節 二次函數及其圖形

在第八章中，我們已經學過一次函數 ^{f(x)axb}的函數圖形是一條直線。也簡單畫過

) 2

(x x f

y  的圖形是一條拋物線。本節我們將針對^{y f(x)x2}這類二次函數來做討論。

二次函數：形式為 ^{f(x)ax2bxc}，其中^a0。即變數x 最高次數為2，且x²項係數不 為0 的函數。

如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形，對於二次函數如 ^{f(x) x2}我們也可 以畫出函數圖形。

我們來畫畫看^{y f(x)x2}的圖形，先找出幾個符合的點：

x -3 -1 0 1 3

y 9 1 0 1 9

表9.1-1

將這些點描在直角座標上，並用直線連起來，如圖9.1-1。

圖9.1-1

於是我們得到了一個類似折線圖的圖形，但事實上這張圖只是^{y f(x)x2}的近似圖，

x

y

圖9.1-2

可以看出圖9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣，我們描的點越多，畫出來的圖形就會 越接近真正的 ^{f(x) x2}圖形。實際上， ^f(x)x2是如圖9.1-3 的拋物線。

^f(x)x2

x

x x

x

y

詳解：

令^{y f(x)2x2}，先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18

表9.1-2

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-2。

^{f(x)2x2} 圖9.1-4

y x

【練習】9.1-1

畫出二次函數 ^f(x)x2的圖形。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

由前面例題，我們已知道函數 ^{f(x) x2}與 ^{f(x)2x2}的函數圖形都是拋物線。事實上，

只要是二次函數，那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖 形時，相當於是討論拋物線的圖形。

接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質，先複習第四章曾學過的對 稱於y 軸：

若兩點對稱於y 軸，則兩點的 y 座標相同時，x 座標互為相反數。

再來觀察 ^f(x)x2的函數圖形，即^{y f(x)x2}。圖形右側的點^(1,1)、^(2,4)、^(3,9)，他們 對y 軸的對稱點^(1,1)、^(2,4)、^(3,9)，也都落在^{y x2}上。 事實上，所有^{y x2}上的 點^(h,k)，對y 軸的對稱點^(h,k)也都在^{y x2}上。此時我們稱y 軸(或直線^x0)是

x2

y 的對稱軸。即 ^{f(x) x2}的函數圖形，其對稱軸為y 軸。

^f(x)x2

圖9.1-5

x y

除了 ^{f(x) x2}以外，所有形式為 ^f(x)ax2的函數圖形，也都是以y 軸為對稱軸。

我們來證明^{y f(x)ax2}是以y 軸為對稱軸。已知點^(h,k)在^yax2上，若點^(h,k)也在

ax2

y 上(即 x 座標代入^h，可得y 座標為^k )，則可知^yax2以y 軸為對稱軸。

ax2

y

)2

( h a

y   (將 x 以^h代入)

ah2

y (^{(h)2 h2})

k

y (因為^(h,k)在^yax2上，所以k ah²，即ah² k) 由以上式子可知，當點^(h,k)在^yax2上時，點^(h,k)也在^yax2上，因此

) 2

(x ax f

y  的圖形是以y 軸作為對稱軸。我們也可以稱^f(x)ax2的函數圖形是對稱於 y 軸的線對稱圖形。

例題 9.1-2

(1)找出二次函數 ^f(x) ₂^1x2，其函數圖形的對稱軸。

(2)畫出 ^f(x) ₂^1x2的函數圖形。

詳解：

(1) ^f(x) ₂^1x2符合 ^f(x)ax2的形式，因此是以y 軸為對稱軸。

(2) ^{y f(x)}₂^1x2的圖形對稱於y 軸。我們只要畫出右側的圖形，再利用線對稱畫 出左側的圖形即可。

x 0 1 2 3

y 0

2

1 2

2 41

表9.1-3

圖9.1-6 圖9.1-6，先畫出 ²

2 1x

y  右半邊的圖形，接著再利用線對稱，畫出左半邊的圖形。

x y

^f(x) ₂^1x2

圖9.1-7 圖9.1-7 即為 ^f(x)1₂^x2的函數圖形。

【練習】9.1-2

利用對稱軸，畫出 ²

4 ) 1

(x x

f  的函數圖形。

x y

x y

否有什麼規則呢？我們多畫幾個圖形來看看。

開 口 向 上

2 2

) (x x

f  f(x)x^{2 2}

2 ) 1 (x x

f 

開 口 向 下

2 2

)

(x x

f  f(x)x^{2 2}

2 ) 1

(x x

f 

圖9.1-8

同學應該可以發現，對於二次函數 ^f(x)ax2，當^a0時，拋物線圖形開口向上；當

0

a 時，拋物線圖形開口向下。而且 ^a 越小，其開口越大。

另外在^a0時，拋物線有最低點；^a0時，拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點也 是拋物線與對稱軸的交點。

圖9.1-9

例題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向：

(1) ^f(x)3x2 (2) ^{f(x)8x2} (3) ^f(x)0.7x2 詳解：

(1)^30， ^f(x)3x2函數圖形開口向上。

(2)^80， ^{f(x)8x2}函數圖形開口向下。

(3)^0.70， ^f(x)0.7x2函數圖形開口向上。

【練習】9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向：

(1) ^{f (x)2x2} (2) ^f(x)₅₀^{1 x2} (3) ^{f(x)0.3x2}

瞭解了 ^f(x)ax2的函數圖形後，接著我們來看看形式為 ^{f(x)ax2k}的函數圖形。如

1 )

(x  x²

f ：

一樣先找出^{y f(x)x2 1}上的點

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 10 5 2 1 2 5 10

表9.1-4

然後描點畫出圖形： ^{f(x) x2 1}

圖9.1-10

圖9.1-10 即為^{y f(x)x2 1}的圖形，頂點為^(0,1)，對稱軸為x 0。 例題 9.1-4

畫出 ^{f(x)2x2 3}的函數圖形，並指出頂點。

x y

y -15 -5 1 3 1 -5 -15 表9.1-5

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-11。

頂點為^(0,3)。

^{f(x)2x2 3} 圖9.1-11

x y

【練習】9.1-4

畫出 ^{f(x) x 2 6}的函數圖形，並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

例題 9.1-5

畫出 ⁴

2 ) 1

(x  x² 

f 的函數圖形，並指出頂點。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 2

1 -2

2 31

 -4

2 31

 -2

2 1

表9.1-6

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-12。

頂點為^(0,4)。

⁴

2 ) 1

(x  x² f

圖9.1-12

x y

【練習】9.1-5

畫出 ⁷

2 ) 3

(x  x²

f 的函數圖形，並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

目前我們已經畫出了數個形式為 ^{f(x)ax2k}的函數圖形。若與 ^f(x)ax2比較，同學應 該可以發現：

ax2

y 圖形的頂點為^(0,0)。(例如^{y x2}圖形頂點為^(0,0))

k ax

y ² 圖形的頂點為^(0,k)。(例如^{y x1}₂ ^24圖形頂點為^(0,4))

ax2

y 與^yax2k的對稱軸都是^x0。

圖9.1-13

x y

接下來，讓我們討論形式為 ^{f(x)a(xh)2}的函數圖形，如 ^{f(x) x( 2)2}。 要畫出 ^{f(x) x( 2)2}的函數圖形，一樣先找出符合^{y f(x)(x2)2}的點。

x -1 0 1 2 3 4 5

y 9 4 1 0 1 4 9

表9.1-7 然後描點畫出圖形：

^{f(x) x( 2)2}

圖9.1-14

圖9.1-14 即為 ^{f(x) x( 2)2}的函數圖形，頂點為^(2,0)，對稱軸為x2。 例題 9.1-6

畫出 ^{f(x)2(x3)2}的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

2 x

x y

y 18 8 2 0 2 8 18 表9.1-8

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-15。

頂點為^(3,0)，對稱軸為x3。

^{f(x)2(x3)2}

圖9.1-15

【練習】9.1-6

畫出 ^{( 1)2}

2 ) 1

(x  x

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x y

x

例題 9.1-7

畫出 ^{( 4)2}

2 ) 3

(x  x

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y 2

131 6

2

11 0

2

11 6

2 131

表9.1-9

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-16。

頂點為^(4,0)，對稱軸為^{x4。 ( 4)2}

2 ) 3

(x  x f

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y

x y

我們畫出了數個形式為 ^{f(x)a(xh)2}的函數圖形。若與 ^f(x)ax2比較，同學應該可以 發現：

) 2

(x ax

f  的函數圖形頂點為^(0,0)。(例如 ^f(x)x2的函數圖形頂點為^(0,0))

)2

( )

(x a x h

f   的函數圖形頂點為^(h,0)。(例如 ^{f(x)2(x3)2}的函數圖形頂點為^(3,0))

) 2

(x ax

f  的函數圖形對稱軸是^x0， ^{f(x)a(xh)2}的函數圖形對稱軸是^xh。

圖9.1-17

ax2

y  ₂

) (x h a

y 

h h x 

0 x

x y

學習了二次函數 ^{f(x)ax2k}與 ^{f(x)a(xh)2}的函數圖形之後，接著我們要將這兩種函 數綜合起來，也就是形式為 ^{f(x)a(xh)2 k}。

我們來試著畫畫看^{y f(x)(x2)2 3}的圖形：

x -1 0 1 2 3 4 5

y 12 7 4 3 4 7 12

表9.1-10

^{f(x) x( 2)2 3}

圖9.1-18

3 ) 2 ( )

(x  x ²

f 的函數圖形頂點是^(2,3)，對稱軸是x2。

2 x

x y

例題 9.1-8

畫出 ^{f(x)4(x2)23}的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y 33 13 1 -3 1 13 33

表9.1-11

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-19。

頂點為^(2,3)，對稱軸為x2。

x y²



 x

【練習】9.1-8

畫出 ^{( 2) 1}

2 ) 1

(x  x ²

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

例題 9.1-9

畫出 ^{( 4) 2}

3 ) 1

(x  x ² 

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x 1 2 3 4 5 6 7

y 1

3 2

3

12 2

3 12

3

2 1

表9.1-12

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-20。

頂點為^(4,2)，對稱軸為x4。

^{( 4) 2}

3 ) 1

(x  x ²  f

圖9.1-20

x y

【練習】9.1-9

畫出 ^{( 2) 3}

4 ) 1

(x  x ²

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

我們已經畫了數個形式為 ^{f(x)a(xh)2k}的函數圖形，同學應該可以發現到：

1. 頂點為^(h,k)。 2. 對稱軸為^xh。

3. ^a0則開口向上；^a0則開口向下。

利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。

例題 9.1-10

求函數 ^{f(x)7(x5)2 16}其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

與 ^{f(x)a(xh)2k}對照，得^h5、^k16、^a70。 因此頂點為^(5,16)、對稱軸為^x5、開口向上。

【練習】9.1-10

求函數 ^{( 3) 13}

16 ) 1

(x  x ²

f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

例題 9.1-11

例題 9.1-12

例題 9.1-14

x y

例題 9.1-15

本 節 我 們 已 畫 了 ^f(x)ax2、 ^{f(x)ax2k}、 ^{f(x)a(xh)2}、 ^{f(x)a(xh)2k}、

接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件，求出二次函數：

例題 9.1-16

直角座標上，已知某二次函數的函數圖形頂點為^(1,1)，且通過點^(2,2)，試求此二 次函數。

詳解：

因為 ^{f(x)a(xh)2 k}函數圖形的頂點為^(h,k)，所以頂點為^(1,1)的二次函數，我 們可以列成 ^{f(x)a(x1)2 1}。

將點^(2,2)代入^{y f(x)a(x1)2 1}，以求出a：

1 ) 1 ( )

(   ² 

 f x a x y

1 ) 1 2 (

2 a  ²  1 2 a

1 a

因此題目所求的二次函數為 ^{f(x) x( 1)2 1}

同學可以將函數圖形畫出來看看，是否符合題意。

【練習】9.1-16

直角座標上，已知某二次函數的函數圖形頂點為^(1,3)，且通過點^(1,7)，試求此 二次函數。

例題 9.1-17

函數的根與圖形的關係

瞭解了二次函數的圖形後，接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係：

方程式的解，為符合方程式的未知數之值。例如x² x2 150的解為⁵、^3。 函數的根，為函數值 ^f(x)0時的x 之值。例如 ^{f(x) x2 2x15}的根為⁵、^3。 一般來說，相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看，

求ax²bxc0的解就相當於找函數^{f(x)ax2bxc}其函數圖形與x 軸交點之 x 座標。例 如函數 ^{f(x)x2 2x15}其函數圖形與x 軸的交點為^(5,0)、^(3,0)，交點的x 座標即為方 程式ax²bxc0的解。如圖9.1-22。

圖9.1-22

由圖9.1-22 也可看出，x² x2 150有兩相異解，而 ^{f(x)x2 2x15}函數圖形與x 軸 有兩相異交點。

接著我們來看看方程式x²  x6 90，利用乘法公式可得^{(x3)2 0}，因此解為³(重根)。

對函數 ^{f(x)x2 6x9}來說，3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖9.1-23。

x y

15

2 2 

x x y

y

圖9.1-23

由圖9.1-23 可知，x²  x6 90有重根，而 ^{f(x)x2 6x9}的函數圖形與x 軸只有一交 點。

最後我們來看看方程式x² x20，因為判別式1² 41270，因此無解。對函數

2 )

(x x²x

f 來說，其函數圖形與x 軸無交點。如圖9.1-24。

圖9.1-24

由圖9.1-24 可知，x² x20無解，而^{f(x)x2x2}的函數圖形與x 軸無交點。

2 2

x x y

x y

0

2  ac4 

b 無解 無交點

表9.1-15

例題 9.1-18

判斷 ^{f(x)2x28x8}的函數圖形與x 軸的交點數量。

詳解：

利用判別式，先判斷2x²  x8 80的解的種類。

0 8 2 4

8²    

因此方程式2x² x8 80有重根。根據表 9.1-15， ^{f(x)2x28x8}的函數圖形與x 軸有一交點。

【練習】9.1-18

判斷 ^{f(x)3x25x9}的函數圖形與x 軸的交點數量。

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