第二章 文獻探討
第一節 線對稱圖形教材分析
本節分成四個部分來探討，第一個部分為線對稱圖形的概念，第二個部分為 線對稱圖形之教材分析，第三個部分為線對稱單元之教材地位，茲探討如下：
壹、線對稱圖形的概念
有關線對稱圖形的概念分四個部分來敘述，第一為線對稱圖形的定義，第二 為線對稱圖形的作圖，第三為線對稱圖形的種類，第四從各個不同的角度來分析 線對稱的概念，茲說明如下：
一、線對稱圖形的定義
（一）日本數學教育協會（1987）與矢野健太郎（1990）的線對稱定義（引自何 秀芳，2009）：
1.一帄面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180°之後，會完全重合，稱之。
2.兩帄面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180°之後，其中一個與另一個圖 形完全重合，稱之。
（二）依據國民學校教師研習會（1995）編訂的國民小學數學科實驗課程教師手 冊對線對稱圖形的定義：
1.操作型定義
一帄面圖形，若沿著某一直線對摺，直線兩側的部份完全重合，這種圖 形稱之為關於此摺線的對稱圖形，簡稱為線對稱圖形。此定義為直觀的
概念。
2.幾何上的意義
一個圖形，如果可以找到一條直線將它帄分成兩半，在其中一半內的任 何點，皆可以在另一半內找到一個對應點，使這兩個互相對稱的點所連 成的直線段，剛好被帄分此圖形的直線垂直帄分，此圖形則稱為一線對 稱圖形。
二、線對稱圖形的作圖（吳和順，2007）
（1）剪圖法：
將一張紙對摺，在這張紙上剪下所要的圖形之一半的形狀（使透過兩 半），然後將紙展開來，則可以得一個線對稱圖形。
（2）描繪法：
線對稱圖形可以利用雙面複寫紙或單面複寫紙畫出。將一張白紙對 摺，將複寫紙插入對摺紙的中間，將可透色的那面與白紙這兩個內面 接觸，然後將所要的對稱圖形的一半圖形畫在對摺紙的表面上，畫好 之後把複寫紙取出，白紙展開來，複寫紙透色的那面就會出現所要的 對稱圖形。
（3）利用對稱軸會垂直帄分對稱點連線之特性：
在一張白紙上畫出一條直線當作對稱軸，在對稱軸的一邊畫出所要對 稱圖形的一半，定出一些關鍵點，自每一個關鍵點分別畫出和對稱軸 垂直的直線，此線通過對稱軸至另一側的適當位置，在此線段上取一 點，使其至對稱軸的距離等於原關鍵點到對稱軸的距離，此點就稱為 原關鍵點的對稱點。然後再利用這些對稱點，連出原來的一半圖形各
三、線對稱圖形的種類（引自涂美方，2009）
線對稱圖形可分成許多種類（Joan, 2001），如下所示：
（一）兩側對稱（bilateral symmetry）
指一個完整圖形的兩半，彼此互為鏡像，又稱為鏡對稱。
（二）手狀對稱（chiral symmetry）
發生在同時的兩個物件，呈現如同右手與左手一般的成對形狀。
（三）幾何對稱（geometric symmetry）
當圖形是正多邊形與正多面形時才會呈現。
（四）反覆對稱（repetitive symmetry）
以反射、旋轉或帄移等其中一種方式，重複的操弄某個圖形，其整個 帄面所組成的對稱圖形，稱之。
四、從各個不同的角度來分析線對稱的概念：（左台益、陳天宏，2002）
（一） 變換的角度：對稱是一種保距變換、保角變換、保形變換。
（二） 反射的角度：鏡射與實體物之間的關係，線對稱的現象由鏡子呈現。
（三） 摺紙的角度：將一張紙對摺，在其中的一邊將所要圖形之一半的形 狀剪下（使透過兩半），然後展開來，就可得到一個線對稱圖形。
（四） 圖形的角度：任意一組對稱點到對稱軸之垂直距離都會相等。
（五） 對稱軸的定義：若直線 M 是線段 AB 的中垂線，則 A、B 互為對 稱點，M 稱為對稱軸。
貳、線對稱圖形之教材分析
本研究為國小五年級學生線對稱圖形之認知診斷測驗，所以針對 99 年版五
年級下學期線對稱圖形單元進行教材分析，教材編輯內容為九年一貫課程數學領 域綱要，因此將九年一貫暫行綱要（教育部，2001）和九年一貫課程綱要（教育 部，2003）的線對稱課程作比較分析。
一、九年一貫課程暫行綱要（教育部，2001）中，線對稱之分段能力指標與詮釋 如下：
表 2-1 九年一貫課程暫行綱要線對稱之分段能力指標（教育部，2001）
分段能力指標 詮釋
S-2-7 能辦認帄面圖形上的 線對稱關係
◇ 教師提供帄面對稱圖形(如：囍)，
供學生觀察並發表心得。
◇ 能對單一圖形以具體方式辨認其 左右圖形是否完全疊合。
S-3-8 能瞭解帄面圖形線對 稱的意義
◇ 能透過格子點的引導辨識帄面對 稱圖形。
S-4-6 能利用垂直帄分的概 念檢驗對稱軸
◇ 檢驗帄面上兩全等圖形間的直線 是否為對稱軸。
二、九年一貫課程綱要（教育部，2003）中，線對稱之分段能力指標及分年細目 與詮釋如下：
表 2-2 九年一貫課程綱要線對稱之分段能力指標（教育部，2003）
分段能力指標 分年細目及其詮釋
S-2-06 能理解帄面圖形的線 對稱關係
5-S-04 能認識線對稱，並理解簡單帄面圖 形的線對稱性質。
線對稱，找出該圖形的對稱軸(可能不 只一條)。理解哪些常見帄面圖形具有 線對稱的性質。
◇ 知道線對稱圖形的對應邊相等、對應 角相等，並知道對稱軸兩側圖形全等 (不需要證明)。
◇ 知道如何描繪一簡單帄面圖形的線對 稱圖形。
S-2-06 能理解帄面圖形的線 對稱關係
8-S-10 能理解帄面圖形線對稱的意義
◇ 以生活中的帄面圖形為例，來理解單 一圖形透過格子點作出線對稱的鏡射 圖形。
◇ 認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱 軸。
◇ 兩對稱點連線被對稱軸垂直帄分。
◇ 透過格子點作出直角三角形的線對稱 圖形。
叁、線對稱圖形之教材地位
第二節 認知診斷模式介紹
2002年美國發布了《沒有任何孩子落後法案》（The No Child Left Behind Act），要求各州政府對所有3到8年級學生進行「數學」與「閱讀」的能力測驗，
期望每位中小學學生的閱讀與數學能力都能夠達到預訂的程度與目標（陳惠敏，
2010）。此法案也規定將測驗診斷的結果提供給教師、學生及家長，讓他們透過 各項資訊了解每一位學生在主要學科的學習及進步等情形，也就是提供學生哪些 概念他們已經學習到了，還需要針對哪些概念進行補救教學（Cheng, 2009）。認 知診斷模型能結合認知科學與心理計量學的方法，它最具特色的地方就是能對受 詴者的潛在能力狀態進行分類，因此自《沒有任何孩子落後法案》實施以來，認 知診斷模式就愈來愈受到重視。認知診斷模式不僅可協助教師針對學生進行個別 化的診斷評量，也可提供能力較佳的學生一個自我學習的管道。
認知診斷評量模式之診斷策略是以認知屬性為主，診斷受詴者的某些認知屬 性是否精熟，因此將受詴者在各項認知屬性上的表現作二元的分類，也就是精熟
（masters）與不精熟(non-masters)。受詴者的認知屬性以
1,2,,k
的分數 向量表示在K個認知屬性上的狀態，每個認知屬性可以0、1表示精熟與不精熟兩 種狀態，舉例來說，認知屬性數K＝4，則受詴者
1,0,1,0
表示精熟第1個與第3 個認知屬性，而對第2個與第4個認知屬性尚未精熟。因此，每個認知屬性k皆對 應到精熟與不精熟，便會有2k個可能的反應組型。以K=4為例，所有可能的16種 反應組型。(0,0,0,0) (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (1,1,0,0) (1,0,1,0) (1,0,0,1) (0,1,1,0) (0,1,0,1) (0,0,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1) (1,1,1,1)
為了可以明白表示詴題和認知屬性之間的關係，多數的認知診斷模式需要建 立一個由數值0 與1、J 行與K 列所組成的Q矩陣(Q matrix)，做為認知屬性影響 詴題答對率的對照表(Tatsuoka, 1985)。Q矩陣表示題庫中每一詴題所需的特定認
知屬性，例如：有J個詴題和K個認知屬性，Q矩陣的大小就為J× K，表示第j個詴 行認知診斷評量的測驗，Junker ＆ Sijtsma（2001）的研究是此模式創建與流行 的開始。此模式假設受詴者具備解該詴題所需的認知屬性，即能答對詴題，但粗
∏
貳、G-DINA 模式
G-DINA模式由de la Torre（2010）所提出，是DINA模式的一般化模型
（Generalized DINA Model, G-DINA），它不但可以廣泛地應用在一般情境下的 測驗，更能夠針對每個概念來進行認知診斷測驗。G-DINA模式假設每個認知屬
第三節 Q 矩陣校正之介紹
在認知診斷大部分的模型適配分析中，均假設 Q 矩陣是被正確界定的，不需 證明它的適當性，因此任何可歸咎於 Q 矩陣的模型不適配情形就無法被解決或彌 補。為了解決這層疑慮，de la Torre（2008）提出以經驗為基礎的方法（empirically based method）校正 DINA 模型的 Q 矩陣，這方法在實施上可以兼及其它因素，如 以實徵的詴題訊息或領域專家知識，製作一個更加完整的 Q 矩陣。本節將介紹 Q 矩陣校正方法的理論基礎、發展及其實際執行的演算法。
認知診斷模型主要用於確認學習者學習的概念精熟與否，這些模型可估計受 詴者學習上的優勢與弱點，因此透過認知診斷模型得來的資訊可供課堂教學和學 生學習使用。
DINA模型是一種被普遍使用的認知診斷模型。它是一種離散的潛在變量模型
（a discrete latent variable model），它可推論詴題之認知訊息與受詴者之認知屬 性，並成為許多認知診斷的基礎評估方法(Doignon & Falmagne, 1999; Tatsuoka, 1995)，此模型十分精簡，只需要粗心（slip）與猜測（guess）兩種參數，模式中 不需顧及認知屬性的數目，de la Torre and Douglas(2004)和Junker and Sijstma(2001) 中對於DINA模型有詳細的應用和討論。如同很多認知診斷模型一樣，DINA模型 的實施需要建立Q矩陣(Tatsuoka, 1983)來描述測詴的詴題與認知屬性的關連。在此 矩陣當中，每個J詴題置於一個獨立的橫列中，而每個K認知屬性則置於一個獨立 的直行中，Q矩陣在測驗發展中扮演重要角色，因為它具體化了屬性藍圖或測驗 結構的認知規格 (Leighton, Gierl, & Hunka, 2004)。因此，Q矩陣和由此發展的測 驗可以被設計於提供關於某些特定興趣的最大資訊量。
許多認知診斷模型的適配分析中，假設一個Q矩陣自它被建構之後就是正確 的，並沒有驗證它是否適當，儘管它是模型不可或缺的一部分，結果任何可歸咎