第九章 二次函數
9.2 節 二次函數圖形的移動
在本節中，我們將討論當二次函數圖形改變時，函數會如何變化。
在9.1 節時我們畫過 f(x) x21的函數圖形，這裡我們與 f(x)x2做比較：
為了簡化運算，我們先比較拋物線方程式y x2 1與y x2。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x2
y 9 4 1 0 1 4 9
21
y x 10
=9+1
5
=4+1
2
=1+1
1
=0+1
2
=1+1
5
=4+1
10
=9+1 表9.2-1
可以看出x 座標相同時，y x21圖形的y 座標是y x2圖形的y 座標加1。
將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較：
9.2-1
x2
y
2 1 y x
x y
2 4
我們再接著看下一種形式，比較y x( 2)2與y x2：
y 9 4 1 0 1 4 9
x
(y x2) -3 -2 -1 0 1 2 3
x
(y x( 2)2)
-1
=-3+2
0
=-2+2
1
=-1+2
2
=0+2
3
=1+2
4
=2+2
5
=3+2 表9.2-3
可以看出y 座標相同時，y x( 2)2圖形的y 座標是y x2圖形的x 座標加2。
將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較：
9.2-3
x2
y y x( 2)2
x y
再比較看看 ( 4)2
x2
y
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
3 ) 2 ( 2
x y
x -1 0 1 2 3 4 5
y 12 7 4 3 4 7 12
表9.2-5
3 ) 2 ( 2
x y x2
y
x y
3 ) 2 ( 2
y x 上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12) 表9.2-5
表9.2-5 中，對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位，y 座標增加 3 單位。事實上，整 個y x( 2)2 3的圖形可以想像成是y x2的圖形往右移動2 單位，再往上移動 3 單位。
那麼x 座標增加2 單位，y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢？
前面我們已經知道了：
k ax
y 2 的圖形相當於yax2往上移動k 單位。(若k0則為往下移動 k 單位)
)2
(x h a
y 的圖形相當於yax2往右移動h 單位。(若h0則為往左移動 h 單位) 合併成ya(xh)2k時也是一樣：
k h x a
y ( )2 的圖形相當於yax2往右移動k 單位，往上移動 h 單位。(若k0則為往 下移動 k 單位，h0則為往左移動 h 單位)
因此，y x( 2)2 3的圖形就相當於y x2的圖形往右移動2 單位，再往上移動 3 單位。
我們已經知道了ya(xh)2 k相當於將yax2往右移動h 單位(h0時為往左移動 h 單位)，往上移動 k 單位(k0時為往下移動 k 單位)。反過來說，yax2若往上移動k 單 位 ， 則 方 程 式 會 變 為 yax2k。 接 著 再 往 右 移 動 h 單 位 ， 方 程 式 就 會 變 為
k h x a
y ( )2 。
以y2x2為例，將圖形往上移4 單位，方程式會變為y x2 2 4。再繼續往右移5 單位，
方程式會變為y2(x5)24，如圖9.2-6：
圖9.2-6
x y
4 ) 5 (
2 2
x y
2x2
y
4 2 2
x y
同樣地，若是移動ya(xh)2 k，也會有下列關係：
例題 9.2-1
(1)求將 f (x)3x2的函數圖形上移1 單位後所得的函數。
(2)求將 f (x)3x2的函數圖形下移3 單位後所得的函數。
(3)求將 f (x)3x2的函數圖形右移2 單位後所得的函數。
(4)求將 f (x)3x2的函數圖形左移4 單位後所得的函數。
詳解：
利用前面討論的結果可以得到：
(1)將 f (x)3x2的函數圖形上移1 單位後所得的函數為 f(x)3x2 1。 (2)將 f (x)3x2的函數圖形下移3 單位後所得的函數為 f(x)3x2 3。 (3)將 f (x)3x2的函數圖形右移2 單位後所得的函數為 f(x)3(x2)2。 (4)將 f (x)3x2的函數圖形左移4 單位後所得的函數為 f(x)3(x4)2。
【練習】9.2-1
(1)求將 f(x)21x2的函數圖形下移1 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)21x2的函數圖形上移3 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x)21x2的函數圖形左移2 單位後所得的函數。
(4)求將 f(x)21x2的函數圖形右移4 單位後所得的函數。
例題 9.2-2
(1)求將 f(x)7x2的函數圖形上移3 單位，左移 4 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)7x2的函數圖形下移2 單位，右移 7 單位後所得的函數。
詳解：
(1) 將 f(x)7x2的函數圖形上移3 單位後所得的函數為 f(x) x7 23，再左移4 單 位得到y7(x4)2 3。
(2) 將 f(x)7x2的函數圖形下移2 單位後所得的函數為 f(x) x7 2 2，再右移7 單 位得到 f(x)7(x7)22。
【練習】9.2-2
(1)求將 f (x)5x2的函數圖形上移3 單位，右移 5 單位後所得的函數。
(2)求將 f (x)5x2的函數圖形下移6 單位，左移 4 單位後所得的函數。
例題 9.2-3
例題 9.2-4
例題 9.2-5
9.2 節 習題
習題 9.2-1
(1)求將 f(x)2x2的函數圖形上移2 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)2x2的函數圖形下移4 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x)2x2的函數圖形左移1 單位後所得的函數。
(4)求將 f(x)2x2的函數圖形右移3 單位後所得的函數。
習題 9.2-2
(1)求將 f(x)3x2的函數圖形上移4 單位，右移 2 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)3x2的函數圖形下移1 單位，左移 3 單位後所得的函數。
習題 9.2-3
(1)求將 f(x) x( 3)2 1的函數圖形上移4 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x) x( 3)2 1的函數圖形左移5 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x) x( 3)2 1的函數圖形下移3 單位，左移 2 單位後所得的函數。
習題 9.2-4
求將 f(x)x22x1的函數圖形右移3 單位後所得的函數。
習題 9.2-5
求將 f(x)x24x3的函數圖形右移3 單位，下移 5 單位後所得的函數。