5-1 結論
本文以邊界元素法建立一非線性數值造波水槽，使用直推式造波 板模擬非線性 Stokes 波，並且消除造波板引起的二階自由波，另外於 水槽末端置入海綿層及幅射邊界條件，藉以降低波浪反射造成的影 響，確保數值分析上的精確度，數值水槽所模擬之非線性 Stokes 波與 五階 Stokes 理論波形相互比較，結果顯示兩者波形相當一致。確認數 值造波模式可行後，在數值水槽內分別設置單一穿入式防波板與兩平 行穿入式防波板，模擬波浪通過防波板後之變化，並利用頻譜分析計 算其透射率，數值計算結果可歸納成下列幾點結論:
1. 本研究之數值模式是在時間領域的計算方式下進行模擬，時間間 距δt的切割若愈細微，便能增加模式的穩定與精確度，而元素長 度δs若能切割愈細微，模式也愈穩定，但相對都將增加模擬過程 所需的時間。在此考量下，本模式取δt為 T(週期)/128，單元長 度δs為 L(波長)/30。
2. 由數值造波板所造出的非線性波，除了 Stokes 波以外，還存在自 由波。本模式在消除自由波後，比較消除前後之非線性波形，消 除自由波後的波形呈現常數值波形，証實消除二階自由波的必要 性與可行性。為了消除反射波，在水槽底端設置 3 倍波長長度的
56
海綿層並配合輻射邊界條件，使用適當的海綿阻滯係數，自由水 面波形與 Stokes 五階理論波形非常穩合，表示本數值模式具有良 好的準確性。
3. 本文於數值水槽造出非線性 Stokes 波，使波浪經過穿入式防波板 作用，擷取防波板後方穩定 4 個週期的波高資料，利用頻譜分析 計算求得其透波率，並與 Wiegel (1960)的實驗結果作比較，驗證 顯示雖然在透射率上有些微的差異，但是本文模式與 Wiegel 的實 驗結果有相同之趨勢，表示本文數值模式具有良好的準確性。
4. 本研究之數值計算結果與吳和劉的數值結果相互比較後發現有 相似的趨勢，波浪通過防波板後的透射率在kh=1.0~3.0間先升高 而後迅速遞減。本模式以非線性波理論所模擬之透射率較吳和劉 的數值結果小，其原因是當非線性波之尖銳度愈大時，其非線性 效應愈大，而對應的透射率則愈低。
5. 在單一或兩平行防波板之情況下，波浪通過防波板之透射率皆隨 著相對水深 kh 的增加而降低。
6. 在單一或兩平行防波板之情況下，波浪通過防波板之透射率皆隨 著尖銳度 H/L 的增加而降低。
7. 在相同條件的入射波情況下，考慮改變防波板的沒水深度，波浪 通過防波板後之透射率會隨著沒水深度的增加而降低。
57
8. 在相同條件的入射波情況下，考慮改變防波板的寬度，波浪通過 防波板之透射率隨防波板寬度的增加而遞減。
9. 不論在單一或兩平行穿入式防波板之水槽中進行模擬，波浪通過 防波板之透射率會隨著防波板傾斜角度θ的不同而改變，傾斜角 度愈大時，波浪沿著防波板溯上的高度愈高，反射波愈大，導致 透射率亦愈低。
10. 在設置兩平行穿入式防波板之數值水槽模式中，透射率隨著兩板 間距 q 的增加呈現類似週期性之變化，在特定的間距情況之下，
對應著極低的透射率，抑或是波浪在兩防波板之間產生共振，導 致有極高之透射率。
11. 在設置兩平行穿入式防波板之數值水槽模式中，改變兩不同深度 防波板前後擺放之順序，對於透射率之影響極為有限。
5-2 建議
本文對於今後之相關研究，條列出以下幾項建議:
1. 本文數值模式中，模擬經過一定時間後，會出現由造波板邊界所 產生的二次反射。置入防波板之情況下，波浪需要更長的時間才 能達到穩定，因此必須增加水槽長度，以延後二次反射發生時間。
另外，可以發展其他方法模擬造波水槽，避免二次反射，方能不 必增加水槽長度，亦能減短模擬所需時間。
58
59
2. 可考慮在防波板表面加上適當的粗糙度或孔隙率，以消減波浪沿 著防波板溯上過程中之能量，使透射率結果更接近實際情況。
3. 本文建議模擬時之計算元素大小約為一個波長 30 點(L/30)，若點 數不足則無法顯現非線性效應，造成模擬不真；若點數過多，則 模擬時間相對增長，亦可能因為模擬過程中，質點間距過大或過 於密集造成模擬過程中的不穩定。
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參考文獻
1. Brorsen, M. and Larsen, J., “Source generation of nonlinear gravity waves with the boundary integral equation method”, Coastal Eng., Vol.11, pp. 93-113, 1987.
2. Brebbia, C. A. and Dominguez, J., Boundary Element: An Introductory Course, McGraw-Hill, New York,1989.
3. Chou, C. R. and Shin, R. S., “Generation and deformation of solitary waves”, China Ocean Eng., Vol.10, No.4, pp.419-432, 1996.
4. Chou, C. R. and Shin, R. S., “Numerical generation and propagation of periodical waves in time domain”, Coastal Eng. in Japan, Vol.39, No.2, pp.111-127, 1996.
5. Dold, J. W. and Perpgrine, D. H., “Steep Unsteady Water Waves : An efficient computational scheme”, Proc. 19th Intl. Conf. On Coastal Eng., pp. 955-967, 1984.
6. Faltinsen, O. M., “A numerical nonlinear method of sloshing in tanks with two-dimensional flow”, J. of Ship Research, Vol.22, No.3, pp.193-202, 1978.
7. Fenton, J. D., “A Fifth-order Stokes Theory For Steady Waves” , Journal of Waterways and Harbors Division, ASCE, Vol.111, pp. 216-234, 1985.
8. Greenberg, M. D., “Application of Green’s functions in science and engineering”, Prentice-Hall, 1971.
9. Grilli, S.T., Skourup, J. and Svendsen, I.A., “An Efficient Boundary Element Method for Nonlinear Water Waves”, Eng. Analysis with
61
Boundary Elements, Vol. 6, pp. 97-107, 1989.
10. Liu, P. L-F. and Abbaspour, M., “Wave Scattering By A Rigid Thin Barrier”, ASCE, Vol. 108, No. WW4, pp. 479-491, November, 1982.
11. Losada, I.J., Losada, M.A., and Roldan, A.J., “Propagation Of Oblique Incident Waves Past Rigid Vertical Thin Barriers”, Applied Ocean Research, 14, pp. 191-199, 1992.
12. Wu, J.k. and Liu Philip L.-F., “Interaction Of Obliquely Incident Water Waves With Two Vertical Obstacles”, Applied Ocean Research, Vol.10, No.2, pp. 66-73, 1988.
13. Madsen, O. S., “Waves generated by a piston-type wavemaker”, Proc.
12th Coastal Eng. Conf., pp.589-607, 1970.
14. Nakayama, T., “Boundary element analysis of nonlinear water wave problem”, Int. J. for Numerical Method in Eng., No.19, pp.953-970, 1983.
15. Ohyama, T. and Nadaoka, K., ”Development of a numerical wave tank for analysis of nonlinear and irregular wave field”, Fluid Dynamics Research, 8, pp. 231-251,1991.
16. Sugino, R. and Tosaka, N., “Large amplitude sloshing analysis in a container with multi-slopped wall by boundary element method”, Advances in Boundary Elements Methods in Japan and USA , pp. 307-316, 1990.
17. Wiegel, R.L., “Transmission of Wave Past a Rigid Vertical Thin Barrier”, Journal of Water Port Coast and Ocean Engineering, ASCE, Vol.86, No.1, pp.1-12, 1960.
18. 吳永照， “ Constant wave form generated by a hinged wavemaker of
62
finite draft in water of constant depth.＂，第 9 屆全國海洋工程會議，
第 552-569 頁，1987。
附錄 A 二階自由波之關係式
dz
=
附錄 B 曲線近似法(Cubic Spline)
在本文中，自由水面的波形角度及其他參數在切線方向的微分，
皆是藉由 cubic spline 的方法來計算求得。Cubic spline 主要是以三次 多項式的方式來將一系列之數據點連接起來，透過其計算將可以得到 數據點的切線斜率及其曲率。以下簡單的說明這個模式方法：
若一曲線經過一系列之數據點(si,Fi)，則可將 F 表示為
F =F(s) (B-1)
s 為曲線參數，此參數必須選擇一嚴格參數，即：
s0 <s1 <s2 <LL<sn
在本文對於自由水面移動的問題中，選擇曲線的弧長來當作曲線 參數，其值為：
s0 =0; si =si−1+di−1 (i=1,KK,n) (B-2)
di = (δxi)2 +(δzi)2 (i =0,KK,n−1) (B-3) 其中
δxi =xi+1−xi ; δzi =zi+1 −zi )
, , 1 , 0 )(
,
(xi zi i= KK n 為自由水面邊界點的座標值。
假設總共有 n+1 個數據點，則會有 n 條小曲線存在。第 i 條小曲 線，其會在(xi,zi)與(xi+1,zi+1)之間，可令其曲線方程式為
F(s)=ai(s−si)3 +bi(s−si)2 +ci(s−si)+di (B-4) 因為曲線必須經過數據點，所以
67
Fi =di (B-5)
把ai,bi,ci,di的值用前面解出來的結果代入，會得到下面的式子：
，則可得到另外兩個方程式，在本文中使用 Lagrangian polynomial 來估算起末端斜率，求得之後可由(B-11)得到
Si 最後再將對 之所有方程式(B-13)、(B-14)、(B-15)寫成矩 陣程式，可得
Sn
S S0, 1,...
69
附錄 C 轉角處的合適條件
在某些例子裡，轉角處(coner points)的φ及 (或是 及 ) 之間的幾何關係(合適條件)是可以知道的。且它們必須隨著時間而自 動滿足數值解，否則隨著計算時間的增加，可能會因為誤差的累積造 成對數值結果的不確定性。因此必須藉由在每個時刻裡，確定其確切 的 關 係 來 減 少 整 個 誤 差 。 在 以 下 的 敘 述 中 ， 雖 然 是 提 出 來 用 在 ( ∂s
∂φ ,∂n
∂φ
)，然而其亦可適用在(
t∂s
∂
∂2φ ,∂t∂n
∂2φ )。
71
a. 左側轉角處 b. 右側轉角處 圖 C-1 轉角處合適條件
當部分邊界的速度勢為已知時，則 亦可被計算求得，如圖 C-1 假 如自由水面與固體邊界交接點在第
k
、l
段元素之間，當速度勢及 求 得之後，因為在轉角點兩側的速度向量會相等，所以u=(φs)lcosβl−(φn)lsinβl =(φs)kcosβk −(φn)ksinβk (C-1) w=(φs)lsinβl +(φn)lcosβl =(φs)ksinβk +(φn)kcosβk (C-2) 或寫成
(φs)lcosβl −(φs)kcosβk =(φn)lsinβl −(φn)ksinβk (a)
∂n
∂φ
t∂n
∂
∂2φ
∂t
∂φ
∂s
∂φ
∂s
∂φ
(φs)lsinβl −(φs)ksinβk =(φn)kcosβk−(φn)lcosβl (b)
附錄 D 平滑技巧(Smoothing technique)
幾乎所有的計算，經過一段長時間的模擬後，波形會呈現鋸齒 狀。經過計算的自由水面點位置會交替地位於光滑的曲線上方和下 方。實驗結果顯示，這種不穩定的成長速率與模擬時間長短無關，由 此可知產生鋸齒狀不穩定情形的原因並不單純由誤差累積所引起。在 現實的環境裡，水的黏滯性可以降低此不穩定的狀況，由於本文已忽 略水的黏滯性，故需適當處理方能得到平滑的自由水面波形。
為了維持模擬環境的穩定，必須使用數值方法有效地去除鋸齒狀 的不穩定情形。本文採用 Longuet Higgins 和 Cokelet(1976)所提出的 五點平滑公式，公式如下：
73
(
2 4 1 10 4 1 2)
16 1
+ +
−
− + + + −
−
= j j j j j
j f f f f f
f (D-1)
因上述公式無法使用在自由水面的第二點與倒數第二點，故對於此兩 點本文採用 Sugino 和 Tosaka(1990)所提出的平滑公式，如下所示：
於第二點使用以下公式:
(
2 4 1 10 4 117 1
+
−
− + + +
−
= j j j j
j f f f f
f
)
(D-2) 於倒數第二點使用以下公式:(
4 1 10 4 1 217 1
+ +
− + + −
= j j j j
j f f f f
f
)
(D-3) 利用上述公式來計算下一時刻的ξ、ς、φ，方能消除鋸齒狀的不 穩定情形，並能維持模擬環境的穩定性。附錄 E 模式中能量的定義與推算
水槽內之總能量(Total Energy)即總動能(Total Kinetic Energy)與 總位能(Total Potential Energy)的和，而總動能及總位能的推算分別如 下:
∫
75
Γ⎣ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ds ds ⎠⎦⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛ −
⎟⎟⋅
⎜⎜ ⎞
⎛ ∂Φ
Φ + Φ ∂
= dx j ds
dyi j i
∫
Γ ∂
Φ Φ∂
= ds
n 2
ρ
因此，總動能為
∫∫ ∫
Γ
Ω ∂
Φ Φ∂
⎥ =
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ Φ + ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ Φ
∂ ds
dxdy n y
x 2
2
2 2 ρ
ρ
總位能為 ，即以平均水位為基準，波動時波 浪所增加的總位能，其中η( tx, )為波動時之水位。
∫
dx1ρg η2 x t
surface
free ( , )
2