統計分布對於科學概念學習影響之探討－以馬克士威速率分布為例

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士論文. 指導教授：譚克平博士. 統計分布對於科學概念學習影響之探討－以馬克士威速率分布為例 An investigation on the effectiveness of teaching scientific concepts via statistical distribution －Using Maxwell distribution as an example. 研究生：李孟珊. 中華民國一○一年六月.

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(4) 統計分布對於科學概念學習影響之探討－以馬克士威速率分布為例李孟珊. 中文摘要本研究目的在於探討統計分布概念的理解是否影響學生學習以分布為基礎的科學概念，因此研究者提出「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」 (Distribution-Data Handling teaching model, DDH teaching model)，並探究該模式是否有助於學生瞭解此類科學概念。本研究以馬克士威速率分布 (Maxwell distribution)的概念為例，研究對象為高中3年級的資優學生，已具有氣體動力論的先備知識。採準實驗研究設計，控制組接受直述模式教學，實驗組接受DDH 模式教學，兩組學生皆於課程實施前、後進行統計分布概念與馬克士威速率分布概念的前測、後測，並以態度問卷與半結構式晤談瞭解學生的想法。研究發現：(1) 統計分布的概念會與以分布為基礎的科學概念彼此對應，學生愈能掌握統計分布的整體特徵，對於馬克士威速率分布概念的學習成效愈佳，愈能以整體的角度來分析氣體運動速率分布，且較能完整詮釋溫度與分子量兩變因對於速率分布函數的影響。(2) 只聚焦於單一或是少數分布特徵的學生，較無法掌握整體的運動速率分布情形，在條件改變時，僅留意部分數值發生的變化，而非掌握了速率分布的整體變化。(3) 透過資料處理與統計分布結合的方式，學生能建構出大量氣體分子的整體速率分布概念，且更能體會各個統計量的內涵，對於速率分布能有全面性的瞭解。. 關鍵字：統計分布、分布特徵、資料處理、馬克士威速率分布. I.

(5) An investigation on the effectiveness of teaching scientific concepts via statistical distribution －Using Maxwell distribution as an example Meng-Shan Li. Abstract Maxwell speed distribution is a difficult topic to many senior high school students. This study proposed that a better understanding can be gained if students are taught statistical distribution before the formal introduction of this topic. Towards this purpose, teaching materials on Maxwell distribution were designed according to the Distribution Data Handling teaching model that was developed for this study with emphasis from the perspective of statistical distribution. A teaching experiment was then conducted to test out the effectiveness of this approach according to the quasi-experimental design. The participants were from two grade twelve classes for gifted students in a senior high school located in Taipei city. The effectiveness of the instruction and materials were evaluated by analyzing students’ responses to the statistical distribution concept test, Maxwell distribution concept test, an attitude questionnaire, as well as data from class videos and semi-structured interviews. Several results were observed from this study. First, since there is a correspondence between the statistical concept of distribution to those scientific concepts that are based on distribution, students with better grasped of the features of distribution performed better after instruction. They could better relate to the molecular speed distribution from a global and integrated perspective. They could better comprehend the effect of temperature and molecular weight on the Maxwell distribution. Second, for students who tended to focus only on a single or part of the features of a distribution, they were observed not being able to comprehend the Maxwell distribution holistically. When some the surrounding conditions were changed, they tended to focus on changes of a few data points and not on all of the data. Third, after formal introduction to statistical distribution and hands-on experiences with handling data, students could better understand Maxwell distribution holistically as well as the underlying meaning of quantities in relation to the speed distribution. Keywords: statistical distribution, distribution characteristics, data handling, Maxwell distribution II.

(6) 目錄第一章緒論 .....................................................................................................................1 第一節. 研究動機與背景 ................................................................................................1. 第二節. 研究目的 .............................................................................................................3. 第三節. 研究問題 .............................................................................................................3. 第四節. 名詞釋義 .............................................................................................................5. 第五節. 研究範圍與限制 ................................................................................................6. 第二章文獻探討 ...........................................................................................................7 第一節. 科學概念的學習 ................................................................................................7. 第二節. 統計分布概念...................................................................................................13. 第三節. 馬克士威速率分布概念的教學 ....................................................................20. 第四節. 文獻探討對本研究之啟示 .............................................................................21. 第三章研究方法 .........................................................................................................23 第一節. 研究設計 ...........................................................................................................23. 第二節. 研究對象 ...........................................................................................................25. 第三節. 實驗組與控制組課程研發 .............................................................................27. 第四節. 研究工具 ...........................................................................................................33. 第五節. 研究過程 ...........................................................................................................58. 第六節. 資料處理 ...........................................................................................................60. 第四章資料分析 ................................................................................................ 61 第一節. 學生整體表現...................................................................................................61 III.

(7) 第二節. 馬克士威速率分布概念各向度整體表現分析 ..........................................70. 第三節. 細部分析 ...........................................................................................................78. 第四節. 訪談資料分析.................................................................................................105. 第五章結論與建議 ..................................................................................................116 第一節. 研究結論 .........................................................................................................116. 第二節. 綜合討論 .........................................................................................................118. 第三節. 建議 ..................................................................................................................119. 參考文獻............................................................................................................................121 附件 ......................................................................................................................................125 附件 2-1 附件 2-2 附件 3-1 附件 3-2 附件 3-3 附件 3-4. 高中基礎數學Ⅱ課程綱要 ........................................................................125 高中選修數學課程綱要 ............................................................................126 控制組馬克士威速率分布講義 ...............................................................128 實驗組馬克士威速率分布講義(工作單) ...............................................134 實驗組統計分布講義.................................................................................148 實驗組統計分布學習單 ............................................................................155. 附件 3-5 附件 3-6-1 附件 3-6-2 附件 3-7-1 附件 3-7-2 附件 3-8 附件 3-9 附件 3-10 附件 4 附件 5. 氣體分子速率模擬 Excel 檔案 ................................................................159 統計分布概念測驗前測評分標準 ...........................................................161 統計分布概念測驗後測評分標準 ...........................................................164 馬克士威速率分布概念測驗前測評分標準 ..........................................165 馬克士威速率分布概念測驗後測評分標準 ..........................................167 控制組情意問卷 .........................................................................................170 實驗組情意問卷 .........................................................................................171 訪談問題 ......................................................................................................173 統計分布概念測驗評分者評分情形 ......................................................174 馬克士威速率分布概念測驗評分者評分情形 ....................................178. IV.

(8) 圖次圖 2-1-1 圖 2-1-2 圖 2-2-1 圖 2-3-1 圖 3-3-1 圖 3-3-2 圖 3-5-1 圖 4-2-1-1 圖 4-2-1-2. Chi 本體樹架構 ....................................................................................... 8 Showalter 科學概念結構 ......................................................................... 9 分布與資料的關係 ................................................................................ 15 伽爾頓版實驗裝置 ................................................................................ 21 以分布為基礎的資料處理教學模式(DDH 模式)................................ 27 Microsoft Excel 資料處理 .................................................................... 32 本研究流程圖 ........................................................................................ 59 兩組學生子概念 1 表現......................................................................... 72 兩組學生子概念 2 表現......................................................................... 72. 圖 4-2-1-3 圖 4-2-1-4. 兩組學生子概念 3 表現......................................................................... 72 兩組學生子概念 4 表現......................................................................... 73. 圖 4-2-1-5 兩組學生子概念 5 表現......................................................................... 73 圖 4-2-1-6 兩組學生子概念 6 表現......................................................................... 76 圖 4-2-1-7 兩組學生子概念 7 表現......................................................................... 76 圖 4-3-1-1 AM4b 標示錯誤 ..................................................................................... 80 圖 4-3-1-2 AM4b 標示部分錯誤 ............................................................................. 80 圖 4-3-2-1 BM1b 標示錯誤 ..................................................................................... 83 圖 4-3-2-2 AM4c-1 答錯且 BM1b 答錯之學生理由 .............................................. 84 圖 4-3-3-1 BM3a 選項(A) ........................................................................................ 92 圖 4-3-3-2 圖 4-3-3-3 圖 4-3-3-4 圖 4-3-4-1 圖 4-3-4-2 圖 4-3-4-3 圖 4-3-5-1 圖 4-3-5-2 圖 4-3-6 圖 4-3-7 圖 4-4-1. BM3a 選項(B) ........................................................................................ 92 BM3a 選項(C) ........................................................................................ 92 BM3a 選項(D) ........................................................................................ 92 BM3b 學生作答內容(A) ...................................................................... 93 BM3b 學生作答內容(B) ...................................................................... 94 BM3b 學生作答內容(C) ...................................................................... 94 BM3b 學生作答內容(D) ...................................................................... 95 BM3b 學生作答內容(E) ...................................................................... 96 BM4a 條件二錯誤範例 ......................................................................... 99 BM2a 條件一錯誤範例 ....................................................................... 104 訪談問題第 12 題 ................................................................................ 110. V.

(9) 表次表 2-2-1 表 2-2-2 表 3-2-1 表 3-3-1 表 3-3-2 表 3-4-1 表 3-4-2-1 表 3-4-2-2 表 3-4-2-3. 分布的定義 ............................................................................................ 14 分布的特徵 ............................................................................................ 15 兩組學生特質 ........................................................................................ 26 直述模式與 DDH 模式比較 ................................................................. 29 控制組與實驗組教學時間與概念比較 ................................................ 30 試題題本架構 ........................................................................................ 33 AD1a、AD1b 試題修改過程 .............................................................. 36 AD3c-1、AD3c-2 試題修改過程 ........................................................ 37 AD4 試題修改過程 .............................................................................. 38. 表 3-4-3-1 表 3-4-3-2. 統計分布概念測驗前測單向細目表..................................................... 39 統計分布概念測驗後測單向細目表..................................................... 40. 表 3-4-4 表 3-4-5-1 表 3-4-5-2 表 3-4-6 表 3-4-7-1 表 3-4-7-2 表 3-4-8-1 表 3-4-8-2. 統計分布概念測驗試題鑑別度、難度 ................................................ 41 統計分布概念測驗前測試題評分者一致性......................................... 43 統計分布概念測驗後測試題評分者一致性......................................... 43 馬克士威速率分布概念試題之分布特徵層次 .................................... 45 AM1 試題修改過程 ............................................................................. 47 AM4e 試題修改過程 ........................................................................... 47 馬克士威速率分布概念前測試題細目表........................................... 49 馬克士威速率分布概念後測試題細目表........................................... 50. 表 3-4-9-1 表 3-4-9-2 表 3-4-10-1 表 3-4-10-2 表 3-4-11 表 4-1-1-1 表 4-1-1-2 表 4-1-2 表 4-1-3 表 4-1-4 表 4-1-5-1. 馬克士威速率分布概念測驗前測試題鑑別度、難度....................... 51 馬克士威速率分布概念測驗後測試題鑑別度、難度....................... 52 馬克士威速率分布概念前測試題評分者一致性............................... 53 馬克士威速率分布概念後測試題評分者一致性............................... 54 訪談工具架構 ........................................................................................ 56 統計分布概念前測試題各題得分之平均值與標準差....................... 62 統計分布概念後測試題各題得分之平均值與標準差....................... 63 統計分布概念試題得分情形 ................................................................ 63 統計分布概念測驗共變數分析摘要表 ................................................ 64 統計分布概念後測調整前、後之平均值 ............................................ 64 馬克士威速率分布概念前測試題各題得分之平均值與標準差......... 66. 表 4-1-5-2 表 4-1-6 表 4-1-7 表 4-1-8 表 4-2-1 表 4-2-2-1. 馬克士威速率分布概念後測試題各題得分之平均值與標準差......... 67 馬克士威速率分布概念試題得分情形 ................................................ 68 馬克士威速率分布概念測驗共變數分析摘要表 ................................ 68 馬克士威速率分布概念後測調整前、後之平均值 ............................ 69 「馬克士威速率分布」向度表現 ........................................................ 70 「馬克士威速率分布」向度各子概念表現......................................... 71 VI.

(10) 表 4-2-2-2. 「馬克士威速率分布」向度各子概念表現(Z 分數) .......................... 71. 表 4-2-3 表 4-2-4 表 4-2-5-1 表 4-2-5-2 表 4-2-6 表 4-3-1 表 4-3-2-1 表 4-3-2-2 表 4-3-3 表 4-3-4-1 表 4-3-4-2. 「馬克士威速率分布」向度後測調整前、後之平均值 .................... 74 「影響馬克士威速率分布的變因」向度表現 .................................... 75 「影響馬克士威速率分布的變因」向度各子概念表現..................... 75 「影響馬克士威速率分布的變因」向度各子概念表現(Z 分數) ...... 75 「影響馬克士威速率分布」向度後測調整前、後之平均值 ............ 77 子概念 1 比較之試題：AM4b 與 BM1a ........................................... 78 控制組 AM4b 與 BM1a 答題情形人數分布 ...................................... 79 實驗組 AM4b 與 BM1a 答題情形人數分布 ...................................... 79 子概念 2 比較之試題：AM4c-1 與 BM1b ........................................ 82 控制組 AM4c-1 與 BM1b 答題情形人數分布 ................................... 82 實驗組 AM4c-1 與 BM1b 答題情形人數分布 ................................... 82. 表 4-3-4-3 表 4-3-5. AM4c-2 答題情形人數分布 ................................................................ 85 子概念 3 試題： BM4d ...................................................................... 87. 表 4-3-6-1 控制組 BM1b 與 BM4d 答題情形人數分布 ...................................... 87 表 4-3-6-2 實驗組 BM1b 與 BM4d 答題情形人數分布 ...................................... 87 表 4-3-7 子概念 4 比較之試題：AM5c-1 與 BM4b ........................................ 88 表 4-3-8-1 控制組 AM5c-1 與 BM4b 答題情形人數分布 ................................... 89 表 4-3-8-2 實驗組 AM5c-1 與 BM4b 答題情形人數分布 ................................... 89 表 4-3-9 子概念 5 比較之試題：AM4a 與 BM3a ............................................ 91 表 4-3-10-1 控制組 AM4a 與 BM3a 答題情形人數分布 ...................................... 92 表 4-3-10-2 實驗組 AM4a 與 BM3a 答題情形人數分布 ...................................... 92 表 4-3-11-1 子概念 6 比較之試題：AM1 與 BM4a ............................................ 96 表 4-3-11-2 BM4a 評分標準 .................................................................................. 97 表 4-3-12-1 控制組 AM1 與 BM4a 答題情形人數分布 ........................................ 98 表 4-3-12-2 實驗組 AM1 與 BM4a 答題情形人數分布 ........................................ 98 表 4-3-13 BM4a 未完成條件及其累計人次 ....................................................... 98 表 4-3-14 子概念 6 特殊試題：BM5 .................................................................. 99 表 4-3-15 BM5 答題情形人數分布 ................................................................... 100 表 4-3-16-1 子概念 7 比較之試題：AM5a 與 BM2a ........................................ 101 表 4-3-16-2 BM2a 評分標準 ................................................................................ 101 表 4-3-17-1 控制組 AM5a 與 BM2a 答題情形人數分布 .................................... 102 表 4-3-17-2 表 4-3-18 表 4-4-1-1 表 4-4-1-2. 實驗組 AM5a 與 BM2a 答題情形人數分布 .................................... 102 BM2a 未完成條件及其累計人次 ..................................................... 103 BD2 試題內容 .................................................................................... 105 BM7 試題內容 ................................................................................... 106. VII.

(11) 第一章緒論本章分為五節，分別對於本研究之研究動機、研究目的與研究問題進行說明，並解釋所使用之專有名詞，說明本研究之研究限制。. 第一節研究動機與背景一般高中教師在教授以分布為基礎的科學概念時，經常假定學生已具備閱讀、理解與詮釋資料分布的能力，因而多半直接針對概念內容進行質性的描述，說明資料分布中蘊含的科學現象或原理。然而「分布」為相當抽象之概念，並非所有學生對於統計分布概念皆有充分的瞭解，若未針對資料分布的部分詳加說明便直接闡述科學內涵，可能造成學生只獲得籠統、模糊的科學概念，而無法確切的瞭解整體知識內容，甚至產生學習困難。. 研究者後來有機會閱讀到科教所趙君培(2009)的論文，該論文研究國三學生對於統計分布概念的了解情形。研究者在閱讀之後，對於統計分布的概念與特徵有初步的了解，發現分布可作為思考一份資料整體性時的切入點(譚克平，2011)。若能夠從分布的觀點來思考所蒐集的資料，學習者不僅可留意到個別的資料數值，尚可注意到資料彼此之間的關係，以及整體資料集的重要概念，甚至可進一步對資料集進行趨勢的預測。研究者認為以分布為基礎的科學概念既是以「分布」的形式呈現，若能透過統計分布來學習此類概念，那麼分布所蘊含的「整體」概念，應可幫助學生掌握整體的知識內容，將資料與科學概念產生連結。. 憑藉上述信念，透過與指導教授的討論與分布概念相關的文獻探討，研究者猜測若能藉由分布圖所呈現出來的形狀、中心、離度、整體等特徵，將可對資料分布進行較完整的描述與詮釋，並且可透過分布特徵來比較資料集，幫助學生進一步瞭解資料內容，推測影響資料的變因。研究者更進一步發現，在英國國家課 1.

(12) 程(The English National Curriculum)的數學科課程中，將統計領域課程分成四個部分，包含資料處理循環(data handling cycle)、資料呈現與分析(presentation and analysis of data)、集中趨勢與離度的測量(measures of central tendency and spread)、機率(probability)。其中，資料處理循環涵蓋四個過程－「確定問題」、「蒐集資料」、「呈現資料」與「理解結果」。. 基於以上背景，研究者針對以分布為基礎的科學概念，以「統計分布」做為核心主軸，將分布概念與特徵結合資料處理循環，提出「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」(Distribution- Data Handling teaching model , DDH 模式，詳見第三章第三節－實驗組與控制組課程研發)，以期有效幫助學生掌握資料的整體架構，對於欲學習的科學概念獲得全面性的瞭解。欲確定 DDH 教學模式的有效性以及學生對此教學模式的接受程度，研究者進一步開發實驗課程，以 DDH 教學模式進行課程設計，並發展本研究以探究學生使用 DDH 教學模式與一般直述式的教學模式兩者之學習成效差異，希望由研究結果確定此教學模式對於學生學習以分布為基礎的科學概念確實有所幫助，於未來可幫助更多的學生解決以分布為基礎的科學概念學習困難。. 2.

(13) 第二節研究目的基於上述研究動機，本研究欲探討以統計分布為基礎的資料處理教學模式 (Distribution-Data Handling teaching model, DDH 教學模式)對於以分布為基礎的科學概念學習成效，研究目的如下：一、探討以統計分布為基礎的資料處理教學模式是否有助於學生瞭解以分布為基礎的科學概念。二、探討學生對於以統計分布為基礎的資料處理教學模式接受程度為何。. 第三節研究問題依據本章第二節所述研究目的，本研究之研究問題如下所示：一、「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」與「直述模式」的課程，對於學生學習以分布為基礎的科學概念學習成效是否有所差異？ (一) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「馬克士威速率分布」向度的理解是否優於「直述模式」的課程？ (二) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「影響馬克士威速率分布的變因」向度的理解是否優於「直述模式」的課程？二、學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」與「直述模式」的課程，對於馬克士威速率分布之七個子概念表現是否有所差異？ (一) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「最可能速率」子概念的理解是否優於「直述模式」的課程？ (二) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「統計速率之相對位置」子概念的理解是否優於「直述模式」的課程？ 3.

(14) (三) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「統計速率之比例關係」子概念的理解是否優於「直述模式」的課程？ (四) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「分散程度」子概念的理解是否優於「直述模式」的課程？ (五) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「各速率區間的分子數」子概念的理解是否優於「直述模式」的課程？ (六) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「溫度對速率分布的影響」子概念的理解是否優於「直述模式」的課程？ (七) 學生接受「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」的課程，對於「分子量對速率分布的影響」子概念的理解是否優於「直述模式」的課程？三、學生對於「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」於情意方面的接受程度為何？. 4.

(15) 第四節名詞釋義一、以分布為基礎的科學概念以分布為基礎的科學概念是指透過資料分布表徵的科學概念或現象，例如：馬克士威速率分布、電子雲密度分布等。二、分布分布是指資料值整體散布的情形，蘊含有「整體」的概念，包含中心、離度、形狀與整體等主要特徵。三、中心「中心」為分布的特徵之一，指的是資料整體的集中趨勢，即具有資料代表性的數值，可以不同的中心量數表示。本研究的中心量數僅限於平均數、中位數與眾數。四、離度「離度」為分布的特徵之一，指的是資料的分散程度，可以不同的變異量數表示，本研究的變異量數僅限於全距與標準差。五、形狀「形狀」為分布的特徵之一，指的是資料分布圖的形狀，如對稱、偏態。六、整體「整體」為分布的特徵之一，包括資料集之中所有數值，可表現出整體資料集的性質。七、以統計分布為基礎的資料處理教學模式(DDH 模式) 研究者針對以分布為基礎的科學概念，提出以「統計分布」做為核心主軸，將分布概念與特徵結合資料處理循環，融合而成的 DDH 模式，詳見第 5.

(16) 三章第三節－實驗組與控制組課程研發。八、直述模式本研究之直述模式是指採用直接闡述科學概念內涵的方式進行以分布為基礎的科學概念教學，並無先詳細說明資料分布的內容。. 第五節研究範圍與限制一、本研究僅以馬克士威速率分布單元發展實驗課程，探究以統計分布為基礎的資料處理教學模式有效性，因此不宜過度推論至其他以分布為基礎的科學概念。二、本研究之研究對象僅限於臺北市高級中學之三年級數理資優班學生，並非隨機抽樣，因此不宜過度推廣至其他程度的學生，若有其他程度學生的樣本，應再進行相關研究。三、本研究為課程開發之創新性研究，樣本數目僅 47 人，屬於小樣本，不宜過度推廣，若要推廣至更大的樣本必須小心留意。. 6.

(17) 第二章文獻探討本章分為四節，進行科學概念學習、統計分布概念、馬克士威速率分布概念相關文獻之探討與整理，並說明文獻探討對本研究之啟示。第一節為科學概念的學習，包含科學概念、學習遷移與有意義學習理論；第二節為分布的概念，包含分布的意義、特徵與分布的相關教學研究；第三節為馬克士威速率分布概念之相關文獻回顧；第四節為文獻探討對本研究之啟示。. 第一節科學概念的學習本節將針對科學概念的學習，就科學概念、學習遷移與有意義學習理論進行重要的文獻探討與整理。. 一、科學概念各學者對於概念有許多不同的定義，Markle 與 Tiemann(1970)將概念描述為「一種實體」，Tennyson(1977)進一步說明概念是由特定物體、符號或事件組成，具有共同的特徵，可以特殊的名稱或符號表示(引自 Herron, 1996, p. 106)。Novak 與 Gowin(1984)將概念定義為事物或事件中可被某些名稱表示出的共同規律。 Duit 與 Treagust(1995)認為概念是一類事物或事件的共同屬性，能以信號或符號所表示的概括化名稱。綜合上述定義可知，概念除了可以特定的符號或名稱表示，同類的概念應具有相同的屬性或特徵。. Gagne(1985)將概念分為「具體的」概念與「定義的」概念，具體的概念是以知覺上的特徵作為分類的依據，如「藍色」；定義的概念須以文字或語言加以說明，如「美麗」。Chi(1992)則將概念依照本體屬性分為「物質」、「過程」與「心智狀態」三大範疇，範疇下又依屬性再細分，如圖 2-1-1 所示。而其中物質概念指的是石頭、建築物等類的「東西」；過程概念指的是事件的發生，如：閃電、 7.

(18) 親吻；心智狀態則是指情意方面，如：害怕、渴望。. 圖 2-1-1 Chi 本體樹架構(引自邱顯博，2002). 在 Chi 的本體架構中能看出概念之間具有含攝關係，Showalter(1974)則是將科學知識的概念結構由下至上依序分為知覺、真實的概念、事實、定律、發明的概念、原理與學說(圖 2-1-2)。知覺的概念是可透過感官直接得知，如甜；真實的概念具有實體特性，如貓；事實是指發現的事實，因此並不一定正確，如旭日東昇；定律是說明事實的狀態或趨勢，如氣體定律；發明的概念則是為解釋現象而創造，如原子；原理是由至少兩個以上的概念所組成，且必須含有一個以上發明的概念；學說則是科學知識結構的最上層，最概括化，具有解釋或預測自然現象之功能。. 8.

(19) 圖 2-1-2 科學概念結構(Showalter, 1974). 二、學習遷移學習遷移是舊學習效果影響新學習效果的現象，將某一情境中所習得的知識，應用於另一個不同的情境中(Gagne, Yekovich, & Yekovich, 1993; Singley & Anderson, 1989; 林清山、張春興，1984)。R. M. Gagne 將遷移分為兩類，分別為水平遷移(lateral transfer)與垂直遷移(vertical transfer)。水平遷移為將已知的知識應用於其他難度或複雜層級相同之新情境中，而垂直遷移則是指將已知的知識應用到一些更複雜或需合併已知知識的新知識之學習情境。茲針對各學派提出之遷移理論進行整理。 (一) 共同元素理論 (Identical elements theory) Thorndike 於 1906 年提出「共同元素理論 (Identical elements theory)」，指出舊的學習之所以能促進新的學習，乃因新、舊知識之間存在有「共同元素(identical elements)」，並且，助益的程度取決於「共同元素」的多寡，即兩者間共同元素愈多，遷移效果愈強，若無共同元素，則不會產生遷移。. 9.

(20) (二) 類化理論 (Generalization theory) Judd(1908)進一步提出遷移的類化理論，主張遷移的關鍵在於學生是否學習到知識的一般性原理、原則。Judd 對比有、無經過「折射」原理教學的兩組學生，考驗其水下擊靶的準確性，研究發現有經過折射原理教學的學生較未經過教學之學生擊中目標的準確性較高。因此，Judd 認為新、舊學習經驗之間的共同元素僅為遷移發生之必要條件，能否產生遷移的關鍵須視學生是否能由舊學習經驗中歸結出原理、原則，將其應用於新學習經驗中，即學習經驗的類化。 (三) 轉換理論 (Transposition theory) 轉換理論為完形心理學派學者所主張，強調知識或學習經驗的「整體性」，認為知識有其特殊之形態(pattern)，遷移為兩知識結構間整體的轉換，即兩知識形態愈相似，發生遷移的效果愈強。Kohler(1929)進行試驗，讓小雞與兒童於不同深淺程度的灰色紙張下尋找食物，經過條件制約後，習得由深灰色紙張下才能獲得食物。接著，實驗情境將淺灰色紙張更換為黑色紙張，研究發現約 70%的小雞對黑色紙反應，30%的小雞對原深灰色紙反應，而兒童只對黑色紙做出反應。因此，Kohler 認為遷移是學習者發現情境間的「關係(relationship)」，非共同元素或共同原理、原則所致。. 然而，學習遷移亦有許多失敗的例子 (蔡福興、游光昭、蕭顯勝，2008) ，人們在嘗試解決一個新問題時往往疏於瞭解自己已具備一些可運用之相關知識 (Gagne, Yekovich, & Yekovich, 1993)。Bransford 與 Schwartz(1999)認為以往關於學習遷移的研究皆為相同的研究模式，先讓學習者學習後，再使其接受「隔離的問題解決(sequestered problem solving)」，因此造成無法找出學習遷移的證據。 Schwartz、Bransford 與 Sears(2005)進一步提出學習遷移可分為兩種類型，分別為「向外遷移（transfer out）」與「向內遷移（transfer in）」。向外遷移是指學習者應用舊知識去解決新的問題情境，而向內遷移則是指學習者應用舊知識來學習新 10.

(21) 知識，以往的研究難以找出學習遷移的證據原因通常為，僅強調向外遷移或向內遷移其中之一，而未考慮到另一類型所致。. 三、Ausubel 學習理論 1930年代開始，科學教育逐漸著重以活動、專題與討論為基礎的教學，強調問題解決與發現學習，起因於講述式教學無法有意義的呈現教學內容，而為求精熟概念的反覆式機械學習(rote learning)亦無效於概念的理解，於是D. P. Ausubel (1918- 2008)提出有意義學習(meaningful learning)理論，強調學生知識結構的連結，教師或教材應將概念進行邏輯性的重組，呈現前置組織，將新概念融入學生舊有的知識結構。 (一) 認知結構個體的認知結構為概念與概念間的關係網絡，對於新概念的學習為重要的影響因素，若個體的認知結構是穩定、清楚、有組織的，便會產生有效且明確的意義(Ausubel, 1963, p. 26)。 (二)有意義的學習當學生學習新概念時，即使在教學過程與環境都相當理想的情況下，仍會產生知識的遺忘。Showalter(1974)指出，科學概念的結構中，知覺、真實的概念、事實與定律等位於結構下方的四個元素，多是從環境透過感官的刺激而習得，因而需要強化學生相關的認知結構，將新、舊概念彼此連結，否則容易發生遺忘，有意義的學習即是將相關的、涵蓋較廣的概念彼此關聯，並錨定至認知結構中 (Ausubel, 1963, p. 42)。 (三) 前置組織因子前置組織因子是置於學習材料之前，為較籠統、較高層次的概念，涵蓋性較廣，具有定錨作用，可增加認知結構的組織強度(Ausubel, 1963, p. 81)，前置組織 11.

(22) 能含攝新概念，統整新、舊知識。前置組織因子可分為「解說式組織因子」與「比較式解說因子」，解說式組織因子用於新概念的學習，產生定錨作用，為幫助學生理解後續教材的概念架構；而比較式解說因子則可用於比較過去學習過的相似概念或相異概念之異同，避免發生概念的混淆。. 知識結構對學習的影響相當重大，在 Chi、Feltovich 與 Glaser(1981)的研究中可發現，專家與生手的知識結構確實有所不同。專家的問題基模會有較多原理原則的部分，而生手的問題基模含有較多問題中的字面特徵，較缺乏系統與組織。經由生產法則的分析後可知，專家擁有大量的程序性知識，且可以衍生出其他應用的部分；生手的陳述性知識亦相當多，只是缺乏提取解答的方法，無法從問題字義上的理解推論出解題所需的知識。. 教室中的實作可幫助學生有意義的學習概念，Haury與Rillero(1994)指出動手做(hands-on)活動能使教學中的經驗有意義，學生可沉浸於教材或教學過程中，並激發其自信，使學生能成功的學習科學。Bross(2008)即透過科學論證與實驗使學生進行有意義的學習，並檢視學生經過學習之後的化學知識理解情形，發現學習者對知識的理解和有意義學習的程度相關，產生影響的主要原因為有意義學習可引出明確的學習方向，並且連結小學與國中已學過之科學知識，顯示知識結構與前置組織在學習中的重要性。. 12.

(23) 第二節統計分布概念本節針對統計分布的概念，進行其意義與特徵，以及分布概念相關教學方法的重要文獻整理與探討。. 一、分布的意義與特徵分布在統計範疇中是相當重要的概念，基本統計綱要字典(Dictionary/ outline of Basic Statistics, 1996)中，分布的定義為整體觀察資料的散布，同義於「次數分布」；統計字典(The Penguin dictionary of Statistics, 2004)中則是將分布定義為變數數值的次數或發生機率的描述或呈現，許多書籍與學者對於分布有不同的定義，茲整理至表 2-2-1。一般而言，分布是指某變數在樣本或母群體中取得的所有值，以及該等數值出現的次數(譚克平，2011；Watkins, Scheaffer, & Cobb, 2004)。然而資料集的分布並不僅僅是一筆一筆資料的呈現，其中更蘊含「整體」的概念，也就是將資料集視為一個整體，而非著重在特定的個別資料上(趙君培，2009； Bakker & Gravemeijer, 2004; Ben-Zvi, 2002; Ciancetta, 2007; Wild, 2006) 。 Ciancetta(2007)進一步指出，為了表現整體資料集，可以圖或表的形式來呈現數值的次數分布。. 要掌握某個變數資料分布所蘊含的資訊，應由分布的特徵著手，以幫助我們獲得全面性的瞭解。學者、專家因研究或使用的目的不同，而對分布的特徵有不同看法(表 2-2-2)。Bakker 與 Gravemeijer(2004)認為分布為一整體概念，由許多的個別資料所構成，並且透過「中心」、「離度」、「密度」與「偏度」四個特徵來呈現，如圖 2-2-1 所示，Reading 與 Reid(2006) 進一步加入「離群值」發展為五個特徵。. 由諸多研究歸納，資料分布的特徵主要包含「中心」、「離度」、「形狀」(Konold, 13.

(24) Robinson, & Khalil, 2002; Ciancetta, 2007)，並且須以「整體」觀點來解讀資料分布情形，避免因個別資料數據產生錯誤的解讀，本研究亦採用此四個特徵為調查項目。表 2-2-1. 分布的定義. 出處. 定義. Dictionary/ outline of Basic. 對觀察的資料而言，分布是用來表示其整. Statistics (1996). 體的散布情形，同義於「次數分布」。. Webster’s third new international. 變數依數值分組排列的統計數組。. dictionary of the English language(1972) 統計學辭典(1995). 分布(分配)指派給某個事件集的次數集(觀察到的分配)或機率集(理論分配)。. The Penguin dictionary of statistics. 變數數值次數或發生機率的描述或呈現。. Nelson, D. (2004) A dictionary of statistics. 資料集的數值，可能依次數或相對次數分. Upton, G. J. G. & Cook, I. T. (2006) 組。在隨機變數的情形下，變數為離散時，分布是可能的數值與其機率；變數為連續時，分布是機率密度函數。 Elementary statistical concepts. 分布的概念為觀察事物經有意義分類後的. Rolene B. Cain (1972). 系統化排列。. An introduction to statistics with. 變數的分布是指變數數值如何沿數線放置. data analysis. 的描述。. Rasmussen, S. (1992) Statistics in action. 樣本或母體變數的數值，每個數值發生的. Watkins, Scheaffer, & Cobb (2004). 頻率。. Leavy (2006). 分布是指變數數值按事件在觀察或理論次數的測量結果為尺度排列。. Wild (2006). 分布是變數的變異性模式。. Ciancetta(2007). 資料集為一個整體，可製成表或圖。. MacDonald (2007). 大部分資料的形狀。 (整理自趙君培，2009) 14.

(25) 表 2-2-2. 分布的特徵. 分布的特徵中心. 出處 Bakker & Gravemeijer(2004); Ciancetta(2007); Cobb(2002); Garfield & Ben-Zvi(2004); Konold, Robinson, & Khalil(2002); Reading & Reid(2006); 趙君培(2009). 離度 (變異性). Bakker & Gravemeijer(2004); Ciancetta(2007); Cobb(2002); Garfield & Ben-Zvi(2004); Konold(2002); Reading & Reid(2006); 趙君培(2009). 形狀. Ciancetta(2007); Garfield & Ben-Zvi(2004) ; Konold, Robinson, & Khalil(2002) ; 趙君培(2009). 偏度. Bakker & Gravemeijer(2004); Reading & Reid(2006). 離群值密度. Garfield & Ben-Zvi(2004) ; Reading & Reid(2006) Bakker & Gravemeijer(2004); Reading & Reid(2006). 間隔. Garfield & Ben-Zvi(2004). 群集. Garfield & Ben-Zvi(2004). 圖 2-2-1. 分布與資料的關係(Bakker & Gravemeijer, 2004). 15.

(26) 二、統計分布的教學分布為一個整體的大概念，可將學生所需學習之多數統計概念統整為一個有意義的網絡(譚克平，2011)，然而分布的概念並不易瞭解，不會隨年紀增長而自發習得，必須透過教學才能形成(蘇國樑，1994；趙君培，2009)，以下就分布概念之相關教學研究，以及九年一貫數學領域課程綱要與高級中學基礎數學、選修數學課程綱要中分布概念的編制情形作重點整理與探討。 (一) 教學研究 1. 學生對分布概念的理解情形分布可統整許多其他的統計概念，因此學習分布概念有助於學生掌握資料的整體性(Cobb, 1999)，Bakker 與 Gravemeijer (2004)依其所提出之資料與分布的架構(圖 2-2-1)，指出「由下至上」是屬於統計生手的觀點，學生傾向於注意那些可計算的個別資料數值，如：平均數、中位數、等，然而這並不代表學生以這些數值代表資料集的中心；學生需要發展的是「由上至下」的分布觀點，以中心、離度、偏度等特徵來將資料分布看作有組織的一個整體。. 然而許多研究發現，學生對於分布概念的理解相當缺乏，多數學生在觀察分布資料或圖表時，往往只留意到個別的資料數值，而不是整體資料集 (Bakker & Gravemeijer, 2004; Ben-Zvi & Arcavi, 2001; Konold, Pollatsek, & Well, 1997)，在比較資料集的分布特徵時，往往也只使用其中幾個特徵(Leavy, 2006；趙君培，2009)。Ciancetta(2007)透過晤談探究大學生與研究生在比較資料分布時的統計推理策略，發現即使已是大學生與研究生，其分布概念仍趨向局部的而非整體的，僅有 8％的學生具有分布的整體概念，40.7％的學生在比較資料集時僅使用分布的一個特徵。趙君培(2009)針對分布的特徵發展「分布概念試題」，研究國三學生對於分布特徵與分布概念的了解情形，亦發現學生對於分布的中心、變異性、形狀的概念不甚了解，整體的概念甚 16.

(27) 至更為缺乏，能同時以中心、變異性、形狀三個特徵來描述分布的只有 4％。. 2. 分布概念的教學策略由於分布的概念不易理解，因而發展出相當多的教學策略以幫助學生學習。學生初接觸分布概念時，可從觀察與描述分布的形狀著手，以整體資料所呈現的形狀來認識分布。當學生可以使用非正式的語言描述資料結構的形狀時，表示其已開始由分布進行統計推理(Bakker & Gravemeijer, 2004)，例如學生形容有一高峰(peak)是因某個變數較高的發生次數造成，或是有長尾位於小丘(hill)的左邊或右邊(指出分布的偏向)。. 透過繪圖亦可幫助學生學習分布的整體觀(Bakker & Gravemeijer, 2004; Ciancetta, 2007; Watkins, Scheaffer, & Cobb, 2004)，分布圖繪製的重點並不在於強調整齊、清楚， Leavy(2006)認為圖形表徵可有效的呈現出資料分布的外觀，並可協助學生留意到只使用描述統計可能會忽略的部分，因此，繪製分布圖時應強調分布「特徵」的描繪，使學生在動手繪圖時體會到分布圖代表的意義。. 此外，透過比較資料集，可使學生很自然的思考到資料分布的形狀、中心與變異性等特徵，將分布當作一個整體來做檢視 (Cobb, 1999; Leavy, 2006)。當學生進一步預測資料集改變情形時，可強化學生將分布視為一整體 (Bakker & Gravemeijer, 2004; Leavy, 2006)。Bakker(2004)對七年級學生提出三階段的分布概念教學設計，簡述如下：階段一：請學生預測某一變因(給定數量)的資料分布情形，學生預測後教師公布真實資料，並詢問學生與其預測的有何不同。 17.

(28) 階段二：請學生同時預測多組不同數量的資料集，學生預測後教師公布真實資料，並詢問學生與其預測的有何不同。階段三：請學生預測不同母體的資料分布情形，將重點放在圖形的形狀，要求學生描述形狀並解釋畫出該形狀的理由。. 三階段的教學設計強調分布的形狀，Bakker(2004)認為形狀的預測能幫助學生瞭解分布概念，乃因學生沒有資料值，就必須更全面的進行推理。. (二) 課程綱要 1. 九年一貫數學領域課程綱要由九年一貫數學領域課程綱要可發現中、小學課程中涵蓋的分布概念有不足之處，課程綱要中僅包含「中心」與「離度」兩個統計分布的概念。趙君培(2009)分析九年一貫課程綱要的統計分布概念編排情形發現，只有中心概念有較完整的被涵蓋；變異性的概念雖有將求取變異量數(如：全距、四分位距)納入課程中，但適用性與說明皆不明確；形狀與分布的概念更是隻字未提，當然，更缺乏將資料視為一個整體的概念出現。. 整體而言，九年一貫課程綱要僅提及將個別的資料數值做計算與比較，或是把資料集繪製成統計圖形，傾向於進行資料分析，並無明確指出分布的大概念(譚克平，2011)，屬於 Bakker 與 Gravemeijer (2004)由下而上的生手觀點，顯示課程並不利於學生發展整體性的分布概念。. 18.

(29) 2. 高級中學數學科課程綱要高中基礎數學Ⅱ(高二)的部分(附件 2-1)，在「數據分析」的主題下有包含了平均數、標準差、數據標準化、散佈圖、相關係數與最小平方法等內容，然而此部分與中、小學一樣僅停留在個別數值的計算與比較；同樣的，雖有提及「數據集中的趨勢」與「數據分散的趨勢」，仍未清楚說明如何使用統計數值，只說明了各種數值的計算方式。. 直到選修數學(高三，以數甲說明)的部分，在「機率統計」的主題之下(附件 2-2)，在說明隨機變數的期望值時，才提到要做「數據資料的整理」，製作變數的次數圖，其中有提到「變異數愈小，愈多的隨機變數的值落在期望值附近」與「標準差用來表示隨機變數的可能值偏離期望值的大小」，然而此部分主要僅說明了變異數與標準差之於期望值的關係，卻沒提到對於整體資料集的影響。在討論二項分布與常態分布的部分，也未見由分布特徵表示資料分布結構，僅有描繪分布圖形，以及求出期望值、變異數與標準差。. 由九年一貫至高級中學選修數學的課程綱要都顯示出數學課程中相當缺乏分布概念，僅僅強調個別數值的計算以及正確讀出圖中的數值，整體性觀點嚴重不足，如此可能造成學生正確詮釋資料與統計推理能力的發展遲滯。. 19.

(30) 第三節. 馬克士威速率分布概念的教學. 馬克士威速率分布(Maxwell Distribution)是氣體動力論中重要的統計規律之一，J. C. Maxwell 於 1859 年依據機率論與理想氣體分子模型，以統計方法推導出平衡態的氣體分子運動速率分布函數( N (v)dv  4N (. m 3 2 2 mv 2 2 kT ) ve dv )，即 2kT. 馬克士威速率分布。. 然而由於馬克士威速率分布牽涉到統計分布，屬於較為抽象的概念，又因氣體分子的微觀本質，難以透過視覺瞭解，可能造成學生產生學習困難，因此有許多教學研究嘗試突破此困境。宋立平(2010)主張運用類比教學將新、舊知識做連結，加深學生對於馬克示威速率分布的認識與理解，例如以考試成績分布類比至氣體運動速率分布，進一步延伸至連續物理量時引入使用積分的概念。. 馬克士威速率分布函數看起來相當複雜，課堂教學時教師多半不會進行推導，只能結合示意圖進行定性分析，說明氣體速率分布定律的部分特性，因此學生難以理解與掌握(劉杰，2009)。因此有一些研究採用數值計算軟體讓學生進行定量操作，並以圖形表徵幫助學生將抽象的分布概念透過視覺「具體化」，例如運用 Matlab 軟體進行數據分析，呈現視覺化界面，可幫助學生概念的理解(李小燕、馮卓宏、邱俊才，2010；宿剛、鄭敏章、叢令梅，2008；藍海江、潘曉明、丁紅、賴家勝，2009；蘇安，2009)，並透過實作歷程，提升學生將實際運用知識之能力以及學生之學習興趣(Li, Dong, Chui, & Shen, 2011)。彭芳麟(2005)提出將 Matlab 與伽爾頓板(Galton Board)實驗(圖 2-3-1)結合，透過模擬反映出漲落現象與統計規律，同時可利用小球位置與速度的隨機分布，說明氣體分子隨機運動之概念。. 20.

(31) 圖 2-3-1. 伽爾頓板實驗裝置. 第四節文獻探討對本研究之啟示分布為一個「整體」的大概念，包括了資料集之中的所有數值，透過分布得以將瑣碎的資料轉為有意義的統計量，並以分布圖表徵出整體資料集。因此要充分掌握資料分布的內涵，最重要的就是對資料具備整體性的瞭解，透過分布特徵的描述，對資料做出整體的詮釋，而非僅著眼於特定的單一數值，重要的分布特徵包括中心、離度、形狀與整體。. 資料處理是將蒐集到的每一筆原始資料透過圖表形式的視覺化表徵呈現，並詮釋出資料意涵的過程，目的在於瞭解或解決特定的問題。學生在探索以分布為基礎的科學概念時，若同時結合資料處理與統計分布的概念，透過資料的蒐集與整理，將原始資料轉為分布圖的形式表徵出來，進一步利用分布特徵對資料進行描述，並做出整體性的詮釋，將可幫助學生掌握資料的整體架構，對於欲學習的 21.

(32) 科學概念獲得全面性的瞭解。. 此外，在科學概念的教學上，知識的教學與實作活動不應偏廢，教師或教材應呈現出概念的前置組織因子，作為學生之先備知識，幫助學生後續新概念的學習，並且在呈現概念內容時，透過實作活動與所學知識作連結，最後再統整說明，強化學生的認知結構，達成有意義的學習。進一步，善用對比、分離、類化、融合等變異模式進行教學，使學生察覺知識的關鍵屬性，將部分由整體中識別出來，並把部分與整體聯繫起來，達到學習內容的理解。. 22.

(33) 第三章研究方法本研究旨在探討「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」(DistributionData Handling teaching model, DDH 教學模式，詳見本章第三節)對於學生學習以分布為基礎的科學概念之效益，本章依序說明本研究之研究設計、研究對象、課程研發、研究工具、研究過程以及資料處理方式。. 第一節研究設計為了瞭解學生經過以 DDH 教學模式的實驗課程後，其科學概念之學習成效是否優於一般直述的教學模式，本研究採用準實驗研究法(quasi-experimental design)中的不等組前－後測設計(nonequivalent-group pretest-posttest design)，安排實驗組學生接受 DDH 模式教學活動，控制組學生則接受直述模式的教學，兩組分別於教學前、後接受前測與後測的評量。此外，考量到不同教師的教學技巧可能對研究結果產生影響，因此兩組之教學者皆為研究者本人，藉以減少研究者偏誤(experimenter bias)影響研究結果的可能性，且研究者於教學前皆編寫兩組的詳細教案，盡可能控制兩組教學之科學概念內容完全相同，另將教學情形錄影，請其他觀察者檢視研究者是否有偏袒實驗組傾向，詳細處理見本章第六節。. 為探究第一章陳述之研究問題，本研究選擇「馬克士威速率分布」用以代表以分布為基礎的科學概念，選用此概念的原因除了符合以分布為基礎之外，馬克士威速率分布呈現出平衡態時氣體分子整體的運動情形，透過速率分布函數便能獲得特定條件下的相關統計速率，進一步得知氣體的其他性質，因此馬克士威速率分布可謂整個氣體動力論的核心所在。然而在普通高中的課程中並未包含馬克士威速率分布概念，但做為其先備知識的基礎氣體動力論概念在高三上物理課程中便已出現，因此，配合研究對象選取高三下的學生，馬克士威速率分布概念可以避免學生已經過教學的干擾，同時也能確定學生具備此概念之先備知識。 23.

(34) 兩組學生於教學活動實施前、後進行「統計分布概念測驗」與「馬克士威速率分布概念測驗」的前測與後測，探討兩組學生教學前、後於統計分布概念與馬克士威速率分布概念的理解情形差異。此外，利用問卷調查探討學生對於 DDH 教學模式的接受程度，包括對教學模式的看法與喜好程度，另輔以晤談瞭解學生想法。本研究使用之教案、教材、科學概念測驗、學生情意問卷以及訪談問題皆為研究者自行設計，分布概念測驗部分試題參考趙君培(2009)開發之研究工具修改而成，詳見本章第三節。. 24.

(35) 第二節研究對象「馬克士威速率分布」在過去的高中九五課綱中是被安排在高二下學期進行教學，因此理論上本實驗課程亦應安排於高二下學期進行教學，但有鑒於在現行九九課綱中，氣體動力論是安排於高三上學期的選修物理課程施教，而氣體動力論是馬克士威速率分布概念之先備知識，因此本實驗課程必須安排在氣體動力論教授完畢後才能施教。另一方面，以目前臺灣數學科的課程中，無論是小學乃至於高中階段，均未有「分布」概念的教學，但到高三下會施教完大多數統計數值的計算方式，因此較高三上的學生具更多的數學背景知識，故本研究決定將實驗課程安排於高中三年級下學期施教，並探討該課程的教學效益。. 本研究的目的欲以統計分布的觀點來介紹馬克士威速率分布概念，進而增加學生對速率分布的瞭解。有鑒於本研究課程為實驗課程，且馬克士威速率分布概念內容已自九九課綱中刪除，因此有需要選擇願意配合研究進行的學校參與，故本研究採立意取樣做為研究對象的選擇依據，選取台北市一所願意合作的公立學校進行實驗教學。. 該學校學生歷年國中基測的 PR 值約為 98，為許多學生心目中第一志願的學校。此外，該校有設立數理資優班，學生於入學前先經過學校資優班考試之篩選，取全校前 90 名學生，分配至三個數理資優班。資優班考試內容分為兩部分，第一部分為數學與科學概念紙筆測驗，第二部份為科學實驗操作。本研究考量到馬克士威速率分布的抽象性，且尚需幫學生補充統計分布的概念，因此決定採用該學校的數理資優班學生為研究對象，由三個班級中選取願意配合的兩個班級，再由研究者隨機選取一班為實驗組，共 23 人，實施 DDH 教學模式；另一班則編為控制組，共 24 人，實施直述教學模式。. 25.

(36) 兩個班級原授課的物理教師為同一人，平常上課均使用講述法配合課本內容進行教學，在本研究前並未使用過電腦教學媒體上課，兩班學生的特質如表 3-2-1 所示：表 3-2-1 控制組. 實驗組. 24 人. 23 人. 班級人數父/母職業. 兩組學生特質. 父親. 母親. 父親. 母親. 公：2 人. 公：5 人. 公：5 人. 軍：1 人. 教：2 人工：4 人. 教：4 人工：1 人. 教：4 人工：2 人. 公：4 人教：3 人. 商：9 人服務：6 人其他：1 人. 商：7 人服務：4 人其他：3 人. 商：5 人服務：5 人其他：2 人. 工：1 人商：2 人服務：3 人其他：9 人. 喜好學科. 1. 數學 2. 生物 3. 物理. 1. 物理 2. 數學 3. 生物. 數學類. 喜歡：15 人. 喜歡：12 人. 課外讀物喜好程度. 普通：9 人不喜歡：0 人. 普通：9 人不喜歡：2 人. 科學類課外讀物喜好程度. 喜歡：4 人普通：15 人不喜歡：5 人. 喜歡：6 人普通：12 人不喜歡：5 人. 有補習物理科人數. 有：14 人無：10 人. 有：11 人無：12 人. 有補習化學科人數. 有：9 人無：15 人. 有：10 人無：13 人. 有補習. 有：20 人. 有：18 人. 數學科人數. 無：4 人. 無：5 人. 26.

(37) 第三節實驗組與控制組課程研發一、課程設計參考依據本研究提出以統計分布為基礎的資料處理教學模式(DDH 模式)，該教學模式參考自英國國家課程(The English National Curriculum)的數學學科(Qualiﬁcations and Curriculum Authority [QCA], 2007a, 2007b)，其中，統計領域課程分為四個部分，包含資料處理循環(data handling cycle)、資料呈現與分析(presentation and analysis of data) 、集中趨勢與離度的測量 (measures of central tendency and spread)、機率(probability)。資料處理循環涵蓋四個過程－「確定問題」、「蒐集資料」、「呈現資料」與「理解結果」。本研究針對以分布為基礎的科學概念，提出以「統計分布」做為核心主軸，將分布概念與特徵結合資料處理循環，融合而成的「以統計分布為基礎的資料處理教學模式」(Distribution- Data Handling teaching model , DDH 模式) (圖 3-3-1)，以期有效幫助學生掌握資料的整體架構，對於欲學習的科學概念獲得全面性的瞭解。. 確定問題. 詮釋評價. 資料處理中心. 理解結果. 統計分布. 形狀. 科學概念離度. 蒐集資料整體. 呈現資料. 圖 3-3-1. 以分布為基礎的資料處理教學模式(DDH 模式) 27.

(38) DDH 模式是結合資料處理與統計分布概念的教學方式，學生在探索科學概念時，透過資料處理，蒐集與整理原始資料，並轉為分布圖的形式表徵出來，進一步利用分布的重要特徵(中心、離度、形狀、整體)對資料進行描述，自行建構出對科學概念的整體性詮釋。DDH 模式分為三個階段進行，依序為「前置階段」、「表徵階段」與「詮釋階段」，說明如下： (一) 前置階段本階段的重點為「統計分布」概念的教學或回顧，目的在使學生瞭解重要的分布特徵(中心、離度、形狀、整體)，以及運用分布特徵對資料進行描述，做出詮釋。教學內容透過「資料處理」的形式來呈現，由教師提供問題情境，學生確定問題後，蒐集各種資料，經整理轉為分布圖的形式呈現，教師在此主要扮演引導者的角色，協助學生「確定問題」、「蒐集資料」與「呈現資料」。接續教師請學生觀察分布圖，引入各個分布特徵的概念，透過這些特徵共同描述資料，「理解結果」，針對初始的問題情境對資料做出整體性的詮釋，得到資料背後所蘊含的資訊。 (二) 表徵階段和以往教學方式不同之處在於 DDH 模式並不直接說明科學概念的意涵，而是如同科學家一般經歷一個探究的過程。本階段進行「科學概念的表徵」，教師以問題引導學生對概念的探索，思考資料分布的情形，並視概念內容讓學生自行蒐集資料或由教師提供原始資料，將蒐集而來的原始資料整理為分布圖的表徵形式。經由表徵資料的過程，可強化學生資料集的整體概念。 (三) 詮釋階段本階段學生須透過分布的重要特徵－中心、離度、形狀、整體，對資料進行描述或做資料集之間的比較，以回應問題，詮釋出分布中蘊涵的科學概念。教師在本階段仍為引導者角色，科學概念是由學生自行建構產生，最後引導學生進行 28.

(39) 討論與統整。. DDH 模式和一般直接闡述科學概念意涵的教學模式(直述模式)有許多相異之處，最主要的差異在於 DDH 模式明確的將數學與科學課程內容做統整，並且分布本身就是一個「大概念」，統整許多數學統計領域的概念；直述模式則單純針對科學概念做說明。另一差異在於，DDH 模式是以學生為課程主體，教師擔任引導者的角色，指引學生進行探究活動，透過資料處理的操作，配合分布特徵的使用，循序漸進的建構出概念知識；而直述模式則為教師本位，概念內容由教師講述說明。茲整理如表 3-3-1 所示：. 表 3-3-1. 直述模式與 DDH 模式比較. 直述模式. DDH 模式. 課程內容. 單一學科. 學科統整. 課程中心. 教師本位. 學生本位. 教師角色. 教學者. 引導者. 概念學習. 接受學習. 探究學習. 學習方式. 教師講述概念內容. 學生資料處理操作. 二、課程設計理念與架構本研究選擇「馬克士威速率分布概念」代表以分布為基礎的科學概念，探究本研究之研究問題，兩組學生學習的馬克士威速率分布「概念內容」完全相同，差別僅在於教學模式，控制組以直述模式進行教學設計，而實驗組則為 DDH 模式，茲將兩組教學時間與概念內容整理至表 3-3-2，詳細課程內容說明如下。. 29.

(40) 表 3-3-2 教學時間. 控制組與實驗組教學時間與概念比較. 控制組(直述模式). 實驗組(DDH 模式). 50 分鐘. 統計分布. 50 分鐘. 氣體動力論概念複習. 氣體動力論概念複習. 50 分鐘. 馬克士威速率分布. 馬克士威速率分布. 50 分鐘. 溫度、分子量對速率分布的影響. 溫度、分子量對速率分布的影響. 共 150 分鐘. 共 200 分鐘. (一) 控制組控制組全程以講述法配合電子投影片進行教學，學生使用研究者自編講義 (附件 3-1)上課，課程內容分為三個部分： 1. 氣體動力論概念複習包含氣體巨、微觀狀態的描述；理想氣體的微觀假設、統計假設；理想氣體的微觀模型；方均根速率；平均動能；氣體溫度、壓力的微觀意義以及相關公式推導。 2. 馬克士威速率分布說明統計方法在研究微觀分子運動的角色，帶出大量分子存在整體上的統計規律性，介紹馬克士威速率分布函數與分布圖。採直述模式直接說明馬克士威速率分布圖的科學意涵，介紹最可能速率 v p、平均速率 v、方均根速率 v rms 等統計速率，以及統計速率之間的比例關係，半高全寬的概念。 3. 溫度、分子量對速率分布的影響同樣採直述模式呈現不同溫度、分子量速率分布曲線，說明其科學意涵，直接由分布圖帶出溫度、分子量對速率分布的影響。 30.

(41) (二) 實驗組實驗組依 DDH 模式進行教學設計，教師說明的部分以電子投影片配合講義上課，學生探究活動部分的講義，因考慮學生學習的方便性，與工作單相結合(附件 3-2)。課程內容分為四個部分： 1. 統計分布先透過討論使學生瞭解分布的意義，接著進行探究活動，以資料處理的方式建構出分布圖，教師接續介紹分布的概念與重要特徵，並請學生以分布特徵來描述並詮釋整體資料集。教師除了以電子投影片說明分布的概念與特徵外，其他時間均扮演引導的角色，此外，由於考量教學過程的時間限制，原始資料直接由教師提供，因此學生並未經蒐集資料的過程，統計分布課程所使用之講義與學習單參見附件 3-3 與附件 3-4。 2. 氣體動力論概念複習(與控制組完全相同) 3. 馬克士威速率分布此部分教授的概念與控制組完全相同，差異在於探究活動中，學生是以 Microsoft Excel 進行資料處理，透過教師編輯的速率模擬產生檔案(附件 3-5)，獲取氣體於各運動速率區間的分子數目原始資料，並以 Microsoft Excel 內建功能，將表格轉換為圖形表徵，自行建構出氣體分子速率分布圖，求出半高全寬、相關統計速率及其之間的比例關係，如圖 3-3-2 所示。除此之外，學生亦使用公式求出相關統計量，並將其與 Microsoft Excel 資料處理的結果進行比對，思考兩者是否存在差異，以及造成差異的可能原因，進一步帶入分子出現「機率」的概念。最後結合第 1 部分所學的統計分布概念，對產生的速率分布做出特徵的描述與意涵的詮釋。. 31.

(42) 圖 3-3-2 Microsoft Excel 資料處理. 4. 溫度、分子量對速率分布的影響同第 3 部分，學生亦透過 Microsoft Excel 進行資料處理，產生不同條件下的速率分布及相關統計量，並比對與公式求得之結果。同時利用分布特徵比較不同條件下的速率分布，詮釋出溫度與分子量兩變因對速率分布的影響，另外，學生亦觀察到統計速率間的比例關係不會因條件改變而有所變動。最後由教師引導做統整。此部分學習的概念亦與控制組相同。. 32.

(43) 第四節研究工具本研究主要希望能從統計分布的概念入手，藉以幫助高中生更多瞭解馬克士威速率分布的相關概念，因此本研究的研究工具中，必須包括評量學生對於統計分布與馬克士威速率分布兩概念理解情形的題目，藉以瞭解學生在實驗教學之後，是否有證據支持統計分布的概念有利於學習馬克士威速率分布的概念。本節說明本研究使用之研究工具，包含統計分布概念試題、馬克士威速率分布概念試題、情意問卷與訪談問題。統計分布概念試題與馬克士威速率分布概念試題均各自包含有前測及後測試題，考慮學生作答的方便性，將兩測驗合為一份題本(表 3-4-1)，兩題本施測時間皆為 50 分鐘。. 表 3-4-1 題本. 試題題本架構試題內容. 施測時間. 前測試題題本. 1. 統計分布概念測驗前測試題 2. 馬克士威速率分布概念測驗前測試題. 50 分鐘. 後測試題. 1. 統計分布概念測驗後測試題. 50 分鐘. 題本. 2. 馬克士威速率分布概念測驗後測試題. 此外，為方便後續閱讀，茲說明題目編碼原則：第一碼：A 代表前測，B 代表後測。第二碼：D 代表統計分布概念試題(Distribution)， M 代表馬克士威速率分布概念試題(Maxwell Distribution)。第三碼：試題題號。第四碼：子題題號。試舉一例以資說明，代號「AD1a」的編碼代表前測，統計分布概念試題，第 1 題的第 1 子題。. 33.

(44) 一、統計分布概念測驗本研究工具測驗學生對於統計分布概念的理解情形，修改自趙君培(2009)發展之「分布概念試題」。依照統計分布的主要特徵，即中心、離度、形狀與整體這四個概念為命題的來源。此外，研究方法上可能會有測驗效應(testing effect) 之潛在影響，因此本研究設計使統計分布概念測驗的前、後測題目內容並不相同。前、後測的題目皆包括選擇題與非選擇題兩種形式，分別於教學前、教學後一個星期之內施測，評分標準參見附件 3-6-1、附件 3-6-2。. 為了要瞭解前、後測工具的品質，因此本研究進行相關的試題分析(item analysis)，以及題本的信、效度等分析，以下將依序報導題本設計的理念、專家效度與內容效度。但在報導構念效度之前，本研究將先報導試題分析，其原因在於本研究為初步嘗試以統計分布概念引介馬克士威速率分布的概念學習，應教導學生何種統計概念尚需不斷摸索，因此所開發的題目，應先將鑑別度不佳的題目予以删除，接著再進行構念效度方面的分析會較為合宜。最後報導統計分布概念測驗工具的評分者信度以及題本的內部一致性等資料。. (一) 題本設計的理念趙君培(2009)所發展之「分布概念試題」，其理念是將分布的中心、離度及形狀視為統計分布概念的主要特徵，並根據這三個特徵各自發展評量的題目，稱為「層次一」的題目；接續又發展一些需要運用兩個分布的特徵才能解答的題目，並稱之為「層次二」的題目；同理，還發展出一些需要運用三個分布特徵才能解答的題目，稱之為「層次三」的題目。本研究欲參考趙君培的題本設計理念，但再加入整體作為第四個特徵，亦即本研究以「中心」、「離度」、「形狀」與「整體」這四個特徵作為統計分布概念試題之命題來源，從而構成四個層次的題目，「層次一」的題目使用 1 個分布特徵即可解出，「層次二」使用 2 個分布特徵，「層次 34.

(45) 三」使用 3 個分布特徵，而「層次四」則需要使用 4 個分布特徵。. 另外，由於統計分布概念前測試題的功能主要在於評量學生對中心、離度、形狀及整體等觀念的先備知識，而且牽涉到四個層次，因此相關的題目會比較多。至於統計分布概念後測試題的功能，主要在於瞭解學生經實驗課程後對於統計分布概念的理解，但本研究實驗課程的重點在於馬克士威速率分布概念的習得，並且考量測驗時間有限，因此後測中統計分布的題目宜占相對少數，而馬克士威速率分布概念的題目則宜占多數。. 至於將統計分布概念試題依層次的方式命題是否為一個值得採用的架構，本研究將在研究工具效化及資料分析之後進行檢討，並在第五章進行相關討論。. (二) 效度 1. 專家效度本研究工具請具有數學統計背景之指導教授以及一位國立大學化學系教授進行審查，針對試題的合適性以及語意不清的部分做修改，以建立專家效度，大幅修改之試題與其修改理由參見表 3-4-2-1、表 3-4-2-2、表 3-4-2-3。. 35.

(46) 表 3-4-2-1 第 AD1a、AD1b 題修改過程原題目. 已知某班級學生之蛀牙數的平均數為 2.4 顆，某學期小明轉入此班級，保健室的護士小姐知道他的蛀牙數以後便說「班上蛀牙數的平均數降低了」。如果護士小姐此言為真，小明的蛀牙數可能為多少顆？(請寫出所有可能的答案) 某公司的員工薪資所得分布如下表所示，薪資(x 元). 人數(人). 20000  x＜30000. 5. 30000  x＜40000. 10. 40000  x＜50000. 7. 修改後. 50000  x＜60000. 6. 60000  x＜70000. 0. 70000  x＜80000. 0. 題目. 80000  x＜90000. 1. 90000  x＜100000. 1. 依據上表，你認為該公司薪資所得的平均數、眾數或中位數何者較適合用以代表該公司的薪資所得？你的理由為何？ 1 __________ (平均數/眾數/中位數) 答： ○ 2 理由： ○. AD1a、AD1b 大幅修改的原因為本題測量向度為「中心」特徵，原題目卻僅包含平均數計算，然而中心主要是在於判斷資料集的代表數值，因此將此題進行修改。. 36.

(47) 表 3-4-2-2 第 AD3c-1、AD3c-2 題修改過程原題目. 第一組 1, 2, 2, 2, 3 與第二組 1, 1, 2, 2, 3，哪一組的分散程度較大？ □第一組 □第二組 □兩組相同比較下列 4 組資料分散程度的大小，並說明你的想法。 (A). (B). (C). (D). 修改後題目. 1 大小關係： ○ 答： 2 說明： ○. AD3c-1、AD3c-2 測驗學生的離度特徵概念，而 AD3a、AD3b 皆為類似題型之試題，因此決定將此題做修改，轉為圖像形式的試題，判斷資料集離度大小。. 37.

(48) 表 3-4-2-3 第 AD4 題修改過程桌球訓練班的學生 100 人，第一天參加桌球發球測驗，每人發球 6 個，發球的進球數次數長條圖如下所示：. 原題目. 經桌球教練一週教導與相互練習後再次測驗，每人發球 6 個，重新測驗完畢後，教練看著成績登記表說「從全班來看，整體有進步。」，如果教練此言為真，請問全班重新測驗的發球的進球數次數長條圖最可能是下列哪一個？某班級學生第一學期時的身高分布圖如下所示，第二學期的健康檢查過後，老師看著身高登記表說「從全班來看，最高與最矮的身高差距不變，但整體有長高。」，如果老師此言為真，請你試著在下圖上畫出第二學期大略的學生身高分布。修改後題目. 第一學期. AD4 是測驗分布的整體和形狀特徵概念，原試題是希望學生判斷出「整體」進步的長條圖，難度偏低，因而將該題改為由學生自行畫出「整體」進步的分布圖，並加入離度不變的條件，編為第三層次之試題。. 38.

統計分布對於科學概念學習影響之探討 －以馬克士威速率分布為例

統計分布對於科學概念學習影響之探討－以馬克士威速率分布為例