節 二次函數的綜合題與應用題

前三小節中，我們已經瞭解的二次函數的基本知識，接下來將開始計算各種綜合題與 應用題。

例題 9.4-1

圖9.4-1 為二次函數^{y x2}的圖形。A、B 兩點在^{y x2}上，且A、B 兩點與 x 軸的距 離都是9，試求 A、B 之間的距離。

圖9.4-1 詳解：

因為A、B 兩點與 x 軸的距離都是 9，可知兩點的 y 座標也都是 9。

將^y9代入^{y x2}：

9x2

3

 x

可知兩點座標為^(3,9)與^(3,9)。又根據圖9.4-1，A 點在第一象限，B 點在第二象 限，可判斷A 點座標為^(3,9)，B 點座標為^(3,9)。

A、B 兩點 y 座標相同，因此距離為 x 座標之差。

x y

圖 9.4-2

令長為x 公分，可得寬為^(50x)公分。

3

例題 9.4-5

例題 9.4-6

已知某拋物線最低點為^O(0,0)，且與直線^y5交於A、B 兩點，A 點在第一象限，

B 點在第二象限。若^OAB的面積為25 平方單位，試求：

(1)A、B 兩點之座標為何？

(2)此拋物線方程式為何？

詳解：

(1)依題目條件來畫出拋物線圖形，如圖 9.4-5。

拋物線最低點為^O(0,0)，即頂點為^(0,0)，對稱軸為^x0。 拋物線與直線^y5交於A、B 兩點，可知開口應向上。

圖9.4-5

設直線^y5與y 軸交於 C 點，則 C 座標為^(0,5)，且^{OC 5}。

OAB中，令底為AB，則高為^OC。根據^OAB的面積為25 平方單位：

OC AB

OAB  

 2

1

2 5

25 1AB

解得^AB10

因為C 為對稱軸^x0上一點，因此C 為AB中點， ⁵

2

1 



BC AB AC

A 點與 y 軸距離為5，且在第一象限，通過直線^y5，可知座標為^(5,5)。 同理B 點座標為^(5,5)。

x y

(2)設拋物線方程式為^{ya(xh)2 k}

代入頂點^(0,0)，得方程式為^{ya(x0)2 0} ax²

代入A^(5,5)：

ax2

y )2

5 ( 5 a

a 25 5

5

 1 a

因此拋物線方程式為 ²

5 1x y

【練習】9.4-6

已知某拋物線最低點為^O(0,0)，且與直線^y9交於A、B 兩點，A 點在第一象限，

B 點在第二象限。若^OAB的面積為54 平方單位，試求：

(1)A、B 兩點之座標為何？

(2)此拋物線方程式為何？

例題 9.4-7

【練習】9.4-7

【練習】9.4-8

(2) 題目想找^x2y2的最小值。我們要試著將^{x y10}平方來找出^x2y2。

【練習】9.4-10

圖9.4-6 詳解：

設河的對邊長度為x 公尺。則鐵絲剩下^(300x)公尺，因為是長方形，剩餘兩邊長 度相同，皆為

2 300x

公尺。

長方形菜園面積＝長



寬

2 300 x

x 





2 300xx²



^₂^1(x2300x)

^1₂^{(x2 300x2250022500)} (⁽³⁰⁰₂ ^{)2 22500}) ^₂^{1(x150)2 11250}

可知當^x150時，菜園面積11250 平方公尺為最大。

【練習】9.4-12

阿明想在河邊用鐵絲圍一個長方形的菜園，鐵絲長200 公尺。河邊當作一邊不用 鐵絲圍。請問圍成的菜園，最大面積為多少平方公尺？

9.4 節 習題

習題 9.4-1

圖9.4-7 為二次函數^y4x2的圖形。A、B 兩點在^y4x2上，且 A、B 兩點與 x 軸的距離都是 16，試求 A、B 之間的距離。

圖9.4-7 習題 9.4-2

求拋物線^yx22x與直線^{y5x12}的交點。

習題 9.4-3

小朱想用一條40 公分長的繩子，圍成一個矩形。請問長、寬分別為多少公分時，

可圍出最大的面積？最大的面積是多少平方公分？

習題 9.4-4

小布玩積木投籃遊戲，假設投出的籃球軌跡為 ^{4 5}

2 1 ₂







 x x

y ，且此球有進籃框

(即拋物線通過籃框座標)。如圖 9.4-8，其中 x 公分為籃球移動的水平距離，y 公分 為籃球高度。請問：

(1)此籃球在移動過程中，距離地面最高高度為多少公分？

(2)若小布此球出手時，球的高度為 3 公分，請問小布與籃框的水平距離是幾公分？

圖9.4-8

習題 9.4-5

從地面發射一枚砲彈，若經過時間t 秒與砲彈高度 y 公尺的關係式為^{yt2 30t}， 請問：

(1)此砲彈飛到最高點時，高度為多少公尺？

(2)此砲彈高度為 125 公尺時，經過時間為多少秒？

習題 9.4-6

已知某拋物線最低點為^O(0,0)，且與直線^y12交於A、B 兩點，A 點在第一象限，

習題 9.4-7

丹丹家舉辦三天兩夜家族旅遊，預定人數為10 人，每人收費 2000 元。但達到 10 人之後，每超過 1 人，則每人費用減 100 元。例如若有 11 人，則每人收費 1900 元。請問人數為多少時，收到的總費用會最多？

習題 9.4-8

開心果園中有10 棵蘋果樹，平均每棵年產 200 個蘋果。若在果園中每加種 1 棵蘋 果樹，則每棵樹平均年產量會減少10 個蘋果。請問加種多少棵蘋果樹，可使蘋果 產量最大？

習題 9.4-9

若^{x y14}，則：(1)

^xy

的最大值為何？(2)^x2y2的最小值為何？

習題 9.4-10

若^{3x y4 24}，試求^4xy 的最大值。

習題 9.4-11

數線上有A、B 兩點，座標分別為1、11。今在 A、B 之間取一點 C，請問：

(1)C 點座標為多少時，^ACCB有最大值？

(2)C 點座標為多少時，AC²CB²有最小值？

習題 9.4-12

如圖9.4-9，阿土伯想在河邊用鐵絲圍一個長方形 的菜園，鐵絲長500 公尺。河當作一邊不用鐵絲圍。

請問圍成的菜園，最大面積為多少平方公尺？

圖9.4-9

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