節 二次函數的綜合題與應用題

前三小節中，我們已經瞭解的二次函數的基本知識，接下來將開始計算各種綜合題與 應用題。

例題 9.4-1

圖 9.4-1 為二次函數yx²的圖形。A、B 兩點在y x²上，且 A、B 兩點與 x 軸的距 離都是 9，試求 A、B 之間的距離。

圖 9.4-1 詳解：

因為 A、B 兩點與 x 軸的距離都是 9，可知兩點的 y 座標也都是 9。

將y9代入y x²： 9 x 2

3

 x

可知兩點座標為(3,9)與(3,9)。又根據圖 9.4-1，A 點在第一象限，B 點在第二象限，

可判斷 A 點座標為(3,9)，B 點座標為(3,9)。 A、B 兩點 y 座標相同，因此距離為 x 座標之差。

A、B 之間的距離 3(3) 6

x y

【練習】9.4-1

【練習】9.4-2

例題 9.4-4

2

) 4 ( 1 4 ) 4 (

4  ²    



x _{(利用公式解)}

2 2 2

 x

由圖 9.4-3 可知，出手位置在第一象限，因此取x22 2

出手位置為(22 2,2)，與 y 軸距離是(22 2)公尺。出手位置與籃框的水平 距離即與 y 軸的距離，因此小豪與籃框的水平距離為(22 2)公尺。

【練習】9.4-4

小文站在高台上拋了一個紙飛機，假設紙飛機的飛行軌跡為 6

5 2 50

1 ₂  



 x x

y _。

如圖 9.4-4，其中 x 公尺為紙飛機移動的水平距離，y 公尺為紙飛機高度。請問：

(1)此紙飛機在移動過程中，距離地面最高高度為多少公尺？

(2)此紙飛機落地時，水平距離共移動了多少公尺？

圖 9.4-4

x y

例題 9.4-5

例題 9.4-6

已知某拋物線最低點為O(0,0)，且與直線y5交於 A、B 兩點，A 點在第一象限，

B 點在第二象限。若 OAB 的面積為 25 平方單位，試求：

(1)A、B 兩點之座標為何？

(2)此拋物線方程式為何？

詳解：

(1)依題目條件來畫出拋物線圖形，如圖 9.4-5。

拋物線最低點為O(0,0)，即頂點為(0,0)，對稱軸為x0。 拋物線與直線y5交於 A、B 兩點，可知開口應向上。

圖 9.4-5

設直線y5與 y 軸交於 C 點，則 C 座標為(0,5)，且OC5。

OAB中，令底為AB，則高為OC。根據 OAB 的面積為 25 平方單位：

OC AB

OAB  

 2

1

2 5

25 1AB 解得AB10

因為 C 為對稱軸x0上一點，因此 C 為AB中點， 5 2

1 



BC AB AC

A 點與 y 軸距離為 5，且在第一象限，通過直線y5，可知座標為(5,5)。 同理 B 點座標為(5,5)。

x y

(2)設拋物線方程式為ya(xh)² k

代入頂點(0,0)，得方程式為ya(x0)² 0 ax² 代入 A(5,5)：

ax2

y

)2

5 ( 5 a

25a 5

5

1 a

因此拋物線方程式為 ² 5 1x y

【練習】9.4-6

已知某拋物線最低點為O(0,0)，且與直線y9交於 A、B 兩點，A 點在第一象限，

B 點在第二象限。若 OAB 的面積為 54 平方單位，試求：

(1)A、B 兩點之座標為何？

(2)此拋物線方程式為何？

例題 9.4-7

【練習】9.4-7

【練習】9.4-8

(2) 題目想找x² y²的最小值。我們要試著將x y 10平方來找出x²y²。

【練習】9.4-10

【練習】9.4-11

【練習】9.4-12

阿明想在河邊用鐵絲圍一個長方形的菜園，鐵絲長 200 公尺。河邊當作一邊不用鐵 絲圍。請問圍成的菜園，最大面積為多少平方公尺？

9.4 節 習題

習題 9.4-1

圖 9.4-7 為二次函數y4x²的圖形。A、B 兩點在y4x²上，且 A、

B 兩點與 x 軸的距離都是 16，試求 A、B 之間的距離。

圖 9.4-7 習題 9.4-2

求拋物線y x² 2x與直線y 5x12的交點。

習題 9.4-3

小朱想用一條 40 公分長的繩子，圍成一個矩形。請問長、寬分別為多少公分時，

可圍出最大的面積？最大的面積是多少平方公分？

習題 9.4-4

小布玩積木投籃遊戲，假設投出的籃球軌跡為 4 5 2

1 ₂







 x x

y _{，且此球有進籃框}

(即拋物線通過籃框座標)。如圖 9.4-8，其中 x 公分為籃球移動的水平距離，y 公 分為籃球高度。請問：

(1)此籃球在移動過程中，距離地面最高高度為多少公分？

(2)若小布此球出手時，球的高度為 3 公分，請問小布與籃框的水平距離是幾公分？

圖 9.4-8

習題 9.4-5

從地面發射一枚砲彈，若經過時間 t 秒與砲彈高度 y 公尺的關係式為yt²30t， 請問：

(1)此砲彈飛到最高點時，高度為多少公尺？

(2)此砲彈高度為 125 公尺時，經過時間為多少秒？

習題 9.4-6

已知某拋物線最低點為O(0,0)，且與直線 y12交於 A、B 兩點，A 點在第一象限，

B 點在第二象限。若 OAB 的面積為 72 平方單位，試求：

(1)A、B 兩點之座標為何？

(2)此拋物線方程式為何？

習題 9.4-7

丹丹家舉辦三天兩夜家族旅遊，預定人數為 10 人，每人收費 2000 元。但達到 10 人之後，每超過 1 人，則每人費用減 100 元。例如若有 11 人，則每人收費 1900 元。

請問人數為多少時，收到的總費用會最多？

習題 9.4-8

開心果園中有 10 棵蘋果樹，平均每棵年產 200 個蘋果。若在果園中每加種 1 棵蘋 果樹，則每棵樹平均年產量會減少 10 個蘋果。請問加種多少棵蘋果樹，可使蘋果 產量最大？

習題 9.4-9

若x y14，則：(1)xy的最大值為何？(2)x²y²的最小值為何？

習題 9.4-10

若3x y4 24，試求4xy的最大值。

習題 9.4-11

數線上有 A、B 兩點，座標分別為 1、11。今在 A、B 之間取一點 C，請問：

(1)C 點座標為多少時，ACCB有最大值？

(2)C 點座標為多少時，AC² CB²有最小值？

習題 9.4-12

如圖 9.4-9，阿土伯想在河邊用鐵絲圍一個長方形的 菜園，鐵絲長 500 公尺。河當作一邊不用鐵絲圍。請 問圍成的菜園，最大面積為多少平方公尺？

圖 9.4-9