範例二：移動物體方向角 θ 隨循圓運動變化

圖4.5為光學影像式量測裝置，隨著循圓運動，感測器模組方向角 θ與循圓運動旋轉角度ζ等值變化，檢知物體循圓運動。圖4.6為感測 器模組循圓運動位置軌跡。x-軸位移與y-軸位移和循圓運動旋轉角度 ζ關係為餘弦與正弦函數，彼此相位角相差90度，振幅大小為循圓半 徑60 mm。感測器模組方向角θ，隨著循圓運動旋轉角度ζ而等值線性 變化。圖4.7為模擬感測器輸出位移增量。各感測器x軸與y軸位移增 量皆保持定值。由於感測器#1位於循圓運動外環，相對輸出位移增量 皆較感測器#2位移增量大。與圖4.3相互比較：雖範例一與範例二，

感測器模組皆執行循圓運動。但是感測器隨物體運動旋轉，其位移增 量波形與圖4.3所顯示正弦函數波形非常不一樣。圖4.8為數值模擬經

72

x y

P

P P

ζ

L

光學感測器

θ

r

圖4.5 感測器模組循圓運動(θ變化) O

73

圖4.6 模擬循圓軌跡(θ變化) (a) x 軸位移

(b) y 軸位移

(c)方向角θ位移

74

圖4.7 模擬感測器輸出增量位移(θ變化)

75

(a) x 軸位移誤差

圖 4.8 模擬循圓軌跡誤差(θ變化) (b) y 軸位移誤差

(c)方向角θ位移誤差

76

各演繹法計算與理想位移比較，所產生位移誤差。由於使用演繹法#1 產生位移誤差比其他演繹法所計算出位移誤差明顯大很多，為能正確 顯示演繹法#2，#3與#4所計算出位移誤差波形，我們在圖4.8(a)中，

演繹法#2，#3與#4所計算出x-方向位移誤差放大1e¹¹倍；在圖4.8(b) 中，演繹法#2，#3與#4所計算出y-方向位移誤差放大1e¹¹倍；在圖4.8(c) 中，演繹法#2，#3與#4所計算出方向角θ位移誤差放大1e⁹倍。從圖4.8 可知：演繹法#1，其數學模型在推導過程中，將感測器增量位移信號 與物體運動位移之間非線性幾何關係，簡化成一階線性關係。當物體 平面運動，含有方向角θ旋轉位移時，將產生嚴重誤差。我們可以將 方程式(2.26)與(2.27)，所求得一階進似解析解，反算求取在一階線性 數學模型下，位移誤差量Err ，Err_yⁱ 與Err 分別如下：

Err r cosθ cosθ

2rsin^∆ ∑ sin ^∆ 1 k sin∆θ (4.2.a) Err_yⁱ r sinθ sinθ

2rsin^∆ ∑ cos ^∆ 1 k sin∆θ (4.2.b)

Err i · sin∆θ θ (4.2.c)

從方程式(4.2)可知：在循圓運動，移動物體方向角θ隨旋轉角變 化時，演繹法#1因數學模型簡化，所產生位移誤差並不與感測器安

77

裝起始角 或 有關，也與感測器相距距離L無關。當相鄰取樣時間 減小(∆θ趨近於零)或循圓半徑r變小，位移誤差可以下降。從圖4.8數 值模擬結果中顯示：演繹法#1在x方向與y方向位移誤差振幅約高達 0.19 mm，分別在旋轉角ζ為90度，180度，270度，450度，540度，

630度誤差量最大。而在旋轉角ζ為360度與720度時，誤差量為零，

表示位移誤差並不累積；但是，在方向角θ位移誤差Err 有嚴重累 積誤差，隨著取樣時間增加而明顯逐漸增加。演繹法#2，#3與#4，

其x與y方向位置誤差皆在1e^-12mm以下，z軸方向角θ位移誤差在1e^-9 度以下，雖演繹法#3在方向角θ位移誤差，相較誤差較大，但仍屬數 值解析誤差範圍內。