根據資料分析所得的結果，本章主要分成三節加以說明。第一節為三位個 案之研究結果；第二節為各組成之層次分析對照圖與跨個案之分析；第三節為 晤談結果與理論架構之對照，其中第一、二節呼應待答問題一，第三節呼應待 答問題二。
第一節 三位個案之研究結果
本研究之個案為研究者任教班級中的三位四年級兒童，分別是小琪、小姍 以及小立。研究個案目前仍就讀於小學，在訪談前與訪談時皆未正式接受過關 於機率的教學與課程。底下依照「事件發生的必然性及可能性」、「樣本空間」、
「事件機率」、「機率比較」、「經驗機率」、「條件機率」及「獨立事件」等組成，
將三位個案的晤談結果歸納整理如下：
壹、 事件發生的必然性及可能性
一、 兒童會使用確定的用語，例如：「不可能」、「一定」、「可能」來判斷事 件發生的必然性及可能性：對於必然不會發生的事件，兒童會準確的 以「不可能」之用語來表達；對於必定會發生的事件則會以「一定」
之用語做為回答；至於無法肯定該事件是否會發生時，則常以「可能」
或「不一定」等用語回答問題。因此，兒童會以常理或是日常生活的 經驗為依據，對事件發生的可能性加以判斷。
0023T：桌上有一個瓷花瓶，妳一不小心碰到它，結果它從桌上掉下去，妳覺得這個瓷花 瓶可能會（1）可能會破（2）不可能會破（3）一定會破？
0024S：（3）一定會破。
0025T：為什麼呢？
0026S：因為一般玻璃碰到地上都會破掉。（921218 小琪）
0049T：投一粒骰子，妳覺得可能會出現「比 6 大」的數嗎？
0050S：應該不會出現比 6 大……啊，一定不可能啦！
0051T：為什麼呢？
0052S：因為骰子只有六個面，而且就只有 1 到 6 的數，所以不會比 6 大。（921224 小姍）
0025T：說說看「不小心將瓷碗從桌上掉到水泥地上，碗會破」這種情形可能發生嗎？
0026S：可能。
0027T：這種情形發生的可能性大，還是不發生的可能性大呢？為什麼？
0028S：發生的可能性大，因為水泥地是硬的，瓷碗掉在地上會破！（930108 小立）
二、 兒童使用「中間值策略」判斷降雨機率可能性之大小：兒童對於降雨 機率的問題已能確切掌握，並且了解降雨機率超過百分之五十時，下 雨的機會就會略大；若降雨機率低於百分之五十，下雨的機會就會略 小。倘若明天降雨的機會是 70%，即認為還有 30%不會下雨，相形比 較之下認為下雨的機會較大，但還是有可能不下雨，只是機會比較小。
0046T：氣象報告說「明天降雨的機會是 70%」，妳覺得明天會下雨嗎？（1）可能會下雨
（2）不可能會下雨（3）一定會下雨。
0047S：（1）可能會下雨 0048T：為什麼呢？
0049S：題目說降雨的機會是 70%，那就是說 30%不會下雨。（921218 小琪）
0046S：降雨的機率是 70%，100%就會有 70%，超過 50%，機率就會比較大，所以可能會 下雨。
0047T：那它會不會不下雨呢?
0048S：也有可能不會下雨，差不多 30%不會下雨。（921224 小姍）
0050S：降雨的機率是 70%，快接近 100 了。
0051T：那它會不會不下雨呢?
0052S：也有可能，因為氣象報告有時候不會準。
0053T：那你覺得不會下雨的機率有多大？
0054S：它差一百還有三十，應該是百分之三十。（930108 小立）
貳、 樣本空間
一、 兒童無法列出二階以上隨機實驗之完整的樣本空間：此處所謂的二階 隨機實驗，例如：「連續投擲一枚硬幣兩次，所有可能出現的樣本空間 為何？」即為二階隨機實驗。兒童在展示二階以上隨機實驗所有樣本 空間時，常採用無組織或狹窄的方式，使得許多答案重複出現或遺漏 某些可能的樣本點，導致無法列出完整的結果。但在某些題型又能完 整列出所有可能的樣本空間，可能是因系統性的策略並不需要。
0124T：有甲、乙兩個轉盤，旋轉這兩個轉盤，妳可能射中什麼數字呢？那是所有的嗎？
（圖請詳見附錄一：「樣本空間」題號 8）
……
0129S：如果站得比較斜的話（手往左邊移動），就會射到 1，若站的比較這邊（手往左邊
移動），就會有可能射中 3，第一次就可能是 1 和 3。若射到 2 的話就是站得比較斜
（手比著靠右邊的方向），另一個就比較可能射中 4。（921222 小琪）
0184T：有甲、乙、丙三個轉盤，旋轉這三個轉盤，妳可能射中什麼數字呢？（圖請詳見 附錄一：「樣本空間」題號 18）
0185S：甲 1 乙 3 丙 6、甲 2 乙 4 丙 6、甲 1 乙 4 丙 6、甲 2 乙 3 丙 5。（921222 小琪）
0117T：有甲、乙兩個轉盤，旋轉這兩個轉盤，你可能射中什麼數字呢？（圖請詳見附錄 一：「樣本空間」題號 8）
0118S：甲是 1 乙是 4、或者是甲是 2 乙是 3、然後是甲是 1 乙是 3。（930112 小立）
0181T：有甲、乙、丙三個轉盤，旋轉這三個轉盤，你可能射中什麼數字呢？（圖請詳見 附錄一：「樣本空間」題號 18）
0182S：甲是 1 乙是 3 丙是 5，還有就是甲是 2 乙是 4 丙是 6，或者是甲是 1 乙是 4 丙是 6，
過來是丙是 6 乙是 3 甲是 2、丙是 5 乙是 4 甲是 1、甲是 2 乙是 3 丙是 6、甲是 2 乙是 4 丙是 5。
0183T：可是你的甲 2 乙 3 丙 6 出現兩次啊？
0184S：是喔！（一臉狐疑的樣子……）（930113 小立）
二、 兒童不會因為樣本空間中之元素少而容易理解：研究訪談發現在「擲 骰子」、「玩撲克牌」、「塗顏色」等問題上，兒童之表現優於擲銅板問 題。兒童可以畫類似於「樹狀圖」的方式或使用土法煉鋼的方式列出 所有可能的結果，但卻無法列出完整的二階段擲銅板問題。經由研究 者長期觀察發現到：兒童總是認為一正一反就是一種可能性，根本沒 有考慮銅板順序影響樣本空間個數的問題，因而導致無法列出完整的 答案。
0108T：妳把一枚十元硬幣和一枚五元硬幣同時往上丟，落下來的情形可能是什麼？
0109S：可能兩個會是人頭或是兩個都是數字，機率比較少的應該是一個是人頭一個是數 字。
0110T：為什麼呢？
0111S：因為我每次丟的時候，它們兩個都是一樣的。（921218 小琪）
0105T：妳把一枚十元硬幣和一枚五元硬幣同時往上丟，落下來的情形可能是什麼？
0106S：不一定，有可能是兩個是人頭或是兩個都是數字，也有可能一面是人頭一面是數 字。（921224 小姍）
0111T：你現在手上有一枚十元硬幣。猜猜看，如果你將它往上丟，落下來算一次，那麼 你連續丟兩次的結果可能是什麼？
0112S：第一次可能出現人頭、第二次能出現十元，不然就是兩次都是人頭、或者兩次都
黑桃 1 黑桃 2 黑桃 3
方塊 1 方塊 2 是十元。（930112 小立）
0156T：開學了，老師要幫甲、乙、丙、丁四個人安排座位，兩個人坐在一起，妳覺得可 能會有幾種坐法？
0157S：有可能第一個是丁和丙坐，第二個是丁和乙，第三個是丁和甲，過來是丙和乙，
過來是丙和甲，過來是乙和甲，就這樣子！（請見附錄二圖 1）（921222 小琪）
0145T：妳的手裡有 1、2 兩張紅方塊撲克牌，老師手裡有 1、2、3 三張黑桃撲克牌，請 問如果我們同時出一張撲克牌，妳猜得出所有可能出現的情形嗎？
0146S：可以出現黑桃 1 方塊 1，也有可能黑桃 1 方塊 2，也有可能是黑桃 2 方塊 1，黑桃 2 方塊 2，黑桃 3 方塊 2，然後是黑桃 3 方塊 1。
0147T：妳為什麼要這樣配呢？
0148S：老師的有三張，我有兩張（小珊在紙上畫出圖解，如下所示）（921224 小姍）
0147T：開學了，老師要幫甲、乙、丙、丁四個人安排座位，兩個人坐在一起，你覺得可 能會有幾種坐法？
0148S：甲丁，再來是乙丁，再來是甲丙、乙丙，還有…還有甲乙或者是丙丁。（930112 小立）
0168T：妳的手裡有 1、2、3、4 四張紅方塊撲克牌，老師手裡也有 1、2、3、4 四張黑桃 撲克牌，請問如果我們同時出一張撲克牌，那會有幾種情形呢？
0169S：有可能是黑桃 4 方塊 4、黑桃 4 方塊 3、黑桃 4 方塊 2、黑桃 4 方塊 1、黑桃 3 方 塊 4、黑桃 3 方塊 3、黑桃 3 方塊 2、黑桃 3 方塊 1、黑桃 2 方塊 4、黑桃 2 方塊 3、
黑桃 2 方塊 2、黑桃 2 方塊 1、黑桃 1 方塊 4、黑桃 1 方塊 3、黑桃 1 方塊 2、黑 桃 1 方塊 1。
0170T：妳知道妳全部說了幾種嗎？
0171S：16 種，因為 4×4＝16 啊！
0172T：為什麼妳要用 4×4 這個算式呢？
0173S：因為要加起來，乘的比加的快……。（計算過程寫於紙上，因為要連起來的話，
要有 4 個 1、4 個 2、4 個 3、4 個 4，並指著說一個可以配四個，因為會有四個，
所以 4×4＝16。）（請見附錄二圖 2）（921222 小琪）
0155T：你的手裡有 1、2 兩張紅方塊撲克牌，老師手裡有 1、2、3 三張黑桃撲克牌，請 問如果我們同時出一張撲克牌，你猜得出所有可能出現的情形嗎？
0156S：黑桃 1 方塊 1，黑桃 2 方塊 1，再來是黑桃 2 方塊 2，黑桃 3 方塊 2，嗯…還有方 塊 1 黑桃 2，嗯…嗯…還有方塊 1 黑桃 3。
……
0159T：你為什麼要這樣配呢？
0160S：紅方塊可以和老師的黑桃 1、2、3 配，共有六種。（930112 小立）
0174T：猜猜看，如果妳同時投擲兩粒骰子，總共會出現幾種情形呢？
0175S：36 種。
0176T：為什麼妳這麼快就可以知道是 36 種呢？
0177S：因為一種要有 6 個，所以就是 6×6 等於 36。（請見請見附錄二圖 3 及圖 4）
0178T：那麼請妳一個一個說出所有可能的情形好嗎？
0179S：66、65、64、63、62、61、56、55、54、53、52、51、46、45、44、43、42、41、
36、35、34、33、32、31、26、25、24、23、22、21、16、15、14、13、12、11。
（921222 小琪）
三、 兒童在解決樣本空間的問題經常採用三種策略：
(一) 「樹狀圖策略」：兒童使用形如樹枝狀層層向外擴充之解題策略，用 以解決樣本空間的問題，如附錄二圖 2、圖 3 所示。
(二) 「里程計策略」：先固定前項的數字，再變動後項的數字，等到後項 所有可能的數字皆出現之後，再以相同的方法排出其他不同的結 果，如附錄二圖 1、圖 5 所示。
(三) 「最大遷移策略」：先固定中間項（如 g），然後再將前後兩項（如 r，
b）位置互換，便可以產生兩種不同的排列情形：rgb、bgr，如附錄 二圖 6 所示。
在回答二階段、三階段事件的問題，兒童使用了「里程計」和「最大 遷移」的方法，列出了三種顏色的交換。同樣顏色在中間兩次，指出 2 個紅，2 個綠，然後 2 個藍在中間，先做一次，然後再相反，並且採 用「分配」的觀念，一個一個去配對，直到所有的情形出現為止，並 利用「乘法原理」（如附錄三）快速回答所有情形的個數。
0115T：有甲、乙兩個轉盤，旋轉這兩個轉盤，妳可能射中什麼數字呢？（圖請詳見附錄 一：「樣本空間」題號 8）
0116S：我覺得會打到（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）。（921224 小姍）
0133T：假如妳的牆壁被區分成 2 個部分。使用紅色、藍色、黃色或黑色的蠟筆塗抹每一 個部分一種不同的顏色，展示給我妳會有多少種不同塗牆壁的方法？
0134S：紅藍、紅黃、紅黑、藍紅、藍黃、藍黑、黃紅、黃藍、黃黑、黑紅、黑藍、黑黃。
……
0137T：為什麼？
0138S：紅色可以跟藍色……一個一個去對，藍色、黃色或黑色也可以照紅色一樣，一個
0138S：紅色可以跟藍色……一個一個去對，藍色、黃色或黑色也可以照紅色一樣，一個