代數第九章目錄

(1)

代數第九章

第九章二次函數...1

學習目標...1

9.1

節二次函數及其圖形...2

9.1

節習題...38

9.2

節二次函數圖形的移動...45

9.2

節習題...58

9.3

節二次函數的最大值與最小值...59

9.3

節習題...67

9.4

節二次函數的綜合題與應用題...69

9.4

節習題...84

第九章綜合習題...88

(2)

第九章二次函數

前一章我們學過了一次函數，本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋物線，拋物線在日常生活中隨處可見。例如投球時，球的移動軌跡就屬於拋物線。我們也將利用二次函數處理關於最大值、最小值的問題。

學習目標

1.能畫出二次函數的函數圖形。

2.能找出拋物線的頂點、開口方向、對稱軸。

2.能利用二次函數解決最大值、最小值的問題。

(3)

9.1 節二次函數及其圖形

在第八章中，我們已經學過一次函數 ^f⁽^x⁾^^ax^^b的函數圖形是一條直線。也簡單畫過

) 2

(x x f

y  的圖形是一條拋物線。本節我們將針對^y^ ^f⁽^x⁾^^x²這類二次函數來做討論。

二次函數：形式為 ^f⁽^x⁾^^ax²^^bx^^c，其中^a^⁰。即變數x 最高次數為2，且x²項係數不為0 的函數。

如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形，對於二次函數如 ^f⁽^x⁾^ ^x²我們也可以畫出函數圖形。

我們來畫畫看^y^ ^f⁽^x⁾^^x²的圖形，先找出幾個符合的點：

x -3 -1 0 1 3

y 9 1 0 1 9

表9.1-1

將這些點描在直角座標上，並用直線連起來，如圖9.1-1。

圖9.1-1

於是我們得到了一個類似折線圖的圖形，但事實上這張圖只是^y^ ^f⁽^x⁾^^x²的近似圖，

x

y

(4)

圖9.1-2

可以看出圖9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣，我們描的點越多，畫出來的圖形就會越接近真正的 ^f⁽^x⁾^ ^x²圖形。實際上， ^f⁽^x⁾^^x²是如圖9.1-3 的拋物線。

^f⁽^x⁾^^x²

x

x x

x

y

(5)

詳解：

令^y^ ^f⁽^x⁾^^²^x²，先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18

表9.1-2

將符合的點描在直角座標上，再用平滑的曲線連起來，如圖9.1-2。

^f⁽^x⁾^^²^x² 圖9.1-4

y x

(6)

【練習】9.1-1

畫出二次函數 ^f⁽^x⁾^^^x²的圖形。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

(7)

由前面例題，我們已知道函數 ^f⁽^x⁾^ ^x²與 ^f⁽^x⁾^^²^x²的函數圖形都是拋物線。事實上，

只要是二次函數，那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖形時，相當於是討論拋物線的圖形。

接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質，先複習第四章曾學過的對稱於y 軸：

若兩點對稱於y 軸，則兩點的 y 座標相同時，x 座標互為相反數。

再來觀察 ^f⁽^x⁾^^x²的函數圖形，即^y^ ^f⁽^x⁾^^x²。圖形右側的點⁽¹^,¹⁾、⁽²^,⁴⁾、⁽³^,⁹⁾，他們對y 軸的對稱點^(¹^,¹⁾、^(²^,⁴⁾、^(³^,⁹⁾，也都落在^y^ ^x²上。事實上，所有^y^ ^x²上的點⁽^h^,^k⁾，對y 軸的對稱點⁽^^h^,^k⁾也都在^y^ ^x²上。此時我們稱y 軸(或直線^x^⁰)是

x2

y 的對稱軸。即 ^f⁽^x⁾^ ^x²的函數圖形，其對稱軸為y 軸。

^f⁽^x⁾^^x²

圖9.1-5

x y

(8)

除了 ^f⁽^x⁾^ ^x²以外，所有形式為 ^f⁽^x⁾^^ax²的函數圖形，也都是以y 軸為對稱軸。

我們來證明^y^ ^f⁽^x⁾^^ax²是以y 軸為對稱軸。已知點⁽^h^,^k⁾在^y^^ax²上，若點⁽^^h^,^k⁾也在

ax2

y 上(即 x 座標代入^^h，可得y 座標為^k )，則可知^y^^ax²以y 軸為對稱軸。

ax2

y

)2

( h a

y   (將 x 以^^h代入)

ah2

y (⁽^^h⁾² ^^h²)

k

y (因為⁽^h^,^k⁾在^y^âx²上，所以k ah²，即ah² k) 由以上式子可知，當點⁽^h^,^k⁾在^y^âx²上時，點⁽^^h^,^k⁾也在^y^âx²上，因此

) 2

(x ax f

y  的圖形是以y 軸作為對稱軸。我們也可以稱^f⁽^x⁾^^ax²的函數圖形是對稱於 y 軸的線對稱圖形。

(9)

例題 9.1-2

(1)找出二次函數 ^f⁽^x⁾^ ₂¹^x²，其函數圖形的對稱軸。

(2)畫出 ^f⁽^x⁾^ ₂¹^x²的函數圖形。

詳解：

(1) ^f⁽^x⁾^ ₂¹^x²符合 ^f⁽^x⁾^^ax²的形式，因此是以y 軸為對稱軸。

(2) ^y^ ^f⁽^x⁾^₂¹^x²的圖形對稱於y 軸。我們只要畫出右側的圖形，再利用線對稱畫 出左側的圖形即可。

x 0 1 2 3

y 0

2

1 2

2 41

表9.1-3

圖9.1-6 圖9.1-6，先畫出 ²

2 1x

y  右半邊的圖形，接著再利用線對稱，畫出左半邊的圖形。

x y

(10)

^f⁽^x⁾^ ₂¹^x²

圖9.1-7 圖9.1-7 即為 ^f⁽^x⁾^¹₂^x²的函數圖形。

【練習】9.1-2

利用對稱軸，畫出 ²

4 ) 1

(x x

f  的函數圖形。

x y

(11)

否有什麼規則呢？我們多畫幾個圖形來看看。

開口向上

2 2

) (x x

f  f(x)x² ²

2 ) 1 (x x

f 

開口向下

2 2

)

(x x

f  f(x)x² ²

2 ) 1

(x x

f 

圖9.1-8

同學應該可以發現，對於二次函數 ^f⁽^x⁾^^ax²，當^a^⁰時，拋物線圖形開口向上；當

0

a 時，拋物線圖形開口向下。而且 ^a 越小，其開口越大。

另外在^a^⁰時，拋物線有最低點；^a^⁰時，拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點也是拋物線與對稱軸的交點。

圖9.1-9

(12)

例題 9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向：

(1) ^f⁽^x⁾^³^x² (2) ^f⁽^x⁾^^⁸^x² (3) ^f⁽^x⁾^⁰^.⁷^x² 詳解：

(1)³^⁰， ^f⁽^x⁾^³^x²函數圖形開口向上。

(2)^⁸^⁰， ^f⁽^x⁾^^⁸^x²函數圖形開口向下。

(3)⁰^.⁷^⁰， ^f⁽^x⁾^⁰^.⁷^x²函數圖形開口向上。

【練習】9.1-3

寫出下列各函數圖形的開口方向：

(1) ^f ⁽^x⁾^^²^x² (2) ^f⁽^x⁾^₅₀¹ ^x² (3) ^f⁽^x⁾^^⁰^.³^x²

(13)

瞭解了 ^f⁽^x⁾^^ax²的函數圖形後，接著我們來看看形式為 ^f⁽^x⁾^^ax²^^k的函數圖形。如

1 )

(x  x²

f ：

一樣先找出^y^ ^f⁽^x⁾^^x² ^¹上的點

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 10 5 2 1 2 5 10

表9.1-4

然後描點畫出圖形： ^f⁽^x⁾^{ x}² ^¹

圖9.1-10

圖9.1-10 即為^y^ ^f⁽^x⁾^^x² ^¹的圖形，頂點為⁽⁰^,¹⁾，對稱軸為x 0。例題 9.1-4

畫出 ^f⁽^x⁾^^²^x² ^³的函數圖形，並指出頂點。

x y

(14)

y -15 -5 1 3 1 -5 -15 表9.1-5

頂點為⁽⁰^,³⁾。

^f⁽^x⁾^^²^x² ^³ 圖9.1-11

x y

(15)

【練習】9.1-4

畫出 ^f⁽^x⁾^{ x}^ ² ^⁶的函數圖形，並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

(16)

例題 9.1-5

畫出 ⁴

2 ) 1

(x  x² 

f 的函數圖形，並指出頂點。

詳解：

先找出數個圖形上的點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 2

1 -2

2 31

 -4

2 31

 -2

2 1

表9.1-6

頂點為⁽⁰^,^⁴⁾。

⁴

2 ) 1

(x  x² f

圖9.1-12

x y

(17)

【練習】9.1-5

畫出 ⁷

2 ) 3

(x  x²

f 的函數圖形，並指出頂點。

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

x y

(18)

目前我們已經畫出了數個形式為 ^f⁽^x⁾^^ax²^^k的函數圖形。若與 ^f⁽^x⁾^^ax²比較，同學應該可以發現：

ax2

y 圖形的頂點為⁽⁰^,⁰⁾。(例如^y^ ^x²圖形頂點為⁽⁰^,⁰⁾)

k ax

y ² 圖形的頂點為⁽⁰^,^k⁾。(例如^y^{ x}¹₂ ²^⁴圖形頂點為⁽⁰^,^⁴⁾)

ax2

y 與^y^^ax²^^k的對稱軸都是^x^⁰。

圖9.1-13

x y

(19)

接下來，讓我們討論形式為 ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²的函數圖形，如 ^f⁽^x⁾^{ x}⁽ ^²⁾²。要畫出 ^f⁽^x⁾^{ x}⁽ ^²⁾²的函數圖形，一樣先找出符合^y^ ^f⁽^x⁾^⁽^x^²⁾²的點。

x -1 0 1 2 3 4 5

y 9 4 1 0 1 4 9

表9.1-7 然後描點畫出圖形：

^f⁽^x⁾^{ x}⁽ ^²⁾²

圖9.1-14

圖9.1-14 即為 ^f⁽^x⁾^{ x}⁽ ^²⁾²的函數圖形，頂點為⁽²^,⁰⁾，對稱軸為x2。例題 9.1-6

畫出 ^f⁽^x⁾^²⁽^x^³⁾²的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

2 x

x y

(20)

y 18 8 2 0 2 8 18 表9.1-8

頂點為⁽³^,⁰⁾，對稱軸為x3。

^f⁽^x⁾^²⁽^x^³⁾²

圖9.1-15

【練習】9.1-6

畫出 ⁽ ¹⁾²

2 ) 1

(x  x

f 的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

x y

(21)

x

(22)

例題 9.1-7

畫出 ⁽ ⁴⁾²

2 ) 3

(x  x

詳解：

x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y 2

131 6

2

11 0

2

11 6

2 131

表9.1-9

頂點為^(⁴^,⁰⁾，對稱軸為^x^^⁴^。 ⁽ ⁴⁾²

2 ) 3

(x  x f

(23)

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y

x y

(24)

我們畫出了數個形式為 ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²的函數圖形。若與 ^f⁽^x⁾^^ax²比較，同學應該可以發現：

) 2

(x ax

f  的函數圖形頂點為⁽⁰^,⁰⁾。(例如 ^f⁽^x⁾^^x²的函數圖形頂點為⁽⁰^,⁰⁾)

)2

( )

(x a x h

f   的函數圖形頂點為^(h^,⁰⁾。(例如 ^f⁽^x⁾^²⁽^x^³⁾²的函數圖形頂點為⁽³^,⁰⁾)

) 2

(x ax

f  的函數圖形對稱軸是^x^⁰， ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²的函數圖形對稱軸是^x^^h。

圖9.1-17

ax2

y  ₂

) (x h a

y 

h h x 

0 x

x y

(25)

學習了二次函數 ^f⁽^x⁾^âx²^^k與 ^f⁽^x⁾^â⁽^x^^h⁾²的函數圖形之後，接著我們要將這兩種函數綜合起來，也就是形式為 ^f⁽^x⁾^â⁽^x^^h⁾² ^^k。

我們來試著畫畫看^y^ ^f⁽^x⁾^⁽^x^²⁾² ^³的圖形：

x -1 0 1 2 3 4 5

y 12 7 4 3 4 7 12

表9.1-10

^f⁽^x⁾^{ x}⁽ ^²⁾² ^³

圖9.1-18

3 ) 2 ( )

(x  x ²

f 的函數圖形頂點是⁽²^,³⁾，對稱軸是x2。

2 x

x y

(26)

例題 9.1-8

畫出 ^f⁽^x⁾^⁴⁽^x^²⁾²^³的函數圖形，並指出頂點與對稱軸。

詳解：

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y 33 13 1 -3 1 13 33

表9.1-11

頂點為⁽^²^,^³⁾，對稱軸為x2。

x y²



 x

(27)

【練習】9.1-8

畫出 ⁽ ²⁾ ¹

2 ) 1

(x  x ²

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

(28)

例題 9.1-9

畫出 ⁽ ⁴⁾ ²

3 ) 1

(x  x ² 

詳解：

x 1 2 3 4 5 6 7

y 1

3 2

3

12 2

3 12

3

2 1

表9.1-12

頂點為⁽⁴^,²⁾，對稱軸為x4。

⁽ ⁴⁾ ²

3 ) 1

(x  x ²  f

圖9.1-20

x y

(29)

【練習】9.1-9

畫出 ⁽ ²⁾ ³

4 ) 1

(x  x ²

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

y

x y

(30)

我們已經畫了數個形式為 ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²^^k的函數圖形，同學應該可以發現到：

1. 頂點為⁽^h^,^k⁾。 2. 對稱軸為^x^^h。

3. ^a^⁰則開口向上；^a^⁰則開口向下。

利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。

例題 9.1-10

求函數 ^f⁽^x⁾^⁷⁽^x^⁵⁾² ^¹⁶其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

與 ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²^^k對照，得^h^⁵、^k^¹⁶、^a^⁷^⁰。因此頂點為⁽⁵^,¹⁶⁾、對稱軸為^x^⁵、開口向上。

【練習】9.1-10

求函數 ⁽ ³⁾ ¹³

16 ) 1

(x  x ²

f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

(31)

例題 9.1-11

求函數 ^f⁽^x⁾^^⁴⁽^x^³⁾² ^²其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

與 ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²^^k對照，得^h^^³、^k^²、^a^^⁴^⁰。因此頂點為^(³^,²⁾、對稱軸為^x^^³、開口向下。

【練習】9.1-11

求函數 ⁽ ⁶⁾ ⁴

5 ) 1

(x  x ² 

f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

現在我們很清楚二次函數 ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²^^k的函數圖形性質了，但若是函數形式為

c bx ax x

f( ) ²  ，又該如何處理呢？我們可以利用以前學過的配方法，將

c bx ax x

f( ) ²  轉換為 ^f⁽^x⁾^^a⁽^x^^h⁾²^^k的形式。

例如 ^f⁽^x⁾^^x² ^⁴^x^⁸：

) (x

f x² 4x8 8 4 4

24   

x x (加上中間項⁴^x係數一半的平方以湊完全平方，再4維持等式)

8 4 ) 2

(  ² 

 x (化為完全平方)

4 ) 2 (  ²

 x

於是我們得到 ^f⁽^x⁾^^x²^⁴^x^⁸^⁽^x^²⁾²^⁴。

因此 ^f⁽^x⁾^^x² ^⁴^x^⁸的函數圖形頂點是^(²^,⁴⁾、對稱軸是^x^^²、開口向上。

(32)

例題 9.1-12

寫出 ^f⁽^x⁾^^x² ^⁶^x^¹⁸函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

) (x

f x² 6x18 18 9 9

26   

x x (加上中間項⁶^x係數一半的平方以湊完全平方，再4維持等式)

18 9 ) 3

(  ²  

 x (化為完全平方)

27 ) 3 (  ²

 x

頂點為⁽^³^,^²⁷⁾、對稱軸為^x^^³、開口向上。

【練習】9.1-12

寫出 ^f⁽^x⁾^^x² ^⁴^x^⁴函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

例題 9.1-13

寫出 ^f⁽^x⁾^^²^x² ^⁸^x^¹函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

詳解：

) (x

f 2x²8x1 1 ) 4 (

2 ² 



 x x (提出 x²項的係數)

1 ) 4 4 4 (

2 ²   



 x x (括號內加上中間項^⁴^x係數一半的平方以湊完全平方，再^⁴維持等式)

1 8 ) 4 4 (

2 ²    



 x x (將－4 移到括號外)

9 ) 2 (

2  ²



 x (括號內化為完全平方)

頂點為⁽²^,⁹⁾、對稱軸為^x^²、開口向下。

【練習】9.1-13

寫出 ^f⁽^x⁾^^³^x² ^⁶^x^⁵函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。

代數第九章 目錄

9.1

9.1

9.2

9.2

9.3

9.3

9.4

9.4

第九章 二次函數

x

y

x

x x

x

y

代數第九章目錄

第九章二次函數