2-1 控制方程式與邊界條件
本文考慮之二維水槽如圖（2-1）所示。造波水槽一端為直推式 造波機，另一端則為全反射直立壁；所採用之座標系統為固定卡氏座 標，x 軸原點定義於造波板移動的平均位置，取向右為正，z 軸原點 則定義於靜水面，以垂直向上為正。水槽長度為 l，平均靜水深為 h。
圖 2-1 二維有限長度造波水槽示意圖
假設流體為不可壓縮（incompressible）、非黏性（non-viscous）、
波浪流場運動屬於無旋性運動（irrotational） 時，水槽中水體之運動 可視為勢能流動，亦即：
(
x z t) (
x z t)
Uv , , =−∇Φ , ,
(2-1) 其中Uv為水分子運動速度，∇代表梯度運算子，Φ則為流速勢函數。
水槽中之水體由於造波板位移造成流體運動，根據 Dean 與 Dalrymple （1991）推導出的線性邊界條件與控制方程式，描述如下：
水槽底端 邊界條件
底床邊界條件 自由水面邊界條件
造波板 邊界條件
x
) (t
x =u Φ
− −Φx =0
=0 Φ
− z
t z =η Φ
−
=0 Φ
− t gη
=0 Φ + Φxx zz h
l 0
η z
S
1.水體控制方程式
式及（2-7）式為自由水面運動邊界條件（kinematic boundary condition at free surface）及自由水面動力邊界條件（dynamic boundary condition at free surface）。
2-2 暫態解理論解析
sinh sin ) 子水平速度，若利用如下恆等關係（參考 Spiegel，1999），可使造波 板邊界條件（2-3）式成立，亦可證明（2-11）式滿足造波板邊界條件。
若將（2-10）式與（2-11）式代入（2-2）式－（2-7）式，可得：
0
h
tanh cos 2
將（2-20）式代入（2-21）式，比較等號兩側係數後可得：
( )
l( )
t a t b t A( )
t式會與（2-29）式、（2-30）式相等，比較係數可得：
Moraes 等人（1972）基於 Kennard（1949）提出之造波水槽暫 態解析解，推導步進速度造波之水位函數為：
式中ω = gk tanhkh。
將 2-3-1 節所得結果，與 Moraes 等人（1972）的提出的積分型 式解析解在同樣條件下比較（造波條件參考 Moraes et al.，1972），
水槽長度l =50m，造波板衝程s0 =0.053m，靜水深h=0.5m，造波時間
sec 27 .
=0
τ ，（2-30）式之級數解取 500 項，（2-32）式之數值積分上 限取 30，計算波浪通過x=5m與x=29m之振幅，如圖 2-4 所示。
由圖 2-4 可知，波浪於約 2 秒時到達x=5m處，而波峰於 2.7845 秒時通過x=5m，後續之波浪振幅隨時間而衰減；而波浪於約 10 秒時 到達x=29m處，且通過x=29m之波浪振幅均小於通過x=5m之波浪。
由圖可發現本文計算之結果與 Moraes 等人（1972）相當吻合，證明 此解的合理性。
根據 Fourier 半幅展開的定義，（2-28）式與（2-30）式之第一項 為水槽中之平均水面高度，此值會隨造波板在造波過程中往正向推動 水體而增加，至造波結束後（t≥τ ）其增加之量與水槽長度之乘積會 與造波板總位移量與平均靜水深相等，由（2-30）式與（2-31b）式可 證得：
Sh g A
l ⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
2
1 (2-33)
（2-28）式與（2-30）式中之第二項為級數和，意指水面之變化 可視為 n 個隨時間與空間改變之成份波組合，各成份波波速可能不 同，故在傳遞過程中會因波速差異而造成波形之改變。
圖 2-2 步進運動時造波板運動速度與時間示意圖
圖 2-3 級數解係數收斂情形，計算條件為
m
l =50 ，s0 =0.053m，h=0.5m，τ =0.27sec
圖 2-4 級數解係數收斂情形，計算條件如圖 2-3
（l =100m）
圖 2-5 級數解係數收斂情形，計算條件如圖 2-3
（l =150m）
圖 2-6 Moraes et al.（1972，虛線）與本文計算結果（實線）的比較
（l =50m，s0 =0.053m，h=0.5m，τ =0.27sec）