費米黃金法則

第二章理論模型

2.4 費米黃金法則

能(deformation potential，以下簡稱 DP)作用和壓電(piezoelectric field，以下簡稱 PZ)的作用，電子-聲子散射矩陣元素受兩種作用疊加，可表示為：

2 2

2 DP PZ

_q

= M

_q

+ M

_q

(2.36) 來自 DP 的電子-聲子散射矩陣元素表示為：

2 2

// //

激發態能階則逐漸增加，而兩能階在電場接近 0 V/m 附近有反交叉(anticrossing) 的現象，較高的能階也有此現象。圖 3-2 為第一激發態和基態的能階差圖，

分布，且隨著電場的增強而逐漸遞減。DP 與 PZ 的趨勢變化相類似，是由於

3.1-2 不對稱系統

在現實中，當然不只有對稱的雙量子點系統，也有可能是不對稱的情形，

因此我們改變中央的障礙的位置，使系統成為不對稱的雙量子點，同樣加入平行 Z 軸的電場去觀察能階和弛豫率的變化。中央障礙的位置改變為從 a 為-5 nm 到 b 為 15 nm，往右偏移，其餘參數條件均與對稱系統相同。從圖 3-6 中我們可以發現基態與第一激發態的反交叉點明顯往左邊偏移，出現在電場約-20000 V/m 處，第二跟第三激發態的反交叉點甚至更往左偏移超過圖中的範圍。同樣地，能階受到電場變動增減表現出史塔克效應，第一激發態與基態的能量差圖如圖 3-7 所示，最小能量差約為 0.27 meV。

其波函數分布情形如圖 3-8、圖 3-9 和圖 3-10 所示，分別是外加電場為 0 V/m、-20000 V/m 和-50000 V/m，由於系統障礙向右偏移，在無電場時，基態的波函數分布較集中在左邊，加入負方向電場後，分布機率被往右邊推動，增加到-20000 V/m 後，波函數機率分布則為較平均的分布情形，電場一直增加到 -50000 V/m 時，則基態的波函數分布已被電場推動跨過障礙而集中在右邊，也顯示在經過能階的反交叉點後，波函數分布會逐漸往相反方向移動。

在圖 3-11 中說明不對稱系統的弛豫率與電場的關係，由於系統的不對稱，

造成能階和弛豫率的偏移，隨著能量差的改變，PZ 的弛豫率貢獻在外加負方向的電場到一定值時會大過 DP 的弛豫率貢獻。

3.1-3 高能階的弛豫現象

在這我們近一步探討從第二激發態到基態的電子弛豫現象，模型為對稱的雙量子點系統。可由圖 3-1 中看到基態與第二激發態在外加電場下能階變化，

兩能階均呈顯上凸的趨勢，圖 3-12 為兩者的能量差與電場的作圖，兩能階差的

數值變化較小，相差最小時約為 6.22 meV。其波函數機率分布如圖 3-13 和圖 3-14 所示，分別為外加電場為 0 V/m 和 25000 V/m 的分布情形，第二激發態的波函數機率分布在電場為 0 V/m 附近為下凹，隨正向電場的增加，基態的波函數機率分布往左邊集中，而第二激發態的波函數機率分布也往左集中。圖 3-15 說明弛豫率與電場的關係，弛豫率也呈現對稱分布，由於能階差相對較大，使得 DP 的弛豫率大於 PZ 的弛豫率，為整體弛豫率的主導。相較於較低能階的弛豫率，高能階的弛豫率起伏較小，但有兩個明顯下凹處，且在電場為 0 V/m 時不是最大值，下凹的最小值出現在電場約 ±17000 V/m 處。由於基態與第二激發態的波函數機率分布重疊不緊密，基態波函數機率密度最大值處大多為第二激發態的最小值，整體弛豫率也較低能階的弛豫率小三到六個數量級。

3.2 系統結構對弛豫率的影響 3.2-1 改變障礙寬度

首先我們改變中央障礙的寬度，即改變從 a 到 b 的距離，以系統維持對稱的情況下，來觀察能階及弛豫率的改變。寬度對能階的影響如圖 3-16 所示，

隨著障礙的寬度逐漸增加，基態與第一激發態也逐漸靠近且升高，較高的能階也逐漸升高，且稍微靠近。若障礙寬度增加到與系統寬度同樣，則會形成一個新的單量子點，最低的兩個能階也會形成新量子點的最低能階。圖 3-17 為第二激發態與基態的能階差對障礙寬度作圖，在無障礙寬度時，能量差約為 1.68 meV 而寬度增加到 40 nm 後，則能量差約為 0.07 meV。波函數機率分布圖如圖 3-18、3-19 所示，分別為障礙寬度為 10 nm 和 30 nm 時的情形，障礙寬度增加，

波函數分布機率最大值越往兩旁推移。在圖 3-20 中說明障礙寬度對弛豫率的影響，弛豫率隨著障礙寬度增寬遞增，增加到障礙寬度超過 18nm 後又稍微下降，

在障礙寬度較小時，DP 為主要弛豫率的貢獻，到了障礙寬度超過 16nm 後，PZ

L b

成為弛豫率主導的貢獻。

3.2-2 改變障礙位能

在這章節，我們改變中央障礙的位能，同樣為對稱結構，單純增加障礙的位能，不考慮外加電場的作用，來探討障礙位能的高低對系統的能階和弛豫率造成的影響。障礙位能改變對能階影響如圖 3-21 所示，能階受到障礙的位能增加而逐漸升高，，當位能越高時，使得基態與第一激發態的能量越來越靠近，

如圖 3-22 所示，在位能為 0 meV 時，兩能階約差 1.68 meV，位能增加到 10 meV 後，能量差則縮小為 0.26 meV。假設位能被提高趨近無窮大，則會形成兩個獨立的量子井，基態與第一激發態會結合形成新的最低能階。圖 3-23、3-24 說明了波函數機率分布在障礙位能為 2 meV 和 18 meV 時的情形，障礙位能越大，

基態的波函數機率分布越往兩旁推擠，使在中間分布越少。弛豫率與障礙位能關係如圖 3-25 所示，弛豫率隨位能增加而逐漸升高，在障礙位能較低時也些振盪，位能超過 3 meV 後上升較平穩，而 PZ 在位能大於 7.9 meV 後超過 DP 成為主導，之後整體弛豫率開始緩緩下降。

V 0

3.2-3 改變系統總寬度

我們改變系統的總寬度 c，以維持對稱的方式增加總寬度。如圖 3-26 表示，

隨系統總寬增加而能量遞減，基態與第一激發態、第二激發態與第三激發態逐漸靠近。圖 3-27 為基態與第一激發態的能階差與系統寬度作圖，基態與第一激

發態最大能階差為 1.79 meV，到寬度 160 nm 時兩能階差值約 0.06 meV。圖 3-28 和圖 3-29 為分別為在系統寬度為 60 nm 和 160 nm 時的波函數分布圖，在系統寬度較窄時，基態波函數機率分布較不受障礙位能影響，使中間有障礙的地方機率較高，而在系統寬度較寬時，分布機率往障礙兩邊分散許多，且基態波函數與第一激發態波函數機率分布重疊較緊密。弛豫率受系統寬度影響如圖 3-30 所示，我們觀察到弛豫率在總寬度較小時有些微振盪，到超過 c 為 80 nm 後趨勢較為平緩，而 DP 對整體弛豫率的貢獻在 c 超過 92 nm 後開始小於 PZ 的貢獻，

且開始緩緩下降，而 PZ 的弛豫率在 c 為 100 nm 達最大值，之後也開始下降。

3.3 其他影響弛豫率因素 3.3-1 溫度

在費米黃金法則中的玻色愛因斯坦分布

n

，在(2.34)中受溫度 T 的控制，

表示為：

k T B

1 e 1

n = _ω

−

h q

因此，我們來探討溫度對弛豫率所造成的影響，模型為對稱的雙量子點，

改變溫度從 0 K 到 10 K，由於溫度改變不影響能階的變化，在此只看弛豫率的趨勢。在圖 3-31 和圖 3-32 分別說明在無外加電場及外加電場為 10000 V/m 時的弛豫率變化，可以看到在兩張圖中的弛豫率都隨溫度增加而增加，這是由於提高溫度造成

n

值增加，對應地弛豫率也獲得增加。在無電場作用下 PZ 的弛豫率為主導，在加入電場 10000 V/m 後，能量差變大，DP 與 PZ 的主導角色互換。在無外加電場時，溫度為 10 K 的 PZ 的弛豫率約為 0 K 時的 3.8 倍，在友外加電場下，10 K 時的 DP 的弛豫率約為 0 K 時的 2 倍，可以知道發現在無外電場時，弛豫率的的變化較明顯，溫度的改變對弛豫率的影響較大。

3.3-2 改變水平束縛能

異的情形第二、三激發態的反交叉現象在我們設定的範圍內無觀察到，第二激發態與第一激發態出現反交叉的情形，而基態與第一激發態有兩個反交叉點，

約在外加電場為±11000 V/m 處出現，。基態在低電場時，趨勢較為平緩，第一激發態在低電場時會有再度上升的現象。圖 3-35 為第一激發態與基態的能階差對電場作圖，能階差出現三處轉折點，由於第一激發態從電場為 0 V/m 到±11000 V/m 時能量下降較大，而第一能階則相對較為平緩，到電場增加到±11000 V/m 後，才有明顯下降。圖 3-36 到圖 3-39 為在不同電場下波函數機率分布的情形，

在電場為 0 V/m 時，基態的波函數分布幾乎集中在中間，而第一激發態的波函數分布則平均分散在兩端，隨著正向電場的增加到 6000 V/m，基態的波函數分布往左偏移，第一激發態的波函數分布則往中間聚集，電場增加至 11000V/m 時，兩個能階波函數分布在中間和左邊較平均且重疊的情形多，電場為 17000V/m 時，基態波函數集中在左邊，第一激發態的波函數分布則集中在中間。圖 3-40 說明弛豫率對電場的變化，圖中的弛豫率形成兩個峰值，在無外加電場處是下凹的，隨電場增加，波函數的重疊增加使弛豫率上升，弛豫率最大值在電場為±11000 V/m 處，電場再增強會讓波函數重疊情形減少，弛豫率開始遞減，而 PZ 的弛豫率貢獻在電場為±6000 V/m 到±17000 V/m 之間會大於 DP 的貢獻。

第四章結論

在本論文中，我們探討了半導體量子點在電場下的電子弛豫現象，利用矩陣對角化方法求解出系統的能量及波函數，並透過費米黃金法則來計算得到弛豫率。

首先討論對稱的雙量子點系統，其能階及弛豫率皆呈現對稱分布，能階有反交叉現象，在有反交叉現象的電場附近時，PZ 弛豫率貢獻會高過 DP 的貢獻，

其他時候的 DP 貢獻大於 PZ 貢獻，整體的弛豫率趨勢受到波函數分布的重疊情形影響，波函數重疊越高則弛豫率越大。不對稱系統的能階和弛豫率隨結構變化偏移，能階的反交叉現象和弛豫率的最大值，因障礙位能的右偏而左移。

較高能階躍遷的弛豫率與低能階躍遷的弛豫率相比，趨勢明顯起伏較小，但有兩個明顯下凹處，且前者比後者的值低了許多。

我們也探討障礙位能的高度、寬度和系統總寬度對弛豫率的影響，隨著障礙的寬度或位能增加，能階都逐漸升高且靠近，而弛豫率都在障礙寬度或位能增加的初期上升幅度較快，之後開始緩緩下降，弛豫率的主導會由 DP 變成 PZ，

在文檔中半導體量子點在電場下的電子弛豫現象 (頁 18-0)

第二章 理論模型