國小四年級學童解機率問題之個案研究

國立台中師範學院數學教育學系理學碩士論文

指導教授：許天維 博士

胡豐榮 博士

國小四年級學童解機率問題之個案研究

國小四年級學童解機率問題之個案研究

國小四年級學童解機率問題之個案研究

國小四年級學童解機率問題之個案研究

研究生：詹淑雯 撰

中華民國九十四年六月

國小四年級學童解機率問題之個案研究

中文摘要

本研究旨在探討國小四年級學童在解機率問題之表現情形。 本研究對象為苗栗縣三位國小四年級兒童。以自編的「兒童機率概念」訪 談問卷為研究工具，並採用「半結構式晤談法」進行訪談，用以探討三位未正 式接受機率課程與教學之國小四年級兒童的機率概念，並進一步探究臺灣國小 四年級學童在解機率問題時，與 Jones et al.研究結果之差異情形。 經長時間的觀察與晤談後，茲將研究結果摘述如下： 一、 能使用不可能、一定、可能等用語判斷事件發生的必然性及可能性。 二、 使用樹狀圖策略、里程計策略或最大遷移策略解決樣本空間的問題。 三、 能使用定量的方式預測最可能、最不可能的事件，並以面積策略判 斷轉盤上各個顏色事件機率之大小，但無法精確量化機率值。 四、 已能分辨公平和不公平的機率事件，並使用更多策略、百分數策略、 分數策略、搬動策略或合併與搬動策略進行機率比較。但在動作技 能為情境之機率比較問題上，則以經驗法則做為機率比較之策略。 五、 常以自己的經驗或直覺來判斷經驗機率，且未具有大數法則的概 念。在理解經驗機率時，常使用整除策略、均分策略或比例策略分 配n次抽取後，各樣本點可能出現的次數。 六、 在條件機率方面，兒童會使用相對變大原則、消失不變原則或分數 原則判斷機率值之改變，並採用分數策略、除法策略或二分法策略 決定機率值。 七、 兒童根據生活經驗判斷兩個情境間之關係，並採用等機率策略或代 表性策略預測下一次投擲可能出現的結果。 八、 國內外學童在樣本空間、事件機率、機率比較及條件機率這四個組 成的表現，是相互依存、互相支持的。另外，國內外學童在樣本空 間的思考層次皆落後於事件機率和機率比較。 九、 在樣本空間、事件機率、機率比較及條件機率這四個組成，國內兒

童以樣本空間組成的表現最為落後，但 Jones et al.的研究結果卻顯 示，國外兒童在條件機率組成的表現較為落後。

最後根據本研究結果與發現，進一步提供在機率課程編排、機率教學以及 對未來研究方向的建議。

A Case Study of Solving Probability Problems for Grade

Four Elementary School Students

Abstract

The purpose of this study was to investigate the situation of solving probability problems for grade four elementary school students.

The subjects of this study were three grade four elementary school students who had never learned probability curriculum in Miaoli County. The tool of this study was developed by the researcher, and the approach of semi-structured interview was used. This study inquired three grade four students’ probability concepts. Further, we investigate the difference of results between our study with the Jones, Thornton, Langrall & Tarr’ study.

By the observation and interview for a long time, the results are as follows: 1. They can use the words “impossible”, “certain” or “possible” to judge

whether the event will certainly happen or possibly happen.

2. They can adopt the tree diagram strategy, the odometer strategy, or the maximal shift strategy to solve problems of sample space.

3. They can predict most or least likely event on the basis of quantitative judgments, and judge the probability of every color on a spinner according to the area strategy. In addition, they can not express the probability

accurately.

4. They can distinguish “fair” and “unfair” events, and make probability comparisons by the more strategy, the percent strategy, the fractional strategy, the move strategy or the merge-and-move strategy. Besides, they use the law of experience to make probability comparisons in the skill situation.

5. Students often judge the experimental probability of an event by their own experience or intuition, but they do not have the concept of the law of large number. When comprehending the experimental probability, they often use the division strategy, the divide-equally strategy, or the proportion strategy to distribute possible times of every sample point by sampling of n times.

6. In the conditional probability, children may use the law of

opposite-become-big, the law of disappear-constantly, or the law of fraction to judge the change of the probability value. Further, they adopt fraction strategy, division strategy, or half strategy to decide the probability value. 7. Children judge the connections between two situations according to the life

experiences, and adopt the equal-probability strategy or the representative strategy to predict the next outcome.

8. Internal and foreign children’s performance in the constructs of sample space, probability of an event, probability comparisons, and conditional probability provide evidence that the four constructs are mutually

supportive. In addition, their thinking levels of sample space all lag behind their thinking on the probability of an event and probability comparisons. 9. In the four constructs of sample space, probability of an event, probability

comparisons, and conditional probability, internal students perform badly in sample space construct, but the results of Jones et al. show that foreign students perform badly in conditional probability construct.

At last, according to the results and findings of this study, some

recommendations can be provided for arrangement of the probability curriculum, probability instruction and research direction in the future.

Keyword：probability concepts, grade four elementary school, probability value, case study.

目 錄

第一章 緒論

























































































1 第一節 研究背景與動機




































































1 第二節 研究目的














































































3 第三節 待答問題














































































3 第四節 重要名詞釋義







































































4 第五節 研究限制














































































5 第二章 文獻探討



















































































7 第一節 理論架構














































































7 第二節 機率概念之相關研究




























































14 第三節 我國及美國國小機率課程教材發展現況

































37 第四節 綜合討論












































































44 第三章 研究方法與步驟







































































47 第一節 研究架構與流程


































































47 第二節 研究對象












































































48 第三節 研究工具












































































49 第四節 質的資料蒐集與分析




























































54 第四章 結果與討論














































































57 第一節 三位個案之研究結果




























































57 第二節 各組成之層次分析與跨個案之分析








































79 第三節 晤談結果與理論架構之對照


















































97 第五章 結論與建議












































































107 第一節 結論

















































































107 第二節 建議

















































































111 參考書目



























































































115 一、 中文部分













































































115 二、 英文部分













































































117 附錄


































































































120

附錄一：<sub>「兒童機率概念」訪談問卷



















































120</sub> 附錄二：晤談記錄










































































137 附錄三（註一）<sub>：乘法原理概念


























































138</sub> 附錄四（註二）<sub>：等值分數概念


























































139</sub>

表 目 錄

表 2-1-1 Jones et al.<sub>（1999）之機率思考架構










































8</sub> 表 2-1-1 Jones et al.（1999）之機率思考架構（續）
































9 表 2-3-1 Grade Pre-K-2 的課程標準






















































40 表 2-3-2 Grade 3-5 的課程標準




























































41 表 2-3-3 Grade 6-8 的課程標準




























































42 表 3-3-1 兒童機率概念雙向細目表























































50

圖 目 錄

圖 2-2-1 樹狀圖

















































































33 圖 3-1-1 研究流程圖











































































47 圖 4-1-1 非連續量情形之思考模式























































63 圖 4-1-2 連續量及非連續量情形之思考模式










































64 圖 4-2-1 小琪各組成之層次分析


























































88 圖 4-2-2 小姍各組成之層次分析


























































89 圖 4-2-3 小立各組成之層次分析


























































89 圖 4-2-4 「樣本空間」<sub>三位個案之表現




















































90</sub> 圖 4-2-5 「事件機率」<sub>三位個案之表現




















































90</sub> 圖 4-2-6 「機率比較」<sub>三位個案之表現




















































90</sub> 圖 4-2-7 「經驗機率」<sub>三位個案之表現




















































91</sub> 圖 4-2-8 「條件機率」<sub>三位個案之表現




















































91</sub> 圖 4-2-9 「獨立事件」<sub>三位個案之表現




















































91</sub>

第一章 緒論

第一節 研究背景與動機 猶然記得有一次在班上上課的時候，縣府提供每班 15 張的面具，由於班 上有 34 位小朋友，故採用「抽籤」的方式來決定誰可以獲得面具？這時候小 朋友就一臉狐疑的問我說：「老師這樣會公平嗎？我覺得先抽的人比較容易抽 中。」又有一次，班上進行班級幹部的選舉，一共有三人角逐班長的選舉活動， 突然間有位小朋友說：「我覺得小琪當選的機會是一半耶！」於是我便借機詢 問他所持的理由，他便不假思索的說：「就是當選與不當選的區別而已，所以 就是一半啊！」從上面課堂中偶然的師生對話，可見得在日常生活中，我們經 常接觸到有關「機率」的概念，而且有意無意地談及「機率」的話題。再者， 加上最近瘋行臺灣大街小巷的樂透彩，乃至於近期推出的大樂透，無不造成臺 灣人民的瘋狂與躍躍欲試，希望自己將是下一個幸運兒。在一般人眼中總認為 樂透彩頭彩的中獎機率頗高，不然怎會幾乎每一期的頭彩都有人抱走呢？然而 理論上樂透頭彩的中獎機率僅僅為_{1.9 10}−7 × ，這相當於一千萬人中僅僅只有兩 個幸運兒可以抱走頭彩，可見一般人對於「機率」概念恐怕不很正確。既然一 般人對於機率的原義模糊不清，那麼尚未接觸任何有關機率課程的學童又是如 何看待「機率」此課題呢？真的宛如一張白紙？抑或是在他們心中，對於「事 件發生的可能性」心中早已有個譜了呢？ 有關機率概念的研究，多數的文獻僅探討國小六年級學童機率概念學習之 表現（施能宏，民 86；林燈茂，民 87），也有探討解機率問題採用的解題策略 （施能宏，民 86），再者解機率問題所產生的迷思概念（朱雅瑋，民 85；施能 宏，民 86）。分析這些文獻，發現研究的對象都以接受過機率課程教學的國小 高年級學童為主，較少探討尚未接受過機率課程教學之國小中年級學童。然而 隨著時代的演進，Jones, Langrall, Thornton & Mogill（1997）曾對八位國 小三年級的學童進行長時間觀察與研究、Jones, Thornton, Langrall & Tarr （1999）將先前的機率架構進行更深入的分析，藉以掌握各式各樣的機率推理 性質，以及陳欣民（民 91）曾試著對國小四、五、六年級的三位學童進行個案

分析。雖然關於小學中年級學童機率概念之相關研究已有人研究，但國內在此 領域的研究仍相當缺乏，僅僅陳欣民（民 91）曾試圖對一位四年級的小朋友進 行個案晤談，而其研究的對象僅限於較為優異且是居住在較為市中心區域的學 童，因此研究者欲以 Jones et al.（1999）所提出的「機率思考架構」（framework for assessing probabilistic thinking）為理論架構，針對自己任教班級的 鄉下客家族群學童進行長時間的觀察與研究，分析不同族群與文化背景下的學 童在未正式接觸機率課程與教學時，在某些機率概念上的表現情形，或是在解 機率問題所衍生出的直觀想法。 至於上述所提及 Jones et al.（1999）所提出的「機率思考架構」，其主 要包含了樣本空間、事件機率、機率比較、條件機率、經驗機率與獨立事件等 六向度以及主觀的（subjective）、介於主觀思考與質樸量化思考（native quantitative）之間的過渡期（transitional）、非正式量化的（informal quantitative）、數量化的（numerical）思考等四個層次。此架構能有系統性 的描述、預測兒童在機率方面的思考，進而對兒童的學習能作適當的預測。而 吳靜瑜（民 88）亦曾以 Jones et al.（1997）所提出的架構為理論依據探究 學童在機率概念之表現，發現到大部分的學童皆未到達數量化的思考層次，基 於此，研究者欲以 Jones et al.（1999）所提的「機率思考架構」為理論架構， 對任教班級的客家族群學童進行長時間的觀察與追蹤，進而有系統的描述、預 測尚未接受機率課程與教學之學童在機率概念上的表現。 由於教育部於民國 92 年 11 月 14 日正式發佈九年一貫數學領域之課程綱 要中，將「統計與機率」列為五大主題之一，可是呢？目前教育當前所見到兒 童在機率方面學習的種種問題，再者「統計與機率」的概念對於兒童在資料判 讀、資料的彙整以及面對機率問題時扮演著舉足輕重的角色，倘若無法正確理 解，必將影響其終生學習。而且課程綱要 D-4-4 明確指出「能在具體情境中認 識機率的概念」所述，此能力指標強調此主題應以學生的生活經驗為主，從學 生感興趣的主題出發，顯然數學的概念並非全然從課堂上所習得，有時可能會 在日常生活中獲得。有著上面種種關於「機率」問題的描述與類似事件的發生， 不但說明「機率」對人類的重要性，更凸顯人類對瞭解「機率」概念的迫切需 要。故九年一貫的數學課程強調數學的發展應以生活為重心，而「統計與機率」

的概念在生活中處處可見，由此可知「統計與機率」在國小課程中的重要性。 然而國外的一些研究亦顯示，機率的初步概念甚至可以提早至國小中低年級來 進行（NCTM，1989）。故本研究欲探討研究者任教班級的客家族群學生在未接 受機率課程與教學所可能具備的機率概念，期待藉由本研究的結果，能更了解 學童機率概念的思考層次，及解機率問題所產生的直觀概念有哪些？讓教學者 在進行機率課程與教學時，更能確切掌握學生的機率思考層次或可能產生的直 觀概念，進而更容易幫助他們獲得正確的機率概念，而進展至量化的機率思考 層次。 第二節 研究目的 根據上述的研究背景與動機，研究者欲以 Jones et al.（1999）所提出之 「機率思考架構」做為理論架構，並採用「半結構式晤談法」（semi-structured interview）對任教班級的客家族群學生進行長時間的觀察與研究。研究之所 以採用晤談的方式，主要是想更深入了解學童在解機率問題的表現，以及在解 機率問題可能持有的直觀概念，並輔以長時間的觀察與追蹤，希冀能進一步了 解學童在此段時期機率概念的發展情形，甚至發現可能存在影響機率概念發展 之重要因素。故在 Jones et al.的思考架構底下，本研究之目的如下： 壹、 根據 Jones et al.之思考架構，探討從未接受過有關機率之課程與教學 的四年級學童，其在各組成上之表現情形。 貳、 探討臺灣四年級學童在解機率問題上，與 Jones et al.研究結果之差異 情形。 第三節 待答問題 研究者以 Jones et al.（1999）所提出的「機率思考架構」做為理論架構 進行個案晤談，其中內容包含樣本空間、事件機率、機率比較、經驗機率、條 件機率與獨立事件等六個向度。然而，國內外亦有許多文獻（林燈茂，民 87； Bognar & Nemetz, 1977; Frykholm, 2001; Jones et al., 1997）認為在進 行機率的相關研究時，宜先從一些促進學童澄清「必然發生」、「可能發生」、「不

可能發生」等日常生活用語之涵義的生活化事象之討論著手，因為判斷「必然」 與「不可能」事件被認為是機率思考的起始點。因此，根據研究目的以及上述 的內容，本研究待答問題如下： 壹、 訪談三位未接受過機率課程與教學之四年級學童，他（她）們在「事件 發生的必然性及可能性」、「樣本空間」、「事件機率」、「機率比較」、「經 驗機率」、「條件機率」以及「獨立事件」概念之表現情形為何？ 貳、 三位未接受過機率課程與教學之四年級學童，其對機率概念之理解與 Jones et al.研究結果之差異為何？ 第四節 重要名詞釋義 壹、 樣本空間 在某一種特定的實驗中，可能出現的所有情形，稱之為樣本空間 （sample space），簡寫成Ω。例如：擲一顆骰子，所有可能出現的點數 是一點、二點、三點、四點、五點及六點。因此，Ω＝{一點、二點、三 點、四點、五點、六點}為其樣本空間。 貳、 事件 在樣本空間的部分集合稱之為事件（event）。例如：投擲一個均勻之 骰子所有可能之數為 6 個，即Ω_{＝{一點、二點、三點、四點、五點、六} 點}，偶數點發生之所有之數為 3 個，亦即A＝{二點、四點、六點}，則A 表示投擲一顆骰子出現偶數點之事件。 參、 機率 機率（probability）P為一個由事件所成的集合映到

[

0,1

]

之函數， 且滿足 1 ( ) n i i P A = =

∪

1 ( ) n i i P A =

∑

，這裡n為任意正整數，A_i為彼此互斥之事件。 例如：Ω＝{一點、二點、三點、四點、五點、六點}，A為Ω中之事件， 令 P A =( ) ) ( ) ( Ω n A n ，則P為一機率。本研究將機率視為「理論機率」。 肆、 事件發生的必然性及可能性 事件發生的機率為 1 之事件，本研究稱為必然事件；事件發生機率介

於 0 與 1 之間的事件，本研究稱為可能事件。 伍、 機率比較 兩事件機率大小之比較稱為機率比較。例如：一個箱子中裝有 3 顆紅 球及 2 顆綠球，則樣本空間Ω＝{紅，紅，紅，綠，綠}，設事件A表示抽 中紅球的樣本點所成之集合，事件B表示抽中綠球的樣本點所成之集合， 則 ( ) 3 5 P A = ， ( ) 2 5 P B = 。故抽中紅球的機會較抽中綠球為大。 陸、 經驗機率 洪密斜斯（R.von Mises）將此種機率定義如下：設一隨機試驗的樣 本空間為S，且當重複隨機試驗的次數增加時，相對次數 fn

( )

A 會趨近於 某一個定數P A

( )

，則P A

( )

稱為經驗機率。例如：連續投擲公正銅板n次， 令A_n ={1≤i≤n:X_i =1}，這裡X_i為隨機變數，X =_i 1，表示第i次出現正面； 0 i X = ，表示第i次出現反面，此時投擲次數n愈接近無限大時，

( )

1 2 P A = 。 柒、 條件機率 設A、B為兩事件，且P A ≠

( )

0，事件A發生的情況下，事件B之條 件機率定義為： ( ) ( ) ( ) P A B P B A P A = ∩ 。 捌、 獨立事件 若事件A與事件B滿足P A

(

∩B

)

=P A P B

( )

⋅

( )

，則稱兩事件相互獨立， 例如：投擲兩枚銅板，第一枚銅板為正面的事件為A，第二枚銅板為正面 的事件為B，則

(

)

( )

( )

1 4 P A∩B =P A P B⋅ = ，故兩事件相互獨立。 第五節 研究限制 本研究限制分三個部分稍做描述： 壹、 人員限制

由於研究者時間以及經費的限制，僅從自己任教班級卓蘭國小四年丁 班挑選三位學童做個案訪談，此三位學童在課業表現方面皆為中上程度， 喜歡發表自己的意見且富有好奇心，另外在數學方面表現在班上屬於較優 異的一群。 貳、 年級限制 研究者以自己任教的四年級學童進行機率概念之探討，並藉由長時間 追蹤、觀察，進一步瞭解學童機率概念之發展及可能影響概念發展之因素。 參、 地區限制 所選擇個案訪談的三位學童皆是住在苗栗縣卓蘭鎮，居住的環境較為 淳樸，對於外來資訊的取得較不易，故易造成城鄉差距的問題，因此研究 的結果無法過度推論。

第二章 文獻探討

為了以個案研究之方式探討兒童解機率問題之理解情形，因此，本章共分 四節：第一節介紹本研究之理論架構，第二節中對於機率概念之相關研究加以 論述，第三節為我國及美國國小機率課程教材發展現況，第四節為綜合討論， 針對國內外的文獻加以整理與評析。 第一節 理論架構 在機率思考的研究中，雖然已有許多實證性的研究（例如：Falk, 1983； Fischbein, Nello & Marino, 1991; Hawkins & Kapadia, 1984; Piaget & Inhelder, 1975; Shaughnessy, 1992），探討關於兒童的機率思考，但卻沒有 任何研究能對兒童學習機率的歷程，提出一個系統性的架構，進而對兒童的學 習作適當的預測。再者，缺乏理論架構所進行的教學往往很難達到教學效果， 甚至很多教學活動是不適當的。

Jones, Langrall, Thornton & Mogill 為了能有系統性的描述、預測兒童 在機率方面的思考，於 1997 年提出了「機率思考四個層次」的理論。研究者 以八位三年級學童進行個案研究（case research），從中觀察並深入研究學童 在機率思考層次上的發展情形，訂出兒童在樣本空間、事件機率、機率比較以 及條件機率等方面的思考層次。之後在 1999 年，Jones, Thornton, Langrall & Tarr 將先前的機率架構進行更深入的分析，增添了以預測和實驗為主的經驗 機率和由條件機率所引伸出的獨立事件。表 2-1-1 為 Jones et al.於 1999 年 所提出的「機率思考架構」，在每一個機率組成上，兒童的概念發展皆包含四 個層次，從主觀到量化的推論。

層 組 次 成 表 2-1-1 Jones et al.（1999）之機率思考架構 層次一 主觀的 層次二 過渡期的 層次三 非正式量化的 層次四 以數字表示的 樣 本 空 間 ＊ 在一階段實驗 列出不完全的 結果 ＊ 在一階段實驗 能列出完全的 結果，有時候 在二階段實驗 亦能列出完全 的結果 ＊ 一貫地使用部 分衍生性策略 列出二階段實 驗的結果 ＊ 對於二階段事 件及三階段事 件能夠選擇並 且應用衍生性 策略列出完整 的結果 經 驗 機 率 ＊ 將從隨機實驗 所得來的資料 視為無關係的 並且使用主觀 的判斷去決定 最 可 能 / 最 不 可能的事件 ＊ 幾乎無法暗示 或是察覺在經 驗機率和理論 機率間有任何 關係 ＊ 當決定最可能 / 最 不 可 能 的 事件，對於實 驗資料的小樣 本給予太多的 信任；相信任 何樣本應該是 母群的代表 ＊ 當實驗的資料 與預想的想法 相衝突時，可 能會回復到主 觀的判斷 ＊ 承認決定最可 能 / 最 不 可 能 的事件是需更 多方面的抽樣 ＊ 認清當一個試 驗樣本產生的 經驗機率會與 理論機率有顯 著的不同 ＊ 蒐集適當的資 料去決定經驗 機率的數值 ＊ 認清從一個大 的試驗樣本所 獲得的經驗機 率約等於理論 機率 ＊ 能夠確定根據 實驗的結果， 一個事件的機 率才可以被決 定 事 件 機 率 ＊ 藉由主觀的判 斷去預測最可 能 / 最 不 可 能 的事件 ＊ 辨識必然和不 可能事件 ＊ 藉由量化的判 斷去預測最可 能 / 最 不 可 能 的事件，但有 可能會回復到 主觀的判斷 ＊ 藉由量化的判 斷去預測最可 能 / 最 不 可 能 的事件 ＊ 使用非正式數 字去比較機率 ＊ 能預測一階段 或簡單二階段 實 驗 最 可 能 / 最不可能的事 件 ＊ 能以數字表示 一個事件的機 率（一個真實 可能性或者可 能性的一種形 式）

層 組 次 成 表 2-1-1 Jones et al.（1999）之機率思考架構（續） 層次一 主觀的 層次二 過渡期的 層次三 非正式量化的 層次四 以數字表示的 機 率 比 較 ＊ 使 用 主 觀 的 判 斷 比 較 在 兩 個 不 同 樣 本 空 間 下 一 個 事 件 的 機 率 ＊ 不 能 區 分 「 公 平 」 和 「 不 公 平 」 的機率事件 ＊ 以量化思考為 基礎來做機率 比較（但並不 總是正確） ＊ 開 始 能 分 辨 「公平」和「不 公平」的機率 事件 ＊ 使用明顯的量 化 推 論 去 說 明、比較以及 發明特有的方 法來表示機率 ＊ 使用明顯的量 化推論去區分 「公平」及「不 公平」的機率 事件 ＊ 選定一個以數 字表示的機率 值且做一個明 顯的比較 條 件 機 率 ＊ 只 注 意 一 階 段 實 驗 的 一 個 考 驗 ， 無 法 完 整 列 出 第 二 個 考 驗 的可能結果 ＊ 使 用 主 觀 的 推 論 去 解 釋 置 回 與 不 置 回的情況 ＊ 認清有些事件 的機率在不置 回的情形下會 改變；然而， 這個確認並非 是完整的，且 通常僅限於先 前已經發生過 的事件 ＊ 在一個不置回 的情形下，認 清所有事件的 機率都會改變 ＊ 在不置回的情 況下，可以以 數量表示出改 變的機率 ＊ 可用數字表示 置回與不置回 情況下的機率 （ 機 率 數 值 化） ＊ 每一個試驗在 置回以及不置 回的情況下， 使用數字的推 論去比較事件 先後的機率 獨 立 事 件 ＊ 有 一 個 傾 向 去 思 考 連 續 的 事 件 總 是 有關係的 ＊ 有 一 個 普 遍 的 信 仰 就 是 一 個 人 可 以 控 制 一 個 實 驗的結果 ＊ 開始承認連續 的事件可能是 有關係的或是 可能沒有關係 的 ＊ 使用先前試驗 的分佈結果去 預測下一次的 結果 ＊ 可以在置回以 及不置回的情 況下分出獨立 及相依事件 ＊ 可能回復到以 代表性為基礎 的策略 ＊ 可以使用以數 字表示的機率 去區分獨立以 及相依事件

底下將介紹與本研究有關的樣本空間、事件機率、機率比較、條件機率、 經驗機率以及獨立事件在各層次思考的案例，詳述如下： 壹、 樣本空間 對樣本空間的了解是在一階段（例如：丟擲一枚錢幣）或二階段（例 如：丟擲二枚錢幣）的實驗中展示所有結果的能力。 層次一：無法完整列出投擲一枚硬幣所有的樣本空間{正、反}。 層次二：學童可以完整列出投擲一枚硬幣所有的樣本空間{正、反}；另外 會使用非衍生性策略列出投擲兩枚硬幣所有的樣本空間{（正 正）、（正反）、（反正）、（反反）}；然而在面對 1、2、3、4 四個 數字做兩兩分組時，因學生沒有採用衍生性策略（generative strategy），無法列出完整的樣本空間。 層次三：學童採用「里程表策略（odometer strategy）」列出 1、2、3、4 四個數字做兩兩分組時所有的可能情形。所謂「里程表策略」就 是先固定前項的數字，再變動後項的數字，等到後項的所有可能 的數字皆出現之後，再以相同的方法排出其他不同的結果。 層次四：學童使用「里程表策略」和「最大遷移策略（maximal shift strategy）」（English, 1993）的方式，列出三種顏色紅（r）、 綠（g）、藍（b）的交換排列的所有情形：rgb, gbr, bgr, brg, rbg, grb。所謂「最大遷移策略」就是先固定中間項（如 g），然 後再將前後兩項（如 r, b）位置互換，便可以產生兩種不同的排 列情形：rgb、bgr。 貳、 事件機率 對於事件機率的了解是在二個或三個事件中，能夠判定哪一個事件最 有可能（most likely）或最不可能（least likely）發生的能力。 層次一：箱子裡含有 2 1 的紅球、 3 1 的藍球以及 6 1 的黃球，學童可能因喜愛 黃色而回答「黃色」最容易被選取。 層次二：箱子裡含有 4 個綠色、3 個紅色以及 2 個黃色的球，受試者認為 只有 2 個黃色的球，並且黃色的球在箱子的最底下，被抽中的機

（甲） （乙） 紅 白 紅 白 紅 紅 紅 紅 白 白 白 白 會最小。雖然受試者試著採取定量思考但卻不夠精密，並且主觀 的想法涉入其中。 層次三：在離散的情況下（例如：糖果遊戲）反應比連續情況（例如：轉 盤）還快。例如：容器中有 1 顆紅色及 4 顆綠色糖果，學童回答 「綠色最容易取得，拿到的機會是 5 個中的 4 個（即 5 4 ）。」至 於在轉盤遊戲中，紅色占 2 1 、黃色占 6 1 、藍色占 3 1 ，學童認為紅 色的機會最大，黃色的機會最小，但缺乏分數概念，無法用正確 的分數表示機率值。 層次四：容器中有 1 顆紅色及 4 顆綠色糖果，受試者回答「綠色最容易取 得，機會是 5 個中的 4 個（即 5 4 ）；紅色的機會是 5 個中的 1 個 （即 5 1 ）。」在轉盤遊戲中，紅色占 2 1 、黃色占 6 1 、藍色占 3 1 ，受 試者認為紅色最易被射中，因紅色的機率為 2 1 （ 6 3 ），藍色的機 率為 3 1 （ 6 2 ），黃色的機率為 6 1 。」 參、 機率比較 學童在機率比較上的了解可藉由決定顯示充分理由的能力測量得 知：（a）在隨機的刺探下，哪一種機率情況較可能產生目標事件；（b）是 否兩個機率情況對目標事件提出相同的機會。 層次一：甲、乙兩個轉盤（如上圖所示），紅色為目標事件，哪一個轉盤 對你(妳)較有益呢？受試者認為甲轉盤是最好的，因紅色部分較 大；乙轉盤上面有較多的顏色。處於此層次的學童，他們沒有能 力或不願意去將不相鄰的結果組合起來形成一個事件。

來量化問題情境。（如上圖所示）當表示轉盤甲和轉盤乙何者對 自己最有幫助？他回答轉盤甲紅色部分較多（較多策略），機會 是 50-50。 層次三：學童能夠以明顯的量化為基礎去區分「公平」及「不公平」的機 率事件。如上圖所示，受試者指出轉盤甲和乙的紅色部分所佔的 比例是 4 2 和 8 4 ，他卻認為轉盤甲紅色部分都聚集在一起，比轉盤 乙紅色分散開來的情況被射中的機會更大。 層次四：當處理轉盤甲及轉盤乙時（如上圖所示），受試者清楚知道這兩 個轉盤紅色的部分具有相同的機率，並用 2 1 表示出來。 肆、 條件機率 對於條件機率的瞭解主要是藉由學童是否認清一個事件的機率會因 另一個事件的發生而產生改變的能力。 層次一：學童無法認清一個事件的機率在不置回的情形已經產生改變，並 使用自己主觀加以判斷。例如：箱子中有四隻綠色、三隻紅色及 兩隻黃色的熊，若一隻紅色的熊被抽出且不置回，學童認為下一 個最有可能被抽出的是綠色的熊，因為綠色的熊在最上面。總而 言之，在條件機率學童總是以主觀判斷而阻礙真實的考慮。 層次二：認為某些事件的機率在不置回的情況下已經產生改變，但是認知 是不完全的，並侷限於先前發生過的事件。例如：箱子中有四隻 綠色、三隻紅色及兩隻黃色的熊，當兩隻紅熊接連被取出而沒有 再置回時，學童清楚知道紅色被取出的機會是最小的，因為箱子 只剩一隻紅色的。然而學童卻無法了解其實所有顏色的機率已經 全部改變了。 層次三：認為在不置回的情況下，所有的機率值皆會改變，並可以在不置 回的情況下量化機率值。例如：當 2 隻紅熊連續被取出且不再放 回箱子中，原先含有 4 綠、3 紅、2 黃的盒子裡只剩下 4 綠、1 紅、2 黃，所以紅色只有 7 個選 1 個的機會，總之，學童已能夠 認清每種顏色被抽出的機率值皆會改變。

層次四：不論在置回與不置回的情況下，皆能夠量化機率值。例如：盒子 中含有 4 隻綠熊、3 隻紅熊及 2 隻黃熊，當 2 隻紅熊被取出後， 學童認為所有的機率都改變了，並且拿到紅色的機會是 7 1 ，綠色 的機會是 7 4 ，黃色的機會是 7 2 。 伍、 經驗機率 評鑑學童在「經驗機率」思考層次的問題：老師抽出二十次的結果依 次是 Jennifer 三次、Martina 三次、Monica 四次、Philip 二次和 Sergio 八次，（1）根據這些結果，可以知道誰最有可能被抽中嗎？或是無法預測 呢？試著說出你(妳)的看法。（2）假設共抽了一百次，你(妳)猜猜看在這 一百次中，這五位學生個被抽中了幾次呢？ 層次一：不理會從隨機實驗所得來的資料，使用主觀想法判斷最可能或最 不可能的事件，而且幾乎無法察覺經驗機率和理論機率間有任何 關係。例如：學童依據自己的喜好來回答而完全不管機率值，若 她是女生，就回答 Monica 最容易被抽中。 層次二：當決定最可能、最不可能的事件只依據小樣本的實驗結果，當實 驗結果與預想的想法產生衝突時，可能會回復到主觀的判斷。例 如：當老師問學童：「Monica 比 Sergio 更有機會被選為班長 嗎？」，學童回答「否」，但其理由卻主觀的認為「雖然在箱子中， 他們的名字都只有一張，但 Monica 那一張可能在 Sergio 上面， 所以更有機會被選中」。 層次三：能夠瞭解判斷最可能、最不可能的事件必須依據更多方面的廣泛 試驗，認清當一個試驗樣本產生的經驗機率會與理論機率有顯著 的不同。 層次四：能蒐集適當的資料決定經驗機率值，並知道由一個大的試驗樣本 所獲得的經驗機率約等於理論機率。例如：學童能預測在 100 次 的經驗機率工作中，Sergio 應該發生大概 20 次。儘管事實上在 較小的樣本空間中，Sergio 的分配額是 20 次中的 8 次－－也能 知道次數比預期的高出許多。

陸、 獨立事件 對兩個隨機實驗之關連性的瞭解主要是藉由學童能夠知道一個事件 的機率值並不會因為另一個事件的發生而改變的能力。 層次一：傾向於連續事件中的每個事件都有相關，甚至相信一個人可以控 制實驗的結果。 層次二：開始了解連續事件可能是相關的或是無相關的，並使用先前試驗 的分佈結果去預測下一次的結果。例如：從箱子中連續抽出四次 男孩，學童猜測第五次將是女生，因為已有好長的一段時間沒有 抽中女生了。 層次三：可以在「置回」及「不置回」的情況下，分辨出「獨立」及「相 依」事件，但有時會使用「代表性策略」做為思考。例如：學童 會認為投擲一枚公正硬幣五次，出現「正反正反正」的機率比「正 正正正正」的機率還高，但事實上此兩種情形的機率是相等的。 層次四：能使用量化的機率值來分辨「獨立」以及「相依」事件。例如： 連續投擲一枚硬幣五次，若前四次的結果為正、反、反、反，學 童認為第五次的結果正面與反面的機會各是一半，與前四次的投 擲結果無關。 第二節 機率概念之相關研究 壹、 理論發展 關於機率的理論性研究，研究者將分為機率論發展簡史及機率的分類 兩大部分加以描述。 一、 機率論的發展簡史 卡當（Gerolamo Cardan）是一位才華洋溢的數學、醫學教授，但 卻熱衷於賭博。因此他認真地研究獲得擲兩顆或三顆骰子時得到 7 點以 及在一副牌中獲得牌「A」的機率，他把自己的研究成果編成一本書， 名為「賭博的遊戲」（Liber De Ludo Aleae），此為機率論的準備基礎 （張祖貴譯，民 84，第二十三章）。

而機率論產生於 17 世紀，費馬（Pierre de Fermat）、帕斯卡（Blaise Pascal）、高更斯（Christiaan Huygens）等人是機率論早期的創立者。 對機率論的興趣，最早是由保險事業發展而來，但刺激數學家開始思考 一些特別的機率論問題卻是來自於賭博者的請求。有一個賭徒梅累 （Chevalier de Mere）向數學奇才帕斯卡提出了一個令他苦惱已久的 問題：「兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏S局，就算是贏了這場賭局。 現在有一個人贏了A局（A<S）局，另一個人贏了B（B<S）局，賭 博終止，請問賭本該如何分法才算是公平呢？」帕斯卡於是將這問題與 問題的解法寄給費馬，這是西元 1654 年的事情了。（“世界數學簡 史”，民 76，第九章）。 高更斯（Christiaan Huygens）聽說帕斯卡寄信給費馬的事情，自 己便企圖想要解決此一問題，最後寫成了「論賭博中的計算」（De Rationciniis in Ludo Aleoe, 1657）一書，此為機率論最早的論著（“世 界數學簡史”，民 76，第九章）。但在十七世紀以前機率理論並無太多 的進展，在十六、十七世紀由於經濟型態的逐漸改變，於是刺激了機率 的發展與萌芽（黃文濤，民 74）。 十七、十八世紀之交，伯努利（Jakob Bernoulli）的巨著「猜度 術」是一項重大的成就，它包含機率論中的「伯努利定理」，這是「大 數法則」的最早形式。十九世紀初期機率論的巨大進步和拉普拉斯 （Pierre Simon Laplace）是分不開的。伯努利於 1812 年寫了「分析 機率論」一書後，總結了這一時代的機率論研究。自此機率脫離關於賭 博的範疇，轉向科學方面發展，而今機率論大量應用到國民經濟、保險、 醫療、心理學、地震、氣象及近代物理等許多問題上了（“世界數學簡 史”，民 76，第九章）。 二、 機率的分類 當人類在觀察或預測某一現象時，會產生兩類情形，第一類情形在 某些相同條件下，其事件發生（或試驗）的結果可以預測的，其結果隱 含因果關係且具有決定性者。然而有些現象，雖然在某些相同的條件 下，其事件發生（或試驗）的結果並不能事先加以確定，是為非決定性

者。機率便是一種指標，其用來測量這種非決定性事件可能發生的程度 有多大。依據文獻上討論，機率的意義大概可分為四種（Shaughnessy, 1992; Konold, 1991; Hawkins & Kapapia, 1984）：古典機率（或稱理 論機率），經驗機率（empirical probability）（或稱次數機率），主觀 或直覺機率（subjective and intuitive probability），以及形式機 率（formal probability）（蔡文煥，民 87）。 (一) 古典機率（理論機率或先驗機率） 此為拉普拉斯（Laplace）於西元 1812 年左右所提出：設一樣 本空間由n個樣本點所組成，且每一樣本點出現的機會均相等，則定 義事件A發生的機率為A之樣本點個數與n之比，通常又被稱為理論 機率或理想機率（theoretical probability），記為 ( ) ( ) n A P A n = 其中n A( )表A之元素個數。 此一定義就是在隨機試驗中，某事件發生之機率乃是某事件可 能發生的個數與該隨機試驗所有可能發生的總個數比。不但適用於 機遇性遊戲，而且符合直覺觀念，也因此，有時亦稱為先驗機率或 事前機率（prior probability）。 以投擲一公正銅板的試驗為例，樣本空間={正面，反面}，故上 述之n =2，設事件A={正面}，則根據理論機率可得 ( ) ( ) 1 2 n A P A n = = 。 (二) 經驗機率（次數機率） 藉著隨機試驗結果的相對次數來預測機率，包含極限和收斂的 理論。洪密斜斯（Richard von Mises）將此種機率定義如下：設一 隨機試驗的樣本空間為S，且當重複隨機試驗的次數增加時，相對次 數 f A_n( )會趨近於某一個定數P A( )，則我們將P A( )定義為A發生的機 率，即： ( ) P A ＝lim f A_n( )＝lim n A n( ) 。 以連續投擲公正銅板n次為例，令A_n ={1≤i≤n:X_i =1}，這裡X_i

為隨機變數，且當第i次出現正面時X_i＝1；當第i次出現反面時X_i＝ 0。此時投擲次數n愈接近無限大時， ( ) P A ＝lim f A_n( )＝lim 2 1 ) ( = n A n 。 (三) 主觀直覺機率 主觀機率是二十世紀所產生的名稱，其在測量信仰的程度 （degree of belief）。主觀直覺機率似乎可能依賴貝氏定理（Baye’s theorem）而將主觀機率數學化，意即依賴可獲得的資訊作為機率修 正的理論（蔡文煥，民 87）。例如：如考慮中華台北對日本的亞洲盃 棒球賽，中華台北贏的機率是多少? 很顯然地，比賽結果輸、贏的 可能性不相等。同時過去中華台北對日本的次數並不多，因此若想 估計中華台北獲勝的機率，我們必須用主觀的觀點，如評量雙方的 投手之防禦率，或打擊者之打擊率等，給予一個值以表示中華台北 會贏的相信程度。 (四) 形式機率 形式機率是利用數學法則（如公理）來定義機率。假設有一試驗的 樣本空間為S，對S中的每一事件A指定一值P A( )，若P •

( )

滿足下面 三項公理，則稱P •

( )

為一機率測度。 1. 對於任一事件A，P A ≥( ) 0； 2. P S =( ) 1； 3. 各事件彼此互斥（即A _i∩ A _j＝φ，i ≠ j），則 1 ( _i) i P A ∞ =

∪

＝ 1 ( _i) i P A ∞ =

∑

； 貳、 機率概念之相關實證性研究 關於機率概念之相關實證性研究，將就近年來國內外學者探討兒童機 率概念的研究結果，分為國內相關研究及國外相關研究兩部分加以描述。 一、 國內相關研究 (一) 朱雅瑋（民 85）為了進一步探究國小學童機率的直觀概念，曾以國

小六年級未正式接觸機率教學的學童 332 位進行筆試及 52 位進行訪 談，其研究結果發現： 1. 小學生機率概念的直觀類型可分為八大類型: (1) 「符合已出現母群分配典型」 在「已出現」的母群中，有些樣本點出現的比例高、有的比 例低。若受試者因而認為佔「已出現」母群比例較高的樣本點， 其出現的機會也會比較大。例如：抽取紅、白球的實驗中，若「已 出現」的紅球次數高於白球次數，學童則會因「符合已出現母群 分配典型」之影響，估測紅球出現的機率較白球為高。 (2) 「符合理想母群分配典型」 在一隨機試驗中，不同樣本點出現的情況，應符合「理想母 群」之分配情況。例如：抽紅球與白球的隨機試驗中，學童會認 為紅、白球出現的次數應該相等。 (3) 「符合隨機過程分配典型」 在一隨機試驗中，事件的分配情形應能反映出產生該事件的 隨機過程。例如：投擲一枚硬幣，正、反面情形應該交錯出現才 符合隨機過程的分配典型。 (4) 「時近效應」 單憑事件出現次數的「多」或「少」來預測下一次可能出現 的結果。例如：在一隨機試驗中，若「X 」出現的次數多於「Y」， 若受試者估測下一次會出現「X 」，即為「正時近效應」（positive recency effect）；反之，若預測下一次出現「Y」則為「負時

近效應」（negative recency effect）。 (5) 「樣本空間元素之可獲性不足」 人們預測事件的機率，是由其事例（instances）在腦海中 容易喚起的程度來決定，此種捷思策略稱為「可獲性」。換言之， 若某些事件發生的次數相等，在腦海中較易喚起的實例，其被猜 測的機率則較不易喚起的實例來得高。 (6) 「無法從不同具體情境抽離出相同數學結構」

受試者不易從具體的情境中抽離該情境的數學結構，因而無 法真正察覺影響事件發生的真正因素。例如：受試者會認為「同 時進行N個獨立實驗與分別進行n個相同的獨立實驗，所得的某 事件機率不同」。換言之，用一顆骰子丟 5 次，與用 5 顆骰子丟 一次，出現三個「一點」的機會是不同的。 (7) 「樣本空間之形成不正確」 有時候受試者根本不知道樣本空間是如何形成的，往往只根 據臆測，因而形成不正確的樣本空間，或自情境中隨意配取任何 給定的訊息與數字來推測事件發生的機率。例如：「投擲兩枚硬 幣，出現一個正面，與投擲四枚硬幣，出現兩個正面，何者比較 容易？」，倘若受試者未考慮到，兩者的樣本發生的機率是不相 等的，只依「實驗次數」與「出現次數」來判斷，就易以為此兩 種情形出現的機率是相等的（ 2 1 ＝ 4 2 ）。 (8) 「結果取向」 一個關於「事件發生的機率」之問題，容易被估測者誤解為 「這樣的事件在下一次的試驗中『會不會發生』呢？」，因為估 測者將事件的機率值依他們腦中起始值的接近程度來做比較，譬 如以「100﹪、0﹪、50﹪」代表著「一定、不可能、不知道（不 一定）」。 2. 學童對於「一定」、「有可能」、「不可能」之意義有語意上的理解問 題，並且學童對於雙重否定的意義不容易理解。 3. 學童相信機率有人為因素、相信經驗或認為可控制的現象。 4. 學童對於簡單的機率問題是透過不正確的方法求得答案，若教師不 仔細觀察，便會誤以為學童已經全盤瞭解。 5. 學童面對某些特定的問題時，常有樣版式的空間模式或以「大數法 則」做不當的推論。 6. 契機的出現和題組型的題目，能使學生隨時調整自己的思考方向而 做出較有系統性的推理。因此教師在呈現相關課程的教材或是歸納

解題方式時，應具有條理及系統性，用以加深學童的初始印象。 (二) 施能宏（民 86）透過對 646 位學童進行筆試、72 位學童進行晤談， 來探討國小五、六年級學生在不同概念型式的機率文字題之選答表 現、策略及概念。根據其研究結果發現到： 1. 學生對於機率文字題中「樣本空間」概念的題目較易理解；對於「大 數法則」概念的題目則因存另有之概念而較感困難，此處所謂的「大 數法則」之另有概念是指：在擲銅板試驗中，「正面與反面出現次 數恰為其試行次數之半的機會，隨著試行次數的愈多而機會愈高」 或「正面與反面出現次數與試行次數之半的絕對次數差異，會隨試 行次數之增加而縮減」之二種另有概念；對於機率性的比較問題， 大多以結果取向、量化絕對差異的觀點與過去既有經驗來作機率大 小之判斷，且仍缺乏獨立試行之觀念。 2. 不同年級，及教學前、後的學生在機率文字題的得分有差異。不同 年級與教學前、後的學生在「大數法則」子概念的得分均無差異。 3. 學生解決機率文字題所使用概念的策略有十種，分別為「結果取 向」、「表徵性誘發」、「有效性誘發」、「以量化絶對差異觀點」、「以 比例推理觀點」、「依目標數大小」、「依非目標數大小」、「以比例推 理觀點」、「依目標數間差異與非目標數間差異大小」、「依試行的可 控制程度」、「大數法則之另有概念」。 (三) 林燈茂（民 87）為了瞭解與比較機率教學前後之國小六年級學童的 「機率概念知識」，並據以初步評估現行國小機率課程（國立編譯 館，民 73～民 86）教學之成效，針對 124 名受試學童分析與比較於 機率教學前後在六個某些共同問題（包括「比值接近」一題、「大數 法則」兩題、「機率值」三題）的答題反應情形，其研究結果顯示： 現行國小機率教學，不僅未能有效改善學童於機率教學前所潛在的 迷思想法（部分甚至被強化），而且還激發出一些新的迷思想法。底 下將相關內容與建議分述如下： 1. 「比值接近」 無論在機率教學前或是教學後，均有 75﹪以上的學童無法正確完

成「比值接近」程度比較之問題。就解題策略而言，機率教學前後皆 有 50﹪以上之學童採用「絕對差異」（絕對次數差異）觀點，真正主 動從「量化相對差異」（相對次數差異）觀點著手解決機率比值接近 問題之學童仍不及 20﹪。 2. 「大數法則」 (1) 在課本呈現有關於大數法則的問題，例如：「投擲一顆骰子越 多次，出現 6 點的次數就越接近總投擲次數的 6 1 」，容易導致 學童產生下列兩個迷思概念： a.在對稱機率實驗中，各樣本點出現之次數與其預期出現之平 均次數的絕對差異，應該隨試行次數的增加而縮減；但是實 際上卻是擴增。 b.在對稱機率實驗中，各樣本點出現之次數恰等於其預期出現 之平均次數的機率，應該隨試行次數的增加而提高；但是實 際上卻是降低。 (2) 在機率教學前，約有 70﹪之學童直覺認為「比值均等」系列 的事件或是「次數誤差範圍均等」系列的事件，其同一系列 之各預期目標事件的發生機率也相等，而無視於該系列各事 件「試行次數的多寡」（其中關於「比值均等」的迷思想法， 即類似於 Fischbein & Schnarch（1997）所謂之「樣本大小」 效應）。事實上，這樣的迷思想法經由教學之後，仍發現約有 45﹪的學童持有此迷思概念，顯示「機率教學並未有效的消 弭學童原有的迷思直覺想法。」 (3) 經機率教學後，約有 50﹪之受試學童，已衍生出「試行次數 愈多，各樣本點出現的次數（比值），『必然』也愈接近其預 期平均次數（理論機率值）」或「試行次數愈多，達到預期之 最佳均勻分配的機會也愈高」或「在次數誤差範圍均等之系 列預期目標事件中，以試行愈多次者，其發生機會也愈高」 等迷思想法。

3. 「機率值」 受試學童於機率教學前後，誤解日常氣象報告之地區「降雨機率」 的意義者，依序是 75.8﹪及 76.6﹪（均達 75﹪）；具「賭徒謬誤」之 迷思想法者，依序是 47.6﹪及 51.6﹪（均約 50﹪）；無視於非對稱性 機率實驗之樣本空間中各樣本點在直觀上的明顯差異，仍預設其出現 機會均等，依序是 39.5﹪及 48.5﹪（均約 40﹪）。 (四) 吳靜瑜（民 88）主要在探討未接觸正式機率教學的國小六年級學童， 在不同機率概念（包含樣本空間、機率事件、機率比較與條件機率） 上的作答表現，以及在面對機率問題時的自然想法，並探討學生在 機率思考的過程中所產生的迷思概念。此研究針對 107 位學童，進 行機率概念的紙筆測驗，同時為了探索學童的迷思概念，從 107 位 學童在測驗上理由的填答，找出在機率思考上想法特殊的學童，選 取 21 名學生作為晤談的對象。其研究結果發現： 1. 學童在不同的機率概念測驗中的表現，就各個架構的平均答對率高 低，依次是樣本空間＞機率事件＞條件機率＞機率比較。 2. 大部分學童的思考尚未達「數量化階段」的層次。學童的思考層次 仍舊停留在「主觀的」、「過渡的」或是「非正式量化的」想法。 3. 學童在面對機率問題時，所產生的迷思概念類型共有六種： (1) 「正負時近效應」； (2) 「結果取向」； (3) 「對樣本空間進行分類」； (4) 「可獲性捷思策略」； (5) 「數量模式」； (6) 「忽視樣本空間大小對預測準確性之影響」。 (五) 陳欣民（民 91）採用「半結構式晤談法」(semi-structured interview) 進行訪談，以探討三位未曾受過機率課程與教學之學童的機率概 念。研究發現此三位研究個案對於「事件發生之可能性」已有下列 認識： 1. 能使用自己的用語描述事件發生之必然性或可能性。

2. 能以「生產性策略」求出樣本空間。例如：研究的個案能以排列組 合的方式寫出「同時丟擲兩顆骰子」可能產生的所有樣本空間。 3. 能做兩事件發生之可能性大小比較。 4. 能了解簡易之條件機率。但他們皆尚未能了解「機率值」以及「理 論機率值」之意涵。 5. 此外，陳欣民（民 91）從訪談的個案中發現三位學童存有下列迷思 概念： (1) 尚未能以「分數」表現機率值大小，而會使用「50﹪」表示 「擲一顆骰子出現 5」的機會，因為學童只著眼於「有可能出 現 5，也有可能不是，所以是一半」，學童尚無法清楚瞭解「所 求樣本點/所有樣本點」的比值即是某事件發生的機率值，而 犯了「二分法」的錯誤觀念。 (2) 因不了解機率值的意義而違反大數法則：例如個案能夠說出 「擲一顆骰子一次，每個點出現的機會為 6 1 ，但卻存在有投 擲的次數越多次，機率越不一定會接近 6 1 ，也越不能預測」 的想法。 (3) 無法釐清題目「投擲二顆骰子，出現『一個 5、一個 6』」之 本義，容易簡化樣本點：例如學童在解關於樣本空間的機率 問題時，他們認為出現「一個 5、一個 6」的機會與「二個 6」 的機會相等，直到研究者要求他們一一列出 36 種所有可能的 樣本空間時，才恍然大悟的了解到原來「一個 5、一個 6」代 表（5，6）和（6，5）兩種情形，而「二個 6」代表（6，6） 一種情形，故學童易產生「簡化樣本點」的迷思概念，正好 與 Fischbein et al.（1991）的研究相符合。 (4) 誤用「加」的算法求樣本空間：如當詢問受試者「同時投擲 兩顆骰子一次，可幾種可能出現的情形？」學童會立即脫口 說出「12 種」，而非「6×6＝36 種」。因此學童在該用「乘」 的運算來求樣本空間時，很容易誤用了「加」的運算。

(六) 張捷勝（民 91）採用行動研究法，以研究者任教的班級進行實地的 研究以收集相關資料進行質性的分析並以量化的分析評估結果。研 究對象是六年級男、女生各 18 人，研究結果發現如下： 1. 學生在機率學習時對機率問題的想法類型有： (1) 想法自然型：學生在面對機率問題時，最初會以自己的一套 想法或理解方式去解釋，並常透過其中部分的資訊做為推論 整體的重要依據。 (2) 想法接受型：當小朋友在討論、解決機率問題時，成績較落 後或是信心不足的學童，常受他人發表的內容所影響，不會 去質疑、批判他人的解法或想法，只是默默接受別人所提供 的答案。 (3) 想法整合型：經由所提供的機率學習活動教材，學童透過其 擁有的資訊進行實驗驗證，剛開始只能以自身經驗去發現一 些組合情形，之後會嘗試從實驗中去察覺、討論、批判並做 出合理的解釋，解題的過程是逐步的，故想法是整合完成的。 2. 學童機率迷思類型有如下十種：（1）手氣取向；（2）物極必反；（3） 不太懂題意；（4）等機率偏見；（5）可獲性啟發；（6）結果取向； （7）忽略母群體的改變；（8）數量取向；（9）等量取向；（10）漏 列樣本空間。 3. 學童對機率問題的正確解題策略是能對樣本空間有系統的組合分 析。正確的求出樣本空間再利用部分－整體的分數策略；錯誤的解 題策略是缺乏對整體結果的完整考慮或有其自然的想法或對機率 存有迷思，且只能利用部分－部分做比較，較少利用部分－整體的 分數策略，但也因缺乏對整體結果的完整考慮或因對分數值的運用 不熟練而容易出錯。 (七) 韓燕言（民 92）探討已學習過簡單機率的國小六年級學童，選取台 中縣男生 250 人、女生 261 人，共 511 人，以研究者自編的機率概 念測驗進行團體施測，瞭解學童機率概念（即樣本空間、機率事件、 比值接近與大數法則）學習之表現，並分析其學習表現是否會受到

不同機率教學單元（投擲硬幣、投擲骰子、抽號碼球、抽取色球、 抽撲克牌）的影響，以及是否會因性別、地區的不同而有差異。研 究主要結果如下： 1. 在不同的機率概念教學單元中，以「投擲硬幣」和「抽撲克牌」兩 種在樣本空間、機率事件、比值接近、大數法則和機率概念的答對 率最差。 2. 不同的教學單元，其機率概念的學習結果有差異。 (1) 全體學生在不同教學單元其機率概念的學習結果依序是抽號 碼球＞投擲骰子、抽取色球＞投擲硬幣＞抽撲克牌。 (2) 女生在在不同教學單元其機率概念的學習結果依序是抽號碼 球＞投擲骰子、抽取色球＞投擲硬幣＞抽撲克牌。 (3) 男生在在不同教學單元其機率概念的學習結果依序是抽號碼 球＞投擲骰子、抽取色球＞投擲硬幣、抽撲克牌。 3. 國小六年級學童在機率概念的總測驗和其四個機率子概念的答對 率普遍不佳。 (1) 在總測驗方面，學生的答對率都未達 70﹪。 (2) 在四個機率子概念中，只有女生在「樣本空間」的答對率超 過 80﹪。顯示在機率概念的課程教授後，學生的學習表現並 不理想。 4. 學童在四個機率子概念的測驗結果有差異，其學習結果依序是樣本 空間＞機率事件＞比值接近＞大數法則。此結果顯示出對於大部分 的學童而言，「樣本空間」的學習是較容易的，而「大數法則」概 念的學習是較困難的。 (八) 羅友任（民 92）探討高年級學生機率解題的能力、後設認知的能力 與解題溝通能力的表現與相關。研究對象為小學高年級學生共計 331 名，採用自編的「機率解題測驗」為研究工具，經統計分析後，其 研究結果描述如下： 1. 高年級學童在「部分—全體」機率試題的表現上高於「大數法則」 試題之表現，顯示大多數高年級學童在「大數法則」的題型上是不

易了解的。 2. 隨著後設認知能力愈高，在「可能性大小判斷」、「部分—全體機率 大小判斷」、「大數法則」及「整體機率試題」的表現亦越好。 3. 隨著解題溝通能力愈高，在「可能性大小判斷」、「部分—全體機率 大小判斷」、「大數法則」及「整體機率試題」的表現亦越好。 4. 五、六年級學童在「整體機率試題」表現上，六年級學童高於五年 級學童；在「可能性大小判斷」測驗表現尚未達顯著，顯示五、六 年級於此部份通過率甚高，並在其研究最後部份建議未來研究者可 以試著往中、低年級做研究探討；在「部分—全體機率大小判斷」、 「大數法則」的測驗表現上，六年級學童高於五年級學童。 綜合上述研究可以發現下列事實： (一) 研究對象未接觸正式機率教學方面 朱雅瑋（民 85）、林燈茂（民 87）以及吳靜瑜（民 88）之研究 發現到：學童在面對機率問題時，常以自己直觀的看法或最自然的 想法來解決問題，因此常導致機率迷思概念的產生，試想若教師在 教學上能確切掌握學童可能出現的迷思概念，想必對兒童機率概念 的學習將更有幫助；另外，陳欣民（民 91）及吳靜瑜（民 88）在他 們的研究中曾提及學童在未正式接受機率教學時，其機率思考層次 大都未達「數量化的階段」，仍舊停留在「主觀的」、「過渡的」或是 「非正式量化的」層次，如何提升學童機率思考層次，有待教學者 進一步加以探討。另外，羅友任（民 92）發現到國小五、六年級學 童在「可能性大小判斷」測驗表現尚未達顯著，表示學童於此部份 通過率甚高，並在研究裡建議往國小中、低年級做研究加以探討。 至於國內關於機率概念方面的研究，大多是著墨於量化的研 究，很少是針對學童的機率思考概念進行深入的探討，除了陳欣民 （民 91）曾試著對國小四、五、六年級三位小朋友進行個別晤談與 長期的觀察外。因此，欲了解學童在機率思考概念的發展以及所達 的機率思考層次，長期的追蹤與觀察是十分需要的。 (二) 研究對象已接觸正式機率教學方面

根據施能宏（民 86）、韓燕言（民 92）之研究發現到：「樣本空 間」和「機率事件」對已接觸正式機率教學的學童是較易理解的概 念，但在「大數法則」的學習與應用，往往無法了解其真正內涵， 而導致學習上的困難，有時甚至會產生迷思概念，此研究結論正好 與羅友任（民 92）針對尚未正式接觸機率教學的高年級學童的發現 相吻合。另外，林燈茂（民 87）針對接受機率課程教學前後的六年 級學童進行研究，發現到學童縱使在接受機率課程教學後，仍具原 有的直覺迷思概念，尤其在「比值接近」與「大數法則」部分更是 如此。因此，如何幫助學童在「大數法則」概念上的學習，進而提 升學童的機率思考層次，為教學者十分重要的課題；另一種迷思概 念的發現則來自張捷勝（民 91）之研究，該研究指出學童在解決機 率問題時會有迷思概念產生，學童亦常因缺乏對整體結果考慮或對 分數值的運用不熟練而導致無法正確解決機率問題。 由此可見，除了迷思概念會影響學童在機率問題的學習外，「部 分－整體」的分數策略也會間接影響學童機率概念的學習，所以教 學上適時的配合「部分－整體」分數概念的加強，對於學童在機率 概念上的理解將有助益。然而機率概念的學習除了課堂上的教導 外，學童的生活經驗亦常左右其機率思考，林燈茂（民 87）在其研 究最後也建議宜先從一些促進學童澄清「必然發生」、「可能發生」、 「不可能發生」等日常生活用語之涵義的生活化事象之討論著手， 輔以九年一貫課程十分強調數學課程應與日常生活相結合，因此探 究生活經驗對學童機率概念學習的影響，亦能提供教學者關於學童 在機率概念方面的學習。 總之，根據上述實證性研究可以發現：學童在未接受機率教學之前，對於 機率的概念並非全然空白，但亦存在許多迷思概念，縱使學童已正式接觸機率 的教學，仍舊存在著迷思概念和較艱澀難懂的「大數法則」部分，然而伴隨著 學童年齡的逐漸增長，若適度地安排機率課程與教材內容並透過經驗探索，其 學習表現會越好，亦能幫助學童提升機率思考之層次。

二、 國外相關研究：

(一) Piaget & Inhelder（1975）的認知發展觀點

Piaget & Inhelder 為了瞭解學童在機率概念的認知與發展情 形，設計了許多機率實驗。根據兩人的研究結果，可依年齡將學童 的機率概念發展區分為運思前期、具體運思期及形式運思期三個階 段。根據皮亞傑的理論，認知發展是由基本感覺基模再重新建構為 更複雜的認知結構，再進入運思前期，爾後再進入具體運思期，底 下將此三階段分述如下： 1. 第一階段為運思前期 約出現在 4~7 歲，此階段的學童對於機率的初步概念尚未形 成，無法區分「可能」（possible）事件與「必然」（necessary） 事件，所謂的「可能」事件是指事件不一定會發生；而「必然」事 件則表示事件一定會發生。另外此階段的學童也缺乏邏輯推理能 力，因此在比較機率大小時，常受無關因素，如顏色喜好、數字或 先前出現較多次數事件的影響。例如：有A、B兩事件，若A在前 幾次出現的次數比較多，此時期的兒童會預測下一次將會出現B， 其理由是「B常被跳過」。 2. 第二階段為具體運思期 約出現在 7~11 歲，此階段的學童能夠理解「可能」事件、「必 然」事件以及「隨機混合」（random mixture）的概念，但無法以 系統性的方式去產生一個有系列性的機率概念，此時的學童未具有 組合技巧或是使用數學方式對機率情境抽象化。 3. 第三階段為形式運思期 約出現在 11 歲之後，此階段的學童具有機率概念，已能列舉 出一實驗完整的樣本空間，同時也能使用分數計算與估測一事件發 生的可能性，並且開始發展他們的組合分析能力，亦能夠瞭解相對 次數（relative frequency）（大數法則）的極限 。 (二) Fischbein（1975）的學習發展觀點 Fischbein（1975）提出一個關於學習發展的方法，藉以用來解

釋學童如何獲得機率概念。根據 Fischbein 的研究指出：Piaget & Inhelder（1975）的認知發展觀點有兩個明顯不足的地方，其一是 機率學習成長方面的發現，其二是 Piaget & Inhelder 輕忽了學習 所導致機率概念形成的過程。Fischbein 曾將直觀分為「初始直觀」 （primary intuition）與「第二直觀」（secondary intuition）， 所謂的「初始直觀」乃是指教學未介入前的想法與信念，它是學童 每天從日常生活經驗中自然發生形成的；「第二直觀」則是個體在有 系統的指導下，所產生之新的認知與信仰。在研究中，Fischbein 認為即使是運思前期階段的學童，也有對機率先前概念的瞭解，這 些概念是由初始直觀建立的，學童倘若經過有系統化的教學，這些 初始直觀會轉化為第二直觀，學童因而獲得機率概念的意義。所以， Fischbein 之學習發展觀點和 Piaget 所提出的兒童機率發展階段理 論是有所不同的，Piaget 強調從一個階段過渡到另一個階段是根據 生物學的發展，而不是受到學習過程的刺激；Fischbein 則主張藉 由系統化的教學，可促使學童由具體運思期提升至形式運思期。 (三) Bognar & Nemetz（1977）的看法

Bognar & Nemetz 的研究是針對不同年齡的學童可以提供的機 率教學，研究中提及到：

1. 七、八歲的學童可以教導簡單的機率概念，如確定事件（certain events）、不可能事件（impossible events）以及互斥事件（mutually exclusive events）。

2. 九、十歲的學童可以教導較可能事件（more likely events）、較 不可能事件（less likely events）或是次序事件（order events）。 3. 在十一至十二歲的學童可以教導相對次數（relative frequencies）

及畫表示機率的圖表，如樹狀圖。

4. 在十三至十四歲可以教導獨立（independent）和相關（correlated） 事件。（轉引自陳欣民，民 91）

(四) Green（1983a, 1983b）之主張

階段，Green 曾探究英國 3000 位十一歲到十六歲的學生。從研究中 發現到：大部分十六歲的學生尚未發展到形式運思期的階段，例如： 一個箱子有三個黑球和一個白球；另一個箱子有六個黑球和二個白 球，幾乎 50﹪的學生會認為：裝有六個黑球和二個白球的箱子選到 黑球的機會比裝有三個黑球和一個白球的箱子機會大。研究結果顯 示，學生對於判斷機率值大小的基礎重要概念－「分數概念」仍不 甚瞭解，因此 Green 給了底下三個建議： 1. 「分數概念」在機率概念的理解上相當重要，而此階段的學生對於 比值概念尚未充分的瞭解。 2. 學生使用機率的一般語言，例如：「可能」、「至少」、「必然」或「不 可能」時，顯示其機率概念模糊且薄弱。 3. 唯有學校有系統的教學內容才能夠減少學童在學習機率概念的一 些迷思想法。

(五) Fischbein, Nello & Marino（1991）之研究

Fischbein, Nello & Marino（1991）想要對學童的機率思考的 直覺障礙有進一步的瞭解，於是選定義大利比薩城的 211 位國小 四、五年級學童、278 位先前未與機率教學接觸以及 130 位接觸過 機率教學一至三年級的國中生進行調查研究。問卷內容包括三大部 分：「可能、不可能及必然事件之辨認」、「具相同數學結構，但不同 機率實驗情境兩事件發生機率之比較」與「兩複合事件發生機率之 比較」，其研究結果如下： 1. 心理學觀點概念之機率在某些方面似乎較一般人想像中還要困 難，倘若欲藉由教學來發展一個顯著的、正確的、有條理的、正式 的及直覺的機率推理背景，必須先排除大量的誤解、迷思概念、成 見以及情緒因素。造成學童對機率概念歪曲的主因可能是語言上理 解的困難、欠缺邏輯組織能力、對從具體機率實驗情境抽出數學結 構感到困難或是接受機會事件可能來自於「確定模式預測」 （deterministic－predictive）觀點之分析感到困難。 2. 受試者對於「可能」（possible）、「不可能」（impossible）及「必