半導體量子點在電場下的電子弛豫現象
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(2) 半導體量子點在電場下的電子弛豫現象 指導教授：廖英彥博士 國立高雄大學應用物理系研究所. 學生：張峻瑋 國立高雄大學應用物理系研究所. 摘 要 在本論文中，我們討論半導體量子點在電場下的電子弛豫現象，利用矩陣對角化 方法來求解系統的能階及波函數，並以費米黃金法則計算從第一激發態到基態的弛豫 率變化，甚至來自更高能階的弛豫率。在論文中，我們探討垂直方向耦合的多個量子 點系統，結果顯示，電場會影響電子的能態，進而使電子弛豫率明顯地受到電場調控。 另外，量子點系統中障礙的位能高度、寬度、系統總寬度、溫度和水平束縛位能以及 結構對稱性，都會改變電子弛豫率的行為。. 關鍵字：電子弛豫、費米黃金法則、量子點. I.
(3) Electron relaxation in semiconductor quantum dots under electric fields Advisor：Dr. Ying-Yen Liao Institute of Applied Physics National University of Kaoshiung. Student：CHUN-WEI CHANG Institute of Applied Physics National University of Kaoshiung. Abstract We study the semiconductor quantum dots electron relaxation under the external electric fields by using matrix diagonalization to calculate the energy level and the wave function in our system. By Fermi’s golden rule, we calculate the relaxation rate from the first excited state, also show the higher excited states to the ground state. In this thesis, we consider the vertically coupled quantum dots, and the results show that the relaxation is obviously dependent on the modulation of the electric fields because the influence of electric fields on the energy state is existent. Furthermore, the relaxation rate also depends on the structure of system, temperature, and horizontal confinement.. Keyword：electron relaxation, Fermi’s golden rule, quantum dot. II.
(4) 謝 誌 研究所兩年的時間，說長不長，說短也不短，在這段時間裡的經歷，是我 人生中很寶貴的回憶，能有這篇論文誕生，要感謝許多人的支持和幫忙。 最先要感謝的就是我的指導教授，廖英彥老師。他對我不厭其煩地教導， 提供許多寶貴的意見，更勉勵我人生中該面對的態度與責任，告訴我不管面對 如何困難的事情，都該好好調適自己的心情來完成挑戰。再來要感謝我的家 人，在這段時間對我的支持與鼓勵，給我更多的動力與勇氣來克服瓶頸，老爸、 老媽、阿嬤、阿瑄和儒儒都是我最愛的家人。還有我的好同學匡哥、阿男和偉 豪，在學校的生活中，有你們在都不會感到無聊，一同上課、討論研究、聊天 打屁…等，都很開心地一起度過；學弟裕民兄也常常告訴我許多有趣的資訊， 在實驗室裡總有你的大笑聲迴響著；地理王和阿倫學弟都很認真，時常會激勵 我不能輸給你們的想法，謝謝大家，謝謝所有愛我、看著我與陪伴著我成長的 每個人。. III.
(5) 目錄 摘要---------------------------------------------------------Ⅰ Abstract-----------------------------------------------------Ⅱ 致謝---------------------------------------------------------Ⅲ 目錄---------------------------------------------------------Ⅳ 圖目錄-------------------------------------------------------Ⅵ 第一章 序論---------------------------------------------------1 第二章 理論模型-----------------------------------------------3 2.1 單一量子點------------------------------------------------3 2.2 兩個耦合量子點 -------------------------------------------5 2.3 三個耦合量子點 -------------------------------------------7 2.4 費米黃金法則 ---------------------------------------------8 第三章 計算結果---------------------------------------------10 3.1 雙量子點-------------------------------------------------10 3.1-1 對稱系統-----------------------------------------------10 3.1-2 不對稱系統---------------------------------------------11 3.1-3 高能階的弛豫現象---------------------------------------12 3.2 系統結構對弛豫率的影響-----------------------------------13 3.2-1 改變障礙寬度-------------------------------------------13. IV.
(6) 3.2-1 改變障礙位能-------------------------------------------14 3.2-1 改變系統寬度-------------------------------------------14 3.3 其它影響弛豫率因素---------------------------------------15 3.3-1 改變溫度-----------------------------------------------15 3.3-2 改變水平束縛-------------------------------------------15 3.4 對稱的三個耦合的量子點-----------------------------------16 第四章 結論--------------------------------------------------18 參考文獻-----------------------------------------------------41. V.
(7) 圖目錄 圖 2-1 無限量子井示意圖---------------------------------------19 圖 2-2 水平拋物線束縛位能示意圖-------------------------------19 圖 2-3 兩個耦合量子點系統示意圖-------------------------------20 圖 2-4 三個耦合量子系統點示意圖-------------------------------20 圖 3-1 對稱的雙量子點中能階與電場關係圖-----------------------21 圖 3-2 第一激發態與基態的能階差與電場關係圖-------------------21 圖 3-3 對稱雙量子點中弛豫率與電場關係圖-----------------------22 圖 3-4 無外加電場時的波函數機率分布圖-------------------------22 圖 3-5 外加高電場時的波函數機率分布圖-------------------------23 圖 3-6 不對稱的雙量子點中能階與電場關係圖---------------------23 圖 3-7 第一激發態與基態的能階差與電場關係圖-------------------24 圖 3-8 在無外加電場時的波函數機率分布圖-----------------------24 圖 3-9 在電場-20000 V/m 時的波函數機率分布圖-------------------25 圖 3-10 在電場-50000 V/m 時的波函數機率分布圖------------------25 圖 3-11 不對稱雙量子點的弛豫率與電場關係圖--------------------26 圖 3-12 第二激發態與基態的能階差對電場關係圖------------------26 圖 3-13 在無外加電場時的波函數機率分布圖----------------------27 圖 3-14 在電場為 25000 V/m 時的波函數機率分布圖----------------27. VI.
(8) 圖 3-15 第二激發態到基態的弛豫率與電場關係圖------------------28 圖 3-16 障礙寬度與能階關係圖----------------------------------28 圖 3-17 障礙寬度與能階差關係圖--------------------------------29 圖 3-18 Lb = 10 nm 時的波函數機率分布圖-------------------------29 圖 3-19 Lb = 30 nm 時的波函數機率分布圖-------------------------30 圖 3-20 障礙寬度與弛豫率關係圖--------------------------------30 圖 3-21 障礙位能與能階關係圖----------------------------------31 圖 3-22 障礙位能與能階差關係圖--------------------------------31 圖 3-23 V0 為 2 meV 時的波函數機率分布圖------------------------32 圖 3-24 V0 為 18 meV 時的波函數機率分布圖-----------------------32 圖 3-25 障礙位能與弛豫率關係圖--------------------------------33 圖 3-26 系統寬度與能階關係圖----------------------------------33 圖 3-27 系統寬度與能階差關係圖--------------------------------34 圖 3-28 系統寬度為 60 nm 時的波函數機率分布圖------------------34 圖 3-29 系統寬度為 160 nm 時的波函數機率分布圖-----------------35 圖 3-30 系統寬度與弛豫率關係圖--------------------------------35 圖 3-31 在無電場時弛豫率與溫度關係圖--------------------------36 圖 3-32 在高電場時弛豫率與溫度關係圖--------------------------36 圖 3-33 無外加電場下水平束縛能對弛豫率關係圖------------------37. VII.
(9) 圖 3-34 對稱三量子點的能階與電場關係圖------------------------37 圖 3-35 第一激發態與基態的能階差對電場關係圖------------------38 圖 3-36 在無外加電場時的波函數機率分布圖----------------------38 圖 3-37 在電場為 6000 V/m 時的波函數機率分布圖-----------------39 圖 3-38 在電場為 11000 V/m 時的波函數機率分布圖----------------39 圖 3-39 在電場為 17000 V/m 時的波函數機率分布圖----------------40 圖 3-40 對稱三量子點的弛豫率與電場關係圖----------------------40. VIII.
(10) 第一章 緒論 近年來奈米的科技開始蓬勃發展，奈米材料的力學、光學、熱學等都吸引許多 人投入研究。所謂的奈米材料是指固態顆粒小到奈米(1 奈米=10-9米)尺度的奈 米微粒和晶粒的尺寸小到奈米量級的固體和薄膜。在結構上可以分為顆粒狀、 柱狀或線狀以及層狀。奈米材料又稱為超微顆粒材料，具有表面效應、小尺寸 效應和宏觀量子隧道效應。同時顯示出許多奇異的特性，即它的光學、熱學、 電學、磁學、力學以及化學方面的性質和大塊固體時相比將會有顯著的不同 [1]。 量子點可定義為尺度在十奈米以下的零維半導體晶體，是奈米材料的一種，當 塊材尺寸縮小至晶體中自由電子的費米波長以下，此時粒子內具有三維的能量 屏障，使得電子與電洞被侷限在此微小晶粒內。另外，量子點由少量的原子所 構成，其電子能態密度介於原子與塊材之間，由於量子侷限效應會導致類似原 子的不連續電子能階結構發生，因此量子點又被稱為人造原子[2,3]。量子點可 經過耦合形成雙量子點或多個量子點，而雙量子點也被稱為人造分子[4,5]，是 因為兩量子點在逐漸靠近時，會發生耦合而產生鍵結態和反鍵結態，此現象與 分子相似。目前量子點的製造方法主要有四種：化學溶膠法[6]、自組成法[7]、 微影蝕刻法[8]和分閘法[9]。 當電子元件越來越小的時候，就必須以微觀的量子力學來取代巨觀的古典力 學，進而利用量子的特性來做出各式量子結構的半導體元件，如量子井、量子 點和量子線等陸續發展出來。量子點的應用包括量子點雷射、單電子電晶體、 單光子產生器、生物螢光檢測…等。其中單電子電晶體可以用來取代傳統的金 氧半場效電晶體[10]，利用量子穿隧效應，電子須靠穿隧通過位能障才可進出 電子點，由於每次操作僅第一電子的充放電，因此大幅提升了操作速度還能降 低元件的消耗功率[11]。在醫療上更利用各種發光波長不同的量子點製成螢光. 1.
(11) 標籤，成為生物檢測用的奈米條碼。因此，量子點的研究成為現在重要的發展 課題。 電子可被侷限在量子點中，由於量子點為固態材料，不可避免地電子會受 到環境影響，也就是電子-聲子交互作用，使電子的量子狀態改變而影響量子 元件的品質，為了讓量子元件能夠維持使用品質，須讓電子的弛豫時間能夠延 長，使電子可以維持較長的量子狀態，在電子弛豫的研究領域中，已有許多人 投入研究。U. Bocklmann 研究量子點中聲子散射，說明在砷化鎵(GaAs)的量子 點中加入磁場來改變電子-聲子散射遞減，論文中提到空間的束縛遞增會導致 電子-聲子散射遞減，加入的磁場遞增使聲子散射[12]。另外，J. I. Climente 和 A. Bertoni 等人也提到可以藉由不同的量子點結構來控制聲子的散射率，並適 當地利用外加場在各種量子點結構中增加或減少電子弛豫率[13]，也提出聲子 散射中，壓電(pieaoelectric field)的作用為某些情況的主要聲子散射貢獻，而聲 子的放射方向與系統的束縛能有關[14]。V. N. Stavrou 和 X. Hu 的研究中，提到 電子的弛豫率依賴系統的參數如束縛能強度和量子點間距[15]。G.-Q. Hai 與 S. S. Oliveira 也確認了在雙量子點中的聲子散射會受到障礙的寬度及磁場或電場 影響，也研究了更高激發態的弛豫情形[16]。其他研究者也陸續提出其他影響 聲子弛豫的因素，如溫度和障礙高度等[17]，也有人利用量子線探討磁場對聲 子散射的影響[18]，以及計算量子點在磁場下的自旋弛豫現象[19]。 大多數的研究者透過磁場的變化來改變電子弛豫，在本篇論文中，我們希 望利用外加電場，來調控電子的弛豫現象，並同樣也探討系統結構的改變及其 他變因，藉由此研究來了解電子弛豫現象在不同系統參數下的影響程度。. 2.
(12) 第二章 理論模型. 2.1 單一量子點. 考慮一個電子在單一量子點中，量子點在 Z 軸方向為系統寬度 c 的無限位 能井，如圖 2-1 所示，水平方向假設為拋物線的束縛位能，如圖 2-2 所示，系 統的總哈密頓函數(Hamiltonian)由水平的哈密頓函數和垂直的哈密頓函數相 加，粒子在系統中[20-23]，可表示為： H =H z +H // Hz= -. v. h2 ∂ 2 +V(z) 2m* ∂z 2. h2 ∂2 ∂2 1 H // = - * ( 2 + 2 )+ m*ω02 r//2 2m ∂x ∂y 2. (2.1) (2.2) (2.3). 其中 r// = x 2 + y 2 和 m* 為電子質量。整體的波函數則表示為： Ψ nmk ( r ) = ψ nm ( r// )ϕ k ( z ). (2.4) 其中水平方向波函數ψ nm (r// ) = ψ n ( x)ψ m ( y ) 為 X 與 Y 軸方向波函數組成，ϕ k ( z ) 為 Z 軸方向波函數， n = 0, 1, 2,... ， m = 0, 1, 2,... k = 1, 2,... 。 Z 軸方向的無限深位能井中粒子的位能表示為： c c ⎧ ⎪0, - < z < V(z)= ⎨ 2 2 ⎪⎩∞, otherwise. 在位能井內部( -. (2.5). c c < z < )，薛丁格方程式可表示為： 2 2 d2 2m* ψ + Ekψ k = 0 k dz 2 h. 3. (2.6).
(13) 求解後可得到單量子點系統的能量 Ek 為： Ek =. h 2π 2 k 2 , k =1,2,3...... 2m*c 2. (2.7) 對應於能級 Ek 的波函數記為 ϕ k ( z ) 可表示為： ⎧ ⎪ ⎪ ϕk (z) = ⎨ ⎪ ⎪⎩. 2 kπ z cos , k = 1,3,5,... c c 2 kπ z sin , k = 2,4,6,... c c. (2.8). 而水平方向的拋物線位能以下面形式表示： 1 V// (x,y)= m*ω02 r//2 2. (2.9). 其中 ω0 為自然頻率，其薛丁格方程可表示為： [-. h2 ∂2 ∂2 1 ( + )+ m*ω02 r//2 ]ψ nm (r// ) = E//ψ nm (r// ) * 2 2 2m ∂x ∂y 2. (2.10) 其中，水平的能量為 E// = Ex + E y ，由Ｘ軸和Ｙ軸的能量相加。以 X 軸方向為例， 一維諧振子的薛丁格方程可寫成下面形式： Hx = -. h2 ∂2 1 * 2 2 + m ω0 x 2m* ∂x 2 2. d2 ψ + (λ − ξ 2 )ψ = 0 2 dξ. 其中 ξ = α x 、 α =. (2.11) (2.12). m*ω0 1 及 λ = Ex hω0 ，當 ξ → ± ∞ 時，波函數可表示為： 2 h 1 ψ ≈ exp[± ξ 2 ] (2.13) 2. 求解後得到，歸一化的諧振子波函數以厄密多項式(Hermite polynomials)表示 為： 1 - α 2 x2. ψ n =N n e 2. H n (α x) 4. (2.14).
(14) 其中 N n =(. 1 α 2 為歸一化常數。同理可得 Y 方向歸一化的波函數為： ) π 2n n!. 1 - α 2 y2. ψ m =N m e 2 N m =(. α π 2m m!. H m (α y ). (2.15). 1. ) 2 為 Y 方向波函數常數，將求得的波函數帶回(2.12)式可分別解出. X 與 Y 方向的能量，以下面形式表示： 1 Ex = (n + )hω0 2. (2.16). 1 E y = (m + )hω0 2. (2.17). E// = (n + m + 1)hω0. (2.18). 2.2 兩個耦合量子點. 考慮在 Z 軸方向垂直耦合的雙量子點，量子井壁的位能假設為無限高，系 統寬度為 c，中間有一從位置 a 到 b 的障礙位能 V0 ，如圖 2-3 所示，垂直方向 的位能以下面形式表示： c ⎧ ⎪⎪∞, z > 2 V(z)= ⎨ V, a<z<b ⎪ 0 ⎪⎩ 0, otherwise. (2.19). 水平方向同樣假設為拋物線的束縛位能，位能如(2.9)式表示。在雙量子點中， 我們考慮外加電場去改變電子狀態，電場方向為沿著 Z 軸方向且強度為Ｆ，垂 直方向的哈密頓函數 H z 可表示為： h2 ∂2 H z = - * 2 +V(z)+eFz 2m ∂z. (2.20). 其中 e 為電子電荷。整體的波函數則表示為： Ψ nml (r ) = ψ nm (r// )ψ l ( z ) 5. (2.21).
(15) 上式中 l = 1, 2,... ，為了求解(2.20)，我們可以用級數將薛丁格方程式展開求解， 並以矩陣形式表示。在 Z 軸方向的波函數ψ l ( z ) 可表示為： ψ l ( z ) = ∑ Ck ϕ k. (2.22). k. 其中 Ck 為波函數係數， ϕk 為(2.8)式的波函數形式。 Z 軸方向的薛丁格方程式可表示為： H z ∑ Ckϕk = El ∑ Ckϕ k k. ∑C. k. (2.23). k. ϕk H z ϕk = El Ck δ k ,k '. (2.24). '. k. 將(2.24)用矩陣形式表示： ⎡ ϕ1 H z ϕ1 ⎢ ⎢ ϕ1 H z ϕ 2 ⎢ . ⎢ ... ⎢⎣. ϕ2 H z ϕ1 ϕ2 H z ϕ2 .. ... ... .. .... .... ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ϕk ' H z ϕk ⎥⎦ ... . .. ⎡ C1 ⎤ ⎡ C1 ⎤ ⎢C ⎥ ⎢C ⎥ ⎢ 2 ⎥ = El ⎢ 2 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Ck ⎦ ⎣Ck ⎦. 若要求得非零解，則行列式需為零，如下所示: − El + A11 A21 + B21. A12 + B12 − El + A22. ... A23 + B23. ... .... ... .... A32 + B32 .... ... .... ... − El + Ak ,k. = 0. 求解出的特徵值 El 即是系統的能階，特徵向量為波函數的常數。在行列式中， 計算障礙位能項 Ak ,k 的結果可能為： '. 1.當 k , k ' 同為奇數時 Ak ,k ' = ∫. b. a. 2 kπ z 2 k 'π z ⋅ V0 ⋅ dz cos cos c c c c. (2.25). 2 kπ z 2 k 'π z ⋅ V0 ⋅ dz sin sin c c c c. (2.26). 2.當 k , k ' 同為偶數時 Ak ,k ' = ∫. b. a. 6.
(16) 3.當 k , k ' 不同奇偶時 Ak ,k ' = ∫. 2 kπ z 2 k 'π z ⋅ V0 ⋅ dz cos sin c c c c. b. a. (2.27). 計算外加電場項 Bk ,k 的結果，由於為對稱系統，因此，當 k , k ' 同為奇數，或同 '. 為偶數時，結果均為 0。 c 2 c − 2. 2 kπ z 2 k 'π z ⋅ eFz ⋅ cos cos dz = 0 c c c c. (2.28). c. 2 kπ z 2 k 'π z ⋅ eFz ⋅ sin sin dz = 0 c c c c. (2.29). Bk ,k ' = ∫. Bk ,k ' = ∫ 2c −. 2. 只有當 k , k ' 不同為奇、偶數時有值，如下式表示： c. Bk ,k ' = ∫ 2c −. 2. 2 kπ z 2 k 'π z ⋅ eFz ⋅ cos sin dz c c c c. (2.30). 2.3 三個耦合量子點. 考慮在 Z 軸方向垂直排列的三個耦合量子點，量子井壁的位能假設為無限 高，系統寬度為 c，中間有兩障礙 V1、V2 於位置 a 到 b 和 d 到 e，如圖 2-4 所示， 在垂直方向的位能以下面形式表示： c ⎧ ⎪ ∞, z > 2 ⎪⎪ V(z)= ⎨ V1 , a < z < b ⎪ V2 , d < z < e ⎪ ⎪⎩ 0, otherwise. (2.31) 水平方向同樣假設為拋物線的束縛位能，如同式(2.9)。三個耦合量子點垂直方 向的哈密頓函數 H z 可表示為：. 7.
(17) Hz = -. h2 ∂2 +V(z)+eFz 2m* ∂z 2. (2.32). 同樣利用將矩陣對角化的方式，可得到三個耦合量子點的能階及波函數。. 8.
(18) 2.4 費米黃金法則 為了要求解電子的弛豫率，我們透過費米黃金法則來計算。考慮一電子初 始態 i 到末態 f 的弛豫率，我們將費米黃金法則表示為下面形式： Γ i →f =. 2π h. ∑M. 2 q. 2. f ei q⋅r i [nδ ( E f − Ei − hωq ) + (n +1)δ ( E f − Ei +hωq )]. (2.33). q. 上式中， Ei 為初始態的能量， E f 為末態的能量， ωq = cs q 為聲子頻率，聲子的 波向量 q = q 2x + q 2y + q 2z ，cs 為聲子的速度，n 為玻色愛因斯坦分布(Bose-Einstein distribution)，表示為： 1. n=. (2.34). hωq. e. k BT. −1. 其中 T 為溫度，kB 為 Boltzmann 常數。而(2.33)式中的 (n +1) 為聲子的放射，n 為 聲子的吸收，在此我們只考慮在低溫時聲子放射的情形，所以聲子的吸收則忽 略不計。因此，可將費米黃金法則簡化為： Γ i →f =. 2π h. ∑M. 2. q. f ei q⋅r i. 2. (n +1)δ ( E f − Ei +hωq ). q. (2.35) 在固態材料中，聲子可以分為光學支(optical)及聲學支(acoustic)聲子，其中 以偏振的形式又可區分為縱向(longitudinal)與橫向(transverse)。光學聲子相較於 聲學聲子有較大的能量，當電子能量不足一個光學聲子能量時，會以一個聲學 聲子的能量釋放，電子和聲子的交互作用主要分兩方面來考慮，一個為形變位 能(deformation potential，以下簡稱 DP)作用和壓電(piezoelectric field，以下簡 稱 PZ)的作用，電子-聲子散射矩陣元素受兩種作用疊加，可表示為： 2. 2. M q = M qDP + M qPZ. 2. 來自 DP 的電子-聲子散射矩陣元素表示為：. 9. (2.36).
(19) D2h q 2ρ cs Ω. 2. M qDP =. (2.37) 來自 PZ 的電子-聲子散射矩陣元素表示為： 2. M qPZ =. 其中 P=(. 2 he 2 h14 P 2ρ cs Ω q. (2.38). 12 1 16 + ) ，D 為形變位能常數， ρ 為密度，e 為電子電荷， h14 為壓電 35 x 35. 常數，Ω為晶體的體積，x 為聲速比例。 在本論文中，我們使用 GaAs 的量子點做為模型來進行模擬，以下為計算 時採用的量子點參數資料： 參數名. m*. cs. D. 數值. 0.067 m0. 5.2 × 103 m / s. 2.2 eV. 參數名. h14. x. ρ. 數值. 1.38 × 103 V / m. 3 / 5.2. 5.3 × 103 kg / m 3. 我們可將 delta function 化簡為： δ ( E f − Ei +hωq ) =. q δ (q − q // ) hcs q //. (2.39) 因此，將(2.39)、 i = ψ nm (r// )ψ l ( z ) 和 f = ψ n m (r// )ψ l ( z ) 代入(2.35)整理過後，費 '. '. '. 米黃金法則可寫成以下形式： π. Γi →f = ∫ M q 0. 2. ψ l ei q ⋅r ψ l z. z. '. 2. ψ n m ei q '. // ⋅r//. '. ψ nm. 2. q2 (n +1) sin φ dφ 2π h 2 cs. (2.40). 把(2.36)代入(2.40)可得到 DP 和 PZ 各別的弛豫率，以下面形式表示： PZ Γi→f = ΓiDP →f + Γ i →f. Γ DP =∫ i→f. π. 0. D2h q ψ l ' ei q z ⋅rz ψ l 2ρ cs Ω. 2. ψ n m ei q '. '. (2.41). // ⋅r//. ψ nm. (2.42) 10. 2. q2 (n +1) sin φ dφ 2π h 2 cs.
(20) Γ PZ =∫ i→f. π. 0. 2 P he2 h14 ψ l ' ei q z ⋅rz ψ l 2ρ cs Ω q. 2. ψ n m ei q '. // ⋅r//. '. ψ nm. 2. q2 (n +1) sin φ dφ 2π h 2 cs. (2.43). 第三章 結果與討論. 3.1 雙量子點 3.1-1 對稱系統. 我們先考慮一個對稱的雙量子點系統，如圖 2-3 所示。其雙量子點總寬度 c 為 100 nm，中央障礙位能 V0 為 10 meV，從 a 為-10 nm 到 b 為 10 nm 的位置， 水平束縛位能 hω0 = 4 meV 。我們加入平行 Z 軸方向的電場，來觀察能階的變化 以及對弛豫率的影響。水平方向的最小能階差比垂直方向的最小兩個能階差的 能量大，因此我們可以認定基於水平方向的基態下，垂直方向的基態和第一激 發態為整體系統的最小兩個能階。圖 3-1 說明了電場對能階的影響，圖中由下 而上分別為基態到第三激發態，能階呈現對稱分布。能階受電場影響而增加或 減少，表現出史塔克效應(Stark effect)，基態能階受電場逐漸增強而下降，第一 激發態能階則逐漸增加，而兩能階在電場接近 0 V/m 附近有反交叉(anticrossing) 的現象，較高的能階也有此現象。圖 3-2 為第一激發態和基態的能階差圖， ΔE = E2 − E1，兩個能階在電場為 0 V/m 時，約相差 0.26 meV，而到高電場-50000. V/m 時，約相差 2.57 meV。 首先，我們考慮從第一激發態到基態之間的弛豫率，弛豫率與電場的關係 如圖 3-3 表示，在圖中 DP + PZ 為整體的弛豫率表現。弛豫率同樣地呈現對稱 11.
(21) 分布，且隨著電場的增強而逐漸遞減。DP 與 PZ 的趨勢變化相類似，是由於 DP 和 PZ 除了本身散射矩陣元素不同外，整體的方程表示相近。此外，可以發 現，在電場較小時，PZ 弛豫率的貢獻比 DP 的貢獻大，這是由於波向量 q 在 (2.37)、(2.38)式中，PZ 與 DP 矩陣元素中位置的不同： 2. M qDP = 2. M qPZ =. D2h q 2ρ cs Ω. 2 he 2 h14 P 2ρ cs Ω q. q 與 DP 的散射矩陣成正比關係，與 PZ 的散射矩陣則為反比關係，而 q 又與能 階差成正比的關係，所以，當電場增強後能階差會增大，使 DP 的弛豫率貢獻 逐漸超越 PZ 的貢獻。因此我們可透過外加電場來調控電子弛豫率。另外，我 們可以看到弛豫率有出現振盪的現象，這是因為電子波函數與放射聲子的波長 的影響，當電子波函數與聲子波同相時會產生最大值，而反相時則出現最小 值，造成弛豫率形成振盪，在能量差較小時，波向量 q 值小，由於聲子波長 λq =. 2π ，使得聲子波長超過量子點系統的寬度，以致於振盪行為受到壓抑。 q. 觀察波函數機率分布，我們以 ψ l ( z ) 來表示在特定的空間與時間找到電子 2. 的機率，由圖 3-4 和圖 3-5 來說明在不同電場下的影響，兩張圖分別為在電場 是 0 V/m 和-50000 V/m 時的分布情形，在無電場下的波函數分布在障礙兩邊均 勻分布，約在系統±25 nm 出現最大值。加入負向電場後，電子受到電場的推動， 基態波函數機率密度集中於系統的右側，又因為波函數的正交性，使第一激發 態的波函數機率密度則集中在相反的方向。弛豫率受到波函數機率分布而改 變，在無電場時，由於兩波函數之重合較為緊密，使弛豫率在無電場時的值較 大，而增加電場後，兩波函數相交部分逐漸分開，重疊情形越不緊密，造成弛 豫率逐漸地遞減。. 12.
(22) 3.1-2 不對稱系統. 在現實中，當然不只有對稱的雙量子點系統，也有可能是不對稱的情形， 因此我們改變中央的障礙的位置，使系統成為不對稱的雙量子點，同樣加入平 行 Z 軸的電場去觀察能階和弛豫率的變化。中央障礙的位置改變為從 a 為-5 nm 到 b 為 15 nm，往右偏移，其餘參數條件均與對稱系統相同。從圖 3-6 中我們 可以發現基態與第一激發態的反交叉點明顯往左邊偏移，出現在電場約-20000 V/m 處，第二跟第三激發態的反交叉點甚至更往左偏移超過圖中的範圍。同樣 地，能階受到電場變動增減表現出史塔克效應，第一激發態與基態的能量差圖 如圖 3-7 所示，最小能量差約為 0.27 meV。 其波函數分布情形如圖 3-8、圖 3-9 和圖 3-10 所示，分別是外加電場為 0 V/m、-20000 V/m 和-50000 V/m，由於系統障礙向右偏移，在無電場時，基態 的波函數分布較集中在左邊，加入負方向電場後，分布機率被往右邊推動，增 加到-20000 V/m 後，波函數機率分布則為較平均的分布情形，電場一直增加到 -50000 V/m 時，則基態的波函數分布已被電場推動跨過障礙而集中在右邊，也 顯示在經過能階的反交叉點後，波函數分布會逐漸往相反方向移動。 在圖 3-11 中說明不對稱系統的弛豫率與電場的關係，由於系統的不對稱， 造成能階和弛豫率的偏移，隨著能量差的改變，PZ 的弛豫率貢獻在外加負方向 的電場到一定值時會大過 DP 的弛豫率貢獻。. 3.1-3 高能階的弛豫現象 在這我們近一步探討從第二激發態到基態的電子弛豫現象，模型為對稱的 雙量子點系統。可由圖 3-1 中看到基態與第二激發態在外加電場下能階變化， 兩能階均呈顯上凸的趨勢，圖 3-12 為兩者的能量差與電場的作圖，兩能階差的. 13.
(23) 數值變化較小，相差最小時約為 6.22 meV。其波函數機率分布如圖 3-13 和圖 3-14 所示，分別為外加電場為 0 V/m 和 25000 V/m 的分布情形，第二激發態的 波函數機率分布在電場為 0 V/m 附近為下凹，隨正向電場的增加，基態的波函 數機率分布往左邊集中，而第二激發態的波函數機率分布也往左集中。圖 3-15 說明弛豫率與電場的關係，弛豫率也呈現對稱分布，由於能階差相對較大，使 得 DP 的弛豫率大於 PZ 的弛豫率，為整體弛豫率的主導。相較於較低能階的 弛豫率，高能階的弛豫率起伏較小，但有兩個明顯下凹處，且在電場為 0 V/m 時不是最大值，下凹的最小值出現在電場約 ±17000 V/m 處。由於基態與第二 激發態的波函數機率分布重疊不緊密，基態波函數機率密度最大值處大多為第 二激發態的最小值，整體弛豫率也較低能階的弛豫率小三到六個數量級。. 3.2 系統結構對弛豫率的影響 3.2-1 改變障礙寬度 首先我們改變中央障礙的寬度 Lb ，即改變從 a 到 b 的距離，以系統維持對 稱的情況下，來觀察能階及弛豫率的改變。寬度對能階的影響如圖 3-16 所示， 隨著障礙的寬度逐漸增加，基態與第一激發態也逐漸靠近且升高，較高的能階 也逐漸升高，且稍微靠近。若障礙寬度增加到與系統寬度同樣，則會形成一個 新的單量子點，最低的兩個能階也會形成新量子點的最低能階。圖 3-17 為第二 激發態與基態的能階差對障礙寬度作圖，在無障礙寬度時，能量差約為 1.68 meV 而寬度增加到 40 nm 後，則能量差約為 0.07 meV。波函數機率分布圖如圖 3-18、3-19 所示，分別為障礙寬度為 10 nm 和 30 nm 時的情形，障礙寬度增加， 波函數分布機率最大值越往兩旁推移。在圖 3-20 中說明障礙寬度對弛豫率的影 響，弛豫率隨著障礙寬度增寬遞增，增加到障礙寬度超過 18nm 後又稍微下降， 在障礙寬度較小時，DP 為主要弛豫率的貢獻，到了障礙寬度超過 16nm 後，PZ 14.
(24) 成為弛豫率主導的貢獻。. 3.2-2 改變障礙位能. 在這章節，我們改變中央障礙的位能 V0 ，同樣為對稱結構，單純增加障礙 的位能，不考慮外加電場的作用，來探討障礙位能的高低對系統的能階和弛豫 率造成的影響。障礙位能改變對能階影響如圖 3-21 所示，能階受到障礙的位能 增加而逐漸升高，，當位能越高時，使得基態與第一激發態的能量越來越靠近， 如圖 3-22 所示，在位能為 0 meV 時，兩能階約差 1.68 meV，位能增加到 10 meV 後，能量差則縮小為 0.26 meV。假設位能被提高趨近無窮大，則會形成兩個獨 立的量子井，基態與第一激發態會結合形成新的最低能階。圖 3-23、3-24 說明 了波函數機率分布在障礙位能為 2 meV 和 18 meV 時的情形，障礙位能越大， 基態的波函數機率分布越往兩旁推擠，使在中間分布越少。弛豫率與障礙位能 關係如圖 3-25 所示，弛豫率隨位能增加而逐漸升高，在障礙位能較低時也些振 盪，位能超過 3 meV 後上升較平穩，而 PZ 在位能大於 7.9 meV 後超過 DP 成 為主導，之後整體弛豫率開始緩緩下降。. 3.2-3 改變系統總寬度. 我們改變系統的總寬度 c，以維持對稱的方式增加總寬度。如圖 3-26 表示， 隨系統總寬增加而能量遞減，基態與第一激發態、第二激發態與第三激發態逐 漸靠近。圖 3-27 為基態與第一激發態的能階差與系統寬度作圖，基態與第一激 15.
(25) 發態最大能階差為 1.79 meV，到寬度 160 nm 時兩能階差值約 0.06 meV。圖 3-28 和圖 3-29 為分別為在系統寬度為 60 nm 和 160 nm 時的波函數分布圖，在系統 寬度較窄時，基態波函數機率分布較不受障礙位能影響，使中間有障礙的地方 機率較高，而在系統寬度較寬時，分布機率往障礙兩邊分散許多，且基態波函 數與第一激發態波函數機率分布重疊較緊密。弛豫率受系統寬度影響如圖 3-30 所示，我們觀察到弛豫率在總寬度較小時有些微振盪，到超過 c 為 80 nm 後趨 勢較為平緩，而 DP 對整體弛豫率的貢獻在 c 超過 92 nm 後開始小於 PZ 的貢獻， 且開始緩緩下降，而 PZ 的弛豫率在 c 為 100 nm 達最大值，之後也開始下降。. 3.3 其他影響弛豫率因素 3.3-1 溫度. 在費米黃金法則中的玻色愛因斯坦分布 n ，在(2.34)中受溫度 T 的控制， 表示為： n=. 1 hωq. e k BT − 1. 因此，我們來探討溫度對弛豫率所造成的影響，模型為對稱的雙量子點， 改變溫度從 0 K 到 10 K，由於溫度改變不影響能階的變化，在此只看弛豫率的 趨勢。在圖 3-31 和圖 3-32 分別說明在無外加電場及外加電場為 10000 V/m 時 的弛豫率變化，可以看到在兩張圖中的弛豫率都隨溫度增加而增加，這是由於 提高溫度造成 n 值增加，對應地弛豫率也獲得增加。在無電場作用下 PZ 的弛 豫率為主導，在加入電場 10000 V/m 後，能量差變大，DP 與 PZ 的主導角色互 換。在無外加電場時，溫度為 10 K 的 PZ 的弛豫率約為 0 K 時的 3.8 倍，在友 外加電場下，10 K 時的 DP 的弛豫率約為 0 K 時的 2 倍，可以知道發現在無外 電場時，弛豫率的的變化較明顯，溫度的改變對弛豫率的影響較大。 16.
(26) 3.3-2 改變水平束縛能. 改變水平方向的束縛位能 hω0 同樣會改變電子的弛豫率，我們在無外加電 場下改變水平束縛位能。因為我們只考慮水平的能階為基態的情形，因此可將 (2.14)、(2.15)的波函數寫成下面形式： 1. ψ 0 (x)=. α2 π. 1 - α 2 x2. e2. 1 4 1. ψ 0 (y )=. α2. 1 - α 2 y2. e2. 1. π4. 在帶回(2.40)中的水平項中可得到：. ψ nm e. i q // ⋅r//. -. q 2//. ψ n m = e 4α '. 2. '. 圖 3-33 說明水平束縛能對弛豫率的影響，可以看到水平束縛能上升則弛豫率也 跟著增加，是由於 α 值與 hω0 大小有關， α 越大使得水平向的值越大，對應的弛 豫率也越大。. 3.4 對稱的三個耦合量子點. 考慮三個耦合量子點的情形，整體系統為對稱結構，加入平行 Z 軸方向的 電場，來觀察觀察能階和弛豫率的變化。三量子點總寬度增加到 c 為 160 nm， 兩障礙的位能 V1 、V2 均為 10 meV，分別從 a 為-40 nm 到 b 為-20 nm 和 d 為 20 nm 到 e 為 40 nm 的位置，保持障礙彼此與井壁的距離都為 40 nm，水平束縛位 能為 4 meV，如圖 2-4 所示。加入電場後能階的變化以圖 3-34 說明，由下而上 分別為基態到第三激發態。能階也是呈現明顯對稱分布，與兩個耦合量子點相 17.
(27) 異的情形第二、三激發態的反交叉現象在我們設定的範圍內無觀察到，第二激 發態與第一激發態出現反交叉的情形，而基態與第一激發態有兩個反交叉點， 約在外加電場為±11000 V/m 處出現，。基態在低電場時，趨勢較為平緩，第一 激發態在低電場時會有再度上升的現象。圖 3-35 為第一激發態與基態的能階差 對電場作圖，能階差出現三處轉折點，由於第一激發態從電場為 0 V/m 到±11000 V/m 時能量下降較大，而第一能階則相對較為平緩，到電場增加到±11000 V/m 後，才有明顯下降。圖 3-36 到圖 3-39 為在不同電場下波函數機率分布的情形， 在電場為 0 V/m 時，基態的波函數分布幾乎集中在中間，而第一激發態的波函 數分布則平均分散在兩端，隨著正向電場的增加到 6000 V/m，基態的波函數分 布往左偏移，第一激發態的波函數分布則往中間聚集，電場增加至 11000V/m 時，兩個能階波函數分布在中間和左邊較平均且重疊的情形多，電場為 17000V/m 時，基態波函數集中在左邊，第一激發態的波函數分布則集中在中 間。圖 3-40 說明弛豫率對電場的變化，圖中的弛豫率形成兩個峰值，在無外加 電場處是下凹的，隨電場增加，波函數的重疊增加使弛豫率上升，弛豫率最大 值在電場為±11000 V/m 處，電場再增強會讓波函數重疊情形減少，弛豫率開始 遞減，而 PZ 的弛豫率貢獻在電場為±6000 V/m 到±17000 V/m 之間會大於 DP 的貢獻。. 18.
(28) 第四章 結論 在本論文中，我們探討了半導體量子點在電場下的電子弛豫現象，利用矩 陣對角化方法求解出系統的能量及波函數，並透過費米黃金法則來計算得到弛 豫率。 首先討論對稱的雙量子點系統，其能階及弛豫率皆呈現對稱分布，能階有 反交叉現象，在有反交叉現象的電場附近時，PZ 弛豫率貢獻會高過 DP 的貢獻， 其他時候的 DP 貢獻大於 PZ 貢獻，整體的弛豫率趨勢受到波函數分布的重疊 情形影響，波函數重疊越高則弛豫率越大。不對稱系統的能階和弛豫率隨結構 變化偏移，能階的反交叉現象和弛豫率的最大值，因障礙位能的右偏而左移。 較高能階躍遷的弛豫率與低能階躍遷的弛豫率相比，趨勢明顯起伏較小，但有 兩個明顯下凹處，且前者比後者的值低了許多。 我們也探討障礙位能的高度、寬度和系統總寬度對弛豫率的影響，隨著障 礙的寬度或位能增加，能階都逐漸升高且靠近，而弛豫率都在障礙寬度或位能 增加的初期上升幅度較快，之後開始緩緩下降，弛豫率的主導會由 DP 變成 PZ， 改變系統寬度的弛豫率趨勢也相似，但能階會隨系統總寬度增加而遞減。 進一步，弛豫率變化還受到溫度和水平束縛位能影響，隨溫度或水平束縛 位能增加，弛豫率會遞增，且溫度增加的效益，在無電場時比有外加電場時更 明顯。 另外，考慮對稱的三個耦合量子點系統。能階與弛豫率也呈對稱情形，第 二激發態與第一激發態有反交叉現象，而基態與第一激發態有兩個反交叉點。 弛豫率出現兩個峰值，在無電場時是下凹的。. 19.
(29) 圖 2-1 無限量子井示意圖. 圖 2-2 水平拋物線束縛位能示意圖. 20.
(30) ∞. ∞. V0. -c/2. a 0. b. c/2. z. 圖 2-3 兩個耦合量子點系統示意圖. ∞. ∞. V1. -c/2. a. V2. b 0 d. e. c/2. 圖 2-4 三個耦合量子系統點示意圖 21. z.
(31) 0.011 0.010 0.009. El (eV). 0.008 0.007. l=1 l=2 l=3 l=4. 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. 50000. F (V/m). 圖 3-1 對稱的雙量子點中能階與電場關係圖. 0.0025. ΔE (eV). 0.0020. 0.0015. 0.0010. 0.0005. 0.0000 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. F (V/m). 圖 3-2 第一激發態與基態的能階差與電場關係圖 22. 50000.
(32) 10. 10. DP+PZ DP PZ. 9. 10. 8. 10. 7. Γ (1/s). 10. 6. 10. 5. 10. 4. 10. 3. 10. 2. 10. 1. 10 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. 50000. F (V/m). 圖 3-3 對稱雙量子點中弛豫率與電場關係圖. ψ1. F = 0 (V/m) 7. 2.0x10. ψ2. 7. | ψl(z) |. 2. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. Z (nm). 圖 3-4 無外加電場時的波函數機率分布圖 23. 40. 50.
(33) ψ1. F = -50000 (V/m). 7. 4x10. ψ2. 7. | ψl(z) |. 2. 3x10. 7. 2x10. 7. 1x10. 0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Z (nm). 圖 3-5 外加高電場時的波函數機率分布圖. 0.012. l=1 l=2 l=3 l=4. 0.010. El (eV). 0.008. 0.006. 0.004. 0.002. 0.000 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. F (V/m). 圖 3-6 不對稱的雙量子點中能階與電場關係圖 24. 50000.
(34) 0.0035 0.0030. ΔE (eV). 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. 50000. F (V/m). 圖 3-7 第一激發態與基態的能階差與電場關係圖. 7. 4.5x10. ψ1. F = 0 (V/m). 7. 4.0x10. ψ2. 7. 3.5x10. 7. | ψl(z) |. 2. 3.0x10. 7. 2.5x10. 7. 2.0x10. 7. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. Z (nm). 圖 3-8 在無外加電場時的波函數機率分布圖 25. 40. 50.
(35) 7. 2.5x10. ψ1. F = -20000 (V/m). ψ2. 7. 2.0x10. 7. | ψl(z) |. 2. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Z (nm). 圖 3-9 在電場-20000 V/m 時的波函數機率分布圖. ψ1. F = -50000 (V/m). ψ2. 7. 4x10. 7. | ψl(z) |. 2. 3x10. 7. 2x10. 7. 1x10. 0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. 40. Z (nm). 圖 3-10 在電場-50000 V/m 時的波函數機率分布圖. 26. 50.
(36) 10. Γ (1/s). 10. 10. 9. 10. 8. 10. 7. 10. 6. 10. 5. 10. 4. 10. 3. 10. 2. 10. 1. DP PZ. 0. 10 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. 50000. F (V/m). 圖 3-11 不對稱雙量子點的弛豫率與電場關係圖. 0.0068. ΔE (eV). 0.0067. 0.0066. 0.0065. 0.0064. 0.0063. 0.0062 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. 50000. F (V/m). 圖 3-12 第二激發態與基態的能階差對電場關係圖 27.
(37) 7. 2.0x10. ψ1. F = 0 (V/m). ψ3. 7. | ψl(z) |. 2. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Z (nm). 圖 3-13 在無外加電場時的波函數機率分布圖. 7. ψ1. F = 25000 (V/m). 4x10. ψ3 7. | ψl(z) |. 2. 3x10. 7. 2x10. 7. 1x10. 0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. 40. Z (nm). 圖 3-14 在電場為 25000 V/m 時的波函數機率分布圖 28. 50.
(38) 4. 10. DP PZ. 3. 10. Γ (1/s). 2. 10. 1. 10. 0. 10. -1. 10 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. 50000. F (V/m). 圖 3-15 第二激發態到基態的弛豫率與電場關係圖. 0.014. 0.012. El (eV). 0.010. l=1 l=2 l=3 l=4. 0.008. 0.006. 0.004. 0.002. 0.000 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. Lb (nm). 圖 3-16 障礙寬度與能階關係圖 29. 35. 40.
(39) 0.0018 0.0016 0.0014. ΔE (eV). 0.0012 0.0010 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. Lb (nm). 圖 3-17 障礙寬度與能階差關係圖. 7. 2.0x10. Lb = 10 nm. ψ1 ψ2. 7. | ψl(z) |. 2. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. Z (nm). 圖 3-18 Lb = 10 nm 時的波函數機率分布圖 30. 40. 50.
(40) 7. 2.5x10. ψ1. Lb = 30 nm. ψ2. 7. 2.0x10. | ψl(z) |. 2. 7. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Z (nm). 圖 3-19 Lb = 30 nm 時的波函數機率分布圖. 10. 10. 9. 10. 8. Γ (1/s). 10. 7. 10. 6. 10. 5. 10. DP PZ. 4. 10. 3. 10. 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. Lb (nm). 圖 3-20 障礙寬度與弛豫率關係圖 31. 35. 40.
(41) 0.010. El (eV). 0.008. l =1 l =2 l =3 l =4. 0.006. 0.004. 0.002. 0.000 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 16. 18. 20. V0 (meV). 圖 3-21 障礙位能與能階關係圖. 0.0018 0.0016 0.0014. ΔE (eV). 0.0012 0.0010 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0000 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. V0 (meV). 圖 3-22 障礙位能與能階差關係圖 32.
(42) V0 = 2 meV. 7. 2.0x10. ψ1 ψ2. 7. | ψl(z) |. 2. 1.6x10. 7. 1.2x10. 6. 8.0x10. 6. 4.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Z (nm). 圖 3-23 V0 為 2 meV 時的波函數機率分布圖. V0 = 18 meV. 7. ψ1. 2.0x10. ψ2. 7. | ψl(z) |. 2. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -50. -40. -30. -20. -10. 0. 10. 20. 30. Z (nm). 圖 3-24 V0 為 18 meV 時的波函數機率分布圖 33. 40. 50.
(43) 10. Γ (1/s). 10. 10. 9. 10. 8. 10. 7. 10. 6. 10. 5. 10. 4. 10. 3. DP PZ. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. V0 (meV). 圖 3-25 障礙位能與弛豫率關係圖. 0.045 0.040. l=1 l=2 l=3 l=4. 0.035. El (eV). 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 50. 60. 70. 80. 90. 100. 110. 120. c (nm). 圖 3-26 系統寬度與能階關係圖 34. 130. 140. 150.
(44) 0.0035. 0.0030. ΔE (eV). 0.0025. 0.0020. 0.0015. 0.0010. 0.0005. 0.0000 50. 60. 70. 80. 90. 100. 110. 120. 130. 140. 150. c (nm). 圖 3-27 系統寬度與能階差關係圖. 7. 4.5x10. ψ1. c = 50 nm. 7. 4.0x10. ψ2. 7. 3.5x10. 7. | ψl(z) |. 2. 3.0x10. 7. 2.5x10. 7. 2.0x10. 7. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -25. -20. -15. -10. -5. 0. 5. 10. 15. 20. Z (nm). 圖 3-28 系統寬度為 50 nm 時的波函數機率分布圖 35. 25.
(45) 7. 1.4x10. ψ1. c = 150 nm. ψ2. 7. 1.2x10. 7. | ψl(z) |. 2. 1.0x10. 6. 8.0x10. 6. 6.0x10. 6. 4.0x10. 6. 2.0x10. 0.0 -75. -60. -45. -30. -15. 0. 15. 30. 45. 60. 75. Z (nm). 圖 3-29 系統寬度為 150 nm 時的波函數機率分布圖. 10. 10. 9. 10. 8. Γ (1/s). 10. 7. 10. 6. 10. 5. 10. 4. 10. DP PZ. 3. 10. 50. 60. 70. 80. 90. 100. 110. 120. c (nm). 圖 3-30 系統寬度與弛豫率關係圖. 36. 130. 140. 150.
(46) Γ (1/s). 5x10. 10. 4x10. 10. 3x10. 10. 2x10. 10. 1x10. 10. DP F = 0 (V/m) PZ. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 9. 10. T (K). Γ (1/s). 圖 3-31 在無電場時弛豫率與溫度關係圖. 1.8x10. 9. 1.6x10. 9. 1.4x10. 9. 1.2x10. 9. 1.0x10. 9. 8.0x10. 8. 6.0x10. 8. 4.0x10. 8. DP F = 10000 (V/m) PZ. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. T (K). 圖 3-32 在高電場時弛豫率與溫度關係圖 37.
(47) Γ (1/s). 10. 10. DP PZ F = 0 (V/m) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. hω0 (meV). 圖 3-33 無外加電場下水平束縛能對弛豫率關係圖. 0.007 0.006 0.005. El (eV). 0.004. l =1 l =2 l =3 l =4. 0.003 0.002 0.001 0.000. -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. F (V/m). 圖 3-34 對稱三量子點的能階與電場關係圖 38. 50000.
(48) 0.0025. ΔE (eV). 0.0020. 0.0015. 0.0010. 0.0005. 0.0000 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. 50000. F (V/m). 圖 3-35 第一激發態與基態的能階差對電場關係圖. 7. 3.5x10. ψ1. F = 0 (V/m). 7. 3.0x10. ψ2. 7. | ψl(z) |. 2. 2.5x10. 7. 2.0x10. 7. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -80. -60. -40. -20. 0. 20. 40. 60. z (nm). 圖 3-36 在無外加電場時的波函數機率分布圖 39. 80.
(49) 7. 4.0x10. ψ1. F = 6000 (V/m). 7. 3.5x10. ψ2 7. 3.0x10. 7. | ψl(z) |. 2. 2.5x10. 7. 2.0x10. 7. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -80. -60. -40. -20. 0. 20. 40. 60. 80. z (nm). 圖 3-37 在電場為 6000 V/m 時的波函數機率分布圖. 7. 2.5x10. F = 11000 (V/m). ψ1 ψ2. 7. 2.0x10. | ψl(z) |. 2. 7. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -80. -60. -40. -20. 0. 20. 40. 60. Z (nm). 圖 3-38 在電場為 11000 V/m 時的波函數機率分布圖 40. 80.
(50) 7. 4.0x10. F = 17000 (V/m). 7. 3.5x10. ψ1 ψ2. 7. 3.0x10. 7. | ψl(z) |. 2. 2.5x10. 7. 2.0x10. 7. 1.5x10. 7. 1.0x10. 6. 5.0x10. 0.0 -80. -60. -40. -20. 0. 20. 40. 60. 80. Z (nm). 圖 3-39 在電場為 17000 V/m 時的波函數機率分布圖. 10. Γ (1/s). 10. 10. 9. 10. 8. 10. 7. 10. 6. 10. 5. 10. 4. 10. 3. DP+PZ DP PZ. 2. 10 -50000. -37500. -25000. -12500. 0. 12500. 25000. 37500. F (V/m). 圖 3-40 對稱三量子點的弛豫率與電場關係圖 41. 50000.
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