第九章 二次函數
9.1 節 二次函數及其圖形
在第八章中,我們已經學過一次函數 f(x)axb的函數圖形是一條直線。也簡單畫過 ) 2
(x x f
y 的圖形是一條拋物線。本節我們將針對y f(x)x2這類二次函數來做討 論。
二次函數:形式為 f(x)ax2 bxc,其中a0。即變數 x 最高次數為 2,且x2項係數 不為 0 的函數。
如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形,對於二次函數如 f(x)x2我們也可 以畫出函數圖形。
我們來畫畫看y f(x)x2的圖形,先找出幾個符合的點:
x -3 -1 0 1 3
y 9 1 0 1 9
表 9.1-1
將這些點描在直角座標上,並用直線連起來,如圖 9.1-1。
圖 9.1-1
x
y
於是我們得到了一個類似折線圖的圖形,但事實上這張圖只是y f(x)x2的近似圖,
並非真正的圖形。我們可以再多增加(-2,4)、(2,4)兩個點,如圖 9.1-2:
圖 9.1-2
可以看出圖 9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣,我們描的點越多,畫出來的圖形就會越 接近真正的 f(x)x2圖形。實際上, f(x)x2是如圖 9.1-3 的拋物線。
f(x)x2
圖 9.1-3
x y
x
y
畫二次函數圖形時,我們無法畫出所有的點。因此一般只需畫出幾個點,再將各點連 接起來作為近似圖,取的點愈多,畫出來的圖形就愈精確。
例題 9.1-1
畫出二次函數 f(x)2x2的圖形。
詳解:
令y f(x)2x2,先找出數個圖形上的點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18
表 9.1-2
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-2。
f(x)2x2 圖 9.1-4
x y
【練習】9.1-1
畫出二次函數 f(x)x2的圖形。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
x y
由前面例題,我們已知道函數 f(x)x2與 f(x)2x2的函數圖形都是拋物線。事實上,
只要是二次函數,那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖 形時,相當於是討論拋物線的圖形。
接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質,先複習第四章曾學過的對 稱於 y 軸:
若兩點對稱於 y 軸,則兩點的 y 座標相同時,x 座標互為相反數。
再來觀察 f(x)x2的函數圖形,即y f(x)x2。圖形右側的點(1,1)、(2,4)、(3,9),他 們對 y 軸的對稱點(1,1)、(2,4)、(3,9),也都落在y x2上。 事實上,所有yx2上 的點( kh, ),對 y 軸的對稱點(h,k)也都在y x2上。此時我們稱 y 軸(或直線x0)是
x2
y 的對稱軸。即 f(x)x2的函數圖形,其對稱軸為 y 軸。
f(x)x2
圖 9.1-5
x y
除了 f(x)x2以外,所有形式為 f(x)ax2的函數圖形,也都是以 y 軸為對稱軸。
我們來證明y f(x)ax2是以 y 軸為對稱軸。已知點( kh, )在yax2上,若點(h,k)也 在yax2上(即 x 座標代入 h ,可得 y 座標為 k ),則可知yax2以 y 軸為對稱軸。
ax2
y
)2
a ( h
y (將 x 以 h 代入) ah2
y ((h)2 h2) k
y (因為( kh, )在yax2上,所以k ah2,即ah2 k)
由以上式子可知,當點( kh, )在y ax2上時,點(h,k)也在yax2上,因此y f(x)ax2 的圖形是以 y 軸作為對稱軸。我們也可以稱 f(x)ax2的函數圖形是對稱於 y 軸的線對 稱圖形。
例題 9.1-2
2 2 ) 1 (x x
f
圖 9.1-7
圖 9.1-7 即為 2 2 ) 1 (x x
f 的函數圖形。
【練習】9.1-2
利用對稱軸,畫出 2
4 ) 1
(x x
f 的函數圖形。
x y
x y
目前二次函數所畫出的拋物線圖形,有些是開口向上,有些是開口向下,開口方向是 否有什麼規則呢?我們多畫幾個圖形來看看。
開 口 向 上
2 2
) (x x
f f(x)x2 2 2
) 1 (x x
f
開 口 向 下
2 2
)
(x x
f f(x)x2 2 2
) 1
(x x
f
圖 9.1-8
同學應該可以發現,對於二次函數 f(x)ax2,當a 0時,拋物線圖形開口向上;當a0 時,拋物線圖形開口向下。而且 a越小,其開口越大。
另外在a0時,拋物線有最低點;a0時,拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點 也是拋物線與對稱軸的交點。
圖 9.1-9
例題 9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1) f(x)3x2 (2) f(x)8x2 (3) f(x)0.7x2 詳解:
(1)3 ,0 f(x)3x2函數圖形開口向上。
(2)80, f(x)8x2函數圖形開口向下。
(3)0.7 ,0 f(x)0.7x2函數圖形開口向上。
【練習】9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1) f(x)2x2 (2) 2 50 ) 1
(x x
f (3) f(x)0.3x2
瞭解了 f(x)ax2的函數圖形後,接著我們來看看形式為 f(x)ax2 k的函數圖形。如 1
)
(x x2
f :
一樣先找出y f(x) x2 1上的點
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 10 5 2 1 2 5 10
表 9.1-4
然後描點畫出圖形: f(x) x2 1
圖 9.1-10
圖 9.1-10 即為 y f(x)x2 1的圖形,頂點為(0,1),對稱軸為x0。 x y
例題 9.1-4
畫出 f(x)2x2 3的函數圖形,並指出頂點。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -15 -5 1 3 1 -5 -15
表 9.1-5
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-11。
頂點為(0,3)。
f(x)2x2 3 圖 9.1-11
x y
【練習】9.1-4
畫出 f(x) x 2 6的函數圖形,並指出頂點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
x y
例題 9.1-5
畫出 4
2 ) 1
(x x2
f 的函數圖形,並指出頂點。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 2
1 -2
2 31
-4
2 31
-2
2 1
表 9.1-6
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-12。
頂點為(0,4)。
4 2
) 1
(x x2 f
圖 9.1-12
x y
【練習】9.1-5
畫出 7
2 ) 3
(x x2
f 的函數圖形,並指出頂點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
x y
目前我們已經畫出了數個形式為 f(x)ax2k 的函數圖形。若與 f(x)ax2比較,同學 應該可以發現:
ax2
y 圖形的頂點為(0,0)。(例如 yx2圖形頂點為(0,0))
k ax
y 2 圖形的頂點為( k0, )。(例如 4 2
1 2
x
y 圖形頂點為(0,4))
ax2
y 與yax2 k的對稱軸都是x0。
圖 9.1-13
x y
接下來,讓我們討論形式為 f(x)a(xh)2的函數圖形,如 f(x) x( 2)2。 要畫出 f(x) x( 2)2的函數圖形,一樣先找出符合y f(x)(x2)2的點。
x -1 0 1 2 3 4 5
y 9 4 1 0 1 4 9
表 9.1-7
然後描點畫出圖形:
f(x) x( 2)2
圖 9.1-14
圖 9.1-14 即為 f(x) x( 2)2的函數圖形,頂點為(2,0),對稱軸為x2。
2 x
x y
例題 9.1-6
畫出 f(x) x2( 3)2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x 0 1 2 3 4 5 6
y 18 8 2 0 2 8 18
表 9.1-8
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-15。
頂點為(3,0),對稱軸為x3。
f(x) x2( 3)2
圖 9.1-15
x y
【練習】9.1-6
畫出 ( 1)2 2
) 1
(x x
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -2 -1 0 1 2 3 4
y
x y
例題 9.1-7
畫出 ( 4)2 2
) 3
(x x
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
y 2
131 6
2
11 0
2
11 6
2 131
表 9.1-9
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-16。
頂點為(4,0),對稱軸為x4。 ( 4)2 2
) 3
(x x f
圖 9.1-16
【練習】9.1-7
畫出 ( 2)2 2
) 1
(x x
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y
x y
我們畫出了數個形式為 f(x)a(xh)2的函數圖形。若與 f(x)ax2比較,同學應該可 以發現:
) 2
(x ax
f 的函數圖形頂點為(0,0)。(例如 f(x)x2的函數圖形頂點為(0,0))
)2
( )
(x a x h
f 的函數圖形頂點為(h,0)。(例如 f(x) x2( 3)2的函數圖形頂點為(3,0))
) 2
(x ax
f 的函數圖形對稱軸是x0, f(x)a(xh)2的函數圖形對稱軸是x 。 h
圖 9.1-17 ax2
y ya(xh)2
h h x
0 x
x y
學習了二次函數 f(x)ax2 k與 f(x)a(xh)2的函數圖形之後,接著我們要將這兩種 函數綜合起來,也就是形式為 f(x)a(xh)2 k。
我們來試著畫畫看y f(x)(x2)23的圖形:
x -1 0 1 2 3 4 5
y 12 7 4 3 4 7 12
表 9.1-10
f(x) x( 2)23
圖 9.1-18 3
) 2 ( )
(x x 2
f 的函數圖形頂點是(2,3),對稱軸是x2。
2 x
x y
例題 9.1-8
畫出 f(x) x4( 2)2 3的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y 33 13 1 -3 1 13 33
表 9.1-11
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-19。
頂點為(2,3),對稱軸為x2。
3 ) 2 ( 4 )
(x x 2 f
圖 9.1-19
x y
2
x
【練習】9.1-8
畫出 ( 2) 1 2
) 1
(x x 2
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y
x y
例題 9.1-9
畫出 ( 4) 2 3
) 1
(x x 2
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x 1 2 3 4 5 6 7
y 1
3 2
3
12 2
3 12
3
2 1
表 9.1-12
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-20。
頂點為(4,2),對稱軸為x4。
( 4) 2 3
) 1
(x x 2 f
圖 9.1-20
x y
【練習】9.1-9
畫出 ( 2) 3 4
) 1
(x x 2
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y
x y
我們已經畫了數個形式為 f(x)a(xh)2 k的函數圖形,同學應該可以發現到:
1. 頂點為( kh, )。 2. 對稱軸為x 。 h
3. a0則開口向上;a0則開口向下。
利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。
例題 9.1-10
求函數 f(x) x7( 5)2 16其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
詳解:
與 f(x)a(xh)2 k對照,得h5、k 16、a70。 因此頂點為(5,16)、對稱軸為x5、開口向上。
【練習】9.1-10
求函數 ( 3) 13 16
) 1
(x x 2
f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
例題 9.1-11
例題 9.1-12
例題 9.1-14
【練習】9.1-14
在直角座標上畫出 2 3
2 ) 1
(x x2 x
f 的函數圖形。
x y
例題 9.1-15
本節我們已畫了 f(x)ax2 、 f(x)ax2 k 、 f(x)a(xh)2、 f(x)a(xh)2 k 、
接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件,求出二次函數:
例題 9.1-16
直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,1),且通過點(2,2),試求此二次 函數。
詳解:
因為 f(x)a(xh)2 k函數圖形的頂點為( kh, ),所以頂點為(1,1)的二次函數,我 們可以列成 f(x) xa( 1)2 1。
將點(2,2)代入y f(x)a(x1)2 1,以求出 a:
1 ) 1 ( )
( 2
f x a x y
1 ) 1 2 (
2 a 2 1 2 a
1 a
因此題目所求的二次函數為 f(x) x( 1)2 1
同學可以將函數圖形畫出來看看,是否符合題意。
【練習】9.1-16
直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,3),且通過點(1,7),試求此二 次函數。
例題 9.1-17
函數的根與圖形的關係
瞭解了二次函數的圖形後,接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係:
方程式的解,為符合方程式的未知數之值。例如x2 x2 150的解為 5 、 3 。 函數的根,為函數值 f(x)0時的 x 之值。例如 f(x)x2 2x15的根為 5 、 3 。 一般來說,相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看,
求ax2 bxc0的解就相當於找函數 f(x)ax2 bxc其函數圖形與 x 軸交點之 x 座 標。例如函數 f(x)x2 2x15其函數圖形與 x 軸的交點為(5,0)、(3,0),交點的 x 座 標即為方程式ax2 bxc0的解。如圖 9.1-22。
圖 9.1-22
由圖 9.1-22 也可看出,x2 x2 150有兩相異解,而 f(x)x2 2x15函數圖形與 x 軸有兩相異交點。
x y
15
2 2
x x y
接著我們來看看方程式x2 x6 90,利用乘法公式可得(x3)2 0,因此解為 3 (重 根)。對函數 f(x)x2 6x9來說,3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖 9.1-23。
圖 9.1-23
由圖 9.1-23 可知,x2 x6 90有重根,而 f(x)x2 6x9的函數圖形與 x 軸只有一 交點。
最後我們來看看方程式x2 x20,因為判別式12 41270,因此無解。對函 數 f(x)x2 x2來說,其函數圖形與 x 軸無交點。如圖 9.1-24。
圖 9.1-24
9
2 6
x x y
2 2
x x y
x y
x y
由圖 9.1-24 可知,x2 x20無解,而 f(x)x2 x2的函數圖形與 x 軸無交點。
我們將以上討論做個整理,對於方程式ax2 bxc0:
判別式 解的種類 f(x)ax2 bxc函數圖形與 x 軸交點
0
2 ac4
b 兩相異解 兩相異交點
0
2 ac4
b 重根 一交點
0
2 ac4
b 無解 無交點
表 9.1-15
例題 9.1-18
判斷 f(x)2x2 8x8的函數圖形與 x 軸的交點數量。
詳解:
利用判別式,先判斷2x2 x8 80的解的種類。
0 8 2 4
82
因此方程式2x2 x8 80有重根。根據表 9.1-15, f(x)2x2 8x8的函數圖形 與 x 軸有一交點。
【練習】9.1-18
判斷 f(x)3x2 5x9的函數圖形與 x 軸的交點數量。