頻率領域(Frequency domain)的計算只適用於線性或者是弱非線 性的自由水面邊界值問題，然而真實的水面波動現象是屬於非線性問 題。因此在本文中，將針對一個完全非線性之自由水面邊界值問題，
在時間領域裡以邊界元素法為數值模式的計算方式來解決問題。在水 面點運動的模擬方面，則使用 Dold 和 Peregrine (1984)所建議的 Eulerian-Lagrangian 混合式數值技巧，自由水面點於下一時刻的新位 置和新速度勢是由泰勒級數(Taylor series)展開所求得。
3-1 邊界元素法
邊界元素法(Boundary Element Method, BEM)在過去三十幾年之 中，邊界元素法已經被廣泛的應用在水波的問題上。邊界元素法的理 論基礎與勢能函數(Potentail theory)相互輝映，並與奇異積分(Singular Integration)息息相關。
有限水深領域之中，海洋地形之變化所引起的波浪變形、透水性 土壤，或者是水中結構物與波浪之間的交互作用等問題，可視為二維 度問題，可由若干種解析方法得到解析解，但是都僅限於簡單之海底 地形且結構物為矩形。而邊界元素法可以解析波浪通過複雜之海底地 形所引起波浪的變形問題，或者是波浪與各種形狀結構物之間的交互 作用問題。對一邊界值問題而言，如果已知其控制方程式在自由空間 的Green 函數(Free space Green function)，便可應用 BEM 來計算。對 於同一維度的問題而言，使用BEM 可以使其邊界元素之有效維度減 少一維，避免領域內繁瑣的計算。
應用BEM 解勢能流問題，首先要將待解的邊界值問題轉換為積
分方程式，BEM 的積分方程式是由 Green 第二恆等式推得： 度勢滿足Laplace equation，即
Φ
2Φ=0
∇ (3-2) 並令G 為下列方程式的解
∇2G=δ(x−xi,z−zi) (3-3) G 為自由空間之 Green 函數(Free space Green function)，δ 為dirac delta function。
在二維Laplace equation 的問題中，基本解為(Greenberg, 1971)
⎟⎠ 假定未知值在節點之間作線性的變化，此即為線性元素(linear element) 的定義，故可將(3-5)式離散化成：
依照線性元素的分析，Φ和Φn在各元素裡呈現性變化，故定義
) 文採用Eulerian-Lagrangian 描述法的觀念(Dold and Peregrine，1984)，
利用各邊界的初始條件，配合邊界元素法可以求得同一時刻虛擬造波
15
板邊界之速度勢 、自由水面邊界之法線方向導函數Φ Φn、底床邊界 與防波板邊界之速度勢φ 及輻射邊界之速度勢Φ與速度 ，此為 Eulerian 描述法。然而對於下一時刻各個邊界之邊界值，唯有自由水 面之邊界值無法直接求得，所以自由水面邊界在下一個時刻的新位 可用泰勒級數(Taylor series)展開計算，此為 Lagrangian 描述法。其泰 勒級數(Taylor series)展開示可表示成：
16
而Φ對時間全微分
數採用向前差分(forward difference)，原式改寫成:
)
度勢Φ、自由水面法線方向之流速Φn、輻射邊界之速度勢Φ和不透水
利用萊布尼茲法則(Leibniz rule)可將上式整理為
2
界元素法求得，各邊界上已知的條件為:
3-3 計算流程
dς 代入(3-21)、(3-22)、(3-24)或(3-25)式，計算求得 22 t
2
Φ代入Taylor 級數展開式(3-12)、(3-13)及(3-14)式，求得
下一時刻t = t+δ t水位資料ξ'、ς'、Φ′。
22
r0
( j j) Q' x ,z
,
ri j
Γ(boundary) Ω(domain)
γ nv
圖3-1 邊界元素法示意圖
1.給定初始值(t=t0=0)Φ,Φn,Φ ,t Φnt, ,x y
23
是
2.令 t=t0,已知的Φ,Φn,Φ ,t Φnt, ,x y
8. 自由水面
s
n
∂ Φ
∂ (cubic spline)
4.自由水面 , 22 ,β
s s
∂ Φ
Φ ∂ (cubic spline)
5. 自由水面u,w(3-16,3-17 式) dt d
t
Φ , Φ(DFSBC)
6. 求得未知的
nt
t Φ
Φ , (BEM)
7. 自由水面
s
t
∂ Φ
∂ (cubic spline) 3.求得未知的Φ,Φn(BEM)
10.自由水面 dt dw
du ,dt (Grill et 11.t=t+δt 自由水面ξ ,'ζ ,'Φ'(Taylor
12.所需模擬 時間T=t 9. 自由水面
∂s
∂β
(cubic spline)
否
圖 3-2 模式之整個系統的計算流程 13.令 t0=t
14.結束
Euler
Lagrange
N2
N1
N3
N4
(a) 純造波水槽
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
(b) 內置單一穿入式防波板之水槽
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
N9
N10
N12
(c) 內置兩平行穿入式防波板之水槽 圖3-3 各邊界線上節點設置分布圖
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