第一章 緒論
1-1 研究背景與動機
91 年第 2 次國中基本學力測驗，第 11 題，求三角形「面積」的問題如圖 1，一個 看似簡單的面積問題，卻在一次幫國三同學複習考古題時，班上答對人數不到二分之一，
再對照 103 年開始實施國中教育會考，依照這題的通過率，班上通過「基礎」的人數可 能都寥寥無幾，更何況「精熟」？研究者對這個結果感到憂心，於是開始了有關「面積」
的探索！
圖 1 91 年第 2 次國中基本學力測驗第 11 題
先由課程編排來看，九年一貫數學學習領域的課程綱要(教育部, 2008)教學目標分 成四個階段，茲就幾何相關部份整理如下：
第一階段 1、2 年級「數、量、形概念的掌握，簡單圖形之認識」。
第二階段 3、4 年級「慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的能力，並能以操作認 識幾何圖形的性質」。
第三階段 5、6 年級「能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其面積或體 積之計算。」
第四階段 7 至 9 年級，「幾何方面要學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱 與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何推理」。
依照教學目標所要達成的能力指標是環環相扣的，前後的學習是相輔相成的，如同 課綱說明中的第 3 點能力主軸：「如何引導並利用學生的前置經驗(或感覺)，這種數學的
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經驗(或感覺)就是數學的直覺或直觀。學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和 新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直觀。」和「在能力培養上，直觀讓學生能從根 本上，擺脫數學形式規則的束縛，豐富學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者 是兒童數學智能發展中的重要指標。」
研究者聯想到 JohnSweller, Paul Ayres , Slava Kalyugao 合著的 Cognitive Load Theory
（認知負荷理論）這本書，第一章所提到進化的觀點將知識分為先天與後天知識而這兩 者的差別，在知識的獲得如果是透過教學所獲取的知識為後天知識，但教學者若將後天 知識看成先天知識，這樣學習者就會造成很大的困擾；書中亦有提到人類認知就如同生 物的演化針對信息處理系統的組成分為信息儲存、借用與重組、隨機生成、改變狹隘範 圍變更、環境組織與連結等 5 項原則，面積知識的累積不也是如此。
從上述論點來看研究者所要討論的平面圖形「面積」，學生這個概念的發展過程的 脈絡為何呢？由能力指標在 1、2 年級階段之分年細目，同學對形體的辨識為重點，面 積可由堆砌或數數來建立其概念，這階段的學習是由操作及觀察去建立學生對圖形直觀 的概念，這部份的概念若不清楚，後續的學習應該會開始出現迷思概念所討論的情形；
再來進入 3、4 年級按能力指標之分年細目，此時同學對幾何圖形的性質開始探討，面 積的概念也透過切割重組過程去建立理解長方形和正方形的面積和周長公式，依指標來 看同學必須具備表徵的轉換能力才可以繼續進入下一階段；國小最後一階段 5、6 年級 按能力指標之分年細目，同學對不同幾何圖形（如：正方形和長方形）性質關係的連結 應可作出判斷，可切割並重組圖形且能理解面積關係，對平面圖形定義作出簡單說明(教 育部, 2008)，由此可知國小 1~6 年級，幾何圖形面積迷思概念存在的話，若未及時補 救，可能會影響國中階段的幾何學習；一次學區內中小學教師研習場合，小學教師談起 班上學生段考，數學成績及格人數約從三年級開始班上就會有一半的人是不及格，而這 群學生必須習慣不及格到他學習階段結束…；聽完對話，想起美國的前一任總統小布希，
簽署了「每個孩子都不放棄」法案，國內課綱素質指標強調「要把每一位學生都帶上來」，
研究者雖然任教於國中，但想到 9 年一貫，這群辛苦的國小學生還是會進入國中階段，
自己不得不去思索該如何面對他們的學習問題呢？
於是開始去搜尋面積、迷思概念相關資料，很多的研究都證實了學生對面積概念真 得很容易混淆，公式使用不正確，對於公式之由來並不了解其中的意義，周長和面積混
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淆，套用公式時也未必清楚，而只針對題目上之資訊套用公式，若只是靠背誦、記憶公 式來學習，將阻礙學生的推理能力(高敬文, 1989; 陳鉪逸, 1996; 譚寧君, 1998)；若 有電腦輔助如：動態幾何軟體 GSP、PPT 介入，學生學習成就提升，與對照組比較後會 有一定的差異(李俊賢, 2007; 許嵐婷, 2003; 陳秀雯, 2009; 黃琡懿, 2007)，研究中 也指出部份面積保留概念、估測概念並無差異，值得身為教師的我深思，電腦輔助下的 教材設計是否能針對學生心中平面圖形概念作建構呢？再來探究有關國小對面積補救 教學這部份，大量的補救教學相關研究，也證實了，利用電腦輔助如：電子白板、GSP、
PPT、遊戲等介入補救教學(李宏基, 2011; 林文慧, 2005; 林雅楓, 2011; 張令垂, 2008;
曾千純, 2002)確實可以改善接受補救教學的學生面積概念，研究中也提出了長時間下 來效益仍有待考驗。
在經歷了國小 1~6 年級教學後，7 年級學生幾何觀念究竟如何呢？研究者對這個問 題深感興趣，「青少年的幾何形狀概念發展研究(2/2)」由陳創義(2003)所做的全國性抽 樣調查，調查 7～9 年級學生幾何形狀概念發展情況，國科會的研究計劃給了研究者一 個很大的省思，平面幾何圖形的分類如表 1，調查結果顯示學生受典型例影響並沒有因 年齡增加而降低，報告的結論第 3 點「國中生對有關幾何形狀的敘述中的邏輯語詞以及 性質的描述，到了三年級能夠瞭解清楚不到 1/5」。雖學生對問卷題意或圖形定義會有一 定的看法，但報告中提到了很重要的訊息：大部份學生作答觀念是受「概念心像」影響 而非「概念定義」，這兩者的差別很明顯，若概念心像不正確或有模糊之處，那作答結 果必然不正確，這更印證了研究者在探討國小幾何教學時，學生是否有正確建構心中的 平面圖形概念這個疑問作了一個解答！
表 1
我國學生對於平面幾何圖形的分類摘要表
平面圖形的分類辨識 全體 國一 國二 國三
銳角三角形 11.8 6.8 5.7 23.3
正三角形 76.6 68.8 76.5 84.9
等腰三角形 7.3 4.1 4.9 13.0
（續下頁）
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平面圖形的分類辨識 全體 國一 國二 國三
正方形 76.6 75.0 71.9 83.2
長方形
（含/不含正方形） 18.3/49.2 13.1/57.9 15.0/44.9 27.2/44.4 平行四邊形 23.3 14.8 23.5 34.0
菱形 24.3 18.7 20.2 34.4
圓 11.5 11.4 9.7 13.4
至此回想教學過程，每當教到 8 年級下學期的三角形全等性質時，看到部份學生無 助的表情，放棄學習的心情想必是不好受的，何不開始來幫他們，陳創義(2007)「青少 年的幾何形狀概念『學習與教學』之研究」計畫成果中，提出分類概念教學，設計三角 形分類教學套件以改善國中學生三角形的辨識迷思，利用此概念在後續的研究中，以 7 年級學生為主的改善四邊形辨識迷思的教學策略獲得良好成效。(林柏嘉, 2008)
從 7 年級著手，研究者將歷年基本學力測驗的面積題型作一比較發現，若排除題意 解讀能力，基測題目只要具備基本面積概念即可作答，於是就決定以平面圖形面積補救 教學為幫助他們的第一步，並考量 8、9 年級幾何課程單元比重，就依能力指標 「S-3-06 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(N-3-22)」，搭配「S-4-04
能利用形體的性質解決幾何問題。」分年細目「8-s-19 能熟練計算簡單圖形及其 複合圖形的面積。」搭配九年一貫部編本第 9、10 冊及康軒版 8 年級課本自行設計補救 教學教材。面積概念在「相似三角形」單元，平行線截比例線段性質的說明，也是使用 三角形底、高和面積三者的對應關係來作性質說明，可見平面圖形面積概念之重要。
在搭配教材設計上，考量補救教學學生對知識累積不易，為使教材為易於控制和互 動，且畫面呈現有利記憶保留且可前後對照，於是使用 Powerpoint 平台並結合陳明璋博 士所發展的 AMA（Activate Mind Attention）增益集為兩組教材設計工具。由先前研究 者實驗證明可以得知，激發式動態呈現，搭配多媒體設計原則與認知負荷理論，可以輕 易建構一個適合教師和學生互動的課堂教學活動環境(李政憲, 2007; 李進福, 2006; 陳 明璋, 2008; 謝東育, 2009; 蘇柏奇, 2005)
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考量補救教學學生起點行為及成熟度，本研究嘗試不同的方法實施補救教學，運用 認知負荷理論的模組化概念以「長方形概括底高」為模組，並依照認知負荷理論與多媒 體設計原則呈現教材，再配合研究者口語及視覺引導，使學生得以運用此概念，以直觀 的方式引導學生連結三角形、平行四邊形、梯形的面積性質，透過觀察底和高二個變量 在平面圖形的關係，導正其概念心像，使其對面積公式能真正理解和應用，期能達成學 習目標完成補救教學的目的。
1-2 研究目的
本研究嘗試以長方形概括底高為模組下進行平面圖形（三角形、平行四邊形、梯形）
面積補救教學，結合認知負荷理論與多媒體設計原則，自製多媒體教材，並透過知覺引 導降低學生在訊息選取與組織的認知負荷，使學生得以思考，底和高二個變量在平面圖 形的關係，導正其對面積公式能真正理解和應用。
基於上述的動機與背景，本研究探討長方形概括底高為模組，對平面圖形面積補救 教學和一般以切割、拼合的面積教學進行比較，在學習表現與認知負荷方面的影響；另 外，透過學習效率與學習投入分數，觀察對兩組學生學習狀況。
1-3 研究問題
對照研究目的，本研究要探討的問題如下，長方形概括底高為模組進行平面圖形面 積補救教學對於學生：
1. 後測表現較以切割拼合為佳？
2. 延後測表現較以切割拼合為佳？
2. 延後測表現較以切割拼合為佳？