第三章 計算結果
3.2 系統結構對弛豫率的影響
首先我們改變中央障礙的寬度 ，即改變從 a 到 b 的距離，以系統維持對 稱的情況下，來觀察能階及弛豫率的改變。寬度對能階的影響如圖 3-16 所示，
隨著障礙的寬度逐漸增加，基態與第一激發態也逐漸靠近且升高，較高的能階 也逐漸升高，且稍微靠近。若障礙寬度增加到與系統寬度同樣，則會形成一個 新的單量子點，最低的兩個能階也會形成新量子點的最低能階。圖 3-17 為第二 激發態與基態的能階差對障礙寬度作圖，在無障礙寬度時，能量差約為 1.68 meV 而寬度增加到 40 nm 後，則能量差約為 0.07 meV。波函數機率分布圖如圖 3-18、3-19 所示，分別為障礙寬度為 10 nm 和 30 nm 時的情形，障礙寬度增加，
波函數分布機率最大值越往兩旁推移。在圖 3-20 中說明障礙寬度對弛豫率的影 響，弛豫率隨著障礙寬度增寬遞增，增加到障礙寬度超過 18nm 後又稍微下降，
在障礙寬度較小時，DP 為主要弛豫率的貢獻，到了障礙寬度超過 16nm 後，PZ
L b
成為弛豫率主導的貢獻。
3.2-2 改變障礙位能
在這章節，我們改變中央障礙的位能 ，同樣為對稱結構，單純增加障礙 的位能，不考慮外加電場的作用，來探討障礙位能的高低對系統的能階和弛豫 率造成的影響。障礙位能改變對能階影響如圖 3-21 所示，能階受到障礙的位能 增加而逐漸升高，，當位能越高時，使得基態與第一激發態的能量越來越靠近，
如圖 3-22 所示，在位能為 0 meV 時，兩能階約差 1.68 meV，位能增加到 10 meV 後，能量差則縮小為 0.26 meV。假設位能被提高趨近無窮大，則會形成兩個獨 立的量子井，基態與第一激發態會結合形成新的最低能階。圖 3-23、3-24 說明 了波函數機率分布在障礙位能為 2 meV 和 18 meV 時的情形，障礙位能越大，
基態的波函數機率分布越往兩旁推擠，使在中間分布越少。弛豫率與障礙位能 關係如圖 3-25 所示，弛豫率隨位能增加而逐漸升高，在障礙位能較低時也些振 盪，位能超過 3 meV 後上升較平穩，而 PZ 在位能大於 7.9 meV 後超過 DP 成 為主導，之後整體弛豫率開始緩緩下降。
V 0
3.2-3 改變系統總寬度
我們改變系統的總寬度 c，以維持對稱的方式增加總寬度。如圖 3-26 表示，
隨系統總寬增加而能量遞減，基態與第一激發態、第二激發態與第三激發態逐 漸靠近。圖 3-27 為基態與第一激發態的能階差與系統寬度作圖，基態與第一激
發態最大能階差為 1.79 meV，到寬度 160 nm 時兩能階差值約 0.06 meV。圖 3-28 和圖 3-29 為分別為在系統寬度為 60 nm 和 160 nm 時的波函數分布圖，在系統 寬度較窄時，基態波函數機率分布較不受障礙位能影響，使中間有障礙的地方 機率較高，而在系統寬度較寬時，分布機率往障礙兩邊分散許多，且基態波函 數與第一激發態波函數機率分布重疊較緊密。弛豫率受系統寬度影響如圖 3-30 所示，我們觀察到弛豫率在總寬度較小時有些微振盪，到超過 c 為 80 nm 後趨 勢較為平緩，而 DP 對整體弛豫率的貢獻在 c 超過 92 nm 後開始小於 PZ 的貢獻，
且開始緩緩下降，而 PZ 的弛豫率在 c 為 100 nm 達最大值，之後也開始下降。
3.3 其他影響弛豫率因素 3.3-1 溫度
在費米黃金法則中的玻色愛因斯坦分布
n
，在(2.34)中受溫度 T 的控制，表示為：
k T B
1
e 1
n = ω
−
h q
因此，我們來探討溫度對弛豫率所造成的影響，模型為對稱的雙量子點，
改變溫度從 0 K 到 10 K，由於溫度改變不影響能階的變化，在此只看弛豫率的 趨勢。在圖 3-31 和圖 3-32 分別說明在無外加電場及外加電場為 10000 V/m 時 的弛豫率變化，可以看到在兩張圖中的弛豫率都隨溫度增加而增加，這是由於 提高溫度造成
n
值增加，對應地弛豫率也獲得增加。在無電場作用下 PZ 的弛 豫率為主導，在加入電場 10000 V/m 後，能量差變大，DP 與 PZ 的主導角色互 換。在無外加電場時，溫度為 10 K 的 PZ 的弛豫率約為 0 K 時的 3.8 倍，在友 外加電場下，10 K 時的 DP 的弛豫率約為 0 K 時的 2 倍，可以知道發現在無外 電場時，弛豫率的的變化較明顯，溫度的改變對弛豫率的影響較大。3.3-2 改變水平束縛能
異的情形第二、三激發態的反交叉現象在我們設定的範圍內無觀察到，第二激 發態與第一激發態出現反交叉的情形，而基態與第一激發態有兩個反交叉點，
約在外加電場為±11000 V/m 處出現，。基態在低電場時，趨勢較為平緩，第一 激發態在低電場時會有再度上升的現象。圖 3-35 為第一激發態與基態的能階差 對電場作圖，能階差出現三處轉折點，由於第一激發態從電場為 0 V/m 到±11000 V/m 時能量下降較大，而第一能階則相對較為平緩，到電場增加到±11000 V/m 後，才有明顯下降。圖 3-36 到圖 3-39 為在不同電場下波函數機率分布的情形，
在電場為 0 V/m 時，基態的波函數分布幾乎集中在中間，而第一激發態的波函 數分布則平均分散在兩端，隨著正向電場的增加到 6000 V/m，基態的波函數分 布往左偏移，第一激發態的波函數分布則往中間聚集，電場增加至 11000V/m 時，兩個能階波函數分布在中間和左邊較平均且重疊的情形多，電場為 17000V/m 時，基態波函數集中在左邊，第一激發態的波函數分布則集中在中 間。圖 3-40 說明弛豫率對電場的變化，圖中的弛豫率形成兩個峰值，在無外加 電場處是下凹的，隨電場增加，波函數的重疊增加使弛豫率上升，弛豫率最大 值在電場為±11000 V/m 處，電場再增強會讓波函數重疊情形減少，弛豫率開始 遞減，而 PZ 的弛豫率貢獻在電場為±6000 V/m 到±17000 V/m 之間會大於 DP 的貢獻。
第四章 結論
在本論文中，我們探討了半導體量子點在電場下的電子弛豫現象，利用矩 陣對角化方法求解出系統的能量及波函數，並透過費米黃金法則來計算得到弛 豫率。
首先討論對稱的雙量子點系統，其能階及弛豫率皆呈現對稱分布，能階有 反交叉現象，在有反交叉現象的電場附近時，PZ 弛豫率貢獻會高過 DP 的貢獻，
其他時候的 DP 貢獻大於 PZ 貢獻，整體的弛豫率趨勢受到波函數分布的重疊 情形影響，波函數重疊越高則弛豫率越大。不對稱系統的能階和弛豫率隨結構 變化偏移，能階的反交叉現象和弛豫率的最大值，因障礙位能的右偏而左移。
較高能階躍遷的弛豫率與低能階躍遷的弛豫率相比，趨勢明顯起伏較小，但有 兩個明顯下凹處，且前者比後者的值低了許多。
我們也探討障礙位能的高度、寬度和系統總寬度對弛豫率的影響，隨著障 礙的寬度或位能增加，能階都逐漸升高且靠近，而弛豫率都在障礙寬度或位能 增加的初期上升幅度較快，之後開始緩緩下降，弛豫率的主導會由 DP 變成 PZ，
改變系統寬度的弛豫率趨勢也相似，但能階會隨系統總寬度增加而遞減。
進一步，弛豫率變化還受到溫度和水平束縛位能影響，隨溫度或水平束縛 位能增加，弛豫率會遞增，且溫度增加的效益，在無電場時比有外加電場時更 明顯。
另外，考慮對稱的三個耦合量子點系統。能階與弛豫率也呈對稱情形，第 二激發態與第一激發態有反交叉現象，而基態與第一激發態有兩個反交叉點。
弛豫率出現兩個峰值，在無電場時是下凹的。
圖 2-1 無限量子井示意圖
圖 2-2 水平拋物線束縛位能示意圖
∞ ∞
V 0
-c/2 a 0 b c/2 z
圖 2-3 兩個耦合量子點系統示意圖
∞ ∞
V 1 V 2
-c/2 a b 0 d e c/2 z
圖 2-4 三個耦合量子系統點示意圖
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
0.0000
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0
1x10 7 2x10 7 3x10 7 4x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1 ψ 2 F = -50000 (V/m)
圖 3-5 外加高電場時的波函數機率分布圖
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000 0.000
0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012
l = 1 l = 2 l = 3 l = 4
E l (e V)
F (V/m)
圖 3-6 不對稱的雙量子點中能階與電場關係圖
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0.0
5.0x10 6 1.0x10 7 1.5x10 7 2.0x10 7 2.5x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1 ψ 2
F = -20000 (V/m)
圖 3-9 在電場-20000 V/m 時的波函數機率分布圖
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0 1x10 7 2x10 7 3x10 7 4x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1 ψ 2
F = -50000 (V/m)
圖 3-10 在電場-50000 V/m 時的波函數機率分布圖
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
0.0062
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0.0
5.0x10 6 1.0x10 7 1.5x10 7 2.0x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1 ψ 3 F = 0 (V/m)
圖 3-13 在無外加電場時的波函數機率分布圖
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0 1x10 7 2x10 7 3x10 7 4x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1 ψ 3 F = 25000 (V/m)
圖 3-14 在電場為 25000 V/m 時的波函數機率分布圖
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0.0000
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018
Δ E ( e V )
L b (nm)
圖 3-17 障礙寬度與能階差關係圖
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0.0 5.0x10 6 1.0x10 7 1.5x10 7 2.0x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1 ψ 2 L b = 10 nm
圖 3-18
L b
= 10 nm 時的波函數機率分布圖-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0.0
5.0x10 6 1.0x10 7 1.5x10 7 2.0x10 7 2.5x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1
ψ 2
L b = 30 nm
圖 3-19
L b
= 30 nm 時的波函數機率分布圖0 5 10 15 20 25 30 35 40
10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10
Γ (1/ s )
L b (nm)
DP PZ
圖 3-20 障礙寬度與弛豫率關係圖
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0.0
4.0x10 6 8.0x10 6 1.2x10 7 1.6x10 7 2.0x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1 ψ 2 V 0 = 2 meV
圖 3-23
V 0
為 2 meV 時的波函數機率分布圖-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0.0 5.0x10 6 1.0x10 7 1.5x10 7 2.0x10 7
| ψ l ( z ) | 2
Z (nm)
ψ 1
ψ 2 V 0 = 18 meV
圖 3-24
V 0
為 18 meV 時的波函數機率分布圖0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
-75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60 75
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10
Γ (1/s)
h ω 0 (meV)
DP PZ F = 0 (V/m)
圖 3-33 無外加電場下水平束縛能對弛豫率關係圖
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000 0.000
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
l =1 l =2 l =3 l =4 E l (e V)
F (V/m)
圖 3-34 對稱三量子點的能階與電場關係圖
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000 0.0000
0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025
Δ E ( e V)
F (V/m)
圖 3-35 第一激發態與基態的能階差對電場關係圖
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
0.0 5.0x10 6 1.0x10 7 1.5x10 7 2.0x10 7 2.5x10 7 3.0x10 7 3.5x10 7
| ψ l ( z ) | 2
z (nm)
ψ 1 ψ 2 F = 0 (V/m)
圖 3-36 在無外加電場時的波函數機率分布圖
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-50000 -37500 -25000 -12500 0 12500 25000 37500 50000
10 2
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