第三章 反演方法
3.1 迴旋理論（convolution theorem）簡介
在我們的反演方法中，迴旋積分扮演了一個很重要的角色，所以在第三 章一開始便介紹這個重要的理論，迴旋理論（convolution theorem）的一個重 要條件是系統必須是線性非時變（ linear and time-invariant，LTI）系統 [11][12][13][14][15]，迴旋（convolution） 是一種數學運算，可以配合圖解法，
在數學運算上，圖解法可以藉由圖形的座標位置迅速寫出正確的積分範圍、
1. 交換率（The commutative property） ( ) ( ) ( ) ( )
3. 結合率（The associative property） 5. 脈衝響應（Impulse response）
x（t）與單位脈衝訊號作 convolution 後的結果為 x（t） convolution 後的長度為 T1+T2。
例：g 函數的寬度為 T1=4；f 函數的寬度為 T2=2；convolution 後的長度為 T1+T2
＝6，如圖 3-1。
圖 3-1，f（x）和 g（x）的 convolution
當紅外線訊號被光學系統聚焦到光網平面，此時紅外線訊號會與光網作
所以只要將兩個訊號取富氏轉換（Fourier transform，FT）相乘，在取反 富氏轉換（inverse Fourier transform，IFT），等同在時間軸對兩個訊號作迴旋
（convolution），如圖3-2。
圖3-2，訊號在頻域與時域的關係
例 1：x（t）為一方波函數，x（t）=1，-1< t <1；f（t）=0，else
又 convolution有交換率（The commutative property）的特性：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5. 在逐漸向右移動，此時x t( −τ)完全進入y( )τ ，如圖3-3（f）
1. 根據積分式，首先我們分別畫出x( )τ 、y(−τ)，如圖3-4（d）
（i）
我們在觀察例題，可發現其實 convolution 是在計算兩函數重疊的面積， 用自相關（Correlation）來決定，他是利用自相關係數（correlation coefficients）， 自相關係數的範圍從-1到1，當自相關係數為1，表示函數是相同的，當自相 關係數為-1，表示函數是相同的，但可能方向是相反的，當自相關係數為0， 表示函數是完全沒有關係。
Correlation與 convolution 的關係是：
( ) ( ) ( ) ( )
f x ⊗g x = f∗ − ∗x g x （20） 兩者可透過這個關係式作一轉換。考量一個常遇到的情況，若是兩個相 同的函數作 correlation ，此種情況稱之為自相關函數（autocorrelation）
( ) ( ) f g f f ∞ f∗ τ f τ t dτ
−∞
⊗ = ⊗ =
∫
+自相關函數的特性：
3.2 紅外線光源模型
目前在文獻上所使用的紅外線光源模型(IR source image model)，都是用 一個簡單的圓碟模型(disk model)，如圖 3-5，但這並不合理，因為涵蓋在圓圈 裡面能量強度固定，但在圈外能量卻立刻變成零，完全不符合物理。我們希 望在數學上不會太複雜的數學模型又比較能貼近實際情形，所以採用一般較 能被接受的高斯模型（Gauss model），如圖3-6，高斯模型所有的能量集中在 中心點但是會隨著距離增加而衰減，其中σ是標準差（standard deviation）。
圖3-5，圓碟模型
圖3-6，高斯模型
A 0
σ
3.3 反演方法
我們依據實際情況畫出程序圖，如圖3-7，目標物輻射出紅外線訊號（IR Intensity Image），經過大氣層（Modulation Transfer Function，MTF）到達光學 系統（Optical Transfer Function，OTF），藉由光學系統聚焦至光網平面，輸
（2）接著進行快速搜尋二維參數的方法。將目標物和光網從直角座標系統 ( , )x y 轉成 ( R ,θ )
極座標系統。
（3）接著我們要在頻域（frequency domain）上做運算，這是因為迴旋理論
（convolution theorem）在高頻可以很有效率的執行完成θ 標準迴旋，而 且在頻域上的相乘即為在時域上作迴旋（convolution），如圖 3-2，數學
我們利用波行比對來找出目標物即可，波型比對的方法是先將所有可能 波形歸一（normalized）後，藉由它相關（cross correlation）的運算找出 一最大值，若波形相同相似度越高，則相關係數（correlation coefficient） 所得到的值越趨近於 1。雖然使用的方法並非最好的，但是我們找到最 快的反演程式，可以在光網轉動一圈的時間內，就找出正確的目標物位 置，目前光網 1 秒可以轉 100 圈，即頻率為 1/100，因此可以做到即時
（real time）的模擬。
我們的反演程式也可用來判斷新光網的好壞，假設目標物只有一個，但 光網模擬出來的圖形為多點，造成易誤判目標物位置，則此光網並不是很好。
第四章 單一目標物模擬
4.1 FM 光網的模擬
我們選擇的FM光網，如圖4-1，表示式如下：
1 1
( , ) cos[ ( )] m(r)=A+Br 2 2
A:radial frequency at r=0 B rate of increase for the radial frequency
T r θ = + θm r ，
其中： ， ：
圖 4-1，FM光網直角座標圖
(a) 光網的極座標圖 (b)光網的特性
這類型的光網的特性，可由圖 4-2清楚說明，隨著半徑的增加，光網的條 紋數越密集、頻率越高，代表著越靠近光網周圍的解析度越高，也就是說越 靠近光網周圍準確度也相對提高，圖 4-3 是光網取富立葉轉換（Fourier Transform，FT）後的圖形。
圖4-3，FM光網取富立葉轉換
模擬的條件為在理想的影像（image）且無雜訊的情況下。
接著我們利用第四章介紹的反演方法進行模擬：
模擬參數：
a. 紅外線光源的半徑（ψ）：2.3 b. 平滑濾波器長度（Nflen）: 64 c. 光源強度：25
d. 光網條紋參數：A=2、B＝5 e. 光網打開角度：120°
（1）目標物位置在 x =–65，y =–40
圖4-4，目標物的直角座標圖（x =–65，y =–40）
圖 4-4是目標物的直角座標圖，因為在我們的快速演算方法中，目標物必 須要取富立葉轉換來達成在角度方向上的波型比對，所以必須轉換座標軸，
將目標物的直角座標轉成極座標的形式，如圖 4-5（a），以方便接下來的富立 葉轉換與避免不必要的計算困擾。圖 4-5（b）可以看成是目標轉換成極座標 的另一種形式，在圖中我們可以更清楚的看出目標物的半徑與角度位置。
（b）
圖 4-5，目標物的極座標圖（x =–65，y =–40）
目標物極座標取富立葉轉換（Fourier Transform）後的圖形，如圖4-6。
圖4-6，目標物取富立葉轉換（x =–65，y =–40）
利用快速產生波型的方法所產生的波型，如圖 4-7，可以很明顯看出這是 單一目標物的波型圖，但是由此圖無法看出實際角度的位置，根據波型圖角
圖4-7，利用快速波型產生方法所產生的波型（FM光網）
經快速產生波型演算法，我們可以得到目標物經過反演後所產生的三維
（3D）、二維（2D）波型，如圖 4-8、4-9，由圖可以很清楚確認目標物位置，
以此例來說目標物實際位置在（r=2.92、θ=–148），反演目標物位置在（r
=2.92、θ=–148），可以正確反演出目標物位置。
圖 4-8，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的3D圖
圖 4-9，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的2D圖
最後我們將圖 4-9由極座標轉回直角座標，如此我們可以方便比較出模擬 結果與實際情況的差別，如圖 4-10所示。
圖4-10，目標物（x =–65，y =–40）反演後的直角座標圖
下面的例子將不再贅述反演過程，我們將目標物的直角座標圖畫在左
（2）目標物位置在 x =–71，y =24
目標物實際位置 r =2.92 θ=161
（3）目標物位置在 x =80，y =71
目標物實際位置 r =4.17 θ=41.4
（4）目標物位置在 x =81，y =35
目標物實際位置 r =3.47 θ=23.2
（5）目標物位置在 x =50，y =10
目標物實際位置 r =1.99 θ=11.9
（6）目標物位置在 x =–34，y =–60
目標物實際位置 r =2.61 θ=–119
（7） 目標物位置在 x =–80，y =–80
目標物實際位置 r =4.33 θ=–135
我們整理 FM 光網的模擬結果，如表三，在模擬結果中，在反演目標物 的位置中，有少數幾個點有誤差產生，由於誤差量相當小，並不會影響我們 判斷目標物的位置，因此，整體上來說反演結果幾乎和實際位置是相同的，
表示 FM光網可以利用此快速演算法正確地判斷出目標物的位置。
目標物實際位置 反演目標物位置
r =2.92 θ=–148 r =2.92 θ=–148 r =2.92 θ= 161 r =2.92 θ= 161 r =4.17 θ= 41.4 r =4.17 θ= 41.4 r =3.47 θ= 23.2 r =3.47 θ= 23.2 r =1.99 θ= 11.9 r =2.07 θ= 11.9 r =2.61 θ=–119 r =2.69 θ=–119 r =4.33 θ=–135 r =4.33 θ=–135
表三、FM光網模擬結果
4.2 非軸對稱 AM 光網（Non-axial symmetric AM reticle）
若 AM光網的中心在原點，如圖4-11（a），則必須同時考慮 AC、DC 兩 種訊號。我們先看光網的極座標圖形，如圖 4-11（b），由圖可以看出所有的 線都是一條直線，毫無變化，因此無法模擬出目標物的位置。
（a）AM光網的直角座標 （b）AM光網極座標 圖 4-11，中心在原點的 AM光網
所以我們選擇的的非軸對稱 AM光網（Non-axial symmetric AM reticle），
如圖 4-12，圖 4-12 是非軸對稱 AM 光網的直角座標圖，圖 4-13 是非軸對稱 AM光網的極座標圖，圖4-14 是光網經過富立葉轉換後的圖形，表示式如下：
1 1
( , ) cos[K ] 2 2
K 20 ( )
T r θ = + θ
= 光網條紋數目
圖4-12，非軸對稱 AM光網直角座標圖
圖4-13，非軸對稱 AM光網的極座標圖
接著我們利用第四章介紹的反演方法進行模擬：
模擬參數
a. 紅外線光源的半徑（ψ）：2.3 b. 平滑濾波器長度（Nflen）: 64 c. 光源強度：25
d. 光網條紋數：20
e. 光網中心偏宜量（AmX0）：向右偏宜0.7 f. 光網打開角度：120°
圖 4-14，非軸對稱光網取富立葉轉換
（1） 目標物位置在 x =–65，y =–40
圖4-15，目標物的直角座標圖（x =–65，y =–40）
（a） （b） 圖4-16，目標物的極座標圖（x =–65，y =–40）
圖 4-15是目標物的直角座標圖，因為在我們的快速演算方法中，目標物 必須要取富立葉轉換來達成在角度方向上的波型比對，所以必須轉換座標
的富立葉轉換與避免不必要的計算困擾。圖4-16（b）可以看成是目標轉換成 極座標的另一種形式，在圖中我們可以更清楚的看出目標物的半徑與角度位 置。
目標物極座標取富立葉轉換（Fourier Transform）後的圖形，如圖4-17。
圖4-17，目標物取富立葉轉換（x =–65，y =–40）
利用快速產生波型的方法所產生的波型，如圖 4-18。
經快速產生波型演算法，我們可以得到目標物經過反演後所產生的三維
（3D）、二維（2D）波型，如圖4-19、4-20，由圖式可以很清楚確認目標物位 置，以此例來說目標物實際位置在（r =2.92、θ=–148），反演目標物位置在
（r =3.00、θ=–148），可以正確反演出目標物位置。
圖4-19，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的3D圖
圖4-20，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的2D圖
最後我們將圖 4-20 極座標轉回直角座標，如此我們可以方便比較出模擬 結果與實際情況的差別，如圖 4-21示。
圖4-21，目標物（x =–65，y =–40）反演後的直角座標圖
（2）目標物位置在 x =–71，y =24
目標物實際位置 r =2.92 θ=161
（3）目標物位置在 x =80，y =71
目標物實際位置 r =4.17 θ=41.4
（4）目標物位置在 x =81，y =35
目標物實際位置 r =3.47 θ=23.2
（5）目標物位置在 x =50，y =10
目標物實際位置 r =1.99 θ=11.9
（6）目標物位置在 x =–34，y =–60
目標物實際位置 r =2.61 θ=–119
（7） 目標物位置在 x =–80，y =–80
目標物實際位置 r =4.33 θ=–135
我們整理非軸對稱 AM光網（Non-axial symmetric AM reticle）的模擬結 果，如表四，在模擬結果中，在反演目標物的位置中，有少數幾個點有誤差 產生，由於誤差量相當小，並不會影響我們判斷目標物的位置，因此，整體 上來說反演結果幾乎和實際位置是相同的，表示非軸對稱 AM光網（Non-axial symmetric AM reticle）可以利用此快速演算法正確地判斷出目標物的位置。
目標物實際位置 反演目標物位置
r =2.92 θ=–148 r =3.00 θ=–148 r =2.92 θ=161 r =2.92 θ=161 r =4.17 θ=41.4 r =4.17 θ=41.4 r =3.47 θ=23.2 r =3.47 θ=23.2 r =1.99 θ=11.9 r =2.07 θ=11.9 r =2.61 θ=–119 r =2.69 θ=–119 r =4.33 θ=–135 r =4.41 θ=–135
表四、非軸對稱 AM光網模擬結果
上述為將光網向右偏移半徑約 20％，我們再以目標物（x =–65，y =–40） 為例，讓光網分別向右偏移半徑的 10％、20％、30％、40％、50％、60％、
70％、80％、90％、100％，觀察反演結果的變化情形，不再贅述反演過程，
目標物的直角座標圖畫在左邊，反演後的目標物直角座標圖畫在右邊。
（1） 光網向右偏移半徑的 10％
目標物實際位置 r =2.92 θ=–148 反演目標物位置 r =3.00 θ=–148
（2） 光網向右偏移半徑的 20％
目標物實際位置 r =2.92 θ=–148 反演目標物位置 r =3.00 θ=–148
（3） 光網向右偏移半徑的 30％
目標物實際位置 r =2.92 θ=–148 反演目標物位置 r =2.92 θ=–148
（4） 光網向右偏移半徑的 40％
目標物實際位置 r =2.92 θ=–148 反演目標物位置 r =2.92 θ=–148
（5） 光網向右偏移半徑的 50％
目標物實際位置 r =2.92 θ=–148
目標物實際位置 r =2.92 θ=–148