本章將綜合研究的結果與發現提出結論，並針對目前教育體制下機率教材 內容之設計、機率概念教學與今後進一步之相關研究提出建議。其中第一節為 結論的部分；第二節為建議的部分。
第一節 結論
本節將以兩個部分來呈現三位未接受過機率之課程與教學的國小四年級 兒童，目前所持有的機率概念：第一個部分為研究個案在「事件發生的必然性 及可能性」、「樣本空間」、「事件機率」、「機率比較」、「經驗機率」、「條件機率」
以及「獨立事件」組成之表現情形。從前一章的研究結果可以發現：兒童雖未 正式接受過機率之課程與教學，但其對於機率初步概念之瞭解並非全然空白，
甚至超乎一般人的想像空間；第二個部分為研究結果與 Jones et al.（1999）
所提出之理論架構做對照。本研究與 Jones et al.理論架構對照之下，發現國 內學童的表現與國外學童不盡相同，並進一步驗證 Jones et al.理論架構，做 為我國兒童機率概念理解之理論基礎是否適宜。底下茲將兩大部分呈現如下：
壹、 晤談個案於各組成之表現情形 一、 事件發生的必然性及可能性
(一) 兒童會使用確定的用語，例如：「不可能」、「一定」、「可能」來判斷 事件發生的必然性及可能性。
(二) 兒童使用「中間值策略」判斷降雨機率可能性之大小：所謂的「中 間值」策略，即兒童傾向以降雨機率 50﹪做為判斷之依據標準，凡 降雨機率高於 50﹪，則明天降雨機率略高；反之則略低。
二、 樣本空間
(一) 兒童無法列出二階以上隨機實驗之完整的樣本空間：此處所謂的二 階隨機實驗，例如：「連續投擲一枚硬幣兩次，所有可能出現的樣本 空間為何？」即為二階隨機實驗。
(二) 兒童不會因為樣本空間中之元素少而容易理解，研究發現在「擲骰 子」、「玩撲克牌」、「塗顏色」等問題上，兒童之表現優於「擲銅板」
問題。
(三) 兒童在解決樣本空間的問題經常採用三種策略：
1. 「樹狀圖策略」：使用形如樹枝狀層層向外擴充之解題策略，用以 解決樣本空間的問題。
2. 「里程計策略」：先固定前項的數字，再變動後項的數字，等到後 項所有可能的數字皆出現之後，再以相同的方法排出其他不同的結 果。
3. 「最大遷移策略」：先固定中間項（如 g），然後再將前後兩項（如 r，b）位置互換，便可以產生兩種不同的排列情形：rgb、bgr。
(四) 對照 Jones et al.（1999）之理論架構，三位兒童在「樣本空間」
組成已達層次二或介於層次二與層次三之間。
三、 事件機率
(一) 兒童已能藉由定量的方式去預測最可能、最不可能的事件。
(二) 兒童已能使用「百分數策略」來回答非連續量事件機率之大小，但 對於無法被整除的題目就只能大略的表示，無法使用精確的百分 數，詳見圖 4-1-1 所示。
(三) 兒童使用「面積策略」判斷轉盤上各個顏色事件機率之大小，但無 法精確量化機率值。所謂的「面積策略」即為：轉盤上各種顏色所 占面積之大小來決定事件發生可能性的大小。
(四) 對照 Jones et al.（1999）之理論架構，三位兒童在「事件機率」
組成上已達層次二或層次三。
四、 機率比較
(一) 兒童使用「更多策略」來進行機率比較。所謂的「更多策略」就是 選定對於目標顏色最有利的情況，亦即選擇目標顏色面積較大者。
(二) 兒童使用「百分數策略」或「分數策略」進行機率比較，並進一步 分辨「公平」和「不公平」的機率事件。
(三) 以「動作技能」為情境之機率比較問題上，兒童以「經驗法則」做 為機率比較之策略。例如：在「射飛鏢」活動中，兒童認為目標區 塊較大者，射中的機率較大，却忽略了目標區塊多寡之問題。
(四) 兒童使用「搬動策略」或「合併與搬動策略」進行機率大小之比較。
(五) 對照 Jones et al.（1999）之理論架構，三位兒童在「機率比較」
組成上分別達層次二、層次三與層次四。
五、 經驗機率
(一) 兒童常以自己的經驗或直覺來判斷經驗機率。
(二) 在進行經驗機率比較之情境中，未具有「大數法則」的概念。
(三) 兒童預測投擲銅板的隨機性，傾向採用公平、平均的觀點
(四) 兒童在理解經驗機率時，會使用底下三種策略分配n次抽取後，各 樣本點可能出現的次數：
1. 「整除策略」：根據各樣本點數量多寡來大致分配n次抽取後，各樣 本點可能出現的次數。
2. 「均分策略」：採用平均分配的方式，預測n次抽取後，各樣本點的 可能分佈情形。
3. 「比例策略」：依據各樣本點在小樣本的分佈情形，按照比例分配 在n次抽取後的可能分佈情形。
(五) 對照 Jones et al.（1999）之理論架構，三位兒童在「經驗機率」
組成上分別達層次一、介於層次一與層次二之間或介於層次二與層 次三之間。
六、 條件機率
(一) 設某樣本點去除後，剩下的樣本點所成之事件為A，在A事件發生 之條件下，晤談兒童B事件發生之機率時，發現底下三原則：
1. 「相對變大原則」：在A事件發生之條件下，兒童在判斷B事件發 生之機率時，主要根據A事件發生之前後，各樣本點數量之消長關 係相互比較，進而判斷出B事件發生機率之變化。
2. 「消失不變原則」：兒童僅全神貫注於某樣本點已被取得的事件 上，卻無法明白B事件發生之機會已經增進，因為A事件的元素已 經較先前減少。
3. 「分數原則」：兒童清楚知道A事件中的元素已較先前減少，並會 使用「分數」的形式正確表示B事件發生之機率。
(二) 設在提供線索之條件下，兒童以「樣本點數量多寡之變化」為依據，
辨識出機率值之改變，並使用底下三種策略決定機率值：
1. 「分數策略」：使用「分數」的形式表示機率值。
2. 「除法策略」：採用「整除」的方式計算出機率值。
3. 「二分法策略」：根據「猜中」或「猜不中」的概念，判斷機率值。
(三) 對照 Jones et al.（1999）之理論架構，三位兒童在「條件機率」
組成上分別達層次二、介於層次二與層次三之間或介於層次三與層 次四之間。
七、 獨立事件
(一) 兒童能根據生活經驗判斷兩個情境間之關係：晤談發現兒童在回答 射箭靶及考試情境的問題中，會以生活經驗判斷兩個事件的相關性。
(二) 在連續投擲骰子或銅板K次的隨機實驗中，晤談兒童第K+1次投擲 可能出現的情形，兒童採用底下兩種策略解決問題：
1. 「等機率策略」：兒童知道在投擲銅板的隨機實驗中，銅板出現正、
反面的機會各占一半，由於各樣本點出現的機率相等之故，所以第 1
K+ 次的結果仍不受前K次的影響，而認為每一次投擲的結果互不 相關。
2. 「代表性策略」：在投擲銅板與骰子的隨機實驗中，兒童會依據先 前K次投擲的結果來推斷第K+1次可能出現的結果，而無法辨識出 每一次投擲的結果是互不相關與影響。
(三) 兒童認為「連續投擲一顆公正的骰子n次」之隨機實驗與「同時投 擲n顆公正的骰子一次」之隨機實驗有差異。
(四) 對照 Jones et al.（1999）之理論架構，三位兒童在「獨立事件」
組成上已達層次二或介於層次二與層次三之間。
貳、 研究結果與 Jones et al.（1999）所提出之理論架構做對照 一、 研究結果與 Jones et al.研究結果之相同處
(一) 在「樣本空間」、「事件機率」、「機率比較」及「條件機率」四個組 成中，有一個案的思考層次在此四個組成，達成一致性。
(二) 三位晤談個案皆是在「樣本空間」的思考層次落後於「事件機率」
和「機率比較」。
(三) 「樣本空間」、「事件機率」、「機率比較」及「條件機率」這四個組 成，是相互依存、互相支持的。
二、 研究結果與 Jones et al.研究結果之相異處
(一) 在「樣本空間」、「事件機率」、「機率比較」及「條件機率」這四個 組成的表現上，國內兒童以「樣本空間」組成的表現最為落後。但 Jones et al.的研究結果卻顯示，國外兒童在「條件機率」組成的 表現較為落後。
(二) 所挑選之晤談個案皆為智能中上之兒童，故在六大組成上，僅僅一 個案在「經驗機率」組成上，出現層次一的思考層次。亦因晤談個 案皆未接受過正式的機率課程與教學，故幾乎未曾出現層次四的思 考層次。
三、 Jones et al.（1999）理論架構之驗證
(一) 與 Jones et al.的理論架構做對照，發現僅以四個層次來區分兒童 的機率概念思考層次略顯不足，可再細分成較多的子層次，並增加 每一層次兒童機率思考概念之描述，較能符合臺灣兒童機率概念思 考層次之劃分。
(二) Jones et al.的理論架構僅就各組成所到達的思考層次做分析，並 無涉及到六大組成「橫向比較」之問題。研究發現：僅一晤談個案 在六大組成的思考層次表現較為一致，另兩位則呈現較不一致的狀 況。此問題的存在，在 Jones et al.的理論架構並未詳細描述。
第二節 建議
綜合本研究的結果與發現，尚未接受過正式機率課程與教學的兒童對於機 率概念雖然已有初步的認識，但對於機率課程上的專有名詞，例如：「經驗機 率」、「大數法則」、「理論機率」的真正意涵卻仍不理解，加上兒童在機率概念 各個組成上的表現皆未達數量化之階段。故本節欲藉由研究所獲得的結果，對 現今教育體制下機率課程內容之編排、機率教學以及未來研究方向提供建議。
壹、 機率課程編排上之建議
一、 利用「螺旋式課程」引入機率概念
綜觀第二章文獻探討所述，我國九年一貫數學領域之機率課程直到 國中三年級才真正引入，相較於美國 NCTM（2000）所提出數學課程標 準的相關建議與原則，在 Pre-K-2 階段就以非正式的課程設計逐漸融入 教學中，並且循序漸進的安排機率的相關課程。從本研究亦能看出，三 位未正式接受過機率課程與教學之四年級學童，對機率之初步概念已有 所認識。故由此觀之，機率課程並非要等到國中三年級才真正引入，建
綜觀第二章文獻探討所述，我國九年一貫數學領域之機率課程直到 國中三年級才真正引入，相較於美國 NCTM（2000）所提出數學課程標 準的相關建議與原則，在 Pre-K-2 階段就以非正式的課程設計逐漸融入 教學中，並且循序漸進的安排機率的相關課程。從本研究亦能看出，三 位未正式接受過機率課程與教學之四年級學童，對機率之初步概念已有 所認識。故由此觀之，機率課程並非要等到國中三年級才真正引入，建