第四章 資料分析
第四節 訪談資料分析
本節針對訪談資料，進行三個部分的分析，分別為學生對於馬克士威速率分 布之「中心、形狀、離度」特徵、「整體」特徵，以及統計分布與馬克士威速率 分布兩概念之間的連結情形。
一、「中心」、 「形狀」、 「離度」特徵的想法
(一) 正確的想法
此部分訪談內容式針對於中心代表速率、正偏態分布形狀、與分子運動 速率分散程度的想法，訪談題目來源為後測試題 BD2 與 BM7，為方便閱讀將 兩題列於表 4-4-1-1、表 4-4-1-2。
表 4-4-1-1 BD2 試題內容 BD2
2. 下列(A)、(B)、(C)三個選項中皆含有三組資料集，每組資料個數相同，鉛直 線代表各資料集的平均值，
(1) 你認為(A)、(B)、(C)三個選項中何者的資料集之間有真正的差異？
□ (A)
□ (B)
□ (C)
組 1 組 2 組 3
組 1 組 2 組 3
組 1 組 2 組 3
表 4-4-1-2 BM7 試題內容 BM7
7. 在氣體運動速率分布中，經常使用最可能速率做為中心代表速率值來探討氣 體運動，請解釋為何並非平均速率的原因。
馬克士威速率分布為正偏態，學生必須留意到氣體中仍有部分的高速運 動分子，因此以最可能速率為中心代表速率，以下節錄正確想法學生部分訪 談內容。
S17
08. T ：回想 BM7 當時的答案。
09. S17：最可能速率。
10. T ：當時的解釋是?
11. S17：因為平均速率或是方均根速率就是會受極端值影響。
S25
11. T ：回想 BM7 當時的答案。
12. S25：最可能速率。
13. T ：當時的理由是?
14. S25：因為最可能速率看起來比較像他的中心，就是氣體的運動
分布中會有非常大的…異常值嗎…15. S25：那就會影響你的方均跟速率跟平均速率，
16. S25：所以在這一種他有明顯的集中趨勢，也有那個特別大的值
的時候，我們應該是要用眾數，就是這個最可能速率來當 集中的指標。S17 與 S25 兩生均提到極端值會影響平均速率與方均根速率，S25 進一步 提到速率分布中有明顯的集中趨勢，應以眾數做為中心，表示其相當清楚馬 克士威中心代表速率的概念，並且將統計分布與馬克士威速率分布相連結。
而 S1、S13、與 S17 對於平均值(方均根值)與離度兩者之間關係的想法，可由
以下節錄之訪談內容瞭解。
S13
35. T ：那現在畫好圖後，如果現在想以平均速率作為中心的代表
數值，A、B、C 三者中誰會最適合？36. S13：A
38. S13：他的半高全寬比較小
39. T ：為什麼半高全寬較小你會覺得就是 A 比較適合?
40. S13：等於他的離度比較小
由 S13 訪談問題的回答內容，可看出該生瞭解半高全寬可用來比較離度 大小，且三者中離度小之分布其平均值較具代表性。而下述節錄 S17 與 S1 的 訪談內容，呈現經由分布概念的相同性質，引導學生瞭解平均值代表性與離 度之間的關係。
S17
31. T ：…那請再畫一個圖，現在多了條件，假設 A、B、C 三者
的最可能速率相同，分子數一樣多，但是他們的半高全寬 還是 400、500 跟 600。32. S17：(畫圖)
34. S17：…最可能速率不就是最高這個點，所以他們應該都在這裡
(手由分布曲線最高點鉛直劃至橫軸)，可是因為他的半高 全寬比較長(指 C)，所以會整個拉開來，因為個數一樣所 以他下來(指 C 分布右側區間)…35. T ：…如果現在想以平均速率作為中心的代表數值，A、B、C
三者中誰會最適合？36. S17：我覺得是 A 耶
38. S17：因為它們主要都集中在這邊，左半邊。如果用平均的話，
我覺得 B 和 C 好像被拉過去，所以 A 感覺比較對。
40. S17：因為他比較集中
41. T ：請看到 BD2…你當時選的選項是?
42. S17：B
43. T ：那你當時的理由是…?
44. S17：C 看起來很像，A 看起來都很亂，B 看起來中間間隔特別
開，所以我就寫他(B)。45. T ：現在再回過頭來再看這一題，你的答案有沒有改變?
50. S17：C
52. S17：因為 A 的資料很分散，所以…(思考)…可以從這邊舉例嗎?
54. S17：他們的最可能速率都一樣，集中的話他的代表性比較高 55. T ：什麼的代表性會比較高
56. S17：平均
S1
50. T ：現在看到 BD2，你當時選的是?
51. S1： A
53. S1：因為感覺他的離均差會剛好消掉…耶…不對…離均差會…
54. T ：…你認為 A、B、C 三組裡面，三個資料集誰具有真正的差
異? 一個大組裡面你可以看到平均值是在不一樣的位置，是有差的，那這三組裡面誰的平均值是最具有代表性的?
55. S1：C
56. T ：為什麼改成 C?
57. S1：因為 C 很集中，你的平均就很能代表真正長的那個樣子。
S17 的問題情境為半高全寬不同的三個速率分布，哪個較適合以平均速率 做為中心代表數值，研究者刻意設計三個分布的最可能速率皆相等，因此學 生可相當容易區辨出三者的離度關係。同時當其再回頭檢視 BD2 時，皆由錯 誤的答案變更為正確的答案，並說出其理由，在 S17 回答中，甚至明確顯示 由速率分布中舉例，表示已可將此部份統計概念用於不同分布情境間。
(二) 可能的學習困難
由學生訪談內容中，發現選擇錯誤的中心代表速率之學生，可能是不清 楚「中心」特徵的概念，選取資料中最有代表性之數值以代表資料分布，如 下節錄之訪談內容所示。
1. 以「最常使用」之方均根速率為中心速率
S13
03. T ：你覺得方均根速率有什麼特殊的意義嗎?
04. S13：算能量時會比較好用。
06. S13：比較能夠代表氣體分子的總能量 07. T ：那為什麼不是平均速率或最可能速率?
08. S13：平均速率感覺誤差會比較大 10. S13：最可能速率就…出現的機率最高 12. S13：分子運動的速率，機率最高 13. T ：回想 BM7 的答案
14. S13：方均根速率 15. T ：當時的理由是?
16. S13：因為用方均根速率來算出氣體的總能量會比另外兩個適
當。S13 學生即使經研究者引導其繪製與觀察分布圖後，仍認為最常用於計算能 量的方均根速率為最適合的中心代表數值，表示該生並不瞭解「中心」的意義(即 使該生瞭解離度較小的分布其平均值代表性較高)。其實，無論是控制組或實驗 組，有相當多學生 BM7 的回答皆為方均根速率，其原因通常不外乎因為計算的 時候最常用、計算動能要用方均根速率……等。
2. 將「中心」代表速率理解為「中央位置」速率
在 S1 學生的訪談中也發現，該生將「中心」代表速率理解為「中央位置」
速率(即使該生瞭解離度較小的分布其平均值代表性較高)，如下節錄內容。
S1
13. T ：請幫我畫出馬克士威速率分布圖 14. S1：(畫圖)
15. T ：請描述馬克士威速率分布的形狀特徵
16. S1：形狀…他右邊比較大…就是他右邊比較多…延伸得比較長
20. T ：你現在已經畫出了分布圖，也描述了他的形狀特徵，那請
你再回來思考 BM7 這題，你會維持還是改變你原本的答案?
36. S1：…變為方均根速率
37. T ：為什麼不是最可能速率或平均速率?
38. S1：因為這個有左偏阿…
39. S1：就是他其實不是這麼的正中央(手指向最可能速率)，他其實
是有往旁邊偏移之類的…40. S1：然後為什麼不用這個呢(手指向平均速率)
41. S1：因為平均的話有時候會失真，就是會受到極大值或極小值
的影響。S13 與 S1 兩生都瞭解平均值會受極端值所影響，卻仍選擇方均根速率，
表示並不清楚分布「中心」代表數值的意義。
二、學生對「整體」特徵的想法
此部分以錯誤的溫度升高後的速率分布曲線(圖 4-4-1)與原點問題，探索學生 對於整體特徵之想法。
圖 4-4-1 訪談問題第 12 題
速率 分
子 數 目
(一) 正確的想法
訪談問題情境刻意將升溫的速率分布曲線畫為分子數目增加的情況，學 生首先要能知道縱軸代表分子數目，接著瞭解整體分布曲線往上平移，表示 總分子數目增加的意思。下述節錄 S13 與 S17 的訪談內容，皆明確指出「分 子數目增加」，表示其瞭解此概念。
S13
47. T ：有一氣體運動速率分布如下圖中細線所示，某同學把同一
種氣體溫度升高後的速率分布畫成下圖中的粗線，你認為 他的想法是什麼？55. S13：他感覺到分子數目變多了 57. S13：因為面積變大了
S17
59. T ：有一氣體運動速率分布如下圖中細線所示，某同學把同一
種氣體溫度升高後的速率分布畫成下圖中的粗線，你認為 他的想法是什麼？你覺得他畫的是對的嗎？60. S17：錯的
62. S17：他代表意思應該是說每個速率的分子數目都增加了
此外，若學生瞭解整體特徵，將明白分布應包含原點，才能表示完整的 資料分布情形，如以下 S1 之訪談節錄內容，該生表示速率分布應包含速率為 0 與趨近 0 的部分。
S1
109. T ：…那你覺得速率分布是否應該要經過原點？
110. S1：我覺得應該要通過原點
114. S1：…在分子數目趨近於 0 的情況，
115. S1：速率也會趨近於 0
116. T ：你剛剛說的是「趨近」
，那「通過」會是什麼意思?117. S1：…你會發現沒有一個分子速率是 0
(二) 可能的學習困難 1. 詮釋分布圖困難
以下為 S1 的訪談節錄內容，可看到該生指出分布曲線下所圍面積代表 分子數目，甚至說明溫度升高後分子數目不變的事實。然而對該生而言，似 乎只是記憶升溫後之分布圖形與總分子數不變，由其將問題中錯誤的分布曲 線詮釋為升所有分子的速率均增加，表示該生其實並不十分瞭解速率分布圖 內容，因而產生錯誤詮釋。
S1
82. T ：有一氣體運動速率分布如下圖中細線所示，某同學把同一
種氣體溫度升高後的速率分布畫成下圖中的粗線，你覺得 他畫的是對的還錯的?83. S1：錯的
85. S1：因為他覺得溫度變高之後，分子運動速率都會變快。
97. T ：還有嗎?
98. S1：不會變高。
100. S1：因為下面的面積是他的數目…升溫之後，個數不會改變。
2. 未留意經過原點
以下為 S13 與 S17 之訪談節錄內容，可發現兩生均瞭解原點之意義，但 卻在畫分布曲線時忽略，經研究者詢問才留意到，表示未注意分布整體特徵。
S13
66. T ：你認為速率分布應不應該通過原點…
67. S13：應該吧
68. T ：那你為什麼沒有畫通過原點?
69. S13：(畫圖，改為通過原點)
70. T ：所以你覺得應該是要通過原點的?
71. S13：嗯
72. T ：那你可以描述一下原點的意思嗎？
73. S13：如果通過原點的話表示沒有一個分子是處於速度為 0 的狀
態。
74. T ：那你可以跟我解釋一下為什麼沒有一個分子的速度為 0?
75. S13：如果速度為 0 的話表示那顆分子的溫度會變得很低，應該
不存在。S17
69. T ：那你可以解釋一下這張圖上原點代表的意思會是什麼？
70. S17：不會動的分子有 0 個。
77. T ：你剛剛有說不動的分子數目是 0 個嘛，那你覺得分布有沒 有通過原點的必要…
78. S17：我可以改「有」嗎?
81. T ：那你畫的初始速率在這邊，那你覺得這一段空白的(手指 原點至初始速率的區間)，是代表著什麼意思呢？
82. S17：(畫連線經過原點)
83. T ：所以你認為應該是要通過原點是嗎？
84. S17：對
85. T ：為什麼你會想要修正你原本不用通過原點的想法
86. S17：因為我覺得應該是各種速度都會有，只是越極端的部分越 少，但是應該還是有可能有，所以還是要把他畫上去…
S13 與 S17 經研究者提醒思考原點之意義後，均認為分布曲線應經過原 點，S17 更明確說出「各種速率都會有」，表示其已留意到分布整體特徵。此 外，在本次訪談中所有學生均明白原點之意義，然而可能有其他未參與訪談 知學生並不瞭解，此類學生並非「未留意」經過原點，而是「不知道」是否 要經過原點。
三、「統計分布」與「馬克士威速率分布」兩概念的連結情形
統計分布與馬克士威速率分布兩概念的連結情形訪談問題可分為兩個部 分，分別是學生對分布的想法，以及統計分布與馬克士威速率分布兩概念間學習 的連結情形。
(一) 對分布的想法
在 S1 的訪談節錄內容中，表示該生瞭解分布能展現整體資料的特性，在 與他人描述或進一步研究時使用。並且，該生瞭解透過資料處理，將原始資 料系統化分類整體後可得次數分布圖。
S1
121. T ：…上完課你認為什麼是「分布」?
122. S1：就是你得到了一筆資料，然後你想要對這筆資料加以瞭解，
加以分析，看說用什麼東西才最能代表這筆資料的特性，
然後就嘗試用不同的方法去研究他。
123. T ：…為什麼在處理資料會想要用分布?
124. S1：因為每一筆資料他的那個數值都不太一樣，就他是跳來跳
去的，所以就是把他歸類。125. T ：所以你最後就會看到一類一類的結果 126. S1：對，然後你就可以把他畫成次數分布圖
130. T ：那我們一開始拿到那些很瑣碎的資料，跟你最後做出來那
個分布圖，對你研究一個資料集的影響差別在哪裡?131. S1：差很大阿…原本你很難向人描述你想要說的是哪些東西，
或是說這個資料到底有什麼特性
132. S1：你把它加以系統化之後，你就可以很清楚的告訴別人說，
到底什麼東西其實發生過幾次，或是說什麼東西是最可能 發生的。
以下為 S13 與 S17 之訪談節錄內容，可看出兩生皆認為分布圖能表現出 資料的整體趨勢，特別的是 S1、S13 與 S17 提到的內容皆包含分布的整體特 徵。
S13
76. T ：你認為什麼是「分布」…
77. S13：把資料經過歸納，然後把他的數據一組一組的做出來，然後看
他分布的樣子78. T ：所以你會看到一組一組的樣子嗎 79. S13：全部都做在一張圖形上面看
80. T ： …那你覺得看分布圖跟你看一筆一筆的資料差別在哪?
81. S13：可以知道大致上的趨勢 82. T ：…什麼樣的趨勢?
83. S13：整體表現的趨勢
S17
89. T ：你對資料分布有什麼想法?
90. S17：我覺得資料分布可以表達出這個資料代表的意義 92. S17：分布圖比較可以知道你的成績跟個數的關係 94. S17：分布圖比較可以知道整體的趨勢
(二) 統計分布與馬克士威速率分布的學習
此部分有相當多實例已在上述訪談之節錄內容中呈現，兩者概念尚存有 同質性，因此得以產生部分幫助，以下為 S1 的訪談節錄內容，可看出該生確 實將兩概念做連結。
S1
139. T ：你覺得學了統計分布對你學習馬克士威速率分布的幫助在哪裡?
請舉例說明