：

x  1

時，(11)(12)0(1)0；

x  2

時，(21)(22)100。

7-6

例題 7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) x(x1)0 (2)(x2)(x3)0 (3) (2x x1)( 4)0 (4)(x2)² 0 詳解：

(1)由題目可知，

x  0

或

x  1  0

可使等式成立。

0 1 



x

→

x  1

解為

x  0

、1。

(2)由題目可知，

x  2  0

或

x  3  0

可使等式成立。

0 2 



x

→

x  2 0

3 



x

→

x   3

解為

x  2

、

 3

。

(3)由題目可知，

2 x  1  0

或

x  4  0

可使等式成立。

0 1

2 x  

→

2

1

 x

0

4 



x

→

x  4

解為 2

1



x 、 4 。 (4)(x2)² (x2)(x2)

兩個含x 的式子都相同，

x  2  0

時可使等式成立。

0 2 



x

→

x  2

解為

x  2

。

同學可以驗算看看各題的解是否能使等式成立。

在例題 7.1-4(4)中，若是依(1)～(3)的答案寫法，(4)的答案可寫成

x  2

、2。

像這種兩個解都相同的情形，我們稱為重根，也就是一個解重覆出現兩次。

7-7

【練習】7.1-4

求下列一元二次方程式的解。

(1) 2x(x7)0 (2)(x5)(x6)0 (3) (3x2)(x1)0 (4)(x3)² 0

例題 7.1-5

若

_{x  5}

是一元二次方程式(x2)(xa)0的解，試求 a 之值。

詳解：

一元二次方程式(x2)(xa)0，

x  2  0

或

x  a  0

時可使等式成立。

0 2 



x

→

x  2

 0

 a

x

→ x a

依題意，

x  5

是一個解，且

2  5

，因此

a  5

。

驗算：

a  5

代入方程式得(x2)(xa)0，此方程式解為 2、5，與題意符合。

【練習】7.1-5

若

_{x   3}

是一元二次方程式(x2)(xa)0的解，試求 a 之值。

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