非線性數值演算法：牛頓法

牛頓法[14]是數值分析上，解非線性方程組的一個重要的方法，

它在非線性方程組疊代解法的理論研究中佔有十分重要的地位。牛頓 法是以某一個設計點上，非線性函數的二次微分資料做區域近似 (Local Approximation)。牛頓法以初始設計點上函數的二次微分資料 得到原函數的一元二次多項式近似後，該一元二次多項式的最佳點很 容易求出，而每次疊代中便以此近似最小點為下次疊代點，逐步逼近 原函數的最小點。

泰勒展開式（Taylor Series Expansion）是一個常用的區域近似方 法。一個非線性函數f ，在點( )的泰勒展開式可以寫成如下形式：

f ∑

! (2.45)

假設函數f 是 n 次可微分。泰勒展開式以多項式近似f ，方程式 (2.45)中高次項越多，泰勒展開式對函數f 的近似也越準確，然而計

算這些高階導數也將變得十分繁雜，因此實用上我們考慮二次近似式 (2.46)。

f f ∑

∑ ∑ (2.46)

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為下一次疊代點。解方程式(2.48)最小點的二次充分條件可得：

δ

(2.49)

或是加入步移大小α，使得方程式(2.49)更具彈性。

α (2.50)

因此牛頓法在第k次疊代的搜尋方向為

(2.51)

方程式(2.51)即為牛頓法的搜尋方向，稱作牛頓方向(Newton’s Direction)。牛頓法的搜尋方向雖然並非疊代點上下降最快的方向，但 牛頓法整體的收斂速度遠較梯度法為快。牛頓法在最佳化函數搜尋是 相當有效率的。

牛頓法的收斂效能在搜尋的初始點接近最佳解附近的確是相當 快速，但當搜尋初始點離最佳解較遠時，就無法保證能夠找到最佳解。

尤其是牛頓法的搜尋方向不一定是函數值下降的方向，也就是說，在

搜尋的過程中也有可能發生f f 。在本文中，利用牛頓

法找尋下一個取樣時間的最佳增量位移或位移時，其起始點搜尋點皆 利用上一個取樣時間所求得最佳解。由於物體位移在相鄰取樣時間中，

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並不會很大，在模擬分析與實驗過程中，牛頓法皆可很有效率，快速 逼近最佳點。

以下為牛頓法演算步驟：

– 步驟1：設定初始點為

– 步驟2： f ，若 EPS 即停止

– 步驟3：由 求解

– 步驟4：代入

– 步驟5： k k 1；回到步驟2。

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第三章 光學影像式量測裝置設計與製作   

3.1 裝置構造

圖 3.1(a)為三自由度光學影像式量測裝置，其構造分為主控制 器及感測器模組兩部分。圖3.1(b)為主要功能方塊圖。光學影像感 測器採用 Agilent 公司生產 ADNB-6012 套件[15, 16]。在商業上，

主要應用於雷射光學滑鼠。套件包含有雷射二極體，雷射光學聚焦 鏡，雷射光學影像感測器與相關組合固定小套件。雷射二極體發射 波長約850nm 紅外線雷射同調光源，相較傳統 LED 所射出的光束，

容易光源散發。雷射光源直接反射在表面的細節上，其追蹤能力遠 遠高出傳統LED 光學 20 倍。ADNS-6010[16]為雷射光學影像感測 IC，內含有光學影像感測器。其輸出/輸入介面採用四線式，標準 串 列 通 訊 SPI(Enhanced Serial Peripheral Interface) 介 面 ， 由 MISO(Master Input Slave Output) ， MOSI(Master Output Slave Input) ，SCK(Serial Clock)與 NSS(Slave Select)四條訊號線控制。

SCK 脈波控制訊號，可以用高達 24MHz 脈波訊號，高速讀取或寫 入 ADNS-6010 內部暫存器資料。主控器使用 C8051F321[17]單晶 片微控制器。晶片屬於 8051 系列微處理機，除一般 I/O 輸出與輸