交通領域之應用方面

雙層數學規劃應用於交通領域的許多方面，例如盧華安(2002)利用雙層數學 規劃模型，研究定期航商共同派船聯營航線之規劃。而上層之目標式為A 航商與 B 航商之收益最大化；下層目標式為 A 航商利潤最大化。所使用的求解方法為以 敏感度分析為基礎之演算法(Sensitivity Analysis Based, SAB)。

馮正民(1997)提出大眾運輸補貼制度，將大眾運輸營運路線分為服務路線和 一般路線，進行虧損補貼和績效補貼。上層為中央政府追求各地方的補貼效益差 異最小，下層的目標則為地方政府追求各地方補貼效益最大，其限制式皆為補貼 款的預算。再經由敏感度分析證實：公式補貼款補貼業者比例、地方配合款等的 改變，都會影響計畫的選取以及補貼款的分配。

林楨家(2001)提出一個能提綱挈領地處理土地使用與運輸路網整合設計問題 的非線性多目標數學規劃模式。都市計劃草圖替選方案分析模式(Sketch layout model, SLM)經過 SLM-I, SLM-II, SLM-III 的演進，已可以同時處理土地、路網與 設施之配置，但在路網配置上，未能分析旅運行為，故此模式則是將SLM-III 列 為上層問題，目的在決定土地使用、運輸路網以及公共設施之配置；下層問題為 旅次分布與路網指派整合模式。目的在依據上層問題配置內容分析旅次分布與路 網指派等旅運行為，所決定之旅行時間再放回上層來分析問題。使用的求解方法 為屬遺傳演算法之一的CGAC(Cumulative genetic algorithm with constraints)啟發 式演算法，其具平行尋優能力，適合處理局部最佳化特性問題。

鄭力寬(2003)研究將營運者與旅客的需求分為上下兩層的數學規劃形式，並 利用雙層數學規劃方法以及敏感度分析資訊來進行測試，其中上層是為營運者的 最適訂價問題，其中票價變動的範圍與發車班次的限制為上層問題的限制式，下 層為旅客的選擇問題，並利用敏感度分析資訊將下層問題視為上層問題的限制式 來進行求解。

張亦寬(2004)在此論文中要建構出高鐵的票價制訂。需追求營運者的收益最 大，也需滿足旅客的旅行成本最小，雙方不同的目標但又互相影響，所以以雙層 數學的概念來規劃。旅客需求模式為下層問題，列車服務之容量就為下層問題的 限制式。營運者之里程訂價模式為上層問題，以高鐵所提供的不同的列車服務來 做差別訂價。

Chen(2004)利用雙層數學規劃的觀念，構建一動態號誌控制系統，上層為系 統總旅行時間最小化，下層為變分不等式的用路人均衡模型。在求解過程中，若 直接採用目標函數對號誌變數偏微作為尋優方向，則依據連鎖率，路段流入率必 須對號誌變數偏微，但由於此函數不具封閉性型式，因此無法直接求出其導函 數。此一問題可藉由敏感度分析加以克服。而變分不等式敏感度分析理論，必須 滿足均衡解為局部唯一解之假設，但用路人均衡問題無法滿足這個假設，因此在 這篇研究裡利用廣義反矩陣，針對Tobin and Friesz所提出演算法進行修正，以連 鎖率獲得路段流入率函數對號誌變數偏微資訊。

陳敬文(2006)在此研究係根據Nagurney et al.(2005)所提出之逆供應鏈網路均 衡，將逆供應鏈網路問題建構為雙層規劃模型。上層為系統最佳化問題，在預算 的限制下，以逆供應鏈網路總成本最小為目標；下層為符合Wardrop第二原則的 逆供應鏈網路流量均衡問題。

Cao and Chen(2006)文中利用雙層數學規劃構建一個區位選擇的數學模型，包 含了區位選擇和生產兩部份，而這兩部分是屬於不同的決策層級，主公司是屬於 上層的決策單位，目標式為最小化場站開啟成本和開啟場站中未使用容量的機會 成本，而下層為決定的場站本身，目標式為最小化場站營運成本。

池昆霖(2006)文中論述區位途程與易腐性商品排程的問題。將生產排程、車 輛途程兩種問題加以整合，為ㄧ雙層混合整數規劃模型。上層追求的目標是最小 化開啟場站成本與車輛途程成本，而下層目標式為製造廠利潤最大化。此研究亦 同時研提一啟發式求解演算法：上層部分先暫時固定場站位置，再求解下層問 題，下層部分利用分解(Decomposition)的概念將問題分解成生產排程問題與車輛 途程問題；生產排程部份採用Nelder-Mead 演算法來求解，至於配送部份利用修 正後的插入法(Insert method)來建構初始解。

李治綱(2002)應用雙層數學規劃來建構鐵路列車服務模式。對高速鐵路營運

對營運績效最好的服務計畫；對旅行者而言，通常只在現行之鐵路運輸服務中做 選擇，並不思考其行為對鐵路營運者之影響。所以此研究以雙層數學規劃來反映 營運者與旅客的不同觀點。在這個雙層數學規劃中，營運者之列車服務選擇為上 層問題，旅客選擇之列車需求模式為列車服務設計模式之下層問題。下層問題 中，旅行成本受到上層問題中列車服務變數影響，上層問題中營運績效受到下層 問題中服務選擇的影響。而此研究使用以敏感度分析為基礎之求解演算法來求解 問題。

Brotcoren et al. (2000)將雙層數學規劃應用於貨物的費率設定問題。該問題的 上層包含了一群互相競爭的貨物運送人，而下層的對象是單一的貨物託運人。在 上層，領導者的利潤來自於總徵收費，然後下層的託運人則是追求運送成本的最 小化。

Huang等人(2006)則是利用遺傳演算法以及地理資訊系統來求解多目標的旅 行銷售員(Traveling salesman problem, TSP)路徑規畫問題。在過去關於TSP的問題 研究，多僅考慮最小化運輸成本、旅行距離或是旅行時間。這篇研究則是應用旅 行觀光的路線規劃，而路線則是由四個旅行業者在選定的區域做規劃。而路線設 計規劃考慮四項準則，包含了旅行時間、車輛操作成本、安全以及行經路線風景 品質等。這樣多目標的觀光路線可作為TSP問題的延伸。上層的問題為確定各準 則的權重為何，而下層決定最佳的觀光路線時，是基於上層所給的各權重。這四 個準則是用GIS的空間分析來量化，以及推估每一段的成本。因為不同的標準在 路線選擇過程扮演不同的角色，以及需要從多點中決定出最佳順序，所以則使用 了雙層遺傳演算法。

表 2.2 雙層數學規劃應用於交通領域之文獻彙整表

表2.2 雙層數學規劃應用於交通領域之文獻彙整表（續） 演算法(Sensitivity Analysis Based, SAB) z Bell’s Interative Balancing

Chen H. 演算法(Sensitivity Analysis Based, SAB)

陳惠國，池昆霖

表2.2 雙層數學規劃應用於交通領域之文獻彙整表（續） 以有Kth-Best法、KKT法、互補法、變數淘汰法等方法可以應用解題；若不為線 性題目，則解題方法則可以採用分支界線法、雙層懲罰函數法等方式解題。

Colosn(2005)，提到過許多雙層的求解演算法，歸納如下：

1. 頂點解(Extreme-point)近似解

此方法是用在目標式和限制式皆為線性的情形下，其解集合必須是一個 多面體(Polyhedron)，而頂點即為所要求的解，其可行解區域可以表示如下：

Ω={( )^{x,y :x X G x y∈ ,} ( )^{, ≤0,and g x y}( )^{, ≤0} (2.2.1)}

其中^{G x y}( )^{, 和g x y}( )^{, 為上下層之限制式；x為上層之變數。}

在下層問題為凸型(Convex)且規律(Regular)的形況下，可以用一階近似 條件(Karush-Kuhu-Tucker, KKT)來取代，將問題表示如下：

min, ,

x X y∈ λ F x y( , ) 0≤ (2.2.2a)

s.t G x y( , ) 0≤ (2.2.2b) g x y( , ) 0≤ (2.2.2c)

λ_i ≥0 i=1,...,m₂ (2.2.2d)

λ_{i i}g x y( , ) 0= i=1,...,m₂ (2.2.2e)

∇_yL x y( , , ) 0λ = (2.2.2f)

其中， ²

1

( , , ) ( , ) ( , )

m i i i

L x y λ f x y λg x y

=

= +

∑

此方法先將下層的目標是以拉式函數的方式轉換成上層的限制式再進行求 解，其中L x y( , , )λ 為拉式函數，λ 為對偶變數。 _i

3. 參數互補轉換法(Parametric Complementary Pivot, PCP)

主要是基於分枝界線法的模型來求解，在每一回合當中針對原來問題求 解出一可行的解，使得上層目標式至少等於某一個參數α ，此參數每回合都 會更新一次，因此目標值也是每回合都會更新，直到找不到可行的解為止，

但是此方法並不一定收歛在最佳解。

4. 坡降法(Descent methods)

此方法主要在尋找可行解的方向，剛開始先給定一可行解x，然後透過 ( 0)

x+α αd > 公式尋求下一點，而主要的問題在於求解上層目標值的梯度 (Gradient)可以利用下面公式求得：

( , ( )) ( , ) ( , ) ( )

xF x y x xF x y yF x y xy x

∇ = ∇ + ∇ ∇ (2.2.3)

其中∇_xF x y x( , ( ))表示上層目標式的梯度 5. 懲罰函數法(Penalty Function Method)

此方法可以用來求解非線性的雙層規劃問題，其方法是將下層問題以一 懲罰函數取代之

miny p x y r( , , )= f x y( , )+r g x yφ( ( , )) (2.2.4) 其中r是一個正數，φ為連續懲罰函數。

6. 信賴區域法(Trust-Region Method)

此為一種反覆求解的方法，利用近似原問題的模型來求解，用限制式將

資料整理：陳惠國，池昆霖(2006)

Hejazia et al. (2002)在文中說明線性雙層規劃之決策者是分開的，包含了上下 層有各自的目標，其上層為領導者，下層為跟隨者。而雙層規劃之問題，已被證 實為NP-hard的問題。有許多雙層規劃的解題方法已被提出來，但在此研究裡，用 遺傳演算法來發展出一個有效率解決雙層規劃的方法。其過程是將第二階層 (Second level)用一階進似條件(Kuhu-Tucker)而成為第一階層的限制式，而雙層規 劃則轉化成為單層的問題。在本研中也探討巨集演算法之一的禁忌搜尋法(Hybrid tabu-ascent algorithm, HTA)，此演算法的基本觀念是利用懲罰函數的概念去找出 初始解，並且改進現有的解。

Oduguwa and Roy (2002)認為雙層數學規劃是一個用來解決現實生活中，有 等級制度之政策問題的一項技術。在已過許多的研究裡，已有許多求解的方法被 提出來，但有的方法並不能全然的解決雙層數學規劃的問題。在這篇文獻裡，他 們提出了雙層遺傳演算法(Bi-level genetic algorithm, BiGA)。而研究結果證明，雙 層遺傳演算法用於解決傳統的雙層數學規劃問題，以及解決現實生活中相關問 題，是個相當優良的方法。

表2.3 雙層數學規劃之求解方法相關文獻彙整

作者 問題論述 模式 求解方法

作者 問題論述 模式 求解方法