光網式紅外線尋標器的反演通則

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(1)⊕ 國立中山大學光電工程研究所碩士論文. 光網式紅外線尋標器的反演通則 General Inversion Algorithm for Infrared Seeker with Reticles. 研究生：呂金龍撰指導教授：張弘文博士. 中華民國九十五年六月.

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(5) 誌謝本論文能順利完成，首先要感恩我的指導教授張弘文老師，在張老師悉心的指導之下，讓我不僅在光電領域有更深一層的認識之外，更親自帶領我重新認識並學習作研究的方法，作研究的每個步驟都必須很扎實且不要小看任何細節，對於任何事物都要充滿好奇心與熱情，不斷的問、不斷的思考、不斷的搜尋新資訊，讓自己的思維能跟的上時代。這是一個為期兩年的建教合作案，感恩中科院提供一個學習的機會與不時給予寶貴意見，讓我能迅速成長，感恩盛夢徽學長、程偉麒、董建甫學長、王勝民學長、李致維學長等，蒐集資訊與建立基本的反演架構的努力，使得學弟能很順利的產生模擬結果。也很感實驗室同學黎聯群、學弟王建銘、楊昇默、李宗桂、楊仁光、楊易錚的陪伴我成長，一起度過困難、一起享受歡樂的時光，在我準備口試期間全力的幫忙，讓我能安心的口試。最後要感恩我的父母，感恩他們不辭辛勞的養育和栽培，使得我有這個機會能完成碩士學位與論文研究。所以將此論文獻給我最親愛的父母，與一直在支持我的朋友們，感恩大家。. 呂金龍 2006,6 于高雄西子灣 I.

(6) 中文摘要本論文是探討光網式紅外線尋標器的反演分析，紅外線尋標器是由光網、紅外線偵測器和光學系統組成。光網表面是由透明和不透明區域組成的圖型（pattern），通常置於光學系統的焦點平面上。紅外線偵測器面積約與光網相當，其瞬間接收強度正比於紅外線影像與光網圖型的重疊積分。當光網以高速旋轉,偵測器接收到的是一維訊號，而且目標物靜止不動時，紅外線偵測器接收到的是個一維週期函數。如何利用紅外線影像經光網調變後產生的波型來反演出目標物相對位置，則是一個相當困難的問題，本篇論文即是提出一個反演通則，此方法能處理調幅、調頻與其它更複雜型式的光網。當目標物出現於空間中的任何一個位置，在參數搜尋包含 X 軸、Y 軸位置和紅外線光源大小，所以這是一個三維參數搜尋的最佳化題，接著將所有的可能情況的波型都計算出來，再與量測到的波型來一一比較，找出最相近的波型、其位置參數即為目標物的位置。我們透過低通濾波器、問題的對稱性和快速富利葉轉換（Fast Fourier Transform）等技巧，將問題與計算量由三維簡化至二維，由於計算量的大量降低，所以在光網轉動的半個週期的時間內即可完成反演，具即時反演並傳遞目標物訊息的能力。因此，我們可以將此反演方法應用於真實的紅外線尋標器中，協助尋標器在最短時間內判斷出目標物的位置。除此之外，我們可以根據模擬結果，利用模擬結果圖形的正確率、誤判率、對半徑、角度的準確範圍等，作為判斷光網設計好壞的依據。如何透過一維的光網調變訊號來反演的二維實體影像？真實的目標物影像是非常複雜的，無法靠著此一維的訊號就能反演。所幸紅外線時影像主要是由幾個亮點組成，由於亮點位置比較容易處理，所以可以藉著一維的訊號來反演出目標物的二維影像。. II.

(7) Abstract In this thesis, we focus on the position inversion algorithm for infrared (IR) seekers with reticles. The IR seeker system is composed of a reticle, an IR sensor and the optical/electronic systems.. The pattern on a reticle is. specially designed and is made of both transparent and opaque materials. It is placed right in front of the focal plane of the IR optical imaging system. The area of the IR seeker is comparable to that of an IR sensor.. The. instantaneous received power is proportional to the overlap integral of infrared image and the reticle’s transmittance function. assumed to be quasi-stationary.. The target is. When the target is idle in space the. infrared detector will receive a one-dimension periodical signal. It is a quite difficult problem to obtain the desired target location in 2-D space from the 1-D infrared seeker waveform. We propose a general inversion algorithm that will handle both amplitude/frequency modulation (AM/FM) modulated as well as other more complicated IR reticles.. An IR. target in space can be of any location (X, Y coordinate) and of any size (or intensity).. Our idea is to perform a search in the 3-D parametric space.. After calculating all possible situations, we compare the simulated waveforms with the measured one and find the best fit.. We are able to. reduce to just search the 2-D positional space by applying a low-pass filter to the measured waveform before processing.. We further speed up the. convolution calculation by using the fast Fourier transform (FFT).. We are. able to complete our search in less time for the reticle to rotate half a cycle. Thus, the inversion algorithm is done in real time and is suitable for the field installation.. We also can apply this method to help design the reticles for. IR seekers based on success rate of identical targets under various situations. Normally it is highly impossible to obtain the original 2-D image from its modulated 1-D signal. In our case, IR images made of just a few bright spots are relatively simple. It allows us to perform the 2-D inversion when only the positional parameters of the targets are needed. III.

(8) 目錄誌謝.......................................................................................................... I 中文摘要 .................................................................................................II 英文摘要 ................................................................................................III 目錄....................................................................................................... IV. 第一章. 導論 ....................................................................................... 1. 1.1 研究動機 ............................................................................... 2 1.2 研究目的 ............................................................................... 3 1.3 論文的差異 ........................................................................... 4 第二章. 紅外線尋標器簡介 ............................................................... 5. 2.1 紅外線簡介 ........................................................................... 5 2.2 紅外線尋標器系統 ............................................................. 12 2.3 光網式尋標器簡介 ............................................................. 13 2.4 常用的光網 ......................................................................... 17 2.4.1 AM（Amplitude modulation）光網 ........................ 17 2.4.2 FM（Frequency modulation）光網 .............................. 22 2.5 基本原理 ............................................................................. 27 第三章. 反演方法 ............................................................................. 30. 3.1 迴旋理論（convolution theorem）簡介 ............................ 30 3.2 外線光源模型 ..................................................................... 41 3.3 反演方法 ............................................................................. 42 IV.

(9) 第四章. 單一目標物模擬 ................................................................. 45. 4.1 FM 光網的模擬................................................................... 45 4.2 非軸對稱 AM 光網 ............................................................. 55 4.3 Rotating Concentric Annular Ring 光網的模擬.................. 72 4.4 平滑濾波器的長度對模擬結果的影響.............................. 82 4.5 紅外線光源半徑的大小對模擬結果的影響 ................................. 86 4.6 在固定參數下目標物出現於任意位置的模擬.................. 90 4.7 未來可研究的方向 ............................................................. 94 第五章. 多目標物模擬 ..................................................................... 95. 5.1 以 FM 光網多目標物模擬.................................................. 95 5.2 以非軸對稱 AM 光網多目標物模擬 ................................104 第六章. 總結 ....................................................................................111. 參考文獻 ............................................................................................113 中英文對照表 ......................................................................................115. V.

(10) 第一章導論目前戰爭模式已經由全球性的世界大戰，轉變至小規模的區域性衝突，戰場由遍佈世界各地轉變至侷限在某單一區域，如二十世紀末的波斯灣戰爭，其緣起於伊拉克與科威特兩國，為領土、石油權利益等糾紛，導致伊拉克於一九九０年八月八日入侵科威特，引發國際社會關注的波斯灣危機，聯合國通過出兵伊拉克，以美軍與其他國家組成的盟軍立即展開部署實施毀滅性的沙漠風暴戰爭，這場戰爭雖然有許多國家參與，但是戰場範圍也僅限於在伊拉克附近。又如二十一世紀初的美伊戰爭，美國接獲情資顯示伊拉克藏有大量毀滅性武器，以解除海珊政權武裝、終結海珊政權為口號，於二００三年三月廿日，以美國和英國為主的聯合部隊正式宣佈對伊拉克開戰，地點也是在伊拉克附近。兩伊戰爭是最近幾年具有代表性的戰爭，在這兩場戰爭相同點是戰場侷限在波斯灣，戰爭中大量的使用了大量紅外線導彈，如大量使用由電視、雷射、和熱影像導引性的精靈炸彈、AIM-9（響尾蛇）、AIM-7 （麻雀）、 AIM-120（先進中程空對空飛彈）、戰斧巡弋飛彈、愛國者防空飛彈，然而，紅外線尋標器在紅外線導彈中扮演了相當重要的角色，紅外線尋標器除了可以判別目標物的位置外，還可以將目標物的相關資訊傳送至追蹤系統，讓紅外線飛彈能修正飛行方向並持續追蹤目標物，最後能將目標物摧毀。. 1.

(11) 1.1 研究動機現代空戰的主角是多用途戰鬥機和高性能的空對空導彈，而空對空導彈的主導作用正日益顯現。因為對於一個財力和技術有限的國家來說，提高空中作戰能力的途徑並非只有依靠研製和裝備更先進的作戰飛機，研製新一代戰鬥機需要大量的金錢和技術儲備作為支撐，這絕非是勢單力薄的小國所能做的起來。而先進的空對空導彈則能夠在一定程度上彌補我方飛機與對手飛機在性能上的差距，且研製空對空導彈的成本和代價遠小於研製新一代飛機，技術上的門檻也並非高不可攀，目前我國的空對空飛彈有，AIM-120C5 （先進中程空對空飛彈）、AIM-7（麻雀中程空對空飛彈）、AIM-9L MP（響尾蛇短程空對空飛彈）、天劍一型短程空對空飛彈、天劍二型中程空對空飛彈、R550（魔法二型短程空對空飛彈）、MICA（雲母中程空對空飛彈）等，這些飛彈中大部分都有紅外線追蹤的能力，紅外線尋標器就是讓飛彈具有紅外線追蹤能力的重要元件，尋標器的好壞決定了導引飛彈是否能更精確的辨識、攻擊地面或空中移動性的目標，因此一個好的尋標器必經經過無數次的測試，不斷的改進希望能達到最佳的設計水平，但在實際實驗之前，可以先利用電腦來進行模擬，並依序加入現實環境的條件，增加模擬的真實度，使得真實實驗能達到最佳效果，且能降低開發成本。. 2.

(12) 1.2 研究目的不論在國內或國外對於尋標器的研發都是不於遺力，雖然國外對於飛彈紅外線尋標器研發雖然比國內要先進許多，但基於高科技機密其成果較少發表，且其設計理論與製造和生產方式幾乎都列為軍事機密，因為這部分涉及軍事機密，目前參考文獻並不多，所找到的文獻也僅僅介紹光網型式、基本的數學式子和簡單的模擬[1][2]，但這些模擬方法耗時且無法滿足實際情況所需，本論文是一個建教合作案，旨在找出一個新的演算法，對於任意光網的反演，均能在光網轉動一圈的時間內，即能判斷出目標物的位置，達到即時判斷並輸出目標物資訊到追蹤系統，藉由這些模擬演算，可以減少大規模的實驗並大幅降低開發成本，而且在完成尋標器硬體之前就能確定設計演算法。. 3.

(13) 1.3 論文的差異本論文為延續李致維的論文[3]繼續鑽研，以下幾點為研究結果的突破與改善： 1. 光網能量穿透函數的修正：在尚未修改光網能量穿透函數前，我們僅能對交流（AC）訊號作處理，但是隨著光網條紋數增加，直流（DC）訊號也會伴隨著產生，此時我們會無法處理此一問題，在三維時增加的點的大小時會產生問題，於是將光網能量穿透函數加上直流值，讓它是一個大於 0 的函數，除了解決此一問題之外，也讓接下的深入的研究能更順利。 2. 紅外線光源模型：實際的紅外線模型是非常複雜的，目前在文獻上所使用的紅外線光源模型(IR source image model)，都是用一個簡單的圓碟模型 (disk model)，但這並不合理，因為涵蓋在圓圈裡面能量強度固定，但在圈外能量卻立刻變成零，完全不符合物理。我們希望在數學上不會太複雜的數學模型又比較能貼近實際情形，所以採用一般較能被接受的高斯模型（Gauss model）。 3. 模擬結果的呈現方式：我們的反演過程中，一開始就利用內差法將直角座標轉成極座標，在去年最後的模擬結果僅以極座標表示，本論文將其更進一步將結果轉回直角座標，便於直間觀察與比較實際目標物位置與模擬位置的差異。 4. 增加討論 Spot size 的大小對模擬結果的影響。 5. 增加討論在相同參數下，對於目標物在不同位置的模擬結果。 4.

(14) 第二章紅外線尋標器簡介 2.1 紅外線簡介. 圖 2-1，電磁波頻譜圖電磁波是一連續頻譜，涵蓋γ射線（Gamma rays）、X 射線（X rays）、紫外線（ultraviolet rays）、可見光（visible light）、紅外線（Infrared rays）及微波（microwave）等 6 個部分，如圖 2-1。由於人類的視網膜對於波長在 0.38 微米（ μm ）～0.78 微米（ μm ）的電磁波波段有比較好的分辨力，所以將此範圍的波長稱為可見光，我們可以將可見光的波長範圍再細分成 7 個波段，如表一。在真空中（free space）光的傳播速度為 3×108（m/s），波長（λ）和頻率（f）的關係為 λ =. 5. c f. （1）.

(15) 顏色. 波長（ μ m ）. 能量（eV）. 紅. 0.60～0.78. 1.59～2.07. 橙. 0.58～0.60. 2.07～2.14. 黃. 0.53～0.58. 2.14～2.34. 綠. 0.48～0.53. 2.34～2.58. 藍. 0.45～0.48. 2.58～2.76. 靛. 0.43～0.45. 2.76～2.89. 紫. 0.38～0.43. 2.89～3.26. 表一，波長與能量的關係由（1）式可看出，頻率與波長為反比關係。波長和能量（E）的關係為：. E=h × ν =h ×. c. λ. （ 2）. ，是普朗克常數（Planck constant），由（2）式其中 h＝6.626×10-34（J×S）可得，頻率與能量為正比關係，綜合（1）、（2）式可得「波長與頻率成反比，頻率與能量成正比，所以波長與能量成反比」，故紅外線的的波長比可見光和紫外線長，所以紅外線的能量比可見光、紫外線低。在計算上我們常常使用電子伏特（eV）來表示能量，這是一個比較小的能量單位（1 焦耳＝6.25×1018 電子伏特），也可以利用（3）式可快速計算出波長與能量的關係， E (eV ) =. 6. 1.24 λ ( μ m). （ 3）.

(16) 紅外線是一種無法用肉眼直接觀看到的光線，它是經由物質內部的分子、原子運動所產生的電磁輻射，在一八００年，英國皇家學院的 William. Herschelru 將太陽光線經稜鏡折射後，用溫度計去觀察每個波長產生熱能的情況，他發現在紅光外邊緣區域的溫度竟然發生最多變化，紅外線因而被發現，同時他也證明紅外輻射遵守折射定律和反射定律。紅外線射到物體上最明顯的效果是產生熱，冬天的時候，當你在燒紅的爐子旁邊烤火時，因為有大量的紅外線從爐子射到你的身上，所以你會有熱呼呼的感覺。只要溫度高於絕對零度（-273℃）的物體就會不斷地輻射出紅外線，這種現象稱為熱輻射，紅外線波長範圍約在 0.78 微米（ μ m ）～1000 微米（ μ m ），其又可依能量的不同區分成近紅外線（Near infrared，NIR）、短波長紅外線（ Short wavelength infrared ， SWIR ）、中波長紅外線（ Medium wavelength. infrared，MWIR）、長波長紅外線（Long wavelength infrared，LWIR）及遠紅外線（Very long wavelength infrared，VLWIR）等五個紅外線波長範圍，如表二 [4] ，紅外線波長最大可以到 1000 微米（ μ m ）左右，接著就是微波（Microwave）的部份。通常只要有溫度的物體，就會不停的輻射出紅外線，隨著溫度的高低、物體成份的不同，發出的紅外線波長也不一樣，若是物體的溫度增加，所輻射出的紅外線能量也會增加，我們人體輻射出的紅外線波長約為十幾微米（ μ m ），所以只要用夜視線鏡就可以看見人體發放的紅外線電磁波。第二次世界大戰期間，用外線觀測器來追蹤熱源、觀察部隊動向、夜間警衛與軍事行動探測或各種遙控器等。 7.

(17) 波長範圍（ μ m ）. 紅外線區域近紅外線（Near infrared）. 0.78-1. 短波長紅外線（Short wavelength infrared）. 1-3. 中波長紅外線（Medium wavelength infrared）. 3-6. 長波長紅外線（Long wavelength infrared）. 6-15. 遠紅外線（Very long wavelength infrared）. 15-1000. 表二，紅外線波長範圍只要不是絕對零度的物體，都具有紅外線輻射的特性，這在一八五九年，德國物理學家 Kirchhoff 的輻射定律（law of radiation）已證明出：物體在已知溫度下，輻射能之輻射率或吸收率與物體表面之性質有關，而黑色物質對輻射能具有較大的吸收能力。如果一個物體在任何溫度下能吸收任何頻率的輻射能，且不會產生反射的物體，那麼這個物體便稱為－絕對黑體（簡稱黑體）。為研究各種不同物體的紅外線輻射，物理學家以這個理想的輻射體作為基準，它能吸收所有的熱輻射的物體，黑體的熱輻射與材料本身的性質無關，僅與溫度有關，即當黑體的溫度保持一定時，也就是黑體本身與外界達成熱平衡（所吸收的熱輻射等於所發出之熱輻射，熱的流出與流入是相等的），這也就是說黑體所發出之輻射，與其所吸收之熱輻射是的一樣多，稱之為黑體輻射。在一九七二年，Prevost 的交換理論（Theory of Exchanges）說明：良好的吸收體必定也是良好的輻射體，所以黑體的輻射效率最高，將其輻射率比. 8.

(18) 定為 l。在相同溫度下，任何實際物體的輻射發射量與黑體的輻射發射量之比，稱為該物體的輻射率比，其值必小於 "1" ，黑體的輻射特性可用普朗克定律（Planck’s Law）做一個完整的描述，接著簡單地描述這個重要定律的源由。首先在一八七九年，Josef Stefan 由實驗結果歸納出，總光譜輻射率與空腔輻射體之絕對溫度的 4 次方成正比，在一八八四年，由 Ludwig Boltzmann 利用電磁理論和熱力學的觀點証明此一結果，此即為 Stefan-Boltzmann 定律。 E = σT 4. （4）. 其中σ=5.67×10-8 （watt/m2K4），E 是總光譜輻射率，T 是絕對溫度。在一八九三年，德國物理學家維恩（Wilhelm Wien）依據 Stefan- Boltzmann 定律導出熱輻射能量分佈定律的經驗公式： u = bλ −5 exp(− a / λT ). （ 5）. 其中 u=能量隨波長λ分布的函數（也稱作能量密度），T=絕對溫度，a、. b 為兩個任意常數，從上式可推導出維恩定律（Wien’s law）：. λmax × T = 2897.8( μ m × K )＝constant. （ 6）. 由（6）式可看出：在固定溫度下，輻射量最大的波長與溫度的乘積為常數。在一九００年，英國物理學家 Rayleigh，與英國天文學家及物理學家 Jeams 提出著名的" The Classical Formula of Rayleigh- Jeam "，但這結果是有錯誤的，最後由德國理論物理學家 Planck 修正，他做了一個重要的假設，假設能量是可以量子化，進而得出著名的 Planck’s law，如（7）式。 9.

(19) 8π hv3 1 8π hc 1 M= = c3 exp(hv λ 5 exp(hc ) −1 KT λ KT ) − 1. （7）. 其中 h=Planck’s constant，ν=頻率，c=光速，K=絕對溫度，λ=波長，如圖 2-2，由圖形可知，隨著溫度增加，最大輻射量的波長越來越短，若是將最大輻射量的波長連起來，可得到一條近似的直線[5]。. 圖 2-2，黑體總輻射能量在不同溫度的曲線圖物體發出的紅外線輻射，都要通過大氣才能到達紅外光學系統，由於大氣中的二氧化碳、水氣等氣體對紅外線輻射會產生選擇性的吸收及其他微粒的散射，使得紅外線輻射產生不同程度的衰減，所以紅外線尋標系統需考慮大器衰減的影響，如圖 2-3，我們把某些衰減較小的波段，稱作大氣窗口，在. 0.76 微米（ μ m ）~20 微米（ μ m ）波段內有三個大氣窗口：1 微米（ μ m ）~2.7 微米（ μ m ）、3 微米（ μ m ）~5 微米（ μ m ）、8 微米（ μ m ）~13 微米（ μ m ）。目前紅外線系統所使用的波段，大多限於上述三個大氣窗口（大氣窗口還與. 10.

(20) 大氣成份、溫度和相對濕度等因素有關）。由於紅外線系統所探測的目標處於各自的特定背景之中，從而使探測過程複雜化，因此在設計紅外線系統時，不但要考慮紅外線輻射大氣中的傳輸效應，還要採取抑背景的技術，以提高紅外線系統探測和識別目標的能力。. 圖 2-3，紅外線在大氣中的穿透與吸收情形紅外線系統按工作原理，可分為主動式和被動式兩類。主動式系統需要紅外線光源照射目標，被動式系統則直接探測目標的紅外線輻射，主導著軍用紅外線系統，除了以偵測熱源為主外，也具有攻擊能力，如熱成像系統、搜索追蹤系統、紅外輻射計和警戒系統等，較先進的紅外線偵測技術具備影像效果，使它成為軍事先進武器的重要角色。. 11.

(21) 2.2 紅外線尋標器系統一個標準的紅外線尋標系統通常包含四個部分：背景、目標物、大氣層和尋標器[6]，如圖 2-4。背景. 大氣層目標物尋標器圖 2-4，紅外線尋標系統其中：（1）背景：包含太陽、雲層等。（2）目標：如飛機、飛彈、船艦、發電廠和地面巨型建築物等。（3）大氣層：需考慮大氣衰減效應（Modulation Transfer Function，MTF）。（4）尋標器：需考慮光學系統轉換函數（Optical. Transfer Function，OTF）。. 基本工作原理是目標物輻射出紅外線訊號，經過大氣層而到達尋標器，與光網調變(modulated)後，輸出訊號至紅外線偵測器(IR detector)，藉由數值模擬反演而得到目標物的正確位置，同時將此資訊傳送至追蹤系統，導引飛彈鎖定目標物並成功地摧毀目標。. 12.

(22) 2.3 光網式尋標器簡介光網式尋標器簡單來說就是去搜尋並鎖定目標物發出的熱量，並利用鎖定的熱源做為攻擊的導引依據，任何機械的運作都會產生熱量，通常這些熱量都是向外界排出，而這些熱量就會形成良好的紅外線來源。以噴射機來說，發動機的排氣管是發出熱量最多的部位，因此是紅外線導引飛彈最初設計時的搜索目標，當飛彈發射之後如果尋標頭持續抓住目標發散出來的熱源，飛彈就不需要依靠其他的訊號來協助追蹤攻擊，因此紅外線導引飛彈是最早的射後不理的飛彈系統[7]，早期的紅外線飛彈需要在目標的尾部相當狹小的範圍內才能鎖定，而且相當容易受到其他熱源，像是陽光和水面反射等的干擾而無法持續鎖定目標，改進之後的尋標器較為敏銳，不但可以濾除背景的熱源也同時降低飛彈搜索熱源時的角度限制，使得發射的飛機可以在距離目標尾部較大的偏離角度下順利鎖定，使用上更為方便。更新的改良除了增加飛彈尋標頭對對背景熱源產生的干擾作更有效的濾除之外，更加敏銳的尋標器可以利用飛機高速飛行時表面因為空氣摩擦產生熱源做為鎖定的依據，這也就是全相位飛彈之所以能夠不需要見到發動機排氣管一樣有機會鎖定目標，這是目前新一代紅外線空對空飛彈的基本要求。尋標器（seeker）是紅外線飛彈最主要的一個導引儀器，一般而言，尋標器（seeker）大致分為三大類：（1）被動非影像尋標器（passive non-imaging. seekers）；（2）被動影像尋標器（passive imaging seekers）；（3）主動雷射導引尋標器（active laser guide seekers）。被動非影像尋標器即是光網式尋標 13.

(23) 器，也是我們研究的主題，光網式尋標器為飛彈利用來追蹤鎖定目標物的一個重要裝置，光網被定義為置於儀器焦點平面的圖案（pattern），主要是用來量測或是尋找目標物，並提供和傳送目標物的資訊到追蹤系統，被廣泛地運用在紅外線尋標器和追蹤系統，在很久以前即被考慮在視角範圍（FOV）內估計目標物位置的趨近法，這類型的光網很適合用來追蹤空中目標物，例如戰機、飛彈、噴射機及空中運輸的飛機。光網式尋標器基本架構是由光學系統（面鏡或透鏡的組合）、光網和檢測器組成，如圖 2-5，目標物紅外線訊號經由光學系統聚焦至光網平面，與光網經過調變後，將訊號傳送至檢測器，偵測器輸出產生的波型，再藉由訊號處理判別出目標物真實位置。雖然背景的能量也被聚焦到光網平面，但是我們根據 Stefan-Boltzmann 定律：基本上物質都會散發紅外線輻射，其輻射能量與絕對溫度有四次方正比關係，若目標物與背景間的溫度相差很大，則此溫差經過四次方放大後，可以讓尋標器清楚判別目標物與背景。. 圖 2-5，光網式尋標器結構示意圖. 14.

(24) 如果紅外線訊號被聚焦至光網上，那所有傳送的信號將會是一個弦波的模式。如果紅外線訊號相對於光網為靜止的情形下，經光網調變後總輻射光可以寫成下列式子： R π. D=. ∫ ∫ Mask (r,θ − ωt ) I (r,θ )rdθ dr. （ 8）. 0 −π. 其中ω是光網的轉動速度， Mask (r ,θ − ωt ) 是光網的轉移函數， I (r ,θ ) 是紅外線影像在光網面上的影像分佈函數情形，光網轉動週期是. ω 。 2π. 光網的優點有下列 3 項： 1. 構造簡單且成本不會很昂貴。. 2. 光網只需調變進入的紅外線訊號，所以並不會使用到很複雜的的電路即可達成解調的程序，並產生追蹤所需的訊號。. 3. 由於有空間濾波的效應，紅外線光網可排除不要的背景信號。光網的缺點有下列 3 項：. 1. 當很大或是多目標物出現在視角範圍（FOV）內，紅外線尋標系統不容易對目標物作精確的追蹤。. 2. 當目標物出現在原點，由於空間積分的結果都相同，故無法判別。當目標物被聚焦至光網中心時，IR 偵測器所收到的紅外線訊號，不因光網旋轉而有所改變，為一個與背景相同的直流訊號，造成無法判別，此為其缺點。. 3. 不能判斷目標物的距離。因我們所看到的是一個二維的影像，是一個平面影像，也無法由點的的大小來判斷。. 15.

(25) 紅外線光網又可以依光網是否轉動分成兩類：. 1. 旋轉式：是由一個固定的光學系統（即面鏡或透鏡組合）和一個旋轉光網組成[8]，如圖 2-5。. 2. 固定式：是由一個固定的光學系統（即面鏡或透鏡組合）和一個固定並傾斜一個角度的光網[9]。. 16.

(26) 2.4 常用的光網我們常用的光網有振幅調變（ Amplitude modulation ， AM ）、頻率調變（Frequency modulation，FM）、AM/FM 以及相位調變（Phase modulation，. PM），以下分別介紹與本論文有較大關係的 AM 和 FM。. 2.4.1 AM（Amplitude modulation）光網 AM 光網可用 angle、radius、phase 三個參數來完整描述[1][8]，也可以調整這些參數產生不同特性的光網，數學式表示式如下：. 1. AM vs. angle（可調參數： f (θ ) ）光網轉移函數： T (θ ) =. 1 + V [1 + mf (θ )]cos(kθ ) 2. （9）. 2. AM vs. radius（可調參數： g (r ) ）光網轉移函數： T (θ ) =. 1 + Vg (r )[1 + mf (θ )]cos(kθ ) 2. （10）. 3. AM vs. phase（可調參數： ρ (r ) ）光網轉移函數： T (θ ) =. 1 + Vg (r )[1 + mf (α )]cos(kα ) | α 2. = θ + ρ (r ). （11）. 其中 k 為光網條紋數（number of spokes），V 是常數，m 是調變指數 1 ， f (θ ) 是低頻的調變訊號，是 DC 項，加上此項使得當（modulation index） 2 1 沒有紅外線訊號進入時，偵測器所接收到的平均傳輸的訊號為。 2. 17.

(27) 2.4.1.1 AM vs. angle 光網轉移函數： T (θ ) =. 1 + V [1 + mf (θ )]cos(kθ ) 2. 其中 V＝1/4，m＝1， f (θ ) = cos(θ ) ，k＝20，代入（9）式，得到一個轉移函數： T (θ ) =. 1 1 + [1 + cos(θ )]cos(20θ ) ，我們分別畫出 f (θ ) 、光網直角座 2 4. 標圖，如圖 2-6、圖 2-7。. 圖 2-6，AM 的調變參數 f (θ ). 圖 2-7，AM vs. angle 光網直角座標圖. 18.

(28) 2.4.1.2 AM vs. radius 光網轉移函數： T (θ ) =. 1 + V [1 + mf (θ )]cos(kθ ) 2. 其中 V＝1/4， g(r)＝(r/R)2 ， mf (θ ) = 1 k＝20，代入（10）式，得到一個轉移函數： T (θ ) =. 1 1 r 2 + ( ) cos(20θ ) ，我們分別畫出 g (r ) 、光網直角座標 2 2 R. 圖，如圖 2-8、2-9。. 圖 2-8，AM 的調變參數 g ( r ). 圖 2-9，AM vs. radius 光網直角座標圖. 19.

(29) 2.4.1.3 AM vs. phase 光網轉移函數： T (θ ) =. 1 + Vg (r )[1 + mf (α )]cos(kα ) |α =θ + ρ ( r ) 2. 其中 V＝1/4，g(r)＝1，m＝1，f(α)＝1， ρ (r ) =. π 3. exp(−4 × (. r−R 3. 2 ) 2 ) ，代. r−R 2 1 1 π 2 ) ))] ，入（11）式，得到一個轉移函數： T (θ ) = + cos[k ( exp(−4 × ( 2 2 3 3 我們分別畫出 ρ (r ) 、光網直角座標圖，如圖 2-10、2-11。. 圖 2-10，調變參數 ρ (r ). 圖 2-11，AM vs. phase 光網直角座標圖 20.

(30) AM vs. phase 可以用來改變或是調整光網條紋的形狀（ reticle bar shapes），也可以針對我們所需搜尋目標物的特性，來設計光網條紋的形狀，例如他可以針對很小的目標物來設計光網，此光網就只對於小型目標物有很好的辨別力，但對於大型目標物的分辨力就會不佳，這種類型的光網很適合去搜尋在雲層理較小的目標物。將上述三個公式整合出 AM 光網的通式公式： T (θ ) =. 1 + Vg (r )[1 + mf (α )]cos(kα ) |α =θ + ρ ( r ) 2. （12）. 可調變參數包含：（1）V （2）g(r) （3）mf(α) （4）ρ(r) 參數輸入限制：（1） Vg (r )[1 + mf (α )] <. 1 2. 說明：因為轉移函數不能大於 1。（2） mf (α ) > 1 說明：避免產生相位由正變負、負變正，造成電子儀器產生錯誤，如果追蹤系統能允許相位由正變負、負變正，則此一條件可以略過。. 21.

(31) 2.4.2 FM（Frequency modulation）光網 FM 光網可用 angle、radius、phase 三個參數來完整描述[2][8]，也可以調整這些參數產生不同特性的光網，數學式表示式如下：. 1. FM vs. angle 光網轉移函數： T ( r ,θ ) =. 1 1 + cos{m[θ + α cos(θ )]} 2 2. （13）. 2. FM vs. radius（可調參數： m(r ) ）光網轉移函數： T ( r ,θ ) =. 1 1 + cos[θ m( r )] 2 2. （14）. 3. FM vs. phase（可調參數： ρ (r ) ）光網轉移函數： 1 1 + cos{m[θ + ρ (r )]} （15） 2 2 1 其中 m 為光網條紋數（number of spokes），是 DC 項，加上此項使得 2 1 當沒有紅外線訊號進入時，偵測器所接收到的平均傳輸的訊號為。 2 T ( r ,θ ) =. 22.

(32) 2.4.2.1 FM vs. angle：光網轉移函數： T (r ,θ ) =. 1 1 + cos{m[θ + α cos(θ )]} 2 2. 其中 α ＝ 0.4 ， m ＝ 10 ，代入（ 13 ）式，得到一個轉移函數： T ( r ,θ ) =. 1 1 + cos{10[θ + 0.4cos(θ )]} ，光網直角座標圖，如圖 2-12。 2 2. 圖 2-12，FM 光網直角座標圖. 23.

(33) 2.4.2.2 FM vs. radius：光網轉移函數： T (r ,θ ) =. 1 1 + cos[θ m( r )] 2 2. r 其中 m(r ) = (18 ) ，代入（ 14 ）式，得到一個轉移函數： R 1 1 r T (r ,θ ) = + cos[18( )θ ]，我們分別畫出 m(r)、光網直角座標圖，如圖 2-13、 2 2 R. 2-14。. 圖 2-13，FM 的調變參數 m(r). 圖 2-14，FM - vs - radius 光網直角座標圖. 24.

(34) 2.4.2.3 FM vs. phase：光網轉移函數： T (r ,θ ) = 其中 ρ (r )=(. π. 1 1 + cos{m[θ + ρ (r )]} 2 2. r ) ， m ＝ 10 ，代入（ 15 ）式，得到一個轉移函數： 12 R )(. r−R 2 1 1 π 2 ) ))] ，我們分別畫出 ρ (r ) 、光網直角座標 T (θ ) = + cos[k ( exp(−4 × ( 2 2 3 3 圖，如圖 2-15、2-16。. 圖 2-15，FM 的調變參數 ρ (r ). 圖 2-16，FM vs. phase 光網直角座標圖. 25.

(35) 將上述三個公式整合出 FM 光網的通式公式： T ( r ,θ ) =. 1 1 + cos{m[θ + ρ ]} 2 2. 可調變參數包含：（1）θ （2）m：FM vs. radius：m(r) 其他：m 為條紋數（3）ρ：FM vs. angle：ρ(θ). FM vs. phase：ρ(r). 26. （16）.

(36) 2.5 基本原理我們以 FM 光網來說明光網的基本原理，如圖 2-17，假設目標物是飛機並且等效成一個圓點來表示，背景目標物是雲層，如圖 2-17（b），光網是由透明扇形區域跟不透明扇形區域兩個部分組成，當目標物所輻射出的紅外線訊號經由光學系統聚焦至光網平面，若目標物聚焦至透明的扇行區域，紅外線將會穿過光網進到紅外線偵測器，產生”1”的訊號，若目標物聚焦至不透明扇形區域，紅外線不會穿過光網，紅外線偵測器產生”0”的訊號，假設光網有. 10 個條紋數（number of spokes），隨著光網轉動這個訊號會被調變 10 次，在時間軸上可依序得到 10 各脈衝（pulse）訊號。當雲彩所輻射出的紅外線訊號經由光學系統聚焦至光網平面，由於雲層的面積較大，同時橫跨很多的光網. 雲層目標物. （a）FM 光網. （b）目標物及雲層. Low Pass Filter 目標物. 雲彩. 目標物. （c）目標物和雲彩所產生的訊號波型. (d)經過低通濾波氣候的輸出波型. 圖 2-17，FM 光網式尋標器的基本原理圖. 27.

(37) 條紋，所以會產生一個類似直流的訊號，如圖 2-17（c），我們將所得的訊號經過一個低通濾波器，將此背景資料濾除，即可得到由真正目標物產生的脈衝訊號，如圖 2-17（d）。接著討論另一種情況，我們以 AM 光網來說明，光網的條紋數設為 1，如圖 2-18，當目標物所輻射出的紅外線訊號經由光學系統聚焦至光網平面，若目標物分別聚焦在 A、B、C、D 點，所產生的波型訊號如圖 2-19。光網旋轉方向. B. A D. C. 圖 2-18，AM 光網，m=1. （a）A 點的波型. （b）B 點的波型. （c）C 點的波型. （d）D 點的波型. 圖 2-19，在 AM 光網上，不同位置所產生的波型圖 28.

(38) 比較 A、B 兩點，當光網順時針轉動時，A 點停留在透明區域的時間比較久，偵測器收到的訊號時間 A 點也會比 B 點還久一點，所以產生”1”的訊號也會比 B 點還來的久。C 點由於一開始被聚焦在非透明區域，一開始偵測器收不到紅外線能量產生的波型為 0，直到光網轉動使聚焦的位置移動至透明區域才會有訊號輸出，這種光網可以看程式光網開一角度或是遮蓋其中一部份，我們可以善用此一特性將實際的光網也開一個缺口，如圖 2-20，當紅外線偵測器一開始收到的訊號為”0”，我們就可知道目標物在開口區，可加速我們判斷目標物的位置。在 D 點，不論光網有無轉動，紅外線偵測器所接收到的訊號為一定值，是一個直流的 DC 訊號，故此為此光網的缺點之一：當目標物出現在光網中心會有無法辨別的情況產生。. 圖 2-20，角度為 270°的 FM 光網. 29.

(39) 第三章反演方法 3.1 迴旋理論（convolution theorem）簡介在我們的反演方法中，迴旋積分扮演了一個很重要的角色，所以在第三章一開始便介紹這個重要的理論，迴旋理論（convolution theorem）的一個重要條件是系統必須是線性非時變（ linear and time-invariant ， LTI ）系統. [11][12][13][14][15]，迴旋（convolution）是一種數學運算，可以配合圖解法，在數學運算上，圖解法可以藉由圖形的座標位置迅速寫出正確的積分範圍、積分內容，在物理意義上，若知道兩個卷積訊號圖形，捲積是這兩個訊號圖形重疊面積的乘積，可以直接求出其迴旋積分值。迴旋積分（ Convolution. integral）表示式如下：. x(t ) ∗ y (t ) . ∞. ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ. −∞. 迴旋積分具有下列特性：. 1. 交換率（The commutative property） x(t ) ∗ y (t ) = y (t ) ∗ x(t ) x(t ) ∗ y (t ) = =. ∞. −∞. ∫. x(τ ) y (t − τ )dτ = −. ∫. x(t − x) y ( x)dx = ∫ y ( x) x(t − x)dx = y (t ) ∗ x(t ). −∞ ∞. −∞. ∞. ∫ x(t − x) y( x)dx. ∞. −∞. 2. 分配率（The distributive） x(t ) ∗ [ y (t ) + z (t )] = =. ∞. ∫ x(τ )[ y (t − τ ) + z (t − τ )]dτ. −∞ ∞. ∞. −∞. −∞. ∫ x(τ ) y (t − τ )dτ + ∫ x(τ ) z (t − τ )dτ. = x(t ) ∗ y (t ) + x(t ) ∗ z (t ). 30. （17）.

(40) 3. 結合率（The associative property） x(t ) ∗ [ y (t ) ∗ z (t )] = [ x(t ) ∗ y (t )] ∗ z (t ) = [ x(t ) ∗ z (t )] ∗ y (t ) 4. 平移特性（The shift property） x(t ) ∗ y (t ) = c(t ) x(t ) ∗ y (t − T ) = c(t − T ) x(t − T ) ∗ y (t ) = c(t − T ) x(t − T1 ) ∗ y (t − T2 ) = c(t − T1 − T2 ) 5. 脈衝響應（Impulse response） x（t）與單位脈衝訊號作 convolution 後的結果為 x（t） x(t ) ∗ δ (t ) =. ∞. ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ = x(t ). −∞. 6. 寬度特性（The width property） x（t）與 y（t）在 x 軸上的寬度分別為 T1 和 T2，x（t）與 y（t）作 convolution 後的長度為 T1+T2。例：g 函數的寬度為 T1=4；f 函數的寬度為 T2=2；convolution 後的長度為 T1+T2 ＝6，如圖 3-1。. 圖 3-1，f（x）和 g（x）的 convolution. 31.

(41) 當紅外線訊號被光學系統聚焦到光網平面，此時紅外線訊號會與光網作調變（modulation）後輸出訊號，所謂調變就是兩個訊號相乘，某一個訊號必須改變或者是另一個訊號的振福被調變化，我們可以證明出時間領域的迴旋積分（convolution Integral）可以轉換成頻域的調變表示，而時間領域的調變也可以轉換成頻域的迴旋表示式。若 x（t）與 y（t）為一連續函數，則. F [ x(t )] = X (ω ) F [ y (t )] = Y (ω ) F{x(t ) * y (t )} = F [ x(t )] × F [ y (t )]. （18）. （在時域上做 convolution，等於是頻域上相乘）證明： ∞. x(t ) ∗ y (t ) =. ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ. −∞. ∞. F {x(t ) ∗ y (t )} =. ∞. ∫ [ ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ ]e. − jωt. dt. −∞ −∞. =. ∞. ∞. −∞. −∞. ∫ x(τ )[ ∫ y(t − τ )e. − jωt. dt ]dτ. ∞. = Y (ω ) ∫ x(τ )e − jωτ dτ −∞. = X (ω )Y (ω ) 所以只要將兩個訊號取富氏轉換（Fourier transform，FT）相乘，在取反富氏轉換（inverse Fourier transform，IFT），等同在時間軸對兩個訊號作迴旋（convolution），如圖 3-2。. 32.

(42) y(t). x(t). A. A -τ. t. τ. -τ. t. τ. x(t ) ∗ y (t ). h(t) 2A2τ. -2τ. FT. 2τ. t. IFT. FT H(ω) (2Aτ)2. −. π τ. x(t ) × y (t ). X(ω). π − τ. π τ. 2Aτ. π τ. Y(ω). π − τ. 圖 3-2，訊號在頻域與時域的關係. 33. 2Aτ. π τ.

(43) 例 1：x（t）為一方波函數，x（t）=1，-1< t <1；f（t）=0，else. y（t）為一三角波函數，y（t）=t/3，0< t <3；g（t）=0，else 求 x(t ) ∗ y (t ) 解：由 convolution 的定義 ∞. x(t ) ∗ y (t ) =. ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ. −∞. 又 convolution 有交換率（The commutative property）的特性： ∞. x(t ) ∗ y (t ) = y (t ) ∗ x(t ) =. ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ. −∞. 我們除了用數學式子計算之外，還可以用圖解方式說明，圖解除了易懂之外還可以再次確認計算結果，因為 x(t ) ∗ y (t ) 等於 x(τ ) 、 y (t − τ ) 兩函數重疊面積的成積，所以在下面演算中同時以這兩種方式呈現：. 1. 根據積分式，首先我們分別畫出 x(τ ) 、 y (−τ ) ，如圖 3-3（d） x(τ ) 只是將 x(t ) 的 t 用τ取代，再畫 y (−τ ) 時先把畫出 y (τ ) ，再把 y (τ ) 以τ ＝0 為軸心，做 180°的水平翻轉即可得到 y (−τ ). 2. x(t − τ ) ，若 t>0 則圖形向右移動，反之則向左移，說明在τ軸上移動 t0。 3. 我們先將圖形移至左邊， y (τ ) 和 x(t − τ ) 沒有重疊，如圖 3-3（c） 4. 將圖形逐漸向右移動，此時 y (τ ) 和 x(t − τ ) 有重疊，波行重疊部分乘積有值，沒重疊部分乘積為零，如圖 3-3（e）。 ∞. y (t ) ∗ x(t ) =. ∫. −∞. y (τ ) x(t − τ )dτ =. 1+ t. ∫ 0. τ. 1 × 1 × dτ = (t + 1) 2 3 6. 34.

(44) 5. 在逐漸向右移動，此時 x(t − τ ) 完全進入 y (τ ) ，如圖 3-3（f） ∞. y (t ) ∗ x(t ) =. ∫. y (τ ) x(t − τ )dτ =. −∞. 1+t. τ. 2 × × d = t 1 τ ∫ 3 3 −1+ t. 此結果也是 y (τ ) 和 x(t − τ ) 重疊的面積相乘. 6. 在逐漸向右移動，此時 x(t − τ ) 開始離開，如圖 3-3（g） y (t ) ∗ x(t ) =. ∞. 3. −∞. −1+ t. ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ = ∫. τ 3. × 1 × dτ =. −1 2 (t − 2t − 8) 6. 7. 在逐漸向右移動，此時 x(t − τ ) 完全離開 y (τ ) ，如圖 3-3（h） 8. 根據每段的求出的關係式，畫出如圖 3-3（i）. 例 2：x（t）為一方波函數，x（t）=1，-1< t <1；x（t）=0，else. y（t）為一方波函數，y（t）=1，-1< t <1；y（t）=0，else 求 x(t ) ∗ y (t ) 解：由 convolution 的定義 ∞. x(t ) ∗ y (t ) =. ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ. −∞ ∞. 又 x(t ) ∗ y (t ) = y (t ) ∗ x(t ) =. ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ. −∞. 我們除了用數學式子計算之外，還可以用圖解方式說明，圖解除了易懂之外還可以再次確認計算結果，因為 x(t ) ∗ y (t ) 等於 x(τ ) 、 y (t − τ ) 兩函數重疊面積的成積，所以在下面演算中同時以這兩種方式呈現：. 35.

(45) x（t）. 1. -1. 1. 0 1 （a）. x（t-τ）. -1+t. 1. t. 0. x（-τ）. 3. 0 1+t. τ. -1. 0. -1+t. 3. τ. 1+t. 0. 1 （d）. τ. 3. y（τ）. 0 -1+t. 1+t 3. τ. （f）1≦t≦2 1. x（t-τ）. 3. y（τ）. 1. x（t-τ） 1. （e）-1≦t≦1 1 y（τ）. t. y（τ）. y（τ）. 1. 3 （b）. 1+t 0 （c）. x（t-τ）. -1+t. y（t）. τ. 0. （g）2≦t≦4. x（t-τ） y（τ）. 3. -1+t. （h）4≦t. （i）圖 3-3，方波和三角波的 convolution 圖解 36. 1+t. τ.

(46) 1. 根據積分式，首先我們分別畫出 x(τ ) 、 y (−τ ) ，如圖 3-4（d） x(τ ) 只是將 x(t ) 的 t 用τ取代，再畫 y (−τ ) 時先把畫出 y (τ ) ，再把 y (τ ) 以τ ＝0 為軸心，做 180°的水平翻轉即可得到 y (−τ ). 2. x(t − τ ) ，若 t>0 則圖形向右移動，反之則向左移，說明在τ軸上移動 t0。 3. 我們先將圖形移至左邊， y (τ ) 和 x(t − τ ) 沒有重疊，如圖 3-4（c） 4. 將圖形逐漸向右移動，此時 y (τ ) 和 x(t − τ ) 有重疊，波行重疊部分成積有值，沒重疊部分成積為零，如圖 3-4（e）. y (t ) ∗ x(t ) =. ∞. 1+t. −∞. −1. ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ = ∫ 1× 1× dτ = t + 2. 5. 在逐漸向右移動，此時和 y (τ ) 完全重疊，如圖 3-4（f） y (t ) ∗ x(t ) =. ∞. 1. −∞. −1. ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ = ∫ 1× 1× dτ = 2. 此結果也是 y (τ ) 和 x(t − τ ) 重疊的面積相乘. 6. 在逐漸向右移動，此時 x(t − τ ) 開始離開，如圖 3-4（g） y (t ) ∗ x(t ) =. ∞. 1. −∞. −1+ t. ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ = ∫ 1× 1× dτ = 2 − t. 7. 在逐漸向右移動，此時 x(t − τ ) 完全離開 y (τ ) ，如圖 3-4（h） 8. 根據每段的求出的關係式，畫出如圖 3-4（i）. 37.

(47) x（t）. 1. -1. 0 1 （a）. t. x（t-τ）. -1+t. 1. 1+t. -1. 0. -1. -1. τ. 1. -1+t. y（τ）. x（t-τ）. -1. 1 τ. -1 1+t （e）-2≦t≦0. -1 1+t. y（τ）. 1. 0. t. τ. 1. （d） 1. y（τ）. 0 1 （b）. x（-τ）. y（τ）. （c） x（t-τ）. y（t）. 1. 0. 1. τ. （f）t=0 x（t-τ）. x（t-τ）. 1. y（τ）. 1. 1 τ. -1. 0. （g）0≦t≦2. y（τ）. 1. 1 -1+t （h）2≦t. h(t) 2. -2. 2. t. （i）圖 3-4，兩個方波的 convolution 圖解. 38. 1+t. τ.

(48) 我們在觀察例題，可發現其實 convolution 是在計算兩函數重疊的面積，重疊面積越大得到的值越大，兩者相關度也越高，唯有相同圖形做 convolution 才能得到最大的重疊面積，相關係數為 1，在模擬上及利用此一特性，首先我們將所有的波型都計算出來，接著將他們與原始目標物位置作 correlation，並尋找最大值，將找出的最大值稱為模擬目標物的位置，為我們所得到的結果。還有一個函數與 convolution 很像—correlation， ∞. f ⊗g=. ∫. f ∗ (τ ) g (τ + t )dτ. （19）. −∞. f ∗ (τ ) 為 f (τ ) 取共軛（conjugate），兩個或多個不同函數之間的關係可以用自相關（Correlation）來決定，他是利用自相關係數（correlation coefficients），自相關係數的範圍從-1 到 1，當自相關係數為 1，表示函數是相同的，當自相關係數為-1，表示函數是相同的，但可能方向是相反的，當自相關係數為 0，表示函數是完全沒有關係。. Correlation 與 convolution 的關係是： f ( x) ⊗ g ( x) = f ∗ (− x) ∗ g ( x). （20）. 兩者可透過這個關係式作一轉換。考量一個常遇到的情況，若是兩個相同的函數作 correlation ，此種情況稱之為自相關函數（autocorrelation） ∞. f ⊗g= f ⊗ f =. ∫. −∞. 39. f ∗ (τ ) f (τ + t )dτ.

(49) 自相關函數的特性：. 1. 在時域上 f ∗ (t ) g (t ) = f ∗ (t ) f (t ) = f 2. 在頻域上 F ∗G = F ∗ F = F. 2. 2. 假設 f（x）有富立葉轉換（Fourier transform），自相關函數（autocorrelation 2. function）有富氏轉換的結果為 F ( w) 。證明： ∞. ∫. 2. F (ω ) e df = jωt. −∞. ∞. ∫ F (ω )F. ∗. (ω )e jωt df. −∞ ∗. = f (t ) ∗ f (−t ) =. ∞. ∫. f (u ) f ∗ (u − t )du. −∞ ∞. =. ∫. f ∗ (u ) f (u + t )du. −∞. 40.

(50) 3.2 紅外線光源模型目前在文獻上所使用的紅外線光源模型(IR source image model)，都是用一個簡單的圓碟模型(disk model)，如圖 3-5，但這並不合理，因為涵蓋在圓圈裡面能量強度固定，但在圈外能量卻立刻變成零，完全不符合物理。我們希望在數學上不會太複雜的數學模型又比較能貼近實際情形，所以採用一般較能被接受的高斯模型（Gauss model），如圖 3-6，高斯模型所有的能量集中在中心點但是會隨著距離增加而衰減，其中σ是標準差（standard deviation）。. A. 0. 圖 3-5，圓碟模型. σ. 圖 3-6，高斯模型. 41.

(51) 3.3 反演方法我們依據實際情況畫出程序圖，如圖 3-7，目標物輻射出紅外線訊號（IR ，經過大氣層（Modulation Transfer Function，MTF）到達光學 Intensity Image）系統（Optical Transfer Function，OTF），藉由光學系統聚焦至光網平面，輸出訊號至紅外線偵測器，再將訊號輸出到追蹤系統並反演出目標物位置。. IR Intensity Image. 大氣效應. 光學系統. 光網. 紅外線偵測器. 電子系統. 圖 3-7，模擬演算程序圖我們根據程序圖我們可以決定反演順序，在模擬光網式尋標器訊號的方法是使用波形的快速產生法，詳細步驟如下：（1）我們一開始並不知道目標物的位置與紅外線光源的大小，所以我們將所有的可能情況的波型都算出來，再與量測到的波型來一一比較，找出最相近的波型、來得到反演的參數（目標物的位置與紅光源強度的大小）。原先搜尋範圍是三維參數空間，但記算量太大無法即時算出。後來我們藉由高通濾波器（high-pass filter），先濾掉量測到的波型直流低頻訊號剩下交流高頻訊號，目的是將原先目標物由一團變成一個點，如此簡化成搜尋二維參數的問題。 42.

(52) （ 2）接著進行快速搜尋二維參數的方法。將目標物和光網從直角座標系統. θ. ). (. , R. ( x, y ) 轉成. 極座標系統。. ^. ^. y. r ^. ^ θ. x. （3）接著我們要在頻域（frequency domain）上做運算，這是因為迴旋理論（convolution theorem）在高頻可以很有效率的執行完成 θ 標準迴旋，而且在頻域上的相乘即為在時域上作迴旋（convolution），如圖 3-2，數學部分請參考 3-1 節。模擬的方法首先是將光網與目標物的影像做快速富氏轉換後相乘，然後作反富氏轉換操作，如（21）、（22）式。. f (τ ) = x(t ) ∗ y (t ) =. ∞. ∫ x(t ) y(τ − t )dt. （21）. −∞. F ( f (τ )) = F ( x(t )).* F ( y (t )). （22）. 我們將座標系統由直角座標轉成極座標 (r ,θ ) ，這是一個週期函數（θ方向），將光網與目標物調變後的訊號取富立葉轉換（Fourier transform），於是在θ方向上的比對很快即可完成，此時已經將問題簡化至一維問題，我們只需考慮半徑方向，作半徑方向（64 點或 128 點）的比對。（4）接著對 R 方向作積分。（5）然後再將它做快速富氏轉換的逆運算，得到值，在利用內插法來使光網轉動，即可得到一個波形，這樣就不需重畫光網，可以快速產生波形，. 43.

(53) 我們利用波行比對來找出目標物即可，波型比對的方法是先將所有可能波形歸一（normalized）後，藉由它相關（cross correlation）的運算找出一最大值，若波形相同相似度越高，則相關係數（correlation coefficient）所得到的值越趨近於 1。雖然使用的方法並非最好的，但是我們找到最快的反演程式，可以在光網轉動一圈的時間內，就找出正確的目標物位置，目前光網 1 秒可以轉 100 圈，即頻率為 1/100，因此可以做到即時（real time）的模擬。我們的反演程式也可用來判斷新光網的好壞，假設目標物只有一個，但光網模擬出來的圖形為多點，造成易誤判目標物位置，則此光網並不是很好。. 44.

(54) 第四章單一目標物模擬 4.1 FM 光網的模擬我們選擇的FM光網，如圖4-1，表示式如下： 1 1 + cos[θ m ( r )] ， m(r)=A+Br 2 2 其中： A:radial frequency at r=0 ，B： rate of increase for the radial frequency T ( r ,θ ) =. 圖 4-1，FM 光網直角座標圖. (a) 光網的極座標圖. (b)光網的特性圖 4-2，FM 光網極座標圖 45.

(55) 這類型的光網的特性，可由圖 4-2 清楚說明，隨著半徑的增加，光網的條紋數越密集、頻率越高，代表著越靠近光網周圍的解析度越高，也就是說越靠近光網周圍準確度也相對提高，圖 4-3 是光網取富立葉轉換（ Fourier. Transform，FT）後的圖形。. 圖 4-3，FM 光網取富立葉轉換模擬的條件為在理想的影像（image）且無雜訊的情況下。接著我們利用第四章介紹的反演方法進行模擬：模擬參數：：2.3 a. 紅外線光源的半徑（ψ）. b. 平滑濾波器長度（Nflen）: 64 c. 光源強度：25 d. 光網條紋參數：A=2、B＝5 e. 光網打開角度：120°. 46.

(56) （1）目標物位置在 x =–65，y =–40. 圖 4-4，目標物的直角座標圖（x =–65，y =–40）圖 4-4 是目標物的直角座標圖，因為在我們的快速演算方法中，目標物必須要取富立葉轉換來達成在角度方向上的波型比對，所以必須轉換座標軸，將目標物的直角座標轉成極座標的形式，如圖 4-5（a），以方便接下來的富立葉轉換與避免不必要的計算困擾。圖 4-5（b）可以看成是目標轉換成極座標的另一種形式，在圖中我們可以更清楚的看出目標物的半徑與角度位置。. （a） 47.

(57) （b）圖 4-5，目標物的極座標圖（x =–65，y =–40）目標物極座標取富立葉轉換（Fourier Transform）後的圖形，如圖 4-6。. 圖 4-6，目標物取富立葉轉換（x =–65，y =–40）. 利用快速產生波型的方法所產生的波型，如圖 4-7，可以很明顯看出這是單一目標物的波型圖，但是由此圖無法看出實際角度的位置，根據波型圖角度約在 50°，實際角度是 148°，相差約 100°。 48.

(58) 圖 4-7，利用快速波型產生方法所產生的波型（FM 光網）經快速產生波型演算法，我們可以得到目標物經過反演後所產生的三維（3D）、二維（2D）波型，如圖 4-8、4-9，由圖可以很清楚確認目標物位置，以此例來說目標物實際位置在（r=2.92、θ =– 148），反演目標物位置在（r ，可以正確反演出目標物位置。 =2.92、θ=–148）. 圖 4-8，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的 3D 圖. 49.

(59) 圖 4-9，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的 2D 圖. 最後我們將圖 4-9 由極座標轉回直角座標，如此我們可以方便比較出模擬結果與實際情況的差別，如圖 4-10 所示。. 圖 4-10，目標物（x =–65，y =–40）反演後的直角座標圖下面的例子將不再贅述反演過程，我們將目標物的直角座標圖畫在左邊，反演後的目標物直角座標圖畫在右邊。. 50.

(60) （2）目標物位置在 x =–71，y =24. 目標物實際位置. r =2.92. θ=161. r =4.17. θ=41.4. （3）目標物位置在 x =80，y =71. 目標物實際位置. 51.

(61) （4）目標物位置在 x =81，y =35. 目標物實際位置. r =3.47. θ=23.2. r =1.99. θ=11.9. （5）目標物位置在 x =50，y =10. 目標物實際位置. 52.

(62) （6）目標物位置在 x =–34，y =–60. 目標物實際位置. r =2.61 θ=–119. （7）目標物位置在 x =–80，y =–80. 目標物實際位置. r =4.33. 53. θ=–135.

(63) 我們整理 FM 光網的模擬結果，如表三，在模擬結果中，在反演目標物的位置中，有少數幾個點有誤差產生，由於誤差量相當小，並不會影響我們判斷目標物的位置，因此，整體上來說反演結果幾乎和實際位置是相同的，表示 FM 光網可以利用此快速演算法正確地判斷出目標物的位置。. 目標物實際位置. 反演目標物位置. r =2.92. θ=–148. r =2.92. θ=–148. r =2.92. θ= 161. r =2.92. θ= 161. r =4.17. θ= 41.4. r =4.17. θ= 41.4. r =3.47. θ= 23.2. r =3.47. θ= 23.2. r =1.99. θ= 11.9. r =2.07. θ= 11.9. r =2.61. θ=–119. r =2.69. θ=–119. r =4.33. θ=–135. r =4.33. θ=–135. 表三、FM 光網模擬結果. 54.

(64) 4.2 非軸對稱 AM 光網（Non-axial symmetric AM reticle）若 AM 光網的中心在原點，如圖 4-11（a），則必須同時考慮 AC、DC 兩種訊號。我們先看光網的極座標圖形，如圖 4-11（b），由圖可以看出所有的線都是一條直線，毫無變化，因此無法模擬出目標物的位置。. （a）AM 光網的直角座標. （b）AM 光網極座標. 圖 4-11，中心在原點的 AM 光網所以我們選擇的的非軸對稱 AM 光網（Non-axial symmetric AM reticle），如圖 4-12，圖 4-12 是非軸對稱 AM 光網的直角座標圖，圖 4-13 是非軸對稱. AM 光網的極座標圖，圖 4-14 是光網經過富立葉轉換後的圖形，表示式如下： 1 1 + cos[Kθ ] 2 2 K = 20 (光網條紋數目). T ( r ,θ ) =. 55.

(65) 圖 4-12，非軸對稱 AM 光網直角座標圖. 圖 4-13，非軸對稱 AM 光網的極座標圖. 56.

(66) 圖 4-14，非軸對稱光網取富立葉轉換. 接著我們利用第四章介紹的反演方法進行模擬：. 模擬參數：2.3 a. 紅外線光源的半徑（ψ）. b. 平滑濾波器長度（Nflen）: 64 c. 光源強度：25 d. 光網條紋數：20 e. 光網中心偏宜量（AmX0）：向右偏宜 0.7 f. 光網打開角度：120°. 57.

(67) （1）目標物位置在 x =–65，y =–40. 圖 4-15，目標物的直角座標圖（x =–65，y =–40）. （ a）. （ b）. 圖 4-16，目標物的極座標圖（x =–65，y =–40）. 圖 4-15 是目標物的直角座標圖，因為在我們的快速演算方法中，目標物必須要取富立葉轉換來達成在角度方向上的波型比對，所以必須轉換座標軸，將目標物的直角座標轉成極座標的形式，如圖 4-16（a），以方便接下來 58.

(68) 的富立葉轉換與避免不必要的計算困擾。圖 4-16（b）可以看成是目標轉換成極座標的另一種形式，在圖中我們可以更清楚的看出目標物的半徑與角度位置。目標物極座標取富立葉轉換（Fourier Transform）後的圖形，如圖 4-17。. 圖 4-17，目標物取富立葉轉換（x =–65，y =–40）. 利用快速產生波型的方法所產生的波型，如圖 4-18。. 圖 4-18，利用快速波型產生方法所產生的波型（非軸對稱光網） 59.

(69) 經快速產生波型演算法，我們可以得到目標物經過反演後所產生的三維（3D）、二維（2D）波型，如圖 4-19、4-20，由圖式可以很清楚確認目標物位置，以此例來說目標物實際位置在（r =2.92、θ=–148），反演目標物位置在（r =3.00、θ=–148），可以正確反演出目標物位置。. 圖 4-19，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的 3D 圖. 圖 4-20，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的 2D 圖. 60.

(70) 最後我們將圖 4-20 極座標轉回直角座標，如此我們可以方便比較出模擬結果與實際情況的差別，如圖 4-21 示。. 圖 4-21，目標物（x =–65，y =–40）反演後的直角座標圖. （2）目標物位置在 x =–71，y =24. 目標物實際位置. r =2.92. 61. θ=161.


(72) （5）目標物位置在 x =50，y =10. 目標物實際位置. r =1.99. θ=11.9. （6）目標物位置在 x =–34，y =–60. 目標物實際位置. r =2.61. 63. θ=–119.

(73) （7）目標物位置在 x =–80，y =–80. 目標物實際位置. r =4.33. θ=–135. 我們整理非軸對稱 AM 光網（Non-axial symmetric AM reticle）的模擬結果，如表四，在模擬結果中，在反演目標物的位置中，有少數幾個點有誤差產生，由於誤差量相當小，並不會影響我們判斷目標物的位置，因此，整體上來說反演結果幾乎和實際位置是相同的，表示非軸對稱 AM 光網（Non-axial. symmetric AM reticle）可以利用此快速演算法正確地判斷出目標物的位置。. 64.

(74) 目標物實際位置. 反演目標物位置. r =2.92. θ=–148. r =3.00. θ=–148. r =2.92. θ=161. r =2.92. θ=161. r =4.17. θ=41.4. r =4.17. θ=41.4. r =3.47. θ=23.2. r =3.47. θ=23.2. r =1.99. θ=11.9. r =2.07. θ=11.9. r =2.61. θ=–119. r =2.69. θ=–119. r =4.33. θ=–135. r =4.41. θ=–135. 表四、非軸對稱 AM 光網模擬結果. 上述為將光網向右偏移半徑約 20％，我們再以目標物（x =–65，y =–40）為例，讓光網分別向右偏移半徑的 10％、20％、30％、40％、50％、60％、. 70％、80％、90％、100％，觀察反演結果的變化情形，不再贅述反演過程，目標物的直角座標圖畫在左邊，反演後的目標物直角座標圖畫在右邊。. 65.

(75) （1）光網向右偏移半徑的 10％. 目標物實際位置. r =2.92 θ=–148. 反演目標物位置. r =3.00 θ=–148. （2）光網向右偏移半徑的 20％. 目標物實際位置. r =2.92 θ=–148. 反演目標物位置. r =3.00 θ=–148. 66.





(80) 觀察上面結果我們可發現：. 1. 隨著光網中心向右偏移，半徑的準確度提升。 2. 靠近圓週的波行比靠近光網中心的波行還混亂。 3. 在光網向右偏移 50％，經由反演後，在目標的對稱點位置開始出現一個不小的能量，這個能量可能會影響到我們判斷目標物的位置。. 4. 當光網向右偏移至圓週上時，在判斷目標物的辦敬畏智慧有比較大的誤差。. 71.

(81) 4.3 Rotating Concentric Annular Ring 光網的模擬我們所使用的 rotating concentric annular ring 光網，如圖 4-22，表示式如下： T ( r ,θ ) =. 1 1 + cos[ Kθ ] ，其中K為光網條紋參數 2 2. 圖 4-22，rotating concentric annular ring 光網直角座標圖. (a) 光網的極座標圖. (b)光網的特性. 圖 4-23，rotating concentric annular ring 光網極座標. 72.

(82) 這類型的光網的特性，可由圖 4-23 清楚說明，隨著半徑的增加，光網的條紋數越密集、頻率越高，代表著越靠近光網周圍的解析度越高，也就是說越靠近光網周圍準確度也相對提高，圖 4-24 是光網取富立葉轉換（Fourier. Transform，FT）後的圖形。. 圖 4-24，rotating concentric annular ring 光網取富立葉轉換接著我們利用第四章介紹的反演方法進行模擬：. 模擬參數. ：2.3 a. 紅外線光源的半徑（ψ）. b. 平滑濾波器長度（Nflen）: 64 c. 光源強度：25 ：2：2：24 d. 光網條紋數（K）. 73.

(83) （1）目標物位置在 x =–65，y =–40. 圖 4-25，目標物的直角座標圖（x =–65，y =–40）. （ a）. （ b）. 圖 4-26，目標物的極座標圖（x =–65，y =–40）圖 4-25 是目標物的直角座標圖，因為在我們的快速演算方法中，目標物必須要取富立葉轉換來達成在角度方向上的波型比對，所以必須轉換座標軸，將目標物的直角座標轉成極座標的形式，如圖 4-26（a），以方便接下來的富立葉轉換與避免不必要的計算困擾。圖 4-26（b）可以看成是目標轉換成 74.

(84) 極座標的另一種形式，在圖中我們可以更清楚的看出目標物的半徑與角度位置。目標物極座標取富立葉轉換（Fourier Transform）後的圖形，如圖 4-27。. 圖 4-27，目標物取富立葉轉換（x =–65，y =–40）. 利用快速產生波型的方法所產生的波型，如圖 4-28。. 圖 4-28，利用快速波型產生方法所產生的波型 75.

(85) 經快速產生波型演算法，我們可以得到目標物經過反演後所產生的三維（3D）、二維（2D）波型，如圖 4-29、4-30，由圖式可以很清楚確認目標物位置，以此例來說目標物實際位置在（r=2.92、θ=–148），反演目標物位置在（r =3.08、θ=–148），可以正確反演出目標物位置。. 圖 4-29，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的 3D 圖. 圖 4-30，目標物（x =–65，y =–40）反演後的目標物的 2D 圖. 76.

(86) 最後我們將圖 4-30 由極座標轉回直角座標，如此我們可以方便比較出模擬結果與實際情況的差別，如圖 4-31 所示。. 圖 4-31，目標物（x =–65，y =–40）反演後的直角座標圖下面的例子將不再贅述反演過程，我們將目標物的極座標圖畫在左邊，反演後的目標物極座標圖畫在右邊。（2）目標物位置在 x =–71，y =24. 目標物實際位置. r =2.92. 77. θ=161.


(88) （5）目標物位置在 x =50，y =10. 目標物實際位置. r =1.99. θ=11.9. （6）目標物位置在 x =–34，y =–60. r =2.61 θ=–119. 目標物實際位置. 79.

(89) （7）目標物位置在 x =–80，y =–80. 目標物實際位置. r =4.33. θ=–135. 我們整理 Rotating Concentric Annular Ring 光網的模擬結果，如表五，在模擬結果中，在反演目標物的位置中，有少數幾個點有誤差產生，由於誤差量相當小，並不會影響我們判斷目標物的位置，因此，整體上來說反演結果幾乎和實際位置是相同的，表示 Rotating Concentric Annular Ring 光網可以利用此快速演算法正確地判斷出目標物的位置。. 80.

(90) 目標物實際位置. 反演目標物位置. r =2.92. θ=–148. r =3.08. θ=–148. r =2.92. θ= 161. r =3.08. θ=161. r =4.17. θ= 41.4. r =4.33. θ=41.4. r =3.47. θ= 23.2. r =3.55. θ=23.2. r =1.99. θ= 11.9. r =1.91. θ=11.9. r =2.61. θ=–119. r =2.69. θ=–119. r =4.33. θ=–135. r =4.33. θ=–135. 表五，Rotating Concentric Annular Ring 光網模擬結果. 綜觀 FＭ光網、非軸對稱光網、Rotating Concentric Annular Ring 光. 網的模擬，我們反演的結果雖有一些誤差，但這些誤差量並不影響判斷目標物的真實位置，仍在容許範圍之內，也代表所使用的反演方法適用於上述三種光網，就反演結果的圖形來看，非軸對稱光網反演後與原本目標物的. 圖形最像，即我們的反演方法是非軸對稱光網最佳的解。. 81.

(91) 4.4 濾波器的長度對模擬結果的影響（1） FM 光網實際目標物位置（r =2.61、theta= -119）濾波器的長度：Nflen. Nflen=8 (r=2.69、theta= -119). Nflen=40 (r=2.69、theta= -119). Nflen=48 (r=2.69、theta= -119). Nflen=56 (r=2.69、theta= -119). Nflen=80 (r=2.69、theta= -119). Nflen=104 (r=2.61、theta= -119). Nflen=168 (r=2.61、theta= -119). Nflen=200 (r=2.61、theta= -119). Nflen=248 (r=2.61、theta=. 82.

(92) 在 filter 長度在 56 時，才可清楚判斷出單一個點，隨著 filter 的長度增加，對於半徑的判別率會降低，在 filter 長度在 48 前會出現多點情形，可能是曲面不夠圓滑而產生，即曲面的尖點所造成。（2）非軸對稱 AM 光網真實目標物位置在（r =2.61、theta= -119）. Nflen=8 (r=2.69、theta= -119). Nflen=24 (r=2.69、theta= -119). Nflen=32 (r=2.69、theta= -119). Nflen=40 (r=2.69、theta= -119). Nflen=88(r=2.69、theta= -119). Nflen=120(r=2.77、theta= -119). Nflen=168(r=2.77、theta= -119). Nflen=200(r=2.69、theta= -119). Nflen=248(r=2.69、theta= -119). 83.

(93) filter 長度在 32 時，才可清楚判斷出單一個點。（3） Rotating concentric annual ring光網真實目標物位置在（r =2.61、theta= -119）. Nflen=16. Nflen=48. Nflen=56. Nflen=64. Nflen=88. Nflen=120. Nflen=168. Nflen=200. Nflen=248. 84.

(94) 1. 反演後目標物位置全都是在（r=2.69 theta=-119） 2. 在 filter 長度在 56 時，才可清楚判斷出單一個點 3. 三種類型的光網都會隨著濾波器長度增加，半徑準度上的判斷會. 受到影響。. 85.

(95) 4.5 紅外線光源半徑的大小對模擬結果的影響我們持續增加紅外線光源半徑長度並藉由調整可調參數，來測試反演方法對於紅外線點光源大小改變後的準確性如何。（1）非軸對稱 AM 光網說明：. Spot size 是目標物聚焦在光網上的紅外線點光源半徑 AmX0 是 AM 光網向右偏移的距離 AmFreq 是光網的條紋數目 Nflen 是 smooth filter 的長度藍色字體是實際目標物位置紅色粗體字體是經過反演後目標物的位置. Spot size=5 AmX0=0.7 AmFreq=8 Nflen=72 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135. Spot size=8 AmX0=0.7 AmFreq=4 Nflen=80 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135. 86. Spot size=12 AmX0=2.2 AmFreq=2 Nflen=248 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135.

(96) Spot size 20 AmX0=0.7 AmFreq=2 Nflen=208 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135. Spot size 25 AmX0=0.7 AmFreq=2 Nflen=248 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135. Spot size 35 AmX0=0.7 AmFreq=2 Nflen=248 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135. （2） FM 光網（詳細參數說明請參閱 4.1 節）. Spot size 5 A=2 B=3 Nflen=64 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135. Spot size 8 A=2 B=2.2 Nflen=64 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135. 87. Spot size 12 A=1 B=0.8 Nflen=64 r= 3.78 theta= -135 r= 3.78 theta=-135.