代數第九章
目錄
第九章 二次函數 ... 1
學習目標 ... 1
9.1 節 二次函數及其圖形 ... 2
9.1 節 習題 ... 38
9.2 節 二次函數圖形的移動 ... 45
9.2 節 習題 ... 58
9.3 節 二次函數的最大值與最小值 ... 59
9.3 節 習題 ... 67
9.4 節 二次函數的綜合題與應用題 ... 69
9.4 節 習題 ... 84
第九章綜合習題 ... 88
基測與會考試題 ... 94
習題解答 ... 104
第九章 二次函數
前一章我們學過了一次函數,本章將繼續延伸到二次函數。二次函數的函數圖形為拋 物線,拋物線在日常生活中隨處可見。例如投球時,球的移動軌跡就屬於拋物線。我 們也將利用二次函數處理關於最大值、最小值的問題。
學習目標
1.能畫出二次函數的函數圖形。
2.能找出拋物線的頂點、開口方向、對稱軸。
2.能利用二次函數解決最大值、最小值的問題。
3.能處理二次函數的應用題。
9.1 節 二次函數及其圖形
在第八章中,我們已經學過一次函數 f(x)axb的函數圖形是一條直線。也簡單畫過 ) 2
(x x f
y 的圖形是一條拋物線。本節我們將針對y f(x)x2這類二次函數來做討 論。
二次函數:形式為 f(x)ax2 bxc,其中a0。即變數 x 最高次數為 2,且x2項係數 不為 0 的函數。
如同第八章中我們可以畫出一次函數的函數圖形,對於二次函數如 f(x)x2我們也可 以畫出函數圖形。
我們來畫畫看y f(x)x2的圖形,先找出幾個符合的點:
x -3 -1 0 1 3
y 9 1 0 1 9
表 9.1-1
將這些點描在直角座標上,並用直線連起來,如圖 9.1-1。
圖 9.1-1
x
y
於是我們得到了一個類似折線圖的圖形,但事實上這張圖只是y f(x)x2的近似圖,
並非真正的圖形。我們可以再多增加(-2,4)、(2,4)兩個點,如圖 9.1-2:
圖 9.1-2
可以看出圖 9.1-1 與圖 9.1-2 的圖形不太一樣,我們描的點越多,畫出來的圖形就會越 接近真正的 f(x)x2圖形。實際上, f(x)x2是如圖 9.1-3 的拋物線。
f(x)x2
圖 9.1-3
x y
x
y
畫二次函數圖形時,我們無法畫出所有的點。因此一般只需畫出幾個點,再將各點連 接起來作為近似圖,取的點愈多,畫出來的圖形就愈精確。
例題 9.1-1
畫出二次函數 f(x)2x2的圖形。
詳解:
令y f(x)2x2,先找出數個圖形上的點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -18 -8 -2 0 -2 -8 -18
表 9.1-2
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-2。
f(x)2x2 圖 9.1-4
x y
【練習】9.1-1
畫出二次函數 f(x)x2的圖形。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
x y
由前面例題,我們已知道函數 f(x)x2與 f(x)2x2的函數圖形都是拋物線。事實上,
只要是二次函數,那麼所畫出來的圖形都是拋物線。因此我們討論二次函數的函數圖 形時,相當於是討論拋物線的圖形。
接著我們來討論由二次函數所畫出拋物線圖形的一些性質,先複習第四章曾學過的對 稱於 y 軸:
若兩點對稱於 y 軸,則兩點的 y 座標相同時,x 座標互為相反數。
再來觀察 f(x)x2的函數圖形,即y f(x)x2。圖形右側的點(1,1)、(2,4)、(3,9),他 們對 y 軸的對稱點(1,1)、(2,4)、(3,9),也都落在y x2上。 事實上,所有yx2上 的點( kh, ),對 y 軸的對稱點(h,k)也都在y x2上。此時我們稱 y 軸(或直線x0)是
x2
y 的對稱軸。即 f(x)x2的函數圖形,其對稱軸為 y 軸。
f(x)x2
圖 9.1-5
x y
除了 f(x)x2以外,所有形式為 f(x)ax2的函數圖形,也都是以 y 軸為對稱軸。
我們來證明y f(x)ax2是以 y 軸為對稱軸。已知點( kh, )在yax2上,若點(h,k)也 在yax2上(即 x 座標代入 h ,可得 y 座標為 k ),則可知yax2以 y 軸為對稱軸。
ax2
y
)2
a ( h
y (將 x 以 h 代入) ah2
y ((h)2 h2) k
y (因為( kh, )在yax2上,所以k ah2,即ah2 k)
由以上式子可知,當點( kh, )在y ax2上時,點(h,k)也在yax2上,因此y f(x)ax2 的圖形是以 y 軸作為對稱軸。我們也可以稱 f(x)ax2的函數圖形是對稱於 y 軸的線對 稱圖形。
例題 9.1-2
(1)找出二次函數 2 2 ) 1 (x x
f ,其函數圖形的對稱軸。
(2)畫出 2 2 ) 1 (x x
f 的函數圖形。
詳解:
(1) 2 2 ) 1 (x x
f 符合 f(x)ax2的形式,因此是以 y 軸為對稱軸。
(2) 2
2 ) 1 (x x f
y 的圖形對稱於 y 軸。我們只要畫出右側的圖形,再利用線對稱畫 出左側的圖形即可。
x 0 1 2 3
y 0
2
1 2
2 41
表 9.1-3
圖 9.1-6
圖 9.1-6,先畫出 2 2 1x
y 右半邊的圖形,接著再利用線對稱,畫出左半邊的圖形。
x y
2 2 ) 1 (x x
f
圖 9.1-7
圖 9.1-7 即為 2 2 ) 1 (x x
f 的函數圖形。
【練習】9.1-2
利用對稱軸,畫出 2
4 ) 1
(x x
f 的函數圖形。
x y
x y
目前二次函數所畫出的拋物線圖形,有些是開口向上,有些是開口向下,開口方向是 否有什麼規則呢?我們多畫幾個圖形來看看。
開 口 向 上
2 2
) (x x
f f(x)x2 2 2
) 1 (x x
f
開 口 向 下
2 2
)
(x x
f f(x)x2 2 2
) 1
(x x
f
圖 9.1-8
同學應該可以發現,對於二次函數 f(x)ax2,當a 0時,拋物線圖形開口向上;當a0 時,拋物線圖形開口向下。而且 a越小,其開口越大。
另外在a0時,拋物線有最低點;a0時,拋物線有最高點。這個點稱為頂點。頂點 也是拋物線與對稱軸的交點。
圖 9.1-9
例題 9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1) f(x)3x2 (2) f(x)8x2 (3) f(x)0.7x2 詳解:
(1)3 ,0 f(x)3x2函數圖形開口向上。
(2)80, f(x)8x2函數圖形開口向下。
(3)0.7 ,0 f(x)0.7x2函數圖形開口向上。
【練習】9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1) f(x)2x2 (2) 2 50 ) 1
(x x
f (3) f(x)0.3x2
瞭解了 f(x)ax2的函數圖形後,接著我們來看看形式為 f(x)ax2 k的函數圖形。如 1
)
(x x2
f :
一樣先找出y f(x) x2 1上的點
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 10 5 2 1 2 5 10
表 9.1-4
然後描點畫出圖形: f(x) x2 1
圖 9.1-10
圖 9.1-10 即為 y f(x)x2 1的圖形,頂點為(0,1),對稱軸為x0。 x y
例題 9.1-4
畫出 f(x)2x2 3的函數圖形,並指出頂點。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -15 -5 1 3 1 -5 -15
表 9.1-5
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-11。
頂點為(0,3)。
f(x)2x2 3 圖 9.1-11
x y
【練習】9.1-4
畫出 f(x) x 2 6的函數圖形,並指出頂點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
x y
例題 9.1-5
畫出 4
2 ) 1
(x x2
f 的函數圖形,並指出頂點。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 2
1 -2
2 31
-4
2 31
-2
2 1
表 9.1-6
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-12。
頂點為(0,4)。
4 2
) 1
(x x2 f
圖 9.1-12
x y
【練習】9.1-5
畫出 7
2 ) 3
(x x2
f 的函數圖形,並指出頂點。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
x y
目前我們已經畫出了數個形式為 f(x)ax2k 的函數圖形。若與 f(x)ax2比較,同學 應該可以發現:
ax2
y 圖形的頂點為(0,0)。(例如 yx2圖形頂點為(0,0))
k ax
y 2 圖形的頂點為( k0, )。(例如 4 2
1 2
x
y 圖形頂點為(0,4))
ax2
y 與yax2 k的對稱軸都是x0。
圖 9.1-13
x y
接下來,讓我們討論形式為 f(x)a(xh)2的函數圖形,如 f(x) x( 2)2。 要畫出 f(x) x( 2)2的函數圖形,一樣先找出符合y f(x)(x2)2的點。
x -1 0 1 2 3 4 5
y 9 4 1 0 1 4 9
表 9.1-7
然後描點畫出圖形:
f(x) x( 2)2
圖 9.1-14
圖 9.1-14 即為 f(x) x( 2)2的函數圖形,頂點為(2,0),對稱軸為x2。
2 x
x y
例題 9.1-6
畫出 f(x) x2( 3)2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x 0 1 2 3 4 5 6
y 18 8 2 0 2 8 18
表 9.1-8
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-15。
頂點為(3,0),對稱軸為x3。
f(x) x2( 3)2
圖 9.1-15
x y
【練習】9.1-6
畫出 ( 1)2 2
) 1
(x x
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -2 -1 0 1 2 3 4
y
x y
例題 9.1-7
畫出 ( 4)2 2
) 3
(x x
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
y 2
131 6
2
11 0
2
11 6
2 131
表 9.1-9
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-16。
頂點為(4,0),對稱軸為x4。 ( 4)2 2
) 3
(x x f
圖 9.1-16
【練習】9.1-7
畫出 ( 2)2 2
) 1
(x x
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y
x y
我們畫出了數個形式為 f(x)a(xh)2的函數圖形。若與 f(x)ax2比較,同學應該可 以發現:
) 2
(x ax
f 的函數圖形頂點為(0,0)。(例如 f(x)x2的函數圖形頂點為(0,0))
)2
( )
(x a x h
f 的函數圖形頂點為(h,0)。(例如 f(x) x2( 3)2的函數圖形頂點為(3,0))
) 2
(x ax
f 的函數圖形對稱軸是x0, f(x)a(xh)2的函數圖形對稱軸是x 。 h
圖 9.1-17 ax2
y ya(xh)2
h h x
0 x
x y
學習了二次函數 f(x)ax2 k與 f(x)a(xh)2的函數圖形之後,接著我們要將這兩種 函數綜合起來,也就是形式為 f(x)a(xh)2 k。
我們來試著畫畫看y f(x)(x2)23的圖形:
x -1 0 1 2 3 4 5
y 12 7 4 3 4 7 12
表 9.1-10
f(x) x( 2)23
圖 9.1-18 3
) 2 ( )
(x x 2
f 的函數圖形頂點是(2,3),對稱軸是x2。
2 x
x y
例題 9.1-8
畫出 f(x) x4( 2)2 3的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y 33 13 1 -3 1 13 33
表 9.1-11
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-19。
頂點為(2,3),對稱軸為x2。
3 ) 2 ( 4 )
(x x 2 f
圖 9.1-19
x y
2
x
【練習】9.1-8
畫出 ( 2) 1 2
) 1
(x x 2
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y
x y
例題 9.1-9
畫出 ( 4) 2 3
) 1
(x x 2
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
詳解:
先找出數個圖形上的點。
x 1 2 3 4 5 6 7
y 1
3 2
3
12 2
3 12
3
2 1
表 9.1-12
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-20。
頂點為(4,2),對稱軸為x4。
( 4) 2 3
) 1
(x x 2 f
圖 9.1-20
x y
【練習】9.1-9
畫出 ( 2) 3 4
) 1
(x x 2
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y
x y
我們已經畫了數個形式為 f(x)a(xh)2 k的函數圖形,同學應該可以發現到:
1. 頂點為( kh, )。 2. 對稱軸為x 。 h
3. a0則開口向上;a0則開口向下。
利用這些性質可以簡單地判斷函數圖形的大略樣貌。
例題 9.1-10
求函數 f(x) x7( 5)2 16其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
詳解:
與 f(x)a(xh)2 k對照,得h5、k 16、a70。 因此頂點為(5,16)、對稱軸為x5、開口向上。
【練習】9.1-10
求函數 ( 3) 13 16
) 1
(x x 2
f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
例題 9.1-11
求函數 f(x)4(x3)2 2其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
詳解:
與 f(x)a(xh)2 k對照,得h3、k 2、a 40。 因此頂點為(3,2)、對稱軸為x3、開口向下。
【練習】9.1-11
求函數 ( 6) 4 5
) 1
(x x 2
f 其函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
現在我們很清楚二次函數 f(x)a(xh)2 k的函數圖形性質了,但若是函數形式為 c
bx ax x
f( ) 2 ,又該如何處理呢?我們可以利用以前學過的配方法,將 c
bx ax x
f( ) 2 轉換為 f(x)a(xh)2 k的形式。
例如 f(x)x2 4x8: )
f(x x2 4x8
8 4 4
24
x x (加上中間項 x4 係數一半的平方以湊完全平方,再4維持 等式)
8 4 ) 2
( 2
x (化為完全平方) 4
) 2 ( 2
x
於是我們得到 f(x)x2 4x8(x2)2 4。
因此 f(x)x2 4x8的函數圖形頂點是(2,4)、對稱軸是x2、開口向上。
例題 9.1-12
寫出 f(x)x2 6x18函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
詳解:
) (x
f x26x18
18 9 9
2 6
x x (加上中間項 x6 係數一半的平方以湊完全平方,再4維 持等式)
18 9 ) 3
( 2
x (化為完全平方) 27
) 3 ( 2
x
頂點為(3,27)、對稱軸為x3、開口向上。
【練習】9.1-12
寫出 f(x)x2 4x4函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
例題 9.1-13
寫出 f(x)2x2 8x1函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
詳解:
) (x
f 2x2 8x1 1 ) 4 (
2 2
x x (提出 x2項的係數) 1
) 4 4 4 (
2 2
x x (括號內加上中間項4x係數一半的平方以湊 完全平方,再4維持等式)
1 8 ) 4 4 (
2 2
x x (將-4 移到括號外) 9
) 2 (
2 2
x (括號內化為完全平方) 頂點為(2,9)、對稱軸為x2、開口向下。
【練習】9.1-13
寫出 f(x)3x26x5函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
例題 9.1-14
在直角座標上畫出 f(x)2x2 12x20的函數圖形。
詳解:
想畫 f(x)2x2 12x20的圖形,我們先利用配方法將函數化為 f(x)a(xh)2 k 的形式,找出頂點後可讓作圖較容易。
)
f(x 2x2 12x20 20 ) 6 (
2 2
x x (提出 x2項的係數) 20
) 9 9 6 (
2 2
x x (括號內加上中間項6x係數一半的平方以湊 完全平方,再9維持等式)
20 18 ) 9 6 (
2 2
x x (將-9 移到括號外) 2
) 3 (
2 2
x (括號內化為完全平方) 頂點為(3,2)、對稱軸為x3、開口向上。
找出圖形上的點:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 20 10 4 2 4 10 20
表 9.1-13
將符合的點描在直角座標上,再用平滑的曲線連起來,如圖 9.1-21。
20 12 2
)
(x x2 x f
圖 9.1-21
x y
【練習】9.1-14
在直角座標上畫出 2 3
2 ) 1
(x x2 x
f 的函數圖形。
x y
例題 9.1-15
求 6
2 ) 1
(x x2 x
f 其函數圖形的頂點座標。
詳解:
利用配方法將 6
2 ) 1
(x x2 x
f 化成 f(x)a(xh)2 k的形式。
) (x
f 6
2 1 2
x x
6 ) 2 2(
1 2
x x (提出 x2項的係數) 6
) 1 1 2 2(
1 2
x x (括號內+1 以湊完全平方,再-1 維持等式) 2 6
) 1 1 2 2(
1 2
x x (將-1 移到括號外)
2 51 ) 1 2(
1 2
x (括號內化為完全平方) 得頂點為 )
2 51 ,
(1 。
【練習】9.1-15
求 2 2
5 ) 1
(x x2 x
f 其函數圖形的頂點座標。
本節我們已畫了 f(x)ax2 、 f(x)ax2 k 、 f(x)a(xh)2、 f(x)a(xh)2 k 、 c
bx ax x
f( ) 2 的函數圖形,這邊來做個整理:
函數 頂點 對稱軸 開口方向
k ax x
f( ) 2 (0,0) x0 a0則開口向上
0
a 則開口向下 k
ax x
f( ) 2 ( k0, ) x0 a0則開口向上
0
a 則開口向下 )2
( )
(x a x h
f (h,0) x h a0則開口向上
0
a 則開口向下 k
h x a x
f( ) ( )2 ( kh, ) x h a0則開口向上
0
a 則開口向下 c
bx ax x
f( ) 2 將方程式利用配方法化為 k
h x a
y ( )2 的形式再判斷。
0
a 則開口向上
0
a 則開口向下 表 9.1-14
接著我們來看看如何從函數圖形的已知條件,求出二次函數:
例題 9.1-16
直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,1),且通過點(2,2),試求此二次 函數。
詳解:
因為 f(x)a(xh)2 k函數圖形的頂點為( kh, ),所以頂點為(1,1)的二次函數,我 們可以列成 f(x) xa( 1)2 1。
將點(2,2)代入y f(x)a(x1)2 1,以求出 a:
1 ) 1 ( )
( 2
f x a x y
1 ) 1 2 (
2 a 2 1 2 a
1 a
因此題目所求的二次函數為 f(x) x( 1)2 1
同學可以將函數圖形畫出來看看,是否符合題意。
【練習】9.1-16
直角座標上,已知某二次函數的函數圖形頂點為(1,3),且通過點(1,7),試求此二 次函數。
例題 9.1-17
直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為x1,且通過點(2,1)與(1,7), 試求此二次函數。
詳解:
因為 f(x)a(xh)2 k的函數圖形對稱軸為x ,所以頂點為對稱軸為h x1的函 數,我們可以列成 f(x)a(x(1))2 k a(x1)2 k。
將點(2,1)代入y f(x)a(x1)2 k得1a(21)2 k ,化簡得a k 1 將點(1,7)代入y f(x)a(x1)2k得7a(11)2 k,化簡得4a k 7 寫成聯立方程式:
7 4
1 k a
k a
) 2 ...(
) 1 ...(
) 1 ( ) 2
( 得3a6→a2
2
a 代入(1)得k 1
因此題目所求二次函數為 f(x) x2( 1)21
同學可以將函數圖形畫出來,檢視是否符合題意。
【練習】9.1-17
直角座標上,已知某二次函數其函數圖形對稱軸為x3,且通過點(5,6)與(2,0), 試求此二次函數。
函數的根與圖形的關係
瞭解了二次函數的圖形後,接著我們要討論方程式的解、函數的根與圖形的關係:
方程式的解,為符合方程式的未知數之值。例如x2 x2 150的解為 5 、 3 。 函數的根,為函數值 f(x)0時的 x 之值。例如 f(x)x2 2x15的根為 5 、 3 。 一般來說,相同方程式的解與函數的根也會是相同的。若我們從直角座標圖形來看,
求ax2 bxc0的解就相當於找函數 f(x)ax2 bxc其函數圖形與 x 軸交點之 x 座 標。例如函數 f(x)x2 2x15其函數圖形與 x 軸的交點為(5,0)、(3,0),交點的 x 座 標即為方程式ax2 bxc0的解。如圖 9.1-22。
圖 9.1-22
由圖 9.1-22 也可看出,x2 x2 150有兩相異解,而 f(x)x2 2x15函數圖形與 x 軸有兩相異交點。
x y
15
2 2
x x y
接著我們來看看方程式x2 x6 90,利用乘法公式可得(x3)2 0,因此解為 3 (重 根)。對函數 f(x)x2 6x9來說,3 也是其函數圖形與 x 軸交點之 x 座標。如圖 9.1-23。
圖 9.1-23
由圖 9.1-23 可知,x2 x6 90有重根,而 f(x)x2 6x9的函數圖形與 x 軸只有一 交點。
最後我們來看看方程式x2 x20,因為判別式12 41270,因此無解。對函 數 f(x)x2 x2來說,其函數圖形與 x 軸無交點。如圖 9.1-24。
圖 9.1-24
9
2 6
x x y
2 2
x x y
x y
x y
由圖 9.1-24 可知,x2 x20無解,而 f(x)x2 x2的函數圖形與 x 軸無交點。
我們將以上討論做個整理,對於方程式ax2 bxc0:
判別式 解的種類 f(x)ax2 bxc函數圖形與 x 軸交點
0
2 ac4
b 兩相異解 兩相異交點
0
2 ac4
b 重根 一交點
0
2 ac4
b 無解 無交點
表 9.1-15
例題 9.1-18
判斷 f(x)2x2 8x8的函數圖形與 x 軸的交點數量。
詳解:
利用判別式,先判斷2x2 x8 80的解的種類。
0 8 2 4
82
因此方程式2x2 x8 80有重根。根據表 9.1-15, f(x)2x2 8x8的函數圖形 與 x 軸有一交點。
【練習】9.1-18
判斷 f(x)3x2 5x9的函數圖形與 x 軸的交點數量。
9.1 節 習題
習題 9.1-1
畫出 f(x)2x2的函數圖形。
習題 9.1-2
(1)找出 f(x)3x2函數圖形的對稱軸。
(2)畫出 f(x)3x2的函數圖形。
習題 9.1-3
寫出下列各函數圖形的開口方向:
(1) f(x)5x2 (2) f(x)5x2 (3) 2 3 ) 1 (x x
f
習題 9.1-4
畫出 f(x) x2 1的函數圖形,並指出頂點。
習題 9.1-5
畫出 f(x) x2 2 1的函數圖形,並指出頂點。
習題 9.1-6
畫出 f(x) x3( 2)2的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
習題 9.1-7
畫出 ( 1)2 2
) 1
(x x
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
習題 9.1-8
畫出 f(x) x2( 1)2 1的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
習題 9.1-9
畫出 ( 1) 3 2
) 1
(x x 2
f 的函數圖形,並指出頂點與對稱軸。
習題 9.1-10
寫出 f(x) x6( 1)2 5函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
習題 9.1-11
寫出 ( 1) 1 3
) 1
(x x 2
f 函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
習題 9.1-12
寫出 f(x)x2 2x5函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
習題 9.1-13
寫出 f(x)4x2 8x1函數圖形的頂點、對稱軸與開口方向。
習題 9.1-14
在直角座標上畫出 f(x)3x26x1的函數圖形。
習題 9.1-15
求 2 4
3 ) 1
(x x2 x
f 函數圖形的頂點座標。
習題 9.1-16
判斷 f(x)x2 2x1函數圖形與 x 軸的交點數量。
習題 9.1-17
直角座標上,已知某二次函數圖形頂點為(1,2),且通過點(4,11),試求此二次函數。
習題 9.1-18
直角座標上,已知某二次函數圖形對稱軸為x2,且通過點(3,2)與(5,6),試求此 二次函數。
9.2 節 二次函數圖形的移動
在本節中,我們將討論當二次函數圖形改變時,函數會如何變化。
在 9.1 節時我們畫過 f(x) x2 1的函數圖形,這裡我們與 f(x)x2做比較:
為了簡化運算,我們先比較拋物線方程式y x2 1與yx2。
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x2
y 9 4 1 0 1 4 9
2 1
x
y 10
=9+1
5
=4+1
2
=1+1
1
=0+1
2
=1+1
5
=4+1
10
=9+1 表 9.2-1
可以看出 x 座標相同時,y x21圖形的 y 座標是y x2圖形的 y 座標加 1。
將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:
圖 9.2-1
x
x2
y
2 1
x y
x y
我們再看一個例子,比較 4 2
1 2
x
y 與 2
2 1x
y 的圖形:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2
2 1x y
2
41 2
2
1 0
2
1 2
2 41
2 4 1 2
x
y 2
1
= 4 2 41
-2
=24
2 31
= 4 21
-4
=0 4
2 31
= 4 21
-2
=24
2 1
= 4 2 41
表 9.2-2
圖 9.2-2 如圖 9.2-2, 4
2 1 2
x
y 的圖形,可以看成是 2
2 1x
y 往下移動 4 單位。
事實上,y ax2 k 的圖形,相當於yax2往上移動 k 單位。(若k 0則為往下移動 k 單 位)
因此y x2 1的圖形是yx2往上移動 1 單位, 4 2
1 2
x
y 的圖形是 2
2 1x
y 往下移動 4 單位。
2 4 1 2
x y
2
2 1x y
x y
我們再接著看下一種形式,比較y x( 2)2與yx2:
y 9 4 1 0 1 4 9
x
(yx2) -3 -2 -1 0 1 2 3 x
(y x( 2)2)
-1
=-3+2
0
=-2+2
1
=-1+2
2
=0+2
3
=1+2
4
=2+2
5
=3+2
表 9.2-3
可以看出 y 座標相同時,y x( 2)2圖形的 y 座標是yx2圖形的 x 座標加 2。
將兩個圖形畫在同一個直角座標上比較:
圖 9.2-3
由圖 9.2-3 可知,y x( 2)2的圖形即是yx2的圖形往右移動 2 單位。
x2
y y x( 2)2
x y
再比較看看 ( 4)2 2
3
x
y 與 2
2 3x
y :
y 2
131 6
2
11 0
2
11 6
2 131
x
( 2
2 3x
y ) -3 -2 -1 0 1 2 3
x ( ( 4)2
2 3
x
y )
-7
=-3-4
-6
=-2-4
-5
=-1-4
-4
=0-4
-3
=1-4
-2
=2-4
-1
=3-4
表 9.2-4
圖 9.2-4
可以看出 ( 4)2 2
3
x
y 的圖形相當於 2
2 3x
y 的圖形往左移動 4 單位。
事實上,ya(xh)2的函數圖形相當於yax2往右移動h單位。(若h0則為往左移動 h單位)
2
2 3x y )2
4 2( 3
x y
x y
最後我們比較y x( 2)2 3與yx2: x2
y
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
3 ) 2 ( 2
x y
x -1 0 1 2 3 4 5
y 12 7 4 3 4 7 12
表 9.2-5
圖 9.2-5
3 ) 2 ( 2
x
2 y x y
x y
從頂點來看,yx2的頂點是(0,0),y x( 2)2 3的頂點是(2,3),相當於 x 座標增加 了 2 單位,y 座標增加了 3 單位。除了頂點以外,其他的點也有同樣關係:
x2
y 上的點 (0,0) (1,1) (2,4) (3,9) 3
) 2 ( 2
x
y 上的點 (2,3) (3,4) (4,7) (5,12)
表 9.2-5
表 9.2-5 中,對應的各點關係都是 x 座標增加 2 單位,y 座標增加 3 單位。事實上,整 個y x( 2)2 3的圖形可以想像成是yx2的圖形往右移動 2 單位,再往上移動 3 單 位。那麼 x 座標增加 2 單位,y 座標增加 3 單位是怎麼來的呢?
前面我們已經知道了:
k ax
y 2 的圖形相當於y ax2往上移動 k 單位。(若k 0則為往下移動 k 單位) )2
(x h a
y 的圖形相當於yax2往右移動 h 單位。(若h0則為往左移動h 單位)
合併成ya(xh)2k 時也是一樣:
k h x a
y ( )2 的圖形相當於yax2往右移動 k 單位,往上移動 h 單位。(若k 0則為 往下移動 k 單位,h0則為往左移動 h 單位)
因此,y x( 2)2 3的圖形就相當於yx2的圖形往右移動 2 單位,再往上移動 3 單位。
我們已經知道了ya(xh)2k 相當於將yax2往右移動 h 單位(h0時為往左移動 h 單位),往上移動 k 單位(k 0時為往下移動 k 單位)。反過來說, yax2若往上移動 k 單 位 , 則 方 程 式 會 變 為 y ax2 k 。 接 著 再 往 右 移 動 h 單 位 , 方 程 式 就 會 變 為
k h x a
y ( )2 。
以y2x2為例,將圖形往上移 4 單位,方程式會變為y x2 2 4。再繼續往右移 5 單位,
方程式會變為y x2( 5)24,如圖 9.2-6:
圖 9.2-6
x y
4 ) 5 (
2 2
x y
2x2
y
4 2 2
x y
同樣地,若是移動ya(xh)2 k ,也會有下列關係:
(1)將ya(xh)2k 往上移動k1單位,會得到y a(xh)2 kk1。(k1 0) (2)將ya(xh)2k 往下移動k2單位,會得到y a(xh)2 kk2。(k2 0) (3)將ya(xh)2k 往右移動h1單位,會得到y a(xhh1)2 k。(h1 0) (4)將ya(xh)2k 往左移動h2單位,會得到y a(xhh2)2 k 。(h2 0)
瞭解了拋物線方程式的移動之後,接下來讓我們回到二次函數的函數圖形。
我們來移動 f(x)a(xh)2 k的函數圖形:
(1) 將 f(x)a(xh)2 k的函數圖形往上移動k1單位,會得到 f(x)a(xh)2 kk1。 )
0 (k1
(2) 將 f(x)a(xh)2 k的函數圖形往下移動k2單位,會得到 f(x)a(xh)2 kk2。 )
0 (k2
(3) 將 f(x)a(xh)2 k的函數圖形往右移動h1單位,會得到 f(x)a(xhh1)2k。 )
0 (h1
(4) 將 f(x)a(xh)2 k的函數圖形往左移動h2單位,會得到 f(x)a(xhh2)2 k 。 )
0 (h2
例題 9.2-1
(1)求將 f(x)3x2的函數圖形上移 1 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)3x2的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x)3x2的函數圖形右移 2 單位後所得的函數。
(4)求將 f(x)3x2的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。
詳解:
利用前面討論的結果可以得到:
(1)將 f(x)3x2的函數圖形上移 1 單位後所得的函數為 f(x)3x2 1。 (2)將 f(x)3x2的函數圖形下移 3 單位後所得的函數為 f(x)3x2 3。 (3)將 f(x)3x2的函數圖形右移 2 單位後所得的函數為 f(x)3(x2)2。 (4)將 f(x)3x2的函數圖形左移 4 單位後所得的函數為 f(x)3(x4)2。
【練習】9.2-1
(1)求將 2
2 ) 1
(x x
f 的函數圖形下移 1 單位後所得的函數。
(2)求將 2
2 ) 1
(x x
f 的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。
(3)求將 2
2 ) 1
(x x
f 的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。
(4)求將 2
2 ) 1
(x x
f 的函數圖形右移 4 單位後所得的函數。
例題 9.2-2
(1)求將 f(x)7x2的函數圖形上移 3 單位,左移 4 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)7x2的函數圖形下移 2 單位,右移 7 單位後所得的函數。
詳解:
(1) 將 f(x)7x2的函數圖形上移 3 單位後所得的函數為 f(x) x7 23,再左移 4 單位得到y x7( 4)2 3。
(2) 將 f(x)7x2的函數圖形下移 2 單位後所得的函數為 f(x) x7 2 2,再右移 7 單位得到 f(x) x7( 7)2 2。
【練習】9.2-2
(1)求將 f(x)5x2的函數圖形上移 3 單位,右移 5 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)5x2的函數圖形下移 6 單位,左移 4 單位後所得的函數。
例題 9.2-3
(1)求將 f(x) x( 2)2 1的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x) x( 2)2 1的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x) x( 2)2 1的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位後所得的函數。
詳解:
(1) 將 f(x) x( 2)2 1的函數圖形上移 3 單位即得:
3 1 ) 2 ( )
(x x 2 f
4 ) 2 ( )
(x x 2 f
(2) 將 f(x) x( 2)2 1的函數圖形左移 4 單位即得:
1 ) 4 2 ( )
(x x 2 f
1 ) 2 ( )
(x x 2 f
(3) 將 f(x) x( 2)2 1的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位即得:
2 1 ) 1 2 ( )
(x x 2 f
1 ) 3 ( )
(x x 2 f
【練習】9.2-3
(1)求將 f(x) x( 1)2 2的函數圖形上移 3 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x) x( 1)2 2的函數圖形左移 4 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x) x( 1)2 2的函數圖形下移 2 單位,右移 1 單位後所得的函數。
例題 9.2-4
求將 f(x)x2 4x7的函數圖形左移 2 單位後所得的函數。
詳解:
首先利用配方法,將 f(x)x2 4x7化成 f(x)a(xh)2 k的形式。
)
f(x x24x7
7 4 4
2 4
x x
7 4 ) 2
( 2
x
11 ) 2 ( 2
x
將 f(x) x( 2)2 11的函數圖形左移 2 單位所得函數為:
11 ) 2 2 ( )
(x x 2 f
11 ) 4 ( )
(x x 2 f
【練習】9.2-4
求將 f(x)x2 6x3的函數圖形下移 3 單位後所得的函數。
例題 9.2-5
求將 f(x)3x218x1的函數圖形右移 5 單位,下移 3 單位後所得的函數。
詳解:
首先利用配方法,將 f(x)3x2 18x1化成 f(x)a(xh)2 k的形式。
)
f(x 3x2 18x1 1 ) 6 (
3 2
x x
1 ) 9 9 6 (
3 2
x x
1 27 ) 9 6 (
3 2
x x
26 ) 3 (
3 2
x
將 f(x)3(x3)226的函數圖形右移 5 單位,下移 3 單位所得的函數為:
3 26 ) 5 3 ( 3 )
(x x 2 f
23 ) 8 ( 3 )
(x x 2 f
【練習】9.2-5
求將 f(x)2x2 4x1的函數圖形左移 2 單位,上移 7 單位後所得的函數。
9.2 節 習題
習題 9.2-1
(1)求將 f(x)2x2的函數圖形上移 2 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)2x2的函數圖形下移 4 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x)2x2的函數圖形左移 1 單位後所得的函數。
(4)求將 f(x)2x2的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。
習題 9.2-2
(1)求將 f(x)3x2的函數圖形上移 4 單位,右移 2 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x)3x2的函數圖形下移 1 單位,左移 3 單位後所得的函數。
習題 9.2-3
(1)求將 f(x) x( 3)2 1的函數圖形上移 4 單位後所得的函數。
(2)求將 f(x) x( 3)2 1的函數圖形左移 5 單位後所得的函數。
(3)求將 f(x) x( 3)2 1的函數圖形下移 3 單位,左移 2 單位後所得的函數。
習題 9.2-4
求將 f(x)x2 2x1的函數圖形右移 3 單位後所得的函數。
習題 9.2-5
求將 f(x)x2 4x3的函數圖形右移 3 單位,下移 5 單位後所得的函數。
9.3 節 二次函數的最大值與最小值
在 9.1 節中,我們有討論過拋物線的頂點,同學若觀察圖形,可發現頂點同時也是拋物 線中最高或最低的點。
以y x( 4)2 5為例:
圖 9.3-1 5
) 4 ( 2
x
y 開口向上,頂點(4,5)在最低點。我們可以說,此拋物線的 y 座標有最小 值 5 。
利用這一點,我們可以求出二次函數的最大值或最小值。例如二次函數 5
) 4 ( )
(x x 2
f ,其函數的最小值就是 5 。
要注意的是, f(x) x( 4)2 5雖然可以找到最小值,但因為函數圖形開口向上,因此 不會找到最大值。
x y
再來看看y f(x)2(x1)2 3的圖形:
圖 9.3-2
由圖 9.3-2 可知,拋物線 y2(x1)2 3的頂點(1,3)是最高點。也就是二次函數 3
) 1 ( 2 )
(x x 2
f 有最大值3。因為圖形開口向下,因此此二次函數沒有最小值。
由以上討論可知:
若a 0,則拋物線ya(xh)2k的最低點為( kh, )。二次函數 f(x)a(xh)2 k的最 小值為 k 。
若a0,則拋物線ya(xh)2k的最高點為( kh, )。二次函數 f(x)a(xh)2 k的最 大值為 k 。
x y
例題 9.3-1
判斷拋物線y x3( 3)2 5是否有最高點或最低點,並寫出最高點或最低點座標。
詳解:
0
3 ,因此拋物線開口向上,有最低點,無最高點。
頂點為(3,5),(3,5)即為最低點。
【練習】9.3-1
判斷拋物線 ( 4) 2 2
3 2
x
y 是否有最高點或最低點,並寫出最高點或最低點座標。
例題 9.3-2
判斷拋物線 ) 7
2 21 3(
31 2
x
y 是否有最高點或最低點,並寫出最高點或最低點座
標。
詳解:
3 0 31
,因此拋物線開口向下,有最高點,無最低點。
頂點為 ,7) 2 21
( , ,7)
2 21
( 即為最高點。
【練習】9.3-2 判斷拋物線
4 33 2) 31 2(
7 2
x
y 是否有最高點或最低點,並寫出最高點或最低點座
標。
例題 9.3-3
判斷二次函數 ( 2) 3 7
) 1
(x x 2
f 是否有最大值或最小值,若有則求出最大值或最
小值。
詳解:
7 0
1 ,因此函數有最小值,無最大值。
) (x f
y 函數圖形頂點為(2,3),函數最小值為3。
【練習】9.3-3
判斷二次函數 ( 4) 7 3
) 7
(x x 2
f 是否有最大值或最小值,若有則求出最大值或最
小值。
例題 9.3-4
判斷二次函數 f(x)2(x4)2 2是否有最大值或最小值,若有則求出最大值或最 小值。
詳解:
0 2
,因此函數有最大值,無最小值。
) (x f
y 函數圖形頂點為(4,2),函數最大值為2。
【練習】9.3-4
判斷二次函數 f(x)0.6(x9)2 3是否有最大值或最小值,若有則求出最大值或 最小值。
除了從拋物線頂點來看最大最小值以外,我們也可以利用不等式來觀察。以例題 9.3-3 中的二次函數 ( 2) 3
7 ) 1
(x x 2
f 為例,我們知道平方數會大於或等於0,因此:
0 ) 2
(x 2 (平方數會大於或等於 0) 7
0 1 7 ) 1 2
(x 2 (等量公理,不等號左右皆乘以 7 1)
0 ) 2 7(
1 2
x
3 3 ) 2 7(
1 2
x (等量公理,不等號左右都加上 3) 3
3 ) 2 7( ) 1
(x x 2 f
3 ) (x f
得到此二次函數的函數值大於等於3,即此函數的最小值為 3。與例題 9.3-3 利用圖形 頂點得出的答案相同。
接著再來看例題 9.3-4 中的二次函數 f(x)2(x4)2 2,我們一樣從平方數大於等於0 開始:
0 ) 4
(x 2 (平方數會大於或等於 0) )
2 ( 0 ) 2 ( ) 4
(x 2 (等量公理,不等號左右皆乘以(2),乘以負數時不等式方 向相反)
0 ) 4 (
2 2
x
2 2 ) 4 (
2 2
x (等量公理,不等號左右加上 2) 2
2 ) 4 ( 2 )
(x x 2 f
2 ) (x f
得到此二次函數的函數值小於等於2,即此函數的最大值為 2。與例題 9.3-4 利用圖形 頂點得出的答案相同。