節 二次函數圖形的移動

我們再看一個例子，比較 4

我們再接著看下一種形式，比較y x( 2)²與yx²：

y 9 4 1 0 1 4 9

x

(yx²) -3 -2 -1 0 1 2 3 x

(y  x( 2)²)

-1

=-3+2

0

=-2+2

1

=-1+2

2

=0+2

3

=1+2

4

=2+2

5

=3+2

表 9.2-3

可以看出 y 座標相同時，y x( 2)²圖形的 y 座標是yx²圖形的 x 座標加 2。

將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較：

圖 9.2-3

由圖 9.2-3 可知，y x( 2)²的圖形即是yx²的圖形往右移動 2 單位。

x2

y y x( 2)²

x y

再比較看看 ( 4)²

最後我們比較y  x( 2)² 3與yx²： x2

y

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

3 ) 2 (  ² 

 x y

x -1 0 1 2 3 4 5

y 12 7 4 3 4 7 12

表 9.2-5

圖 9.2-5

3 ) 2 (  ² 

 x

2 y x y

x y

從頂點來看，yx²的頂點是(0,0)，y  x( 2)² 3的頂點是(2,3)，相當於 x 座標增加 了 2 單位，y 座標增加了 3 單位。除了頂點以外，其他的點也有同樣關係：

x2

y 上的點 (0,0) (1,1) (2,4) (3,9) 3

) 2 (  ² 

 x

y 上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12)

表 9.2-5

表 9.2-5 中，對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位，y 座標增加 3 單位。事實上，整 個y  x( 2)² 3的圖形可以想像成是yx²的圖形往右移動 2 單位，再往上移動 3 單 位。那麼 x 座標增加 2 單位，y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢？

前面我們已經知道了：

k ax

y ²  的圖形相當於y ax²往上移動 k 單位。(若k 0則為往下移動 k 單位) )2

(x h a

y  的圖形相當於yax²往右移動 h 單位。(若h0則為往左移動h 單位)

合併成ya(xh)²k 時也是一樣：

k h x a

y (  )² 的圖形相當於yax²往右移動 k 單位，往上移動 h 單位。(若k 0則為 往下移動 k 單位，h0則為往左移動 h 單位)

因此，y  x( 2)² 3的圖形就相當於yx²的圖形往右移動 2 單位，再往上移動 3 單位。

我們已經知道了ya(xh)²k 相當於將yax²往右移動 h 單位(h0時為往左移動 h 單位)，往上移動 k 單位(k 0時為往下移動 k 單位)。反過來說， yax²若往上移動 k 單 位 ， 則 方 程 式 會 變 為 y ax² k 。 接 著 再 往 右 移 動 h 單 位 ， 方 程 式 就 會 變 為

k h x a

y (  )² _。

以y2x²為例，將圖形往上移 4 單位，方程式會變為y  x2 ² 4。再繼續往右移 5 單位，

方程式會變為y x2( 5)²4，如圖 9.2-6：

圖 9.2-6

x y

4 ) 5 (

2  ² 

 x y

2x2

y 

4 2 ² 

 x y

同樣地，若是移動ya(xh)² k _{，也會有下列關係：}

(1)將ya(xh)²k _往上移動k₁單位，會得到y a(xh)² kk₁。(k₁ 0) (2)將ya(xh)²k _往下移動k₂單位，會得到y a(xh)² kk₂。(k₂ 0) (3)將ya(xh)²k _往右移動h₁單位，會得到y a(xhh₁)² k_。(h₁ 0) (4)將ya(xh)²k _往左移動h₂單位，會得到y a(xhh₂)² k _。(h₂ 0)

瞭解了拋物線方程式的移動之後，接下來讓我們回到二次函數的函數圖形。

我們來移動 f(x)a(xh)² k_{的函數圖形：}

(1) 將 f(x)a(xh)² k_{的函數圖形往上移動}k₁單位，會得到 f(x)a(xh)² kk₁。 )

0 (k₁ 

(2) 將 f(x)a(xh)² k_{的函數圖形往下移動}k₂單位，會得到 f(x)a(xh)² kk₂。 )

0 (k₂ 

(3) 將 f(x)a(xh)² k_{的函數圖形往右移動}h₁單位，會得到 f(x)a(xhh₁)²k_。 )

0 (h₁ 

(4) 將 f(x)a(xh)² k_{的函數圖形往左移動}h₂單位，會得到 f(x)a(xhh₂)² k _。 )

0 (h₂ 

例題 9.2-1

(1)求將 f(x)3x²的函數圖形上移 1 單位後所得的函數。

(2)求將 f(x)3x²的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。

(3)求將 f(x)3x²的函數圖形右移 2 單位後所得的函數。

(4)求將 f(x)3x²的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。

詳解：

利用前面討論的結果可以得到：

(1)將 f(x)3x²的函數圖形上移 1 單位後所得的函數為 f(x)3x² 1。 (2)將 f(x)3x²的函數圖形下移 3 單位後所得的函數為 f(x)3x² 3。 (3)將 f(x)3x²的函數圖形右移 2 單位後所得的函數為 f(x)3(x2)²。 (4)將 f(x)3x²的函數圖形左移 4 單位後所得的函數為 f(x)3(x4)²。

【練習】9.2-1

(1)求將 ²

2 ) 1

(x x

f  的函數圖形下移 1 單位後所得的函數。

(2)求將 ²

2 ) 1

(x x

f  的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。

(3)求將 ²

2 ) 1

(x x

f  的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。

(4)求將 ²

2 ) 1

(x x

f  的函數圖形右移 4 單位後所得的函數。

例題 9.2-2

(1)求將 f(x)7x²的函數圖形上移 3 單位，左移 4 單位後所得的函數。

(2)求將 f(x)7x²的函數圖形下移 2 單位，右移 7 單位後所得的函數。

詳解：

(1) 將 f(x)7x²的函數圖形上移 3 單位後所得的函數為 f(x) x7 ²3，再左移 4 單位得到y x7( 4)² 3。

(2) 將 f(x)7x²的函數圖形下移 2 單位後所得的函數為 f(x) x7 ² 2，再右移 7 單位得到 f(x) x7( 7)² 2。

【練習】9.2-2

(1)求將 f(x)5x²的函數圖形上移 3 單位，右移 5 單位後所得的函數。

(2)求將 f(x)5x²的函數圖形下移 6 單位，左移 4 單位後所得的函數。

例題 9.2-3

例題 9.2-4

例題 9.2-5

9.2 節 習題

習題 9.2-1

(1)求將 f(x)2x²的函數圖形上移 2 單位後所得的函數。

(2)求將 f(x)2x²的函數圖形下移 4 單位後所得的函數。

(3)求將 f(x)2x²的函數圖形左移 1 單位後所得的函數。

(4)求將 f(x)2x²的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-2

(1)求將 f(x)3x²的函數圖形上移 4 單位，右移 2 單位後所得的函數。

(2)求將 f(x)3x²的函數圖形下移 1 單位，左移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-3

(1)求將 f(x) x( 3)² 1的函數圖形上移 4 單位後所得的函數。

(2)求將 f(x) x( 3)² 1的函數圖形左移 5 單位後所得的函數。

(3)求將 f(x) x( 3)² 1的函數圖形下移 3 單位，左移 2 單位後所得的函數。

習題 9.2-4

求將 f(x)x² 2x1的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。

習題 9.2-5

求將 f(x)x² 4x3的函數圖形右移 3 單位，下移 5 單位後所得的函數。

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