第四章 資料分析
第三節 細部分析
表 4-3-2-1 控制組 AM4b 與 BM1a 答題情形人數分布
圖 4-3-1-1 AM4b 標示錯誤 圖 4-3-1-2 AM4b 標示部分錯誤
BM1a 學生作答情形主要分為四類，分別為「出現機率最大的速率」、「最 多分子具有的速率」、僅回答「最可能速率」與「錯誤」。能將最可能速率與
「機率」概念做連結的僅控制組有 1 位學生，此結果可能與試題及課程內容 有關，該題縱軸之變項為「分子數目」，並且在教學中，教師雖有將出現機率 之概念告知學生，但在教學時因參考舊課程內容與高中物理教師建議，仍全 數以分子數目做為速率分布圖之縱軸，故控制組有 20.83%的人回答「最多分 子具有的速率」。而僅回答「最可能速率」的控制組有 16.67%，實驗組有 47.83%，佔整體學生的 31.91%，顯示學生可能對於最可能速率僅存有表面字 義的瞭解，不甚理解該概念之內涵，為瞭解學生想法，於訪談時做進一步追 問，詳見本章第四節。
而整體學生有 55.32%的學生回答錯誤，其中僅 2 位學生為確實回答錯 誤，其餘皆為未作答，除學生「不會」以外，尚有可能因後測施測時間為學 校的最後一節課，有多數學生因下課後尚有活動需盡早離開，因此非選題的 作答多採簡答或是跳過不答，造成此題錯誤的學生人數比率相當高。在本題 有作答，但仍為「錯誤」之 2 位學生中，有 1 位的回答是「V 為眾數」，表示 該生瞭解最可能速率具有眾數之意涵，但因未進一步詳加說明，研究者無法 確切知道該生對於最可能「速率」的想法，因此在評分時僅給予該生一半的 分數。另 1 位學生在本題的回答為「最高分子速率」，表示該生將橫軸與縱軸
之各自代表之變項做結合，混淆橫軸與縱軸的意義。
研究者綜合學生於 AM4b 與 BM1a 之答題情形，將學生對於「最可能速 率」的瞭解類型歸納為五類，如下列舉：
類型(1)：出現機率最大之速率 類型(2)：最多分子所具有之速率
類型(3)：僅瞭解字面意涵(「最可能」速率) 類型(4)：受分布圖橫軸、縱軸混淆而不瞭解 類型(5)：完全不瞭解
由於學生於 BM1a 未作答比率過高，無法確切瞭解所有未作答學生之想 法，因此不將學生依上列五種類型做區分，僅陳述研究者推論之類型。
(二) 子概念(2)：統計速率之相對位置
子概念(2)的部分選取結構相似的 AM4c-1 與 BM1b 進行比較，題目如表 4-3-3 所示，AM4c-1 與 BM1b 皆是測驗學生是否瞭解分布圖上最可能速率與 平均速率的相對位置，而 BM1b 進一步要求學生於分布圖上標示出平均速率。
控 制 組 與 實 驗 組 學 生 AM4c-1 與 BM1b 的 答 題 情 形 人 數 分 布 如 表 4-3-4-1、表 4-3-4-2 所示。AM4c-1 控制組答對比率為 58.33%，實驗組答對比 率為 73.91%，整體來看有 65.96%的學生答對，答對率偏高的原因有可能為兩 班之物理教師於氣體動力論單元教學時有稍微提及此概念，因而部分學生仍 有印象。兩組錯誤的 11 位學生中，有 3 位控制組學生未作答，其他 8 位錯誤。
表 4-3-3 子概念 2 比較之試題：AM4c-1 與 BM1b
BM1b 之答對人數比率較 AM4c-1 增加，由整體 65.96%提高為 82.98%，
17.02%的學生進步，表示此概念經教學後能有更多學生有良好的瞭解。錯誤 的 8 人中，有 6 位未作答，2 位控制組學生為確實標示錯誤，因此對照兩題，
AM4c-1 與 BM1b 兩題皆錯的學生僅控制組 3 人，當中有 2 位是兩題均未作答，
AM4c-1 正確但 BM1b 錯誤有 5 位，其中 4 位未作答。而 2 位確實標示錯誤的 控制組學生之錯誤類型完全相同，如圖 4-3-2-1 所示。
圖 4-3-2-1 BM1b 標示錯誤
(1) AM4c-1 答對但 BM1b 答錯的學生
AM4c-2 進一步請學生說明 AM4c-1 判斷之理由，該生的回答為「有教 過」，然而卻在 BM1b 標示錯誤，顯示該生無論於先前原班級物理老師的教 學，或本研究之實驗教學中均無法習得此概念，因而推測該生上課學習情 況並不理想。
(2) AM4c-1 答錯且 BM1b 答錯的學生
該生於 AM4c-2 以科西不等式(Cauchy Schwarz inequality)證明方均根 速率大於平均速率，如圖 4-3-2-2 所示。
圖 4-3-2-2 AM4c-1 答錯且 BM1b 答錯之學生理由
再對照該生 AM4b(子概念 1 最可能速率)的答題情形，為正確之標示，
有可能為學生誤會題目 AM4c-1 是比較平均速率與方均根速率，因而作答 錯誤。然而此理由欲解釋 BM1b 的錯誤標示結果並不合理，於是進一步檢 視該生 BM1a(子概念 1 最可能速率)之作答情形，發現該生並未作答。故研 究者推測該生僅瞭解最可能速率之「字面」意涵，因而不瞭解最可能速率 與平均速率、方均根速率之相對大小關係，而學生能區辨平均速率小於方 均根速率則因自行推導科西不等式而得知。另外，有 1 位實驗組學生 AM4c-1 答錯，而 AM4c-2 亦以科西不等式證明，但其 BM1b 與 AM4b 皆標 示正確，因此該生應誤會 AM4c-1 題意為比較平均速率與方均根速率。
(3) 兩組學生 AM4c-2 作答情形(AM4c-1 判斷之理由)
AM4c-2 是請學生說明如何判斷最可能速率與平均速率的大小關係，
整體而言有 27.66%(整體的正確學生比率)的學生，在教學前已能瞭解正偏 態分布情形之平均數會大於眾數，AM4c-2 答題情形人數分布如表 4-3-4-3 所示。
表 4-3-4-3 AM4c-2 答題情形人數分布
AM4c-2 正確 錯誤 小計
控制組 3(12.5%) 21(87.5%) 24(100%) 實驗組 10(43.5%) 13(56.5%) 23(100%) 整體 13(27.7%) 34(72.3%) 47(100%)
AM4c-2 錯誤的學生中，如上述，控制組與實驗組各有 1 位學生以科 西不等式證明方均根速率大於平均速率，然而該題為如何判斷平均速率大 於最可能速率。回答「老師有教過」知學生除上述 1 位控制組學生外，尚 有 2 位控制組學生有相同回答，總計 3 位。此外，有 2 位實驗組學生的回 答較為特殊，認為「平均速率作鉛直線會平分速率分布曲線下所圍之面 積」，因此該 2 位學生於 AM4c-1 的作答情形雖為正確，但對於中位數與 平均數之概念並不清楚。其餘 27 位學生皆未詳細說明或未作答。
歸納學生答題情形，研究者推測學生對於「統計速率之相對位置」的 瞭解類型可分為下列五大類型。
類型(1)：瞭解速率分布為正偏態分布(
v
p v
)，與科西不等式證明(
v v
rms)，因而理解v
p v v
rms。類型(2)：瞭解速率分布為正偏態分布(
v
p v
)，但不瞭解科西不等式證明(
v v
rms)。類型(3)：瞭解科西不等式證明(
v v
rms)，但不瞭解速率分布為正偏態分布 (v
p v
)。類型(4)：統計速率之間的大小關係僅為記憶性知識。
類型(5)：完全不瞭解。
此外，上述僅針對「大小」的理解做分類，而「統計速率之相對位置」
牽涉到分布圖，因此類型(1)-類型(4)之下又可再區分出：
A. 且瞭解統計速率於分圖上的相對位置 B. 但不瞭解統計速率於分圖上的相對位置
因此共有類型 1A、類型 1B、類型 2A、類型 2B、類型 3A、類型 3B、
類型 4A、類型 4B、類型 5 等 9 種。
(三) 子概念(3)：統計速率之比例關係
子概念(3)由於前測無測驗試題，後測僅 BM4d 一題(表 4-3-5)，兩組表現 無差異，平均值與標準差皆相同，答對人數均佔各組 91%。然而本題可與 BM1b(子概念 2：統計速率之相對位置)做比較(表 4-3-6-1、表 4-3-6-2)，並歸 納出學生對於此概念的瞭解類型，如下所列四類。
類型(1)：瞭解統計速率大小關係與比例關係。即兩題皆答對者。
類型(2)：瞭解統計速率大小關係但不瞭解其比例關係。即 BM1b 正確但 BM4d 錯誤者。
類型(3)：不瞭解統計速率之比例關係。即兩題皆錯者。
類型(4)：統計速率之比例關係為記憶性知識。兩題中只要有錯其中一題或兩 題皆錯者皆有可能。
表 4-3-5 子概念 3 試題：BM4d
(四) 子概念(4)：分散程度 91.66%的學生答對，而實驗組更高達 100%，整體來看，有 95.74%的學生都 能從分布圖判斷分散程度，該題錯誤的 2 位學生皆為未作答。
表 4-3-8-1 控制組 AM5c-1 與 BM4b 答題情形人數分布
控 制 組
BM4b
AM5c-1 判斷正確 判斷錯誤 小計
判斷正確 12(50.00%) 10(41.66%) 22(91.66%) 判斷錯誤 1(4.17%) 1(4.17%) 2(8.34%)
小計 13(54.17%) 11(45.83%) 24(100%)
表 4-3-8-2 實驗組 AM5c-1 與 BM4b 答題情形人數分布
實 驗 組
BM4b
AM5c-1 判斷正確 判斷錯誤 小計
判斷正確 18(78.26%) 5(21.74%) 23(100%)
判斷錯誤 0 0 0
小計 18(78.26%) 5(21.74%) 23(100%)
BM4b 兩組共有 16 人錯誤，其中僅 1 人確實答錯，但該生 BM4a 繪圖中，
即將 100K 之速率分布曲線畫得較 300K 分散。控制組有 3 人未作答，7 人答 非所問(未比較分散程度)；實驗組中有 1 人為未作答，3 人答非所問(未比較分 散程度)。答非所問者有可能為不清楚題意；而未作答者無法得知其想法；確 實答錯的學生並非不會由分布圖判斷分散程度，而是不瞭解溫度變因對速率 分布之影響。此外，AM5c-2(判斷 AM5c-1 分散程度之理由)，判斷理由均依 照全距或分布形狀，對比 BM4b 判斷且理由皆正確者，其判斷理由除全距與 分布形狀外，多了半高全寬，此為本研究實驗課程中所教授判斷分散程度的 方式之一。
(五) 子概念(5)：各速率區間的分子數
子概念(5)的部分選取 AM4a 與 BM3a 進行比較，題目如表 4-3-9 所示，兩 題目的都在評量學生對於馬克士威速率分布為正偏態分布之瞭解情形，雖然 兩題結構不相似，AM4a 已提供速率分布圖，學生僅需要詮釋，而 BM3a 除需 瞭解馬克士威速率分布為正偏態以外，尚需明確選出正偏態分布的資料集。
兩組學生答題情形人數分布如表 4-3-10-1、表 4-3-10-2 所示。AM4a 兩組 學生的表現都相當優異，控制組有 83.33%答對，實驗組全班答對，顯示整體 有 91.49%的學生對於詮釋單一資料集的分布並不困難。錯誤的學生中有 2 位 沒寫，2 位確實答錯，該 2 位學生皆選擇「大部分氣體分子運動速率極快」的 選項，表示其基本的分布圖閱讀能力都相當缺乏。
兩組在 BM3a 的答題人數分布差異不大，控制組有 79.17%的學生答對，
而實驗組有 82.61%。然而此題兩組錯誤學生人數均較 AM4a 增加，控制組有 20.83%，實驗組有 17.39%，整體有 19.15%的學生答錯，原因在於本題較 AM4a 進階，除了測驗學生是否明白馬克士威速率分布為正偏態，亦包括正偏態的 資料分布情形。分析本題作答錯誤之學生答題情形，其中，1 位控制組學生未 作答，其 AM4a 亦未作答；有 3 位學生選擇(A)選項(1 位控制組，2 位實驗組)；
另有 5 位學生選擇(B)選項(3 位控制組，2 位實驗組)。茲將 BM3a 各選項所對 應之分布圖置於圖 4-3-3-1、4-3-3-2、4-3-3-3、4-3-3-4。
表 4-3-9 子概念 5 比較之試題：AM4a 與 BM3a 1000-1500 3150 1500-2000 3300 2000-2500 3400 速率區間(m/s) 分子數目(個)
0-500 50 500-1000 150 1000-1500 300 1500-2000 4500 2000-2500 5000
速率區間(m/s) 分子數目(個) 0-500 1000
500-1000 3000 1000-1500 3500 1500-2000 2000 2000-2500 500
速率區間(m/s) 分子數目(個) 0-500 1500
500-1000 1500 1000-1500 2000 1500-2000 2500 2000-2500 2500
分子運動速率
表 4-3-10-1 控制組 AM4a 與 BM3a 答題情形人數分布
控 制 組
BM3a
AM4a 正確 錯誤 小計
正確 16(66.67%) 4(16.67%) 20(83.33%) 錯誤 3(12.50%) 1(4.17%) 4(16.67%) 小計 19(79.17%) 5(20.83%) 24(100%)
表 4-3-10-2 實驗組 AM4a 與 BM3a 答題情形人數分布
實 驗 組
BM3a
AM4a 正確 錯誤 小計
正確 19(82.61%) 4(17.39%) 23(100%)
錯誤 0 0 0
小計 19(82.61%) 4(17.39%) 23(100%)
圖 4-3-3-1 BM3a 選項(A) 圖 4-3-3-2 BM3a 選項(B)
圖 4-3-3-3 BM3a 選項(C) 圖 4-3-3-4 BM3a 選項(D)
進一步檢視學生於 BM3b 作答情形，該題詢問學生如何由各資料集中判 斷出最接近速率分布之資料集。
1. 選擇(A)選項學生答題情形
1. 選擇(A)選項學生答題情形